מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 12 בדרך לבגרות

ציון התקן מודד בכמה סטיות תקן הציון רחוק מהממוצע, ולאיזה כיוון:

הסימן שלילי כי 58 נמוך מהממוצע.

טעות נפוצה: לחסר בסדר הפוך, $\frac{70-58}{8}$, ולקבל $Z=1.5$ - ציון תקן חיובי שייך לציון שגבוה מהממוצע.

השטח משמאל ל-$Z=-1.5$. לפי הסימטריה של העקומה הוא שווה לשטח מימין ל-$1.5$:

6.68% מהתלמידים קיבלו ציון נמוך מ-58.

טעות נפוצה: לענות 93.32% - זה הערך של $\Phi(1.5)$, אחוז התלמידים שקיבלו יותר מ-58.

"גבוה מ-84" הוא השטח מימין:

טעות נפוצה: לכפול את $0.9599$ ב-2,000 ולענות 1,920 תלמידים - אלה התלמידים שקיבלו פחות מ-84.

אחוז התלמידים מתחת ל-58 הוא השטח משמאל לציון התקן של 58. השטח נשאר 6.68%, ולכל שטח מתאים בטבלה ציון תקן אחד - לכן ציון התקן נשאר $-1.5$.

מציבים את הממוצע החדש:

טעות נפוצה: להציב את הממוצע של השנה הקודמת, $-1.5=\frac{58-70}{\sigma}$, ולקבל $\sigma=8$.

בשנה זו $\mu=74$, $\sigma\approx10.67$:

טעות נפוצה: לחשב עם סטיית התקן של השנה הקודמת, $Z=\frac{84-74}{8}=1.25$, ולקבל $1-0.8944=0.1056$, כלומר כ-211 תלמידים.

סטיות: $-2,-1,0,1,2$; ריבועים: $4+1+0+1+4=10$.

טעות נפוצה: לחלק ב-4 במקום ב-5 ולקבל $\sqrt{2.5}\approx1.581$.

קשר לינארי חיובי חזק מאוד.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-5: $\frac{85}{\sqrt{300}}\approx4.91$ - ערך שאינו יכול להיות מקדם מתאם.

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(3,\,70)$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $m=r\cdot\frac{S_x}{S_y}\approx0.113$, ולקבל ישר כמעט אופקי $y\approx0.113x+69.66$.

מציבים $x=3.5$ במשוואת הישר:

טעות נפוצה: לשכוח את החותך ולענות $8.5\cdot3.5=29.75$.

הוספת 5 לכל ציון מעלה גם את הממוצע ב-5, ולכן כל סטייה מהממוצע לא משתנה.

לכן $S_y$ וסכום מכפלות הסטיות לא משתנים, ו-$r$ לא משתנה.

$m=r\cdot\frac{S_y}{S_x}$ - גם השיפוע לא משתנה. הישר החדש: $y=8.5x+49.5$.

טעות נפוצה: להוסיף 5 לשיפוע ולקבל $m=13.5$. התוספת מעלה את הישר כולו, ולא משנה את התלילות שלו.

טעות נפוצה: לחבר את הסתברויות הכישלון, $0.3+0.4=0.7$, במקום לכפול אותן.

שני מסלולים: עובר באלגברה ונכשל בגאומטריה, או להפך.

טעות נפוצה: לחשב רק את המסלול הראשון ולענות $0.28$.

עובר את המבחן = לא נכשל בשני התרגילים:

טעות נפוצה: להחסיר מ-1 את ההסתברות לעבור את שני התרגילים, $1-0.42=0.58$.

החיתוך: "עבר רק באלגברה" - $0.7\cdot0.4=0.28$ (מי שעבר רק באלגברה עבר את המבחן).

טעות נפוצה: לחלק בהסתברות לעבור בדיוק תרגיל אחד (0.46) ולקבל $\frac{0.28}{0.46}\approx0.609$.

במשולש $ABE$ הצלעות $AB$ ו-$AE$ שוות, ולכן הוא שווה שוקיים.

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות. הזווית שמול $AE$ היא $\angle ABE$, והזווית שמול $AB$ היא $\angle AEB$, ולכן $\angle ABE=\angle AEB$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\angle BAE=\angle ABE$ - הזווית $BAE$ היא זווית הראש, שנמצאת בין השוקיים השוות.

במקבילית $AD\parallel BC$, והישר $BE$ חותך את שניהם. $\angle AEB$ ו-$\angle EBC$ הן זוויות מתחלפות, ולכן הן שוות.

מסעיף א(1): $\angle ABE=\angle AEB=\angle EBC$, כלומר $BE$ חוצה את $\angle ABC$.

טעות נפוצה: להסיק מהמקבילות ש-$\angle AEB=\angle ECB$ - הזווית $ECB$ נמצאת ליד הקודקוד $C$, ואין ביניהן קשר של מתחלפות.

$AE=AB=10$, ו-$E$ על ציר ה-$x$ מימין ל-$A$: $x_E=-8+10=2$, $E(2,0)$.

טעות נפוצה: לחבר את הניצבים, $AB=8+6=14$, ולקבל $E(6,0)$.

$EC\perp BE$ (כי $\angle BEC=90^\circ$), ולכן $m_{EC}\cdot(-3)=-1$, $m_{EC}=\frac13$.

טעות נפוצה: לקחת לישר המאונך את השיפוע $3$ (רק החלפת סימן) ולקבל $y=3x-6$.

$BC$ מקביל לציר ה-$x$ ועובר דרך $B(0,6)$, ולכן משוואתו $y=6$.

$C$ על $EC$ ועל $y=6$:

טעות נפוצה: להציב $x=6$ במשוואת $EC$ ולקבל $C\left(6,\frac43\right)$.

$CB$ אופקי, ולכן הטנגנס של הזווית $BCE$ שווה לשיפוע של $EC$:

טעות נפוצה: להשתמש בשיפוע של $BE$ ולקבל $\tan\alpha=3$, $\alpha\approx71.57^\circ$ - זו הזווית $EBC$.

$\angle ABC$ היא זווית היקפית הנשענת על המיתר $AC$, והיא ישרה. זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר, ולכן $AC$ קוטר.

טעות נפוצה: לחשוב שצריך לדעת גם ש-$\angle ADC=90^\circ$ כדי להסיק ש-$AC$ קוטר - מספיקה זווית היקפית ישרה אחת.

המרכז הוא אמצע הקוטר $AC$: $M=\left(\frac{2-2}{2},\frac{3-7}{2}\right)=(0,-2)$.

המשוואה: $x^2+(y+2)^2=29$.

טעות נפוצה: לחשב את המרכז כהפרש השיעורים במקום כממוצע, $\left(\frac{2+2}{2},\frac{3+7}{2}\right)=(2,5)$.

מציבים $y=0$: $x^2+4=29$, $x^2=25$, $x=\pm5$.

לפי הסרטוט $B$ מימין: $B(5,0)$, $D(-5,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את $(y+2)^2$ ולפתור $x^2=29$, $x=\pm\sqrt{29}$.

מכפלת השיפועים $-1$, ולכן $MA\perp MD$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן במונה של $m_{MD}$, $\frac{0-2}{-5-0}=\frac25$, לקבל מכפלה $1$ ולהסיק שהישרים אינם מאונכים.

הזווית ההיקפית $ABD$ והזווית המרכזית $AMD$ נשענות על אותה קשת $AD$, ולפי ד(1) $\angle AMD=90^\circ$:

טעות נפוצה: להשתמש בזווית $ABC$ הנתונה ולענות $90^\circ$.

$f'>0$ (הגרף מעל הציר) ב-$x<-1$ וב-$x>3$ - שם $f$ עולה; $f'<0$ ב-$-1<x<3$ - שם $f$ יורדת.

טעות נפוצה: לענות לפי הכיוון של הפרבולה, "ירידה ב-$x<1$, עלייה ב-$x>1$" - זה מתאר את $f'$ ולא את $f$.

ב-$x=-1$ הנגזרת עוברת מפלוס למינוס - מקסימום. ב-$x=3$ ממינוס לפלוס - מינימום.

טעות נפוצה: להפוך את הסוגים (מינימום ב-$-1$, מקסימום ב-3) - קודם $f$ עולה ואז יורדת, ולכן ב-$-1$ מקסימום.

המקסימום ב-$x=-1$: $f(-1)=-1-3+9+C=5+C=10$, ולכן $C=5$.

טעות נפוצה: להציב את 10 בנקודת המינימום $x=3$: $27-27-27+C=10$, ולקבל $C=37$.

שיפוע המשיק הוא $f'(x)$: $3x^2-6x-9=-9$, כלומר $3x^2-6x=0$, $3x(x-2)=0$.

$x=0$: $f(0)=5$. $x=2$: $f(2)=8-12-18+5=-17$.

(בגרף: הישר האופקי $y=-9$ חותך את הפרבולה של $f'$ בשתי נקודות.)

טעות נפוצה: לחלק את $3x^2=6x$ ב-$x$ ולאבד את $x=0$ - ולענות רק $(2,-17)$.

$f(-1)=-1-3+9+27=32$, $f(3)=27-27-27+27=0$.

מקסימום $(-1,32)$, מינימום $(3,0)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בהצבה, $f(-1)=-1-3-9+27=14$, ולכתוב מקסימום ב-$(-1,14)$.

פותחים: $(x-3)^2(x+3)=(x^2-6x+9)(x+3)=x^3+3x^2-6x^2-18x+9x+27=x^3-3x^2-9x+27$.

ציר ה-$x$: $(x-3)^2(x+3)=0$, ולכן $x=3$ (שורש כפול - הגרף משיק לציר, במינימום) ו-$x=-3$.

ציר ה-$y$: $f(0)=27$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$x=3$ אינה נקודת חיתוך כי הגרף רק נוגע שם בציר, ולרשום רק את $(-3,0)$.

$f$: עולה עד $(-1,32)$, יורדת עד $(3,0)$ ועולה; חותכת את ציר ה-$x$ ב-$-3$ ואת ציר ה-$y$ ב-27.

$-f$: שיקוף ביחס לציר ה-$x$ - מינימום $(-1,-32)$, מקסימום $(3,0)$, אותם חיתוכים עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לשקף ביחס לציר ה-$y$ ולסרטט את הקיצון של $-f$ ב-$(1,32)$.

בין $-3$ ל-3 $f(x)\ge0$:

הגרף של $-f$ הוא שיקוף, ולכן השטח בין $-f$ לציר ה-$x$ גם הוא 108, והשטח בין שני הגרפים: $2\cdot108=216$.

טעות נפוצה: להתחיל את האינטגרל מ-0 במקום מ-$-3$ ולקבל $33.75$ - נקודת החיתוך השמאלית היא $x=-3$.

טעות נפוצה: לשכוח את החלוקה ב-2 בנוסחת השטח ולקבל $BC=\frac8x$.

$AB$ הוא היתר:

טעות נפוצה: להעלות בריבוע רק את המונה, $\left(\frac{16}{x}\right)^2=\frac{256}{x}$.

$AB$ מינימלי כש-$AB^2$ מינימלי. נסמן $f(x)=x^2+\frac{256}{x^2}$, $x>0$:

$f'<0$ משמאל ל-4 ו-$f'>0$ מימין: מינימום. $f(4)=16+16=32$, ולכן $AB_{min}=\sqrt{32}=4\sqrt2\approx5.66$.

טעות נפוצה: לענות שהאורך המינימלי הוא 32 - זה $AB^2$, ועוד צריך להוציא שורש.

האורך הקטן ביותר של $AB$ הוא $4\sqrt2\approx5.66$, ו-$5<5.66$. לכן אין משולש כזה שבו $AB=5$.

טעות נפוצה: להשוות את 5 ל-32 (הערך המינימלי של $AB^2$) ולענות "כן". צריך להשוות $5^2=25$ ל-32, או 5 ל-$\sqrt{32}$.