מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 14 מעל רמת בגרות

בכיתה א רוב הזמנים ארוכים, ולכן השיא של הגרף (השכיחויות הגבוהות) נמצא בצד ימין של ציר הזמן, והזמנים הקצרים המעטים יוצרים זנב ארוך לכיוון שמאל.

זה גרף 2 (התפלגות עם זנב שמאלי).

בכיתה ב ההתפלגות נורמלית: פעמון סימטרי עם שיא אחד באמצע - גרף 4.

טעות נפוצה: לחשוב ש"תלמידים איטיים" פירושו ערכים נמוכים ולבחור לכיתה א את גרף 1 - אבל איטי פירושו זמן ארוך, כלומר ערך גבוה על ציר ה-$x$.

רוב הזמנים קצרים - השיא של הגרף בצד שמאל של ציר הזמן.

מעט זמנים ארוכים - בצד ימין הגרף נמוך ומשתרע כזנב ארוך.

זה גרף 1 (התפלגות עם זנב ימני).

טעות נפוצה: לבחור בגרף 2 בגלל שהזנב שלו נמצא בצד של הזמנים הקצרים - הזנב מראה איפה יש מעט נתונים, לא איפה יש הרבה.

אם כל הזמנים נפוצים בערך באותה מידה, השכיחות כמעט קבועה לאורך כל התחום.

לכן הגרף הוא קו אופקי בגובה קבוע - גרף 3 (התפלגות אחידה).

טעות נפוצה: לבחור בגרף 4 בנימוק שהוא סימטרי - בגרף 4 הזמנים הבינוניים נפוצים הרבה יותר מהזמנים הקיצוניים.

ציון התקן של 15.2 הוא 0, ולכן $15.2-\mu=0$, כלומר $\mu=15.2$ שניות.

טעות נפוצה: לבלבל בין ציון תקן לבין הערך עצמו ולענות שהממוצע הוא 0 שניות.

העקומה הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן חצי מהזמנים קצרים מהממוצע וחצי ארוכים ממנו.

לכן החציון שווה לממוצע: 15.2 שניות.

טעות נפוצה: לחשוב שהחציון הוא "האמצע" של הממוצע, כלומר אמצע הקטע מ-0 עד 15.2, ולענות $15.2:2=7.6$ שניות - החציון הוא הערך שחצי מהזמנים קצרים ממנו, ובהתפלגות נורמלית הוא שווה לממוצע.

סכום ארבע ההוצאות שווה ל-4 כפול הממוצע:

טעות נפוצה: להציב $k=3800$ "כי זה הממוצע" - אז הממוצע של ארבע ההוצאות יוצא $\frac{15500}{4}=3875$, ולא 3,800; הנעלם נקבע מהסכום של כל ארבע ההוצאות.

$\bar x=\frac{1+2+4+5}{4}=3$, $\bar y=3800$.

הסטיות: ב-$x$: $-2,-1,1,2$; ב-$y$: $-800,-300,300,800$.

טעות נפוצה: לחלק את סכום ריבועי הסטיות של $y$ ב-3 ולא ב-4 ($S_y^2\approx486667$), ולקבל $r\approx0.861$ - בשאלון זה סטיית התקן מחושבת בחלוקה ב-$n$.

טעות נפוצה: להעביר את הישר דרך הנקודה הראשונה $(1,3000)$ במקום דרך נקודת הממוצעים ולקבל $\hat y=380x+2620$.

הכפלה ב-1.1: כל הסטיות של $y$ מוכפלות ב-1.1, ולכן $\text{cov}$ מוכפל ב-1.1 ו-$S_y$ מוכפלת ב-1.1. הפחתת 100 מזיזה רק את הממוצע ואינה משנה סטיות.

השיפוע החדש: $b'=\frac{1.1\,\text{cov}}{S_x^2}=1.1\cdot380=418$.

הממוצע החדש: $\bar y'=1.1\cdot3800-100=4080$, ו-$\bar x=3$ לא השתנה:

(באותה תוצאה: $\hat y'=1.1(380x+2660)-100$.)

מקדם המתאם: המונה והמכנה מוכפלים שניהם ב-1.1, ולכן $r'=r\approx0.9945$.

טעות נפוצה: להפחית את 100 גם מהשיפוע או לא להכפיל את החותך, ולכתוב $\hat y'=418x+2560$ (רק $2660-100$) - החותך הוא ערך של $y$, ולכן גם הוא מוכפל ב-1.1 לפני ההפחתה.

"60% מתוך העובדים מהבית" היא הסתברות מותנית: $P(\text{מרוצה}\mid\text{בית})=0.6$.

טעות נפוצה: לענות 0.6 - זו ההסתברות להיות מרוצה רק מתוך העובדים מהבית.

הנתון "75% מבין המרוצים עובדים במשרד" מותנה בקבוצת המרוצים: $P(\text{משרד}\mid\text{מרוצה})=0.75$, ולכן $P(\text{בית}\mid\text{מרוצה})=0.25$.

החיתוך "בית וגם מרוצה" (סעיף א) הוא 25% מכלל המרוצים:

72% מהעובדים מרוצים מהאיזון.

טעות נפוצה: לקרוא את הנתון כ"75% מעובדי המשרד מרוצים": $0.18+0.7\cdot0.75=0.705$, ולענות 70.5%.

התנאי הוא "לא מרוצה": $P(\text{לא מרוצה})=1-0.72=0.28$.

העובדים מהבית שאינם מרוצים: $P(\text{בית}\cap\text{לא מרוצה})=0.3-0.18=0.12$.

טעות נפוצה: להפוך את כיוון ההתניה ולחשב $P(\text{לא מרוצה}\mid\text{בית})=1-0.6=0.4$.

משווים שתי הסתברויות מותנות: מרוצה בתוך העובדים מהבית, ומרוצה בתוך עובדי המשרד.

נועה: $P(\text{מרוצה}\mid\text{בית})=0.6$ (נתון).

עומר: עובדי המשרד המרוצים הם $0.72-0.18=0.54$, ועובדי המשרד הם 0.7 מכלל העובדים:

$0.771>0.6$, ולכן ההסתברות של עומר גדולה יותר.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-0.7 ולהשוות את החיתוך $0.54$ ל-$0.6$ - ואז לענות שההסתברות של נועה גדולה יותר.

השיפוע של $BC$: $m_{BC}=\frac{0-6}{c-4}=-\frac{6}{c-4}$.

$OD\perp BC$, ולכן $m_{OD}=\frac{c-4}{6}$, ו-$OD$ עובר בראשית:

טעות נפוצה: לחשב את שיפוע $BC$ כ-$\frac{c-4}{-6}$ (הפרש ה-$x$ במונה) ולקבל $y=\frac{6}{c-4}x$.

$\angle BEC=\angle ODC=90^\circ$ והזווית $C$ משותפת, ולכן $\triangle BEC\sim\triangle ODC$, והיתר $BC$ מתאים ליתר $OC$.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: להתאים את $BC$ לניצב $OD$ במקום ליתר $OC$, ולכתוב יחס עם $OD$ - בדמיון צלע מתאימה היא זו שמול הזווית המתאימה, והיתר מול הזווית הישרה.

$c=6$ או $c=-78$. $C$ על החלק החיובי של ציר ה-$x$, ולכן $c=6$.

טעות נפוצה: לקחת את 0.9 כיחס הצלעות ולפתור $\frac{c}{\sqrt{(c-4)^2+36}}=0.9$, כלומר $c^2=0.81\left((c-4)^2+36\right)$ - מקבלים $c\approx5.59$.

משולשים דומים חופפים כשיחס הדמיון הוא 1, כלומר $OC=BC$ (היתרים המתאימים שווים):

אז $CO=CB=6.5$, ולכן המשולש $OBC$ שווה שוקיים שקודקודו $C$ (ובו הגבהים לשוקיים שווים: $OD=BE=6$).

טעות נפוצה: לדרוש $OB=BC$ (שוקיים שקודקודן $B$), כלומר $E$ באמצע $OC$, ולקבל $c=8$ - אבל בחפיפה היתר $BC$ מתאים ליתר $OC$, ולכן אלה הצלעות שצריכות להיות שוות.

טעות נפוצה: לחבר את ההפרשים במקום את ריבועיהם, $5+12=17$.

$BC\parallel$ ציר ה-$x$: $y_C=13$. $CB=AB=13$, ולכן $x_C=\pm13$.

$C$ ברביע השני: $C(-13,13)$.

טעות נפוצה: לבחור $C(13,13)$ - נקודה ברביע הראשון.

$m_{AC}=\frac{13-1}{-13-(-5)}=\frac{12}{-8}=-\frac32$.

האלכסון הראשי מאונך ל-$AC$: $m_{DB}=\frac23$.

דרך $B(0,13)$: $y=\frac23x+13$.

טעות נפוצה: להשתמש בשיפוע $AC$ ולקבל $y=-\frac32x+13$.

$y=-\frac15\cdot(-15)=3$. $D(-15,3)$.

טעות נפוצה: לאבד את סימן המינוס ($\frac{13}{15}x=13$) ולקבל $D(15,-3)$.

$\angle ADM$ היא הזווית בין $DA$ ל-$DB$ בנקודה $D$.

$DB$ עולה מ-$D$ ימינה: $\tan\alpha=\frac23$, $\alpha\approx33.69^\circ$ מעל הכיוון החיובי של ציר ה-$x$.

$DA$ יורד מ-$D$ ימינה (שיפוע $-\frac15$): הוא נוטה $\tan^{-1}\frac15\approx11.31^\circ$ מתחת לכיוון החיובי של ציר ה-$x$.

הזוויות נמצאות משני צידי הכיוון האופקי, ולכן מחברים:

טעות נפוצה: להחסיר את הזוויות כמו כששני הישרים עולים ($33.69^\circ-11.31^\circ\approx22.38^\circ$), בלי לשים לב שהשיפוע של $AD$ שלילי.

$AE$ תיכון במשולש $ADC$, ולכן $S_{ADE}=\frac12S_{ADC}$.

$M$ אמצע $AC$: $M(-9,7)$, ו-$DM$ גובה לבסיס $AC$.

טעות נפוצה: לענות 52 - שטח המשולש $ADC$ כולו.

קיצון יש כשהמונה מתאפס ומחליף סימן בתוך התחום, כלומר כשלמשוואה $x^2+2x-a=0$ יש שני פתרונות שונים: $4+4a>0$, כלומר $a>-1$.

(ב-$a=-1$: $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}=x-1$ עבור $x\ne-1$ - ישר בלי קיצון. ב-$a<-1$ המונה חיובי תמיד והפונקציה עולה בכל קטע.)

טעות נפוצה: לכלול את $a=-1$ ($a\ge-1$) - שם הפונקציה היא ישר עם "חור", ואין לה קיצון.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בנוסחת השורשים ולכתוב $x=-2\pm\sqrt{4+4a}$.

בנקודת קיצון המונה של $f'$ מתאפס: $2x(x+1)=x^2+a$. לכן בנקודה כזו:

שיעורי ה-$y$ הם $2x_1$ ו-$2x_2$, וההפרש ביניהם $2\cdot(x_1-x_2)=2\cdot2\sqrt{1+a}=4\sqrt{1+a}$.

בדיקה: $f(x)=\frac{x^2+15}{x+1}$, קיצון ב-$x=3$ ($f=6$) וב-$x=-5$ ($f=-10$); ההפרש 16.

טעות נפוצה: להשוות ל-16 את ההפרש בין שיעורי ה-$x$, $2\sqrt{1+a}=16$, ולקבל $a=63$.

טבלת הסימנים של $f'$ (מונה $(x-3)(x+5)$, מכנה חיובי): עולה ב-$x<-5$, יורדת ב-$-5<x<-1$ וב-$-1<x<3$, עולה ב-$x>3$.

מקסימום $(-5,-10)$ ומינימום $(3,6)$.

בענף השמאלי ($x<-1$) הפונקציה מקבלת את כל הערכים $y\le-10$; בענף הימני ($x>-1$) את כל הערכים $y\ge6$.

לכן אין פתרון בדיוק כש-$-10<m<6$.

טעות נפוצה: לכלול את הקצוות ולענות $-10\le m\le6$ - עבור $m=-10$ ו-$m=6$ יש פתרון אחד (בנקודות הקיצון).

טעות נפוצה: לכתוב $x>4$ - ב-$x=4$ השורש שווה 0 ומוגדר.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש, $(a-12)\cdot16=-8$, ולקבל $a=11.5$.

$(10-x)\sqrt{2x-8}=0$: $x=10$, או $\sqrt{2x-8}=0$, כלומר $x=4$.

הנקודות $(4,0)$ ו-$(10,0)$.

טעות נפוצה: לענות רק $(10,0)$ ולשכוח שהשורש מתאפס בקצה התחום.

$\left(\sqrt{2x-8}\right)'=\frac{2}{2\sqrt{2x-8}}=\frac{1}{\sqrt{2x-8}}$ (כלל השרשרת).

$f'=0$ כאשר $x=6$; $f'>0$ עבור $4<x<6$, ו-$f'<0$ עבור $x>6$.

$f(6)=4\cdot\sqrt4=8$: מקסימום $(6,8)$. בקצה $x=4$: $f(4)=0$ והפונקציה עולה אחריו - מינימום $(4,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם 2 של כלל השרשרת ($\frac{1}{2\sqrt{2x-8}}$), לקבל $f'=\frac{26-5x}{2\sqrt{2x-8}}$ ומקסימום שגוי $(5.2,\ 7.44)$.

הגרף מתחיל ב-$(4,0)$, עולה עד המקסימום $(6,8)$, יורד וחוצה את ציר ה-$x$ ב-$(10,0)$, ועבור $x>10$ שלילי וממשיך לרדת (למשל $f(12)=-8$).

טעות נפוצה: לצייר את הגרף כ"כיפה" שחוזרת לציר ב-$(10,0)$ ונעצרת. הפונקציה מוגדרת גם עבור $x>10$, ושם היא שלילית.

$f$ עולה עבור $4<x<6$ ויורדת עבור $x>6$: $f'$ חיובית ואחר כך שלילית, עם אפס אחד.

כאשר $x\to4^+$ המונה שואף ל-6 והמכנה ל-$0^+$, ולכן $f'\to+\infty$ - אסימפטוטה אנכית בקצה התחום.

גרף I מתחיל ב-0, עולה ויורד - זה $f$ עצמה. גרף II שלילי ליד הקצה. גרף IV מתחיל בערך סופי. נשאר גרף III: יורד מ-$+\infty$, חותך את הציר פעם אחת ונשאר שלילי.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I, שנראה כמו הסקיצה מסעיף ה - זה הגרף של הפונקציה, לא של הנגזרת.

הנגזרת מתאפסת ב-$x=6$; בתחום $6\le x\le22$ היא שלילית.

השטח: 80.

טעות נפוצה: לחשב מ-4 עד 22, $f(22)-f(4)=-72$, ולענות 72 - החלק החיובי שבין 4 ל-6 מקזז, והוא אינו חלק מהתחום שמוגבל על ידי $x=22$.

במשולש $KFC$ (ישר זווית ב-$F$): $FK=\sqrt{a^2-x^2}$. $K$ בין $E$ ל-$F$, ולכן $FK>0$, כלומר $0<x<a$.

$BC=2x$, $AB=EF=a+\sqrt{a^2-x^2}$:

טעות נפוצה: לכתוב $AB=\sqrt{a^2-x^2}$ (בלי $EK$) ולקבל $P(x)=4x+2\sqrt{a^2-x^2}$.

$P'>0$ משמאל לנקודה ו-$P'<0$ מימינה (למשל $P'\to-\infty$ כש-$x\to a$) - מקסימום.

$BC=2x=\frac{4a}{\sqrt5}$. $\sqrt{a^2-x^2}=\frac{a}{\sqrt5}$, ולכן:

טעות נפוצה: לענות $BC=\frac{2a}{\sqrt5}$ - זה $FC$.

עבור $a=3$: $P(x)=4x+6+2\sqrt{9-x^2}$ ב-$0<x<3$.

$P$ עולה מ-$P(0)=12$ (לא כולל) עד המקסימום $6+6\sqrt5\approx19.42$ ב-$x=\frac{6}{\sqrt5}$, ואחר כך יורדת עד $P(3)=18$ (לא כולל).

ערך $p$ מתקבל פעמיים - פעם בעלייה ופעם בירידה - רק אם הוא בטווח הירידה, שבין 18 למקסימום:

(עבור $12<p\le18$ יש מלבן אחד, ועבור $p=6+6\sqrt5$ - אחד.)

טעות נפוצה: להשוות רק לערך ב-$x\to0$ ולענות $12<p<6+6\sqrt5$ - בירידה הפונקציה לא חוזרת עד 12, אלא נעצרת ב-18.