בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2020 מועד ב'

20% מהציונים נמוכים מ-60, כלומר השטח המצטבר משמאל לציון התקן של 60 הוא 0.2.

0.2 קטן מ-0.5, ולכן ציון התקן של 60 שלילי (60 מתחת לממוצע). מחפשים בטבלה את הערך הקרוב ביותר ל-0.2: $\Phi(-0.84)=0.2005$, ולכן $z=-0.84$.

מציבים בנוסחת ציון התקן:

טעות נפוצה: לקחת את ציון התקן בסימן חיובי ($z=0.84$) ולקבל $\sigma\approx-17.86$ - סטיית תקן שלילית, שאינה אפשרית. 60 נמצא מתחת לממוצע, ולכן ציון התקן שלו שלילי.

מחשבים את ציון התקן של 55:

מהטבלה: $\Phi(-1.12)=0.1314$, כלומר כ-13.14% מהתלמידים קיבלו פחות מ-55.

מספר התלמידים:

טעות נפוצה: לקרוא מהטבלה את $\Phi(1.12)=0.8686$ (לשכוח את הסימן השלילי) ולקבל $0.8686\cdot300\approx261$ - אלה התלמידים שקיבלו יותר מ-55.

החלק של המצטיינים מכלל התלמידים: $\frac{38}{300}\approx0.1267$. הם נמצאים בקצה העליון של ההתפלגות.

הטבלה נותנת שטח משמאל, ולכן עוברים למשלים: $1-0.1267=0.8733$ מהתלמידים קיבלו פחות מהציון המינימלי.

הערך הקרוב ביותר בטבלה: $\Phi(1.14)=0.8729$, ולכן $z=1.14$.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.1267 עצמו (בלי משלים), לקבל $z=-1.14$ ואז $x=75-1.14\cdot17.86\approx54.64$ - זה הציון שמתחתיו נמצאים 38 התלמידים החלשים ביותר.

מסדרים את הנתונים בטבלה דו-ממדית. בנות: $30-12=18$. בנים ללא רישיון: $12-9=3$. בנות ללא רישיון: $18-12=6$.

טעות נפוצה: לספור רק את הבנים ללא רישיון ($\frac{3}{30}=0.1$) ולשכוח את 6 הבנות ללא רישיון.

הסתברות מותנית: מרחב המדגם מצטמצם ל-9 התלמידים ללא רישיון, ומתוכם 6 בנות.

טעות נפוצה: לחלק בכל 30 התלמידים ולענות $\frac{6}{30}=0.2$ - זו ההסתברות לבחור בת ללא רישיון, בלי התנאי.

התלמיד חוזר לכיתה, ולכן שתי ההוצאות בלתי תלויות, ובכל אחת $P(\text{עם רישיון})=\frac{21}{30}=0.7$.

טעות נפוצה: לחשב כאילו התלמיד לא חוזר: $\frac{21}{30}\cdot\frac{20}{29}\approx0.483$.

לפני השינוי: $P(\text{בן})=\frac{12}{30}=0.4$.

אחרי השינוי יש 35 תלמידים, ונסמן ב-$b$ את מספר הבנים. ההסתברות לא השתנתה:

יש 14 בנים ו-$35-14=21$ בנות (נוספו 2 בנים ו-3 בנות).

טעות נפוצה: לחשוב שאם ההסתברות לא השתנתה לא נוספו בנים, ולענות 12 בנים ו-23 בנות - אבל אז $P(\text{בן})=\frac{12}{35}\approx0.34$.

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $E$ היא אמצע האלכסון $AC$.

נתון ש-$F$ היא אמצע הצלע $AD$.

במשולש $ACD$ הקטע $FE$ מחבר את אמצעי שתי הצלעות $AD$ ו-$AC$, ולכן הוא קטע אמצעים, ומקביל לצלע השלישית: $FE\parallel DC$.

טעות נפוצה: לנמק ש-$E$ אמצע $AC$ "כי האלכסונים במקבילית שווים" - במקבילית האלכסונים בדרך כלל אינם שווים; הם חוצים זה את זה, וזה הנימוק.

$FE\parallel DC$ (סעיף א(1)), ולכן $\angle AFE=\angle ADC$ (זוויות מתאימות).

$\angle A$ משותפת לשני המשולשים, ולכן $\triangle AEF\sim\triangle ACD$ (ז.ז.).

יחס הדמיון: $\frac{AF}{AD}=\frac12$ ($F$ אמצע $AD$).

יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לענות שיחס השטחים הוא $1:2$, כמו יחס הדמיון - יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

$E$ אמצע $AC$, ולכן $E=\left(\frac{x_A+4}{2},\frac{y_A+2}{2}\right)=(1,4)$:

השיפוע של $AD$:

דרך $D(-4,2)$: $y-2=2(x+4)$, כלומר $y=2x+10$.

ל-$D$ ול-$C$ אותו שיעור $y$ (2), ולכן $DC$ מקביל לציר ה-$x$: $y=2$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בנוסחת האמצע ולחשב $x_A=2\cdot1+4=6$, כלומר $A(6,6)$ - זו בעצם הנקודה $B$, ו"הישר $AD$" שמתקבל הוא האלכסון $BD$: $y=0.4x+3.6$.

$DC$ אופקי ו-$A$ מימין ל-$D$ ומעליו, ולכן הזווית $ADC$ היא זווית הנטייה של הישר $AD$:

טעות נפוצה: לענות $180^\circ-63.43^\circ=116.57^\circ$ - זו הזווית $DAB$ (או $BCD$), הזווית הקהה של המקבילית.

במשולש $ACD$ הבסיס $DC$ אופקי: $DC=4-(-4)=8$.

הגובה לבסיס $DC$ הוא המרחק של $A$ מהישר $y=2$: $6-2=4$.

לפי סעיף א(2): $S_{AEF}=\frac14\cdot16=4$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את שיעור ה-$y$ של $A$ (6) במקום המרחק מהישר $y=2$, ולקבל $S_{ACD}=24$ ו-$S_{AEF}=6$.

האלכסון $AC$ מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים, ולכן $S_{ABCD}=2\cdot16=32$.

הטרפז $DFEC$ הוא המשולש $ACD$ בלי המשולש $AEF$: $S_{DFEC}=16-4=12$.

טעות נפוצה: לקחת את שטח המשולש $ACD$ (16) כשטח המקבילית ולקבל $\frac{16}{12}=\frac43$.

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$: $\angle BAD+\angle BCD=180^\circ$.

הזוויות שוות (נתון), ולכן כל אחת מהן $90^\circ$.

$\angle BAD$ היא זווית היקפית בת $90^\circ$ שנשענת על המיתר $BD$, ולכן $BD$ קוטר.

טעות נפוצה: להסיק ש-$AC$ הוא הקוטר, כי הזוויות השוות נמצאות ב-$A$ וב-$C$. הזווית ב-$A$ נשענת על המיתר שמולה - $BD$.

ל-$A$ ול-$D$ אותו שיעור $y$ ($-2$), ולכן $AD$ מקביל לציר ה-$x$.

לפי סעיף א, $\angle BAD=90^\circ$, כלומר $AB\perp AD$.

ישר המאונך לישר אופקי הוא ישר אנכי, ולכן $AB$ מקביל לציר ה-$y$ (הישר $x=4$).

טעות נפוצה: להסיק ש-$AB$ מקביל לציר ה-$x$ כי ל-$A$ ול-$D$ אותו שיעור $y$ - זו הצלע $AD$, ו-$AB$ מאונך לה.

לפי סעיף א, $\angle BCD=90^\circ$, ולכן $BC\perp CD$.

$BC$ עובר דרך $C(0,2)$, שעל ציר ה-$y$: $y=\frac12x+2$.

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן ולקבל $y=2x+2$ - ישר שאינו מאונך ל-$CD$.

$B$ נמצאת על $AB$, הישר $x=4$ (סעיף ב(1)), ועל $BC$:

טעות נפוצה: לחתוך את $BC$ עם הישר $y=-2$ (הצלע $AD$) ולקבל $(-8,-2)$.

$BD$ קוטר (סעיף א), ולכן מרכז המעגל הוא אמצע $BD$:

טעות נפוצה: להציב באגף ימין את ריבוע הקוטר ולקבל $(x-3)^2+(y-1)^2=40$.

הזוויות ההיקפיות $ACB$ ו-$ADB$ נשענות על אותה קשת $AB$, ולכן הן שוות.

במשולש $DAB$ הזווית ב-$A$ ישרה, $AD=4-2=2$ ו-$AB=4-(-2)=6$:

ולכן $\angle ACB\approx71.57^\circ$.

טעות נפוצה: להחליף בין הניצבים ($\tan=\frac{AD}{AB}=\frac13$) ולקבל $18.43^\circ$ - זו הזווית $ABD$.

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי, ובנוסף השורש נמצא במכנה ולכן אינו יכול להיות 0. לכן הביטוי חיובי ממש:

טעות נפוצה: לכתוב $1-x^2\ge0$ ולקבל $-1\le x\le1$ - ב-$x=\pm1$ המכנה מתאפס והפונקציה אינה מוגדרת.

כש-$x$ מתקרב ל-1 או ל-$-1$ מתוך התחום, המכנה שואף ל-0 (חיובי) והמונה 3, ולכן $f(x)\to+\infty$: אסימפטוטות אנכיות $x=1$ ו-$x=-1$.

אסימפטוטה אופקית אין: התחום חסום, ו-$x$ אינו יכול לשאוף לאינסוף.

טעות נפוצה: להוסיף אסימפטוטה אופקית $y=0$ "כי המונה קבוע" - אבל $x$ לא יכול לשאוף לאינסוף בתחום $-1<x<1$.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{3}{\sqrt1}=3$, כלומר $(0,3)$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $f(x)=0$ דורש מונה 0, אבל המונה 3. אין חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לחשוב שהגרף חותך את ציר ה-$x$ ב-$x=\pm1$, שם המכנה מתאפס - שם הפונקציה אינה מוגדרת (אלה האסימפטוטות).

התחום $-1<x<1$ סימטרי סביב 0.

ולכן $f$ זוגית.

טעות נפוצה: לכתוב $(-x)^2=-x^2$, לקבל $f(-x)=\frac{3}{\sqrt{1+x^2}}\ne f(x)$ ולהסיק שהפונקציה אינה זוגית.

כותבים $f(x)=3(1-x^2)^{-\frac12}$ וגוזרים (נגזרת של פונקציה מורכבת):

$f'(x)=0$ רק כש-$x=0$. המכנה חיובי בכל התחום, ולכן סימן $f'$ כסימן $x$: שלילית ב-$-1<x<0$ (יורדת), חיובית ב-$0<x<1$ (עולה).

לכן ב-$x=0$ מינימום: $(0,3)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $(-2x)$ או את הסימן שלה, לקבל $f'(x)=-\frac{3x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}$ ולהסיק ש-$(0,3)$ מקסימום.

משלבים את הממצאים: התחום $-1<x<1$, אסימפטוטות אנכיות $x=\pm1$, הגרף כולו מעל ציר ה-$x$ (המונה והמכנה חיוביים), סימטרי לציר ה-$y$ (זוגית), יורד עד $(0,3)$ ואחר כך עולה.

הסקיצה: ענף אחד בצורת U שעובר דרך $(0,3)$ ושואף ל-$+\infty$ כשמתקרבים ל-$x=-1$ מימין ול-$x=1$ משמאל.

טעות נפוצה: לצייר ענפים גם מחוץ לאסימפטוטות ($x<-1$ או $x>1$), כמו בפונקציה רציונלית - שם הפונקציה אינה מוגדרת.

הגרף של $g$ הוא הגרף של $f$ מוזז $k$ יחידות למטה; התחום, האסימפטוטות האנכיות וצורת הגרף נשמרים.

ישר אופקי משיק לגרף רק בנקודת קיצון (שם $g'=0$). ל-$g$ יש מינימום יחיד: $(0,3-k)$.

טעות נפוצה: להזיז בכיוון ההפוך ($3+k=-4$) ולקבל $k=-7$ - אז הגרף זז למעלה, והמינימום ב-$(0,10)$.

$f'(x)=-\frac{2a}{x^3}$.

$f'(2)=-\frac{2a}{8}=-\frac{a}{4}=-2$

$a=8$

$f(x)=\frac{8}{x^2}+2$. המכנה מתאפס ב-$x=0$, ולכן התחום הוא $x\ne0$.

כאשר $x\to0$, $\frac{8}{x^2}\to+\infty$: האסימפטוטה $x=0$.

כאשר $x\to\pm\infty$, $\frac{8}{x^2}\to0$, ולכן $f(x)\to2$: האסימפטוטה $y=2$.

$f'(x)=-\frac{16}{x^3}$, ואינה מתאפסת.

עבור $x<0$: $x^3<0$, ולכן $f'(x)>0$ והפונקציה עולה.

עבור $x>0$: $x^3>0$, ולכן $f'(x)<0$ והפונקציה יורדת.

בתחום $x>0$ הפונקציה יורדת (סעיף ב(2)). ליד $x=0$ היא שואפת ל-$+\infty$, וכאשר $x\to\infty$ היא מתקרבת ל-$2$. מאחר ש-$\frac{8}{x^2}>0$, מתקיים $f(x)>2$, ולכן הגרף מתקרב לאסימפטוטה $y=2$ מלמעלה ואינו חותך את ציר ה-$x$.

בתחום $x>0$ הפונקציה $f$ יורדת, ולכן $f'(x)<0$: גרף הנגזרת נמצא כולו מתחת לציר ה-$x$. גרף II חיובי, וגרף III חותך את ציר ה-$x$ ומקבל ערכים חיוביים, ולכן הם נפסלים.

בנוסף, $f'(x)=-\frac{16}{x^3}$ שואפת ל-$-\infty$ כאשר $x\to0^+$ ול-$0$ כאשר $x\to\infty$, כמו בגרף I. התשובה: גרף I.

בתחום $2\le x\le5$ מתקיים $f'(x)<0$, ולכן השטח הוא:

$S=-\int_2^5 f'(x)\,dx=-\left[f(x)\right]_2^5=f(2)-f(5)=\left(\frac84+2\right)-\left(\frac{8}{25}+2\right)=2-0.32=1.68$

$f$ פולינום, מוגדרת לכל $x$.

$g=\frac{1}{f}$ אינה מוגדרת כש-$f(x)=0$: $(x-3)^2=0$, כלומר $x=3$. לכן התחום של $g$: $x\ne3$.

טעות נפוצה: להוציא מהתחום את $x=0$ ("אי אפשר לחלק באפס") - צריך להוציא את הערך שבו המכנה $f(x)$ מתאפס, כלומר $x=3$.

$f$ פרבולה "מחייכת" שקודקודה $(3,0)$: יורדת ב-$x<3$ ועולה ב-$x>3$.

$f$ חיובית בתחום של $g$, ובמקום ש-$f$ גדלה, $\frac1f$ קטנה (ולהפך). לכן $g$ עולה ב-$x<3$ ויורדת ב-$x>3$.

(בגזירה: $g'(x)=-\frac{2}{(x-3)^3}$, חיובית ב-$x<3$ ושלילית ב-$x>3$.)

טעות נפוצה: לתת ל-$g$ את אותם תחומים כמו ל-$f$ (ירידה ב-$x<3$, עלייה ב-$x>3$).

לגרף I יש אסימפטוטה אנכית ב-$x=3$ והוא שואף ל-0 בקצוות - כך מתנהגת $g$, שאינה מוגדרת ב-$x=3$.

גרף II הוא פרבולה שקודקודה על ציר ה-$x$ ב-$x=3$ - זו $f(x)=(x-3)^2$.

טעות נפוצה: להחליף בין הגרפים, כי "גרף II רחב יותר" - הפרבולה היא היחידה שמוגדרת ב-$x=3$ ומתאפסת שם.

$f$ פולינום ואין לה אסימפטוטות. ל-$g$:

אנכית: כש-$x\to3$, $f(x)\to0^+$, ולכן $g(x)\to+\infty$: $x=3$.

אופקית: כש-$x\to\pm\infty$, $f(x)\to\infty$, ולכן $g(x)\to0$: $y=0$.

טעות נפוצה: לעצור באסימפטוטה האנכית ולענות רק $x=3$ - גם $y=0$ אסימפטוטה, כי $g$ שואפת ל-0 משני הצדדים.

הערכים שווים, ולכן הגרפים נפגשים ב-$(2,1)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הריבוע ולחשב $g(2)=\frac{1}{2-3}=-1$, ולהסיק שהגרפים אינם נפגשים.

השטח בין $x=0$ (ציר ה-$y$) ל-$x=2$ (נקודת המפגש). בתחום זה $f$ מעל $g$ (למשל $f(0)=9$, $g(0)=\frac19$).

פונקציות קדומות: של $(x-3)^2$ - $\frac{(x-3)^3}{3}$; של $\frac{1}{(x-3)^2}=(x-3)^{-2}$ - $-\frac{1}{x-3}$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן של הפונקציה הקדומה של $\frac{1}{(x-3)^2}$ (לכתוב $+\frac{1}{x-3}$) - אז האינטגרל של $g$ יוצא $-\frac23$ והשטח $\frac{28}{3}$.