מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 10 בדרך לבגרות

הנורה ארוכת חיים מהממוצע בשתי סטיות תקן.

טעות נפוצה: להחסיר בסדר הפוך, $\frac{800-900}{50}=-2$ - ציון תקן שלילי שייך לערך שמתחת לממוצע.

בטבלה המצטברת: $\Phi(2)=0.9772$, ולכן 97.72% מהנורות.

טעות נפוצה: לענות $1-0.9772=2.28\%$ - זה אחוז הנורות שאורך חייהן גדול מ-900 שעות.

$0.0228\cdot3000=68.4$, כלומר בערך 68 נורות.

טעות נפוצה: להכפיל את 0.9772 ב-3000 ולענות כ-2932 נורות.

$P(X<t)=0.0228$. לפי סעיף ג, זה בדיוק אחוז הנורות שמעל 900 - כלומר מעל ציון תקן 2.

ההתפלגות סימטרית סביב הממוצע, ולכן אותו אחוז נמצא מתחת לציון תקן $-2$:

טעות נפוצה: לחשוב שאותו אחוז שייך שוב לציון תקן $+2$ ולענות $t=900$, שמתחתיו נמצאות 97.72% מהנורות.

טעות נפוצה: לחבר את שני הזנבות, $0.0228+0.0228=0.0456$, ולענות את זה - זו ההסתברות שהנורה מחוץ לתחום.

הבחירות בלתי תלויות, ולכן מכפילים את ההסתברות מסעיף ה בעצמה:

טעות נפוצה: לחשב $1-0.0456^2\approx0.9979$ - זו ההסתברות שלפחות אחת מהשתיים בתחום.

כל עובד הוא נקודה (ותק, משכורת): $(1,8)$, $(2,9)$, $(4,12)$, $(5,15)$.

הנקודות עולות משמאל לימין - קשר חיובי.

טעות נפוצה: לסמן את מספר העובד (1, 2, 3, 4) על ציר $x$ במקום הוותק - העובד השלישי נמצא ב-$x=4$, לא ב-$x=3$.

טעות נפוצה: לקחת את הערך האמצעי ברשימה של $y$ במקום ממוצע ולקבל $\frac{9+12}{2}=10.5$ - זה החציון.

הסטיות מהממוצע: ב-$x$: $-2,-1,1,2$; ב-$y$: $-3,-2,1,4$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן של המכפלה $(-2)\cdot(-3)$ ולכתוב $-6$: הסכום יוצא 5, $\text{cov}=1.25$ ו-$r\approx0.29$ - מכפלה של שתי סטיות שליליות היא חיובית.

הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(3,11)$:

טעות נפוצה: לחלק ב-$S_x$ במקום ב-$S_x^2$: $b=\frac{4.25}{\sqrt{2.5}}\approx2.69$ ו-$\hat y\approx2.69x+2.94$.

מציבים $x=3.5$ במשוואת הישר:

המשכורת החזויה היא 11.85 אלף שקלים.

טעות נפוצה: להציב את 3.5 במקום $y$ ולפתור $3.5=1.7x+5.9$ - כך מקבלים $x\approx-1.41$, שאינו משכורת בכלל.

בשלב הראשון שני ענפים: קופסה א' ($\frac12$) וקופסה ב' ($\frac12$).

מקופסה א': לבן $\frac45$, שחור $\frac15$. מקופסה ב': לבן $\frac12$, שחור $\frac12$.

ההסתברות של מסלול היא מכפלת ההסתברויות לאורכו:

טעות נפוצה: לשכוח את ענף המטבע ולענות $\frac15$ - זו ההסתברות לשחור בתנאי שנבחרה קופסה א', לא ההסתברות של המסלול.

יש שני מסלולים שמסתיימים בשחור, ומחברים אותם:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות לשחור בכל קופסה בלי לכפול ב-$\frac12$: $\frac15+\frac12=\frac7{10}$.

הסתברות מותנית: מסלול "א' וגם שחור" (סעיף א) חלקי ההסתברות לשחור (סעיף ב).

טעות נפוצה: להחליף את כיוון ההתניה ולענות $P(\text{שחור}\mid\text{א'})=\frac15$.

בהוצאה הראשונה: 4 לבנים מתוך 5. אחרי שהוצא לבן נשארו 4 כדורים, ומהם 3 לבנים:

טעות נפוצה: לא לעדכן את הקופסה אחרי ההוצאה הראשונה ולחשב $\frac45\cdot\frac45=\frac{16}{25}$.

$AE=AC$, ולכן במשולש $AEC$ זוויות הבסיס שוות: $\sphericalangle AEC=\sphericalangle ACE=\sphericalangle ACB$.

$AB=CB$, ולכן במשולש $ABC$: $\sphericalangle BAC=\sphericalangle ACB$.

לכן $\sphericalangle AEC=\sphericalangle BAC$.

טעות נפוצה: לחשוב שבמשולש $AEC$ השוקיים הן $EA$ ו-$EC$, ולהסיק ש-$\sphericalangle EAC=\sphericalangle ACE$. השוקיים השוות הן $AE$ ו-$AC$, ולכן הזוויות השוות הן מול השוקיים - ב-$E$ וב-$C$.

לפי סעיף א: $\sphericalangle BAC=\sphericalangle AEC$, ו-$\sphericalangle C$ משותפת לשני המשולשים. לכן $\triangle ABC\sim\triangle EAC$ (ז.ז.).

טעות נפוצה: להתאים את הקודקודים לפי סדר האותיות בלי לבדוק את הזוויות ($\triangle ABC\sim\triangle AEC$); אז בסעיף ג מתקבל מ-$\frac{BC}{EC}=\frac{AC}{AC}$ ש-$EC=25$, כלומר $E=B$.

טעות נפוצה: להחליף בין הקטעים ולענות $BE=4$, $EC=21$.

יחס הדמיון $\frac{AB}{EA}=\frac{25}{10}=2.5$, ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לענות 2.5 - יחס הדמיון עצמו, בלי להעלות בריבוע.

אמצע $AC$: $\left(\frac{-4+4}{2},\frac{-3+3}{2}\right)=(0,0)$ - מרכז המעגל. לכן $AC$ קוטר.

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה: $\sphericalangle ABC=90^\circ$.

טעות נפוצה: לבדוק רק ש-$A$ ו-$C$ על המעגל ולהסיק שזה קוטר - כל מיתר מקיים זאת; צריך שהמרכז יהיה על $AC$.

$E$ על המשך $BC$, ולכן גם $\sphericalangle ABE=90^\circ$ (סעיף א).

טעות נפוצה: לקחת את $BC$ במקום $BE$ כניצב ($BC=\sqrt{80}$), ומקבלים $\frac{\sqrt{20}\cdot\sqrt{80}}{2}=20$ - זה שטח המשולש $ABC$.

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, ולכן סכום הזוויות הנגדיות $ABC$ ו-$ADC$ הוא $180^\circ$.

הזווית $EDC$ צמודה לזווית $ADC$ ($A$, $D$, $E$ על ישר אחד), ולכן $\sphericalangle EDC=180^\circ-\sphericalangle ADC=\sphericalangle ABC$.

הזווית $E$ משותפת לשני המשולשים.

לכן $\triangle ABE\sim\triangle CDE$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow D$, $E\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: להתאים את $A$ ל-$D$ ואת $B$ ל-$C$ - הזווית $EDC$ שווה ל-$\sphericalangle ABC$, ולכן $D$ מתאימה ל-$B$.

$EA$ מתאימה ל-$EC$:

טעות נפוצה: לחלק ב-$k$ במקום ב-$k^2$: $\frac{30}{\sqrt{10}}\approx9.49$.

ב-$x=-2$: $f'$ עוברת מ-$-$ ל-$+$ - מינימום. ב-$x=2$: מ-$+$ ל-$-$ - מקסימום.

טעות נפוצה: להפוך את הסוגים (מקסימום ב-$-2$, מינימום ב-$2$) - מ-$-$ ל-$+$ פירושו ש-$f$ יורדת ואז עולה, כלומר מינימום.

$f'>0$ ב-$-2<x<2$ - $f$ עולה; $f'<0$ ב-$x<-2$ וב-$x>2$ - $f$ יורדת.

טעות נפוצה: לקבוע עלייה היכן שגרף $f'$ עולה, $x<0$ - הקובע הוא סימן $f'$.

פונקציה אי-זוגית מקיימת $f(-x)=-f(x)$, ולכן $f(-2)=-f(2)=-5$.

עבור $x=0$: $f(0)=-f(0)$, כלומר $f(0)=0$.

טעות נפוצה: להשתמש בתכונה של פונקציה זוגית ולענות $f(-2)=5$.

מסמנים מינימום $(-2,-5)$, מקסימום $(2,5)$ והראשית $(0,0)$.

יורדת משמאל עד $x=-2$, עולה עד $x=2$ (דרך הראשית) ויורדת אחריו.

טעות נפוצה: לצייר קיצון ב-$x=0$, שם יש ל-$f'$ מקסימום - ל-$f$ אין שם קיצון, היא רק עולה הכי מהר.

ב-$-2<x<2$ גרף $f'$ מעל ציר ה-$x$, ולכן השטח שווה לאינטגרל:

טעות נפוצה: להציב $f(-2)=5$ (כאילו הפונקציה זוגית) ולקבל $5-5=0$.

הקודקוד של $f(x)=x^2$ הוא $(0,0)$ והקודקוד של $g(x)=(x-4)^2$ הוא $(4,0)$.

באיור II נוגע בציר ה-$x$ בראשית ו-I נוגע בו מימין, ולכן I הוא $g(x)$ ו-II הוא $f(x)$.

טעות נפוצה: לקרוא מ-$(x-4)^2$ קודקוד ב-$x=-4$ ולהחליף: I - $f(x)$, II - $g(x)$.

טעות נפוצה: לפתוח $(x-4)^2=x^2-16$, לקבל $0=-16$ ולהסיק שאין חיתוך.

$8x-16>0$ כאשר $x>2$, ולכן ב-$2<x\le4$ הגרף של $f$ מעל הגרף של $g$, וב-$1\le x<2$ - מתחתיו.

טעות נפוצה: לשכוח שהמינוס לפני הסוגריים חל על כל האיברים, לקבל $-8x+16$, ולהסיק ש-$f$ מעל $g$ דווקא ב-$x<2$.

מפצלים בנקודת החיתוך $x=2$:

טעות נפוצה: לא לפצל ולחשב $\int_1^4(8x-16)\,dx=12$ - החלק שבו $g$ עליונה מקוזז במקום להיספר.

$f(0)=\frac43$, $g(0)=0$. עבור $x<0$ המונה $4x$ שלילי והמכנה חיובי, ולכן $g(x)<0$.

גרף ב עובר בראשית ושלילי משמאל לה - זה $g$. גרף א הוא $f$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ רק במכנה של $g$ ולקבל $g(0)=\frac43$ - ואז לא ניתן להבחין בין הגרפים.

$4=4x$, ולכן $x=1$, $y=\frac{4}{1+3}=1$.

טעות נפוצה: לחשב את $y$ בלי המכנה, $y=4$.

משמאל ל-$M$ ($t<1$) $f$ מעל $g$, ולכן $AB=f(t)-g(t)=\frac{4-4t}{t^2+3}$.

טעות נפוצה: לכתוב $g(t)-f(t)$ ולקבל ביטוי שלילי.

$t=-1$ או $t=3$; $t=3$ נפסל ($t<1$). משמאל ל-$-1$ הנגזרת חיובית ומימין שלילית - מקסימום.

טעות נפוצה: לבחור $t=3$ בלי לבדוק שהישר משמאל ל-$M$.