מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 15 מעל רמת בגרות

$P(X<76.64)=0.2$. בטבלה הערך הקרוב ביותר ל-0.2 הוא $\Phi(-0.84)=0.2005$, ולכן $z=-0.84$.

טעות נפוצה: לבודד את $\sigma$ הפוך ולכתוב $\sigma=\frac{0.84}{3.36}=0.25$.

ציון התקן בשחייה: $z=\frac{77.6-80}{4}=-0.6$. ההישג של דן בשחייה טוב מזה של $1-\Phi(-0.6)=\Phi(0.6)=72.57\%$ מהמשתתפים.

בזריקה, הישג טוב מזה של $72.57\%$ מהמשתתפים הוא מרחק שמתחתיו $72.57\%$, כלומר ציון תקן $0.6$:

כדי שההישג בזריקה יהיה טוב יותר, דן צריך לזרוק יותר מ-27.4 מטר.

טעות נפוצה: להעתיק את ציון התקן $-0.6$ כמו שהוא לזריקה ולקבל $25-2.4=22.6$ מטר - אבל בזריקה ציון תקן שלילי הוא הישג חלש.

הישג טוב מזה של $90\%$ מהמשתתפים - $90\%$ שחו לאט יותר, כלומר רק $10\%$ שחו מהר יותר: $P(X<t)=0.1$.

בטבלה $\Phi(-1.28)=0.1003$, ולכן $z=-1.28$.

יש לשחות ב-74.88 שניות לכל היותר.

טעות נפוצה: לקחת $z=+1.28$ (כמו בהישג שבו ערך גדול טוב) ולקבל $80+5.12=85.12$ שניות - זמן איטי מהממוצע.

שתי נקודות על ישר הרגרסיה: $(60,61)$ ו-$(80,71)$.

טעות נפוצה: לחלק את הפרש ה-$x$ בהפרש ה-$y$: $m=\frac{20}{10}=2$, ולקבל $\hat y=2x-59$.

הציונים המנובאים שנתונים אינם בנקודת הממוצעים, ולכן מחשבים את $\bar x$:

ישר הרגרסיה עובר דרך $(\bar x,\bar y)$: $\bar y=0.5\cdot68+31=65$.

טעות נפוצה: להציב $x=66$ בישר ולענות $\hat y=64$ - זה הציון המנובא לתלמיד, לא הציון שלו.

שיפוע ישר הרגרסיה הוא $b=r\cdot\frac{S_y}{S_x}$, ולכן $r=b\cdot\frac{S_x}{S_y}$. מחשבים את שתי סטיות התקן.

סטיות מהממוצע של $x$: $-6,-4,-2,2,10$:

סטיות מהממוצע של $y$ (עם $y_3=66$): $-5,-2,1,2,4$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $r=b\cdot\frac{S_y}{S_x}=0.5\cdot\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{32}}\approx0.28$.

הנקודה $(68,65)$ היא בדיוק נקודת הממוצעים. לכן הממוצעים נשארים 68 ו-65.

הסטיות של הנקודה החדשה מהממוצעים הן $0$ ו-$0$, ולכן היא לא מוסיפה דבר לסכומים $\sum(x-\bar x)^2$, $\sum(y-\bar y)^2$ ו-$\sum(x-\bar x)(y-\bar y)$.

השיפוע הוא $\frac{\sum(x-\bar x)(y-\bar y)}{\sum(x-\bar x)^2}$ - לא משתנה, והישר עדיין עובר דרך אותה נקודת ממוצעים: הישר לא משתנה.

גם $r=\frac{\sum(x-\bar x)(y-\bar y)}{\sqrt{\sum(x-\bar x)^2\cdot\sum(y-\bar y)^2}}$ לא משתנה. (סטיות התקן עצמן קטנות, כי מחלקים ב-6 במקום ב-5, אבל היחס ביניהן נשמר.)

טעות נפוצה: לטעון ש-$r$ גדל כי "נוספה נקודה שנמצאת בדיוק על הישר" - נקודה על הישר מחזקת את הקשר רק אם היא מוסיפה פיזור לאורכו; נקודה בנקודת הממוצעים לא מוסיפה דבר.

צעיר שאינו משתמש: $x$; מבוגר שאינו משתמש: $3x$; צעיר שמשתמש: $3x$.

הצעירים: $x+3x=4x$, ולכן $P(\text{מבוגר})=1-4x$.

מבוגר שמשתמש = כל המבוגרים פחות המבוגרים שאינם משתמשים:

טעות נפוצה: לשכוח את הצעירים שמשתמשים ולכתוב $P(\text{מבוגר})=1-x$, ואז $P(\text{מבוגר משתמש})=1-4x$.

"מחצית מהמבוגרים" היא הסתברות מותנית - מבין המבוגרים בלבד:

טעות נפוצה: לפרש את המחצית כחלק מכל המשתתפים, $1-7x=0.5$, ולקבל $x=\frac{1}{14}$ ו-$P(\text{צעיר})=\frac27$.

זו הסתברות מותנית, מבין מי שאינם משתמשים:

$x$ מצטמצם, ולכן התשובה היא $\frac14$ לכל ערך של $x$ - היא נובעת רק מהיחס "פי 3" ולא מהנתון שבסעיף ב.

טעות נפוצה: לחשב את היחס בין הצעירים למבוגרים שאינם משתמשים, $\frac{x}{3x}=\frac13$, במקום את חלקם של הצעירים מכלל מי שאינם משתמשים ($\frac{x}{x+3x}$), ולענות $\frac13$.

כל ההסתברויות בטבלה חייבות להיות אי-שליליות. הצעירים והמבוגרים שאינם משתמשים חיוביים לכל $x>0$, אבל:

לכן $P(\text{צעיר})=4x\le\frac47\approx0.571$. הערך מתקבל כשאף מבוגר אינו משתמש בתחבורה ציבורית.

האחוז הגדול ביותר של צעירים: כ-57.1%.

טעות נפוצה: לדרוש רק $P(\text{מבוגר})=1-4x\ge0$, לקבל $x\le\frac14$ ולהסיק שכל המשתתפים יכולים להיות צעירים (100%).

שיפוע $CD$ הוא $-1$, ו-$AC\perp CD$, ולכן שיפוע $AC$ הוא $-\frac{1}{-1}=1$.

$AC$ עובר דרך $E(3,19)$:

טעות נפוצה: לחשוב שישר מאונך לישר עם שיפוע $-1$ הוא בעל אותו שיפוע (כי "ההופכי של 1 הוא 1") ולשכוח להפוך את הסימן: $y=-x+22$ - ישר מקביל ל-$CD$.

$y=8+16=24$, ולכן $C(8,24)$.

טעות נפוצה: לחבר במקום להחסיר, $x+x=32+16$, ולקבל $x=24$, $C(24,40)$ - נקודה שאינה על $CD$.

$A=2E-C=(2\cdot3-8,\ 2\cdot19-24)=(-2,14)$.

$AB=AC=\sqrt{200}=10\sqrt2\approx14.14$.

טעות נפוצה: לחשב את $A$ כאמצע $EC$, $A(5.5,21.5)$, ולקבל $AB=AC=\sqrt{12.5}\approx3.54$.

$B(b,0)$ ו-$AB^2=200$:

$b=0$ או $b=-4$. הנקודה $(0,0)$ היא הראשית ואינה על החלק השלילי של הציר, ולכן $B(-4,0)$.

טעות נפוצה: לבחור $b=0$ ולענות $B(0,0)$ - הראשית אינה על החלק השלילי של ציר ה-$x$.

שיפוע $AB$: $\frac{14-0}{-2-(-4)}=7$, ולכן $\tan\angle ABD=7$, $\angle ABD\approx81.87^\circ$.

שיפוע $BC$: $\frac{24-0}{8-(-4)}=2$, ולכן $\tan\angle CBD=2$, $\angle CBD\approx63.43^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב שיפוע כהפרש ה-$x$ חלקי הפרש ה-$y$: ל-$AB$ מתקבל $\frac27$ ו-$\angle ABD\approx15.95^\circ$.

$\angle ABC=\angle ABD-\angle CBD\approx81.87^\circ-63.43^\circ=18.43^\circ$.

$AB=\sqrt{200}$, $BC=\sqrt{12^2+24^2}=\sqrt{720}$.

בדיקה: המרחק מ-$B(-4,0)$ לישר $x-y+16=0$ הוא $\frac{|-4+16|}{\sqrt2}=\frac{12}{\sqrt2}$, ו-$\frac12\cdot\sqrt{200}\cdot\frac{12}{\sqrt2}=60$.

טעות נפוצה: להציב את $\angle ABD$ במקום $\angle ABC$ ולקבל $\frac12\cdot\sqrt{200}\cdot\sqrt{720}\cdot\sin81.87^\circ\approx188$.

$B(0,0)$ (המעגל עובר בראשית), $A(0,-6)$.

טעות נפוצה: להציב $y=0$ ולקבל $(x-4)^2=16$, כלומר $(0,0)$ ו-$(8,0)$ - נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$.

$\angle BAC=\angle BDC$ (היקפיות על הקשת $BC$) ו-$\angle AEB=\angle DEC$ (קודקודיות), ולכן $\triangle ABE\sim\triangle DCE$ ו-$AB$, $DC$ צלעות מתאימות.

$AB=6$. $CD$ הוא מיתר שהזווית ההיקפית $\alpha$ נשענת עליו, ולפי משפט הסינוסים במשולש $ACD$: $CD=2R\sin\alpha=10\sin\alpha$.

טעות נפוצה: לעצור ביחס הדמיון ולענות $\frac{3}{5\sin\alpha}$.

משולשים דומים חופפים כשיחס הדמיון הוא 1, כלומר $CD=AB=6$.

טעות נפוצה: לכתוב $CD=R\sin\alpha=5\sin\alpha$ ולקבל $\sin\alpha=\frac65$, ומכאן "אין זווית כזאת".

לפי סעיף ב: $\frac{S_{DCE}}{S_{ABE}}=\frac{25\sin^2\alpha}{9}$.

כדי שהיחס יהיה 4 צריך $\sin^2\alpha=\frac{36}{25}$, כלומר $\sin\alpha=\frac65>1$ - אין זווית כזאת.

במילים: $CD$ לא יכול להיות ארוך מהקוטר 10, ולכן $\frac{CD}{AB}\le\frac{10}{6}$ ויחס השטחים לכל היותר $\left(\frac{10}{6}\right)^2=\frac{25}{9}<4$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולפתור $\frac{9}{25\sin^2\alpha}=4$, כלומר $\sin\alpha=0.3$, $\alpha\approx17.46^\circ$ - זה המצב שבו $ABE$ גדול פי 4 מ-$DCE$, ולא להפך.

התחום: $x\ne0$. ליד $x=0$, $g(x)\to-\infty$: אסימפטוטה $x=0$. כש-$x\to\pm\infty$, $g(x)\to0$: אסימפטוטה $y=0$.

טעות נפוצה: לטעון שאין אסימפטוטה אופקית כי $g(x)\ne0$ לכל $x$, ולענות רק $x=0$.

כש-$x<0$: $g'(x)<0$ - ירידה. כש-$x>0$: $g'(x)>0$ - עלייה.

טעות נפוצה: להסתכל רק על המונה החיובי 2 ולקבוע שהפונקציה עולה לכל $x\ne0$.

$g(x)<0$ לכל $x\ne0$, $g$ זוגית, יורדת ב-$x<0$ ועולה ב-$x>0$, אסימפטוטות $x=0$, $y=0$.

טעות נפוצה: לסרטט את הענף הימני מעל ציר ה-$x$ (כמו בגרף של $-\frac1x$) - אבל $-\frac{1}{x^2}<0$ לכל $x$.

$f(x)=g(x+1)+3$: הזזה של $g$ ביחידה אחת שמאלה וב-3 יחידות למעלה. האסימפטוטות: $x=-1$, $y=3$; הגרף מתחת ל-$y=3$ ועובר בנקודה $(0,2)$.

טעות נפוצה: להזיז ימינה (כי כתוב $+1$) ולסרטט אסימפטוטה ב-$x=1$.

$x=0$ עוברת ל-$x=-1$, ו-$y=0$ עוברת ל-$y=3$. $g$ יורדת ב-$x<0$ ועולה ב-$x>0$, ולכן $f$ יורדת ב-$x<-1$ ועולה ב-$x>-1$.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-3 ולכתוב אסימפטוטה אופקית $y=0$.

$f(1)=3-\frac14=\frac{11}{4}$: נקודת ההשקה $\left(1,\frac{11}{4}\right)$.

טעות נפוצה: לשכוח שהמינוס שלפני השבר הופך את סימן הנגזרת, לכתוב $f'(x)=-\frac{2}{(x+1)^3}$ ולקבל $y=-\frac14x+3$.

השטח בין $x=0$ ל-$x=1$. כאן המשיק מעל הגרף (ב-$x=0$: המשיק $2.5$ ו-$f(0)=2$):

טעות נפוצה: לטעות בסימן הפונקציה הקדומה של $\frac{1}{(x+1)^2}$ ולכתוב $+\frac{1}{x+1}$; מתקבל $-\frac78$, ואחרי "תיקון" הסימן השטח $\frac78$.

טעות נפוצה: לכתוב $x-3=x-1$ (שורש משני האגפים בלי $\pm$) ולהסיק שאין חיתוך.

$f(x)-g(x)=8-4x$: חיובי ב-$x<2$ ושלילי ב-$x>2$. מפצלים ב-$x=2$:

טעות נפוצה: לא לפצל ולכתוב $S(k)=\int_0^k(8-4x)\,dx=8k-2k^2$ - ביטוי שנעשה שלילי כש-$k>4$, ולכן אינו יכול להיות שטח.

$k=0$ נפסל ($k>0$), ולכן $k=4$.

האינטגרל מתאפס כי החלק שבו $f$ עליונה (בין 0 ל-2) והחלק שבו $g$ עליונה (בין 2 ל-4) שווים בשטחם. לכן השטח הוא פעמיים 8:

טעות נפוצה: לענות שהשטח עבור $k=4$ הוא 0, כמו האינטגרל - שטח בין גרפים שונים אינו מתאפס; האינטגרל מתאפס כי החלקים מתקזזים.

$k=5$ או $k=-1$; $k=-1$ נפסל ($k>2$). לכן $k=5$.

טעות נפוצה: להשתמש באינטגרל במקום בשטח, $8k-2k^2=26$, כלומר $k^2-4k+13=0$, ולהסיק שאין $k$ כזה.

$OB=t$, ו-$BC=\frac{t}{3}$.

טעות נפוצה: לקרוא את היחס הפוך ($BC=3t$) ולקבל $OC=4t$.

הגובה לבסיס $OC$ הוא $AB=\frac{t-5}{t-9}$.