מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך - שאלון 471

כל ההסתברויות כאן הן חלק מכלל משתתפי הסקר, ולכן הן מתייחסות זו לזו כמו מספרי התלמידים.

מספר הבנות שאינן עוסקות בספורט גדול פי 4 ממספר הבנים שאינם עוסקים בספורט, ולכן:

טעות נפוצה: להפוך את כיוון היחס ("פי 4") ולכתוב $\frac{x}{4}$ - אבל הבנות שאינן עוסקות הן הקבוצה הגדולה.

התלמידים שאינם עוסקים בספורט הם הבנים שאינם עוסקים והבנות שאינן עוסקות - שתי קבוצות זרות, ולכן מחברים:

טעות נפוצה: לענות $1-x$, כאילו "לא עוסק בספורט" הוא המשלים של "בן שלא עוסק בספורט". המשלים של המאורע הזה כולל גם את כל העוסקים בספורט.

הבנים הם $100\%-60\%=40\%$ מהמשתתפים.

מספר הבנים שעוסקים בספורט שווה למספר הבנות שאינן עוסקות, ולכן ההסתברות לבחור בן שעוסק בספורט היא $4x$.

הבנים מתחלקים לעוסקים ולא עוסקים:

טעות נפוצה: להשוות את $5x$ לאחוז הבנות ($5x=0.6$) ולקבל $x=0.12$.

הבנות הן 0.6 מהמשתתפים, ומהן בנות שאינן עוסקות בספורט: $4x=4\cdot0.08=0.32$.

הטבלה הדו-ממדית המלאה:

טעות נפוצה: לחשב את ההסתברות לבחור תלמיד/ה שעוסק/ת בספורט, $1-5x=0.6$, ולשכוח שמבקשים רק את הבנות.

בוחרים רק מבין הבנות, ולכן זו הסתברות מותנית - מחלקים בהסתברות של "בת":

טעות נפוצה: לענות $0.32$ - זו ההסתברות לבחור מבין כל המשתתפים בת שלא עוסקת בספורט, ולא מבין הבנות בלבד.

מועמד עבר אם ציונו 75 ומעלה. ציון התקן של 75 במבחן הראשון:

הטבלה נותנת את ההסתברות לציון נמוך מ-75: $\Phi(0.5)=0.6915$. מבקשים את ההסתברות לציון גבוה מ-75 - המשלים:

טעות נפוצה: לענות $0.6915$ - הערך מהטבלה הוא ההסתברות לציון נמוך מ-75, כלומר להיכשל.

ציון התקן של 75 במבחן השני:

ציון התקן שלילי: 75 נמוך מהממוצע, ולכן יותר ממחצית הנבחנים עברו.

טעות נפוצה: לאבד את הסימן ולחשב עם $z=0.33$: $1-0.6293=0.3707$ - פחות ממחצית, אף שציון המעבר נמוך מהממוצע.

המועמד נבחן במבחן הראשון בהסתברות 0.8 ובמבחן השני בהסתברות 0.2. בעץ ההסתברויות שני מסלולים זרים מובילים ל"עבר":

טעות נפוצה: לחשב ממוצע פשוט של שתי ההסתברויות, $\frac{0.3085+0.6293}{2}\approx0.4689$, ולהתעלם מכך שרוב המועמדים נבחנו במבחן הראשון.

הזווית $CBA$ היא זווית היקפית שקודקודה $B$ על המעגל, והיא נשענת על הקוטר $AC$.

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה, ולכן $\sphericalangle CBA=90^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב את הזווית בין הישר $AB$ (שיפוע 1) לקוטר (שיפוע $\frac23$) ולקבל כ-$11.31^\circ$ - זו הזווית $BAC$, שקודקודה $A$ ולא $B$.

לפי סעיף א, $BC\perp AB$.

הישר עובר דרך $B(3,4)$:

טעות נפוצה: להעביר דרך $B$ ישר המאונך לקוטר $AC$ (שיפוע $-\frac32$) ולקבל $y=-1.5x+8.5$. הצלע $BC$ מאונכת ל-$AB$, לא ל-$AC$.

קודם מוצאים את $C$: היא על הצלע $BC$ ועל הקוטר. מציבים $y=-x+7$ במשוואת הקוטר:

$C(3.4,\,3.6)$. מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר $AC$:

טעות נפוצה: לקחת את אמצע הצלע $AB$ ולקבל $(2,3)$. המרכז הוא אמצע הקוטר, כלומר של היתר $AC$.

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לנקודה $A$:

בדיקה: $B(3,4)$: $0.8^2+1.2^2=0.64+1.44=2.08$.

טעות נפוצה: לקחת כרדיוס את אורך הקוטר $AC$: $R^2=AC^2=2.4^2+1.6^2=8.32$, ולכתוב $(x-2.2)^2+(y-2.8)^2=8.32$.

שטח העיגול: $\pi R^2=2.08\pi$.

המשולש ישר זווית ב-$B$, ולכן שטחו הוא חצי מכפלת הניצבים:

טעות נפוצה: לשכוח את החצי בשטח המשולש ($S=1.6$) ולקבל $1.3\pi\approx4.08$.

במשולש $ABC$: $AB=CB$, ולכן זוויות הבסיס שוות: $\sphericalangle BAC=\sphericalangle BCA$.

במשולש $AEC$: $AE=AC$, ולכן $\sphericalangle AEC=\sphericalangle ACE$.

$\sphericalangle ACE$ ו-$\sphericalangle BCA$ הן אותה זווית ($E$ על $BC$), ולכן $\sphericalangle AEC=\sphericalangle BCA=\sphericalangle BAC$.

במשולשים $ABC$ ו-$EAC$:

$\sphericalangle BAC=\sphericalangle AEC$ (הוכח), $\sphericalangle BCA=\sphericalangle ACE$ (זווית משותפת).

לכן $\triangle ABC\sim\triangle EAC$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר $\triangle ABC\sim\triangle ACE$ - אז $B$ מותאם ל-$C$, ובסעיף ב היחס $\frac{BC}{CE}=\frac{AB}{AC}$ נותן $EC=15$ ו-$BE=5$ (במקום $11.25$ ו-$8.75$).

מהדמיון (סדר הקודקודים $ABC\leftrightarrow EAC$):

$AE=AC=15$ ו-$BC=AB=20$:

טעות נפוצה: לפתור נכון את $\frac{20}{15}=\frac{15}{x}$ אבל לייחס את $x$ ל-$BE$, ולענות $BE=11.25$, $EC=8.75$.

מהדמיון, $\sphericalangle EAC$ מתאימה ל-$\sphericalangle ABC$ ($A\leftrightarrow B$), ולכן $\sphericalangle EAC=\sphericalangle ABC$.

במשולש שווה השוקיים $ABC$ הגובה מ-$B$ לבסיס $AC$ הוא גם תיכון, ולכן הוא מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זווית שבהם $\frac{AC}{2}=7.5$ ניצב ו-$BC=20$ יתר:

לכן $\sphericalangle EAC\approx44.05^\circ$.

טעות נפוצה: לענות $67.98^\circ$ - זו זווית הבסיס $\sphericalangle ACE$. במשולש $AEC$ שתי זוויות הבסיס הן ב-$E$ וב-$C$, והזווית $EAC$ היא זווית הראש.

במשולשים דומים היחס בין קטעים מתאימים - גם רדיוסי המעגלים החוסמים - שווה ליחס הדמיון:

(אפשר גם לפי משפט הסינוסים: $2R_{ABC}=\frac{AC}{\sin B}$ ו-$2R_{AEC}=\frac{EC}{\sin\sphericalangle EAC}=\frac{EC}{\sin B}$, ולכן היחס $\frac{AC}{EC}=\frac{15}{11.25}=\frac43$.)

טעות נפוצה: להעלות את יחס הדמיון בריבוע ולענות $\frac{16}{9}$ - זה יחס השטחים, לא יחס הרדיוסים.

גוזרים איבר איבר ($a$ קבוע):

מציבים $x=1$:

טעות נפוצה: לגזור את $-ax^2$ כ-$-2x$ (לשכוח את המקדם $a$): $3-2+4a-12=-3$, ומתקבל $a=2$.

עבור $a=3$ המקדם של $x^4$ מתאפס, ו-$f(x)=x^3-3x^2$.

$f'(x)=0$ ב-$x=0$ וב-$x=2$. טבלת סימנים:

עלייה: $x<0$ או $x>2$. ירידה: $0<x<2$.

טעות נפוצה: לחלק את $3x^2=6x$ ב-$x$ ולקבל רק $x=2$ - ואז לכתוב "ירידה ב-$x<2$, עלייה ב-$x>2$" ולאבד את $x=0$.

מטבלת הסימנים: ב-$x=0$ הפונקציה עוברת מעלייה לירידה - מקסימום; ב-$x=2$ מירידה לעלייה - מינימום.

מקסימום $(0,0)$, מינימום $(2,-4)$.

טעות נפוצה: לקבוע את הסוג בלי טבלה, לפי "הנקודה הנמוכה והגבוהה" של $x$, ולכתוב מינימום ב-$(0,0)$ ומקסימום ב-$(2,-4)$.

נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$: $x^3-3x^2=x^2(x-3)=0$, ולכן $x=0$ ו-$x=3$.

מרכזים: מקסימום $(0,0)$, מינימום $(2,-4)$, חיתוך ב-$(3,0)$; כש-$x\to-\infty$ הפונקציה שואפת ל-$-\infty$, וכש-$x\to\infty$ ל-$\infty$.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ בראשית - ב-$x=0$ יש שורש כפול ומקסימום, והגרף רק נוגע בציר.

הגרף של $-f(x)$ הוא שיקוף של הגרף של $f(x)$ ביחס לציר ה-$x$: שיעורי ה-$x$ נשארים, שיעורי ה-$y$ מחליפים סימן, ומקסימום הופך למינימום.

מינימום $(0,0)$, מקסימום $(2,4)$, אותן נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לשקף ביחס לציר ה-$y$ (זה הגרף של $f(-x)$) ולסרטט מינימום ב-$(-2,-4)$.

הגרפים נפגשים כש-$f(x)=-f(x)$, כלומר $f(x)=0$: ב-$x=0$ וב-$x=3$.

בין 0 ל-3 $f(x)\le0$, ולכן $-f(x)$ הוא הגרף העליון:

טעות נפוצה: לחשב רק את השטח בין $f$ לציר ה-$x$, $\int_0^3(3x^2-x^3)dx=6.75$, ולשכוח שהשטח בין שני הגרפים כולל גם את החלק שמעל הציר.

גוזרים בכלל המנה:

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת: $f'(1)=0$, כלומר המונה מתאפס ב-$x=1$:

(ב-$x=1$ המכנה $(1-2)^2=1\ne0$, כך שהפונקציה מוגדרת שם.)

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר במונה של כלל המנה, $(2x-4)(x+b)+(x^2-4x+5)$, ולקבל ב-$x=1$ את המשוואה $-2b=0$, כלומר $b=0$.

עבור $b=-2$: $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$. המכנה מתאפס ב-$x=2$, והמונה שם $4-8+5=1\ne0$, ולכן יש אסימפטוטה אנכית: $x=2$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולכתוב $x=-2$ ("$x=b$") - האסימפטוטה היא באפס המכנה $x+b=0$, כלומר $x=-b=2$.

עבור $b=-2$:

המכנה חיובי לכל $x\ne2$, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $(x-1)(x-3)$: חיובי מחוץ לשורשים.

$f'(x)>0$ עבור $x<1$ או $x>3$.

טעות נפוצה: לקחת את התחום שבין השורשים ולענות $1<x<3$ ($x\ne2$) - שם הפרבולה $(x-1)(x-3)$ שלילית.

המונה $x^2-4x+5$ חיובי תמיד (הדיסקרימיננטה $16-20<0$), ולכן הסימן של $f$ הוא הסימן של $x-2$: $f(x)>0$ עבור $x>2$.

צריך את החיתוך של $x>2$ עם $\{x<1$ או $x>3\}$:

טעות נפוצה: לקחת איחוד במקום חיתוך ("וגם") ולענות $x<1$ או $x>2$.

$g(x)=f(x)-2$ (עבור $b=-2$), ולכן הגרף של $g$ הוא הגרף של $f$ מוזז 2 יחידות למטה. שיעורי ה-$x$ וסוג הקיצון נשמרים, ושיעורי ה-$y$ קטנים ב-2.

נקודות הקיצון של $f$: ב-$x=1$, $f(1)=\frac{2}{-1}=-2$, והסרטוט מראה שזו נקודת מקסימום (בענף השמאלי); ב-$(3,2)$ - מינימום (בענף הימני).

לכן ל-$g$: מקסימום $(1,-4)$, מינימום $(3,0)$.

טעות נפוצה: להזיז למעלה במקום למטה ולענות מקסימום $(1,0)$ ומינימום $(3,4)$.

$O$ מרכז המעגל ו-$E$ על המעגל, ולכן $OE=10$ (רדיוס).

המשולש $ODE$ ישר זווית ב-$D$ ($ED\perp AB$), ולפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לכתוב $ED=10-x$, כאילו $ED$ הוא הפרש בין הרדיוס ל-$OD$ - הקטעים אינם על אותו ישר.

$AD=AO+OD=10+x$, ולכן שטח המשולש (חצי מכפלת הניצבים):

גוזרים (נגזרת מכפלה, ונגזרת השורש בכלל השרשרת):

$S'(x)=0$ ב-$x=5$ ($x=-10$ מחוץ לתחום).

$S'>0$ ב-$0<x<5$ ו-$S'<0$ ב-$5<x<10$, ולכן ב-$x=5$ יש מקסימום.

$OD=5$ ס"מ (והשטח המקסימלי $\frac12\cdot15\cdot\sqrt{75}=37.5\sqrt3\approx64.95$ סמ"ר).

טעות נפוצה: למקסם את שטח המשולש $OED$ במקום $AED$, $S=\frac12x\sqrt{100-x^2}$, ולקבל $x=\sqrt{50}\approx7.07$.