בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2020 מועד א'

בונים עץ: בשלב הראשון חולה (0.2) או בריא (0.8); בשלב השני - אובחן כחולה או לא.

מהחולים 90% אובחנו כחולים, כלומר על הענף "חולה" ההסתברות לאבחנה "חולה" היא 0.9.

"חולה וגם אובחן כחולה" הוא מסלול אחד בעץ, ולכן מכפילים לאורכו:

טעות נפוצה: לענות 0.9 - זו ההסתברות שחולה יאובחן כחולה (הסתברות בתוך קבוצת החולים), לא ההסתברות שתושב כלשהו הוא חולה וגם אובחן.

יש שני מסלולים זרים שבהם תושב אובחן כחולה: חולה שאובחן כחולה, ובריא שאובחן כחולה.

כלומר 26% מהתושבים אובחנו כחולים.

טעות נפוצה: להוסיף את ה-10% של הבריאים בלי להכפיל ב-0.8: $0.18+0.1=0.28$, כלומר 28% - ה-10% הם מתוך הבריאים בלבד, לא מכל התושבים.

אבחנה שגויה קורית בשני מסלולים: חולה שאובחן כבריא, ובריא שאובחן כחולה.

מהחולים 90% אובחנו כחולים, ולכן 10% מהחולים אובחנו כבריאים (מאורע משלים).

כלומר 10% מהתושבים.

טעות נפוצה: לספור רק את הבריאים שאובחנו כחולים ($0.8\cdot0.1=0.08$, כלומר 8%) - גם חולה שאובחן כבריא הוא אבחנה שגויה.

$C$ היא נקודת החיתוך של הישר $BC$ עם ציר ה-$x$, ולכן מציבים $y=0$:

$C(10,0)$, ו-$O$ בראשית, ולכן $OC=10$.

טעות נפוצה: לקחת את 20 (נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$) ולענות $OC=20$.

$OD$ גובה לצלע $BC$, ולכן $OD\perp BC$ ומכפלת השיפועים היא $-1$:

$OD$ עובר בראשית הצירים, ולכן $y=\frac12x$.

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן ולקבל $y=-\frac12x$ - ישר שאינו מאונך ל-$BC$.

הזווית $DOC$ היא הזווית בין הישר $OD$ לציר ה-$x$, והטנגנס שלה שווה לשיפוע של $OD$:

במשולש $ODC$ הזווית $D$ ישרה, ולכן $\angle DCO=90^\circ-26.565^\circ=63.435^\circ$.

(בדיקה: הזווית החדה בין $BC$ לציר ה-$x$ מקיימת $\tan\alpha=|-2|=2$, כלומר $63.435^\circ$.)

טעות נפוצה: לקחת את זווית הנטייה של $BC$, $180^\circ-63.435^\circ=116.565^\circ$, כזווית $C$ של המשולש - זו הזווית החיצונית, והזווית במשולש היא המשלימה שלה.

$BE$ גובה לצלע $OC$, ולכן $\angle BEC=90^\circ$. $OD$ גובה לצלע $BC$, ולכן $\angle ODC=90^\circ$.

הזווית $C$ משותפת לשני המשולשים: $\angle BCE=\angle OCD$.

שתי זוויות שוות, ולכן $\triangle BEC\sim\triangle ODC$ (ז.ז.), בהתאמה $B\leftrightarrow O$, $E\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר $\triangle BEC\sim\triangle DOC$ - כך הזווית הישרה $E$ מותאמת לזווית החדה $O$, והיתר $BC$ מותאם לניצב $DC$; בסעיף ד מתקבל אז $BC=\sqrt{0.8}\cdot DC=4$ במקום $4\sqrt5$.

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון, ולכן יחס הדמיון הוא:

בהתאמה מסעיף ג, היתר $BC$ במשולש $BEC$ מתאים ליתר $OC$ במשולש $ODC$:

טעות נפוצה: להשתמש ב-0.8 כיחס הצלעות ולקבל $BC=0.8\cdot10=8$ - 0.8 הוא יחס השטחים, ויחס הצלעות הוא השורש שלו.

$B$ על הישר $BC$, ולכן $B(x,-2x+20)$. המרחק שלה מ-$C(10,0)$ הוא $4\sqrt5$:

$x=6$ או $x=14$. $B$ מעל ציר ה-$x$ (בסרטוט), ובנקודה $x=14$ מתקבל $y=-8$, ולכן $x=6$ ו-$B(6,8)$.

הבסיס $OC=10$, והגובה $BE$ הוא שיעור ה-$y$ של $B$, כלומר 8:

טעות נפוצה: לקחת כגובה את שיעור ה-$x$ של $B$ (6) ולקבל $\frac{10\cdot6}{2}=30$ - הגובה לציר ה-$x$ הוא שיעור ה-$y$.

$AB=BC$ (נתון), ובמעגל מיתרים שווים נשענים על זוויות מרכזיות שוות.

הזווית המרכזית הנשענת על $AB$ היא $\angle AMB$, וזו הנשענת על $BC$ היא $\angle BMC$, ולכן $\angle AMB=\angle BMC$.

(אפשר גם: $MA=MB=MC$ רדיוסים ו-$AB=BC$, ולכן $\triangle AMB\cong\triangle CMB$ לפי צ.צ.צ.)

מכאן ש-$MB$ חוצה את הזווית $AMC$.

טעות נפוצה: להסיק מ-$AB=BC$ ש-$\angle BAC=\angle BCA$ ולעצור - אלה זוויות היקפיות במשולש $ABC$, ומהן לא נובע דבר על הזוויות ב-$M$; צריך את המשולשים $AMB$ ו-$CMB$ (או את משפט המיתרים והזוויות המרכזיות).

ישר המקביל לציר ה-$x$ הוא ישר אופקי, $y=\text{קבוע}$.

הוא עובר דרך $C(4,-2)$, ולכן $y=-2$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=4$ - זה ישר המקביל לציר ה-$y$.

$B$ היא נקודת החיתוך השנייה של הישר $y=-2$ עם המעגל. מציבים:

$x=4$ היא הנקודה $C$, ולכן $x=2$ ו-$B(2,-2)$.

הישר אופקי, ולכן $BC=4-2=2$.

טעות נפוצה: לכתוב רק $x-3=1$ (בלי $\pm$), לקבל רק את $x=4$ - שהיא $C$ עצמה - ולהסיק בטעות שהישר משיק למעגל ואין נקודה $B$.

במשולש $MBC$: $MB=MC=\sqrt{10}$ (רדיוסים) ו-$BC=2$. האנך מ-$M$ ל-$BC$ חוצה את המיתר ואת הזווית המרכזית $BMC$.

$\angle BAC$ היא זווית היקפית הנשענת על הקשת $BC$, ולכן היא מחצית הזווית המרכזית $BMC$:

טעות נפוצה: לענות $\angle BAC=\angle BMC\approx36.87^\circ$ - הזווית ההיקפית היא מחצית הזווית המרכזית, לא שווה לה.

במשולש שווה השוקיים $AMC$ ($MA=MC$), $MB$ חוצה את זווית הראש (סעיף א), ולכן הוא גם אנך ל-$AC$ וחוצה אותו. נסמן ב-$N$ את נקודת המפגש של $MB$ ו-$AC$.

לשני המשולשים בסיס משותף $AC$, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הגבהים $MN$ ו-$BN$.

במשולש $BNC$ ($\angle N=90^\circ$): $BN=BC\cdot\cos\angle MBC$, ובמשולש שווה השוקיים $MBC$: $\cos\angle MBC=\frac{BC/2}{MB}=\frac{1}{\sqrt{10}}$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה של $AMC$ את כל הרדיוס $MB$ במקום $MN$ ולקבל $\frac{\sqrt{10}}{2/\sqrt{10}}=5$.

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי:

טעות נפוצה: לכתוב $x>-2$ - השורש של 0 מוגדר, ולכן $x=-2$ שייך לתחום.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $x\sqrt{x+2}=0$. מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0: $x=0$ או $\sqrt{x+2}=0$, כלומר $x=-2$.

שני הערכים בתחום, ולכן הנקודות $(0,0)$ ו-$(-2,0)$.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=0$ - אותה נקודה $(0,0)$.

טעות נפוצה: למצוא רק את $(0,0)$ ולשכוח שגם השורש מתאפס ב-$x=-2$.

גוזרים לפי כלל המכפלה:

$f'(x)=0$ כשהמונה מתאפס: $x=-\frac43$. ($f'$ אינה מוגדרת ב-$x=-2$, קצה התחום.)

טבלת סימנים: ב-$-2<x<-\frac43$ (למשל $x=-1.5$) $f'<0$ - יורדת; ב-$x>-\frac43$ (למשל $x=0$) $f'>0$ - עולה.

לכן $\left(-\frac43,-1.089\right)$ מינימום. בקצה התחום $x=-2$ הפונקציה מתחילה ב-$f(-2)=0$ ויורדת, ולכן $(-2,0)$ מקסימום (קיצון קצה).

טעות נפוצה: לגזור את המכפלה כמכפלת הנגזרות, $f'=1\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$, שאינה מתאפסת, ולהסיק שאין לפונקציה נקודות קיצון.

מסמנים את מה שמצאנו: התחום מתחיל ב-$x=-2$, נקודות חיתוך $(-2,0)$ ו-$(0,0)$, מקסימום קצה $(-2,0)$ ומינימום $\left(-\frac43,-1.089\right)$.

משמאל ל-$x=-2$ אין גרף. בין $-2$ ל-$-\frac43$ הגרף יורד מתחת לציר ה-$x$, ומשם עולה, חוצה את ציר ה-$x$ בראשית וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: להמשיך את הגרף שמאלה מ-$x=-2$ - הפונקציה לא מוגדרת שם.

$g(x)=f(x)+k$ - הזזה של גרף $f$ ב-$k$ יחידות למעלה.

הערך הקטן ביותר של $f$ הוא ערך המינימום, כ-$-1.089$. כדי שגרף $g$ יהיה כולו מעל ציר ה-$x$ צריך $-1.089+k>0$, כלומר $k>1.089$.

דוגמה: $k=2$.

טעות נפוצה: לעגל ולבחור $k=1$ - ערך המינימום של $g$ יהיה $-0.089<0$, והגרף עדיין חותך את ציר ה-$x$.

הזזה אנכית לא משנה את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון ולא את סוגן, ורק מוסיפה $k$ לשיעור ה-$y$.

עבור $k=2$: מקסימום $(-2,0+2)=(-2,2)$, מינימום $\left(-\frac43,-1.089+2\right)=\left(-\frac43,0.911\right)$.

טעות נפוצה: להזיז את שיעורי ה-$x$ במקום את שיעורי ה-$y$ ולקבל $(-4,0)$ ו-$\left(-\frac{10}{3},-1.089\right)$ - $+k$ מחוץ לפונקציה מזיז למעלה, לא הצידה.

$f'(x)=6x^2-4x+1$.

נבדוק אם $f'(x)=0$: הדיסקרימיננטה היא $(-4)^2-4\cdot6\cdot1=16-24=-8<0$, ולכן אין למשוואה פתרון.

המקדם של $x^2$ חיובי, ולכן $f'(x)>0$ לכל $x$. הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה, ואין לה נקודות קיצון.

שיפוע המשיק הוא $f'(x_A)=3$:

$6x^2-4x+1=3$

$6x^2-4x-2=0$

$3x^2-2x-1=0$

$(x-1)(3x+1)=0$

$x=1$ או $x=-\frac13$.

הנקודה $A$ ברביע הראשון, ולכן $x_A=1$.

המשיק עובר בנקודה $A(1,2)$ ושיפועו $3$:

$y-2=3(x-1)$

$y=3x-1$

הנקודה $A(1,2)$ על גרף הפונקציה:

$f(1)=2-2+1+b=1+b=2$

$b=1$

$f(x)=2x^3-2x^2+x+1$. המשיק $y=3x-1$ חותך את ציר ה-$x$ ב-$x=\frac13$.

השטח שווה לשטח שמתחת לגרף $f$ בין $x=0$ ל-$x=1$, פחות השטח של המשולש שבין המשיק לציר ה-$x$ בין $x=\frac13$ ל-$x=1$:

$\int_0^1(2x^3-2x^2+x+1)\,dx=\left[\frac{x^4}{2}-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x\right]_0^1=\frac12-\frac23+\frac12+1=\frac43$

שטח המשולש: $\frac12\cdot\left(1-\frac13\right)\cdot2=\frac23$.

השטח המבוקש: $\frac43-\frac23=\frac23$.

$g(x)=\frac{1}{6x^2-4x+1}$. כאשר $x\to\pm\infty$ המכנה שואף לאינסוף, ולכן $g(x)\to0$. האסימפטוטה המקבילה לציר ה-$x$ היא $y=0$.

אסימפטוטה המאונכת לציר ה-$x$ יכולה להיות רק בנקודה שבה המכנה $f'(x)$ מתאפס. מצאנו בסעיף א ש-$f'(x)>0$ לכל $x$, ולכן המכנה אינו מתאפס, $g$ מוגדרת לכל $x$, ואין לה אסימפטוטה המאונכת לציר ה-$x$.

נקודות קיצון של $f$ יכולות להיות היכן ש-$f'(x)=0$ ו-$f'$ מחליפה סימן: $x=-2$, $x=0$, $x=2$.

קוראים מהגרף את סימן $f'$ (מעל הציר - חיובית, מתחתיו - שלילית):

ב-$x=-2$: $f'$ עוברת מ-$+$ ל-$-$, כלומר $f$ עוברת מעלייה לירידה - מקסימום.

ב-$x=0$: $f'$ עוברת מ-$-$ ל-$+$ - מינימום.

ב-$x=2$: $f'$ עוברת מ-$+$ ל-$-$ - מקסימום.

טעות נפוצה: לקרוא את גרף הנגזרת כאילו הוא גרף $f$ ולשייך את הסוג לפי "הגבעה" ו"העמק" שלו - ולענות מינימום ב-$x=\pm2$ ומקסימום ב-$x=0$ (הסוגים הפוכים).

$f$ עולה היכן ש-$f'>0$ (הגרף של $f'$ מעל ציר ה-$x$): $x<-2$ ו-$0<x<2$.

$f$ יורדת היכן ש-$f'<0$ (מתחת לציר): $-2<x<0$ ו-$x>2$.

טעות נפוצה: לקבוע את העלייה לפי הקטעים שבהם גרף $f'$ עצמו עולה (בין נקודת המינימום לנקודת המקסימום שלו, סביב $x=0$) - העלייה של $f$ נקבעת לפי הסימן של $f'$, לא לפי העלייה שלה.

פונקציה זוגית מקיימת $f(-x)=f(x)$ לכל $x$ (הגרף סימטרי לציר ה-$y$).

$f(2)=6$, ולכן $f(-2)=f(2)=6$.

טעות נפוצה: להתייחס לפונקציה כאי-זוגית ולענות $f(-2)=-6$.

מסמנים: מקסימום $(-2,6)$ ו-$(2,6)$ (מזוגיות), מינימום $(0,2)$, ונקודות החיתוך $(-3,0)$ ו-$(3,0)$ (מזוגיות).

לפי סעיף ב: עולה עד $x=-2$, יורדת עד $x=0$, עולה עד $x=2$ ויורדת אחריו - צורת M, סימטרית לציר ה-$y$.

משמאל ל-$(-3,0)$ ומימין ל-$(3,0)$ הגרף ממשיך לרדת מתחת לציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לצייר את המינימום $(0,2)$ על ציר ה-$x$ (בראשית), כי שם $f'$ חותכת את הראשית - הנקודה $(0,0)$ היא על גרף $f'$, ואילו $f(0)=2$.

פונקציה קדומה של $f'$ היא $f$, ולכן $\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a)$.

ב-$-2<x<0$ הגרף של $f'$ מתחת לציר, וב-$0<x<2$ מעליו - מפצלים ב-$x=0$:

טעות נפוצה: לחשב בלי פיצול $\int_{-2}^2f'(x)\,dx=f(2)-f(-2)=6-6=0$ - החלק שמתחת לציר מקזז את החלק שמעליו.