בגרות במתמטיקה 471 - חורף 2021

מחשבים את ציון התקן של 180 ס"מ - כמה סטיות תקן הוא מעל הממוצע:

הטבלה המצטברת נותנת את ההסתברות לערך קטן מ-$z$: $\Phi(1)=0.8413$.

לכן 84.13% מהמתגייסים נמוכים מ-180 ס"מ.

טעות נפוצה: לחשוב שהטבלה נותנת את השטח מימין ל-$z$ ולענות $1-0.8413=15.87\%$ - זה אחוז הגבוהים מ-180 ס"מ.

ההסתברות לגובה מעל 180 ס"מ היא המשלים של סעיף א(1):

מכפילים במספר המתגייסים: $0.1587\cdot2000=317.4$, כלומר בערך 317 מתגייסים.

טעות נפוצה: להכפיל את התוצאה של א(1) במספר המתגייסים, $0.8413\cdot2000\approx1683$ - זה מספר הנמוכים מ-180 ס"מ.

מחפשים גובה $h$ כך ש-$P(X<h)=\frac15=0.2$. ההסתברות קטנה מ-0.5, ולכן $h$ מתחת לממוצע וציון התקן שלו שלילי.

בטבלה אין ערכים קטנים מ-0.5, ולכן נעזרים בסימטריה: $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$. מחפשים $z$ חיובי עם $\Phi(z)=0.8$: הערך הקרוב בטבלה הוא $\Phi(0.84)=0.7995$.

לכן ציון התקן של $h$ הוא $z\approx-0.84$, ומחזירים לגובה:

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן ולקחת $z=0.84$, ולקבל $h=178.4$ ס"מ - שמתחתיו נמצאים $\frac45$ מהמתגייסים.

ההסתברות לערך בין שני גבהים היא הפרש ההסתברויות המצטברות:

($P(X<180)$ מסעיף א(1), ו-$P(X<h)=0.2$ לפי ההגדרה של $h$.)

טעות נפוצה: לקחת את 0.2 כהסתברות שמעל $h$ ולחשב $0.8413-0.8=0.0413$.

"לפחות אחד" - נוח לחשב דרך המאורע המשלים: אף אחד מהשניים אינו בתחום.

ההסתברות שמתגייס אחד אינו בתחום: $1-0.6413=0.3587$. הבחירות בלתי תלויות, ולכן מכפילים:

טעות נפוצה: לחשב $0.6413^2\approx0.4113$ - זו ההסתברות ששניהם בתחום, לא שלפחות אחד.

שלב ראשון - הקובייה: מספר גדול מ-4 הוא 5 או 6, ולכן $P(\text{א'})=\frac26=\frac13$ ו-$P(\text{ב'})=\frac23$.

שלב שני - הממתק: בכל חבילה יש 18 ממתקים, ולכן $P(\text{שוקולד}\mid\text{א'})=\frac{8}{18}$ ו-$P(\text{שוקולד}\mid\text{ב'})=\frac{3}{18}$.

מחברים את שני המסלולים בעץ שמסתיימים בשוקולד:

טעות נפוצה: להתעלם מהקובייה ולחשב ממוצע פשוט של שתי החבילות, $\frac12\left(\frac{8}{18}+\frac{3}{18}\right)=\frac{11}{36}$ - אבל חבילה ב' נבחרת פי 2 יותר.

זו הסתברות מותנית: מתוך המקרים שבהם יצא שוקולד, איזה חלק עבר דרך חבילה א'.

טעות נפוצה: להפוך את כיוון ההתניה ולענות $P(\text{שוקולד}\mid\text{א'})=\frac{8}{18}=\frac49$.

התנאי הוא "לא שוקולד": $P(\text{לא שוקולד})=1-\frac{7}{27}=\frac{20}{27}$.

מסטיק הוא חלק מהמאורע "לא שוקולד", ולכן החיתוך הוא פשוט $P(\text{מסטיק})$:

טעות נפוצה: לעצור ב-$P(\text{מסטיק})=\frac{8}{27}$ ולא לחלק בהסתברות התנאי.

$A$ על ציר ה-$x$ משמאל לראשית ו-$AO=3$, ולכן $A(-3,0)$.

במשולש ישר הזווית $AOB$ (הזווית הישרה ב-$O$, בין הצירים) הטנגנס של $\angle BAO$ הוא הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה:

לכן $B(0,6)$. השיפוע של $AB$: $m=\frac{6-0}{0-(-3)}=2$ (שווה ל-$\tan\angle BAO$), והחיתוך עם ציר ה-$y$ הוא 6:

טעות נפוצה: לחלק במקום להכפיל, $OB=\frac{AO}{\tan\angle BAO}=1.5$, ולקבל $y=\frac12x+\frac32$.

במלבן כל הזוויות ישרות, ולכן $BC\perp AB$ ומכפלת השיפועים היא $-1$:

$BC$ עובר דרך $B(0,6)$: $y=-\frac12x+6$.

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן ולקבל $y=\frac12x+6$ - ישר שאינו מאונך ל-$AB$.

$C$ על ציר ה-$x$, ולכן מציבים $y=0$ במשוואת $BC$:

$C(12,0)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בהעברת אגפים ($-\frac12x=6$) ולקבל $C(-12,0)$ - נקודה משמאל ל-$A$, בניגוד לאיור.

$\angle AOB=90^\circ$ (הזווית בין הצירים), ו-$\angle CDA=90^\circ$ (זווית של מלבן).

במלבן הצלעות הנגדיות מקבילות: $AB\parallel DC$. הישר $AC$ חותך אותן, ולכן $\angle BAC=\angle ACD$ (זוויות מתחלפות).

$\angle BAC$ היא $\angle BAO$ (הנקודה $O$ על הקטע $AC$). לכן $\angle BAO=\angle ACD$.

שתי זוויות שוות, ולכן $\triangle AOB\sim\triangle CDA$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $O\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow A$.

טעות נפוצה: לטעון $\angle BAO=\angle CAD$ (שתי הזוויות ליד $A$) - אבל סכומן $90^\circ$. התאמה כזו נותנת דמיון $AOB\sim ADC$ בסדר שגוי, ובסעיף הבא זוג צלעות מתאימות לא נכון.

לפי ההתאמה מסעיף ג(1), הצלע $AB$ (מול הזווית הישרה $O$) מתאימה לצלע $CA$ (מול הזווית הישרה $D$).

יחס הדמיון: $k=\frac{\sqrt{45}}{15}$. יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון:

בדיקה: $S_{AOB}=\frac{3\cdot6}{2}=9$, ו-$S_{CDA}$ הוא חצי מהמלבן: $\frac{\sqrt{45}\cdot\sqrt{180}}{2}=\frac{90}{2}=45$.

טעות נפוצה: לעצור ביחס הדמיון ולענות $\frac{\sqrt{45}}{15}=\frac{1}{\sqrt5}\approx0.447$ - יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

ציר ה-$y$ משיק למעגל ב-$A$, ומשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה: $MA\perp$ ציר ה-$y$.

$AD$ הוא קוטר, ולכן עובר דרך $M$ ומונח על הישר $MA$. לכן $AD\perp$ ציר ה-$y$.

$BC$ מונח על ציר ה-$x$, וגם הוא מאונך לציר ה-$y$.

שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה, ולכן $AD\parallel BC$.

טעות נפוצה: לנמק "$ABCD$ הוא טרפז, ולכן $AD\parallel BC$" - זה בדיוק מה שצריך להוכיח, ולכן הנימוק מעגלי.

לפי סעיף א, $MA$ מאונך לציר ה-$y$, כלומר אופקי: ל-$M$ אותו שיעור $y$ כמו ל-$A$, $-4$.

$MA$ הוא רדיוס, ו-$M$ מימין לציר ה-$y$ (המעגל מימין לציר המשיק), ולכן $M(5,-4)$.

טעות נפוצה: לשים את המרכז משמאל לציר, $M(-5,-4)$, ולקבל $(x+5)^2+(y+4)^2=25$ - מעגל שאינו חותך את ציר ה-$x$ בנקודות של האיור.

$B$ ו-$C$ על ציר ה-$x$ - מציבים $y=0$ במשוואת המעגל:

$x=2$ או $x=8$: $B(2,0)$ (הקרובה לציר ה-$y$) ו-$C(8,0)$.

$M$ אמצע הקוטר $AD$: $\frac{0+x_D}{2}=5$, $\frac{-4+y_D}{2}=-4$, ולכן $D(10,-4)$.

טעות נפוצה: לשכוח לרבע את 4 ולכתוב $(x-5)^2=25-4=21$, ולקבל $x=5\pm\sqrt{21}$.

לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:

(אפשר גם בלי חישוב: $ABCD$ טרפז ($AD\parallel BC$) החסום במעגל, וטרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים.)

טעות נפוצה: לחבר את הפרשי השיעורים בלי ריבוע ושורש, $AB=2+4=6$ - זה אינו אורך הקטע.

הזווית $ABD$ היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AD$, ולכן $\angle ABD=90^\circ$.

במשולש ישר הזווית $ABD$: $AB=\sqrt{20}$ הוא הניצב שליד הזווית $BAD$, ו-$AD=10$ הוא היתר:

(דרך אחרת: $AD$ אופקי, ולכן $\tan\angle BAD$ שווה לשיפוע $AB$: $\frac{4}{2}=2$.)

טעות נפוצה: להשתמש בסינוס במקום בקוסינוס ($\sin\angle BAD=\frac{\sqrt{20}}{10}$) ולקבל $26.57^\circ$ - זו הזווית $ADB$.

$ABCD$ מרובע חסום במעגל, ובמרובע חסום סכום הזוויות הנגדיות הוא $180^\circ$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$BD$ קוטר (הוא מצויר כקטע דרך המעגל) ולענות $\angle BCD=90^\circ$ - אבל $BD$ אינו עובר דרך $M$.

פונקציה רציונלית מוגדרת בכל מקום שבו המכנה אינו מתאפס.

$(x+3)^2=0\iff x=-3$, ולכן תחום ההגדרה: $x\neq-3$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולכתוב $x\neq3$.

אנכית: ב-$x=-3$ המכנה מתאפס והמונה אינו מתאפס ($(-3)^2=9$), ולכן $x=-3$ אסימפטוטה אנכית.

אופקית: $f(x)=\frac{x^2}{x^2+6x+9}$ - המעלות של המונה ושל המכנה שוות (2), ולכן האסימפטוטה היא יחס המקדמים המובילים: $y=\frac11=1$.

טעות נפוצה: לחשוב שבגלל הריבוע המכנה "גדול יותר" ולכתוב אסימפטוטה אופקית $y=0$ - אבל המעלות שוות.

עם ציר ה-$x$: $f(x)=0$ כשהמונה מתאפס: $x^2=0$, $x=0$.

עם ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{0}{9}=0$.

נקודת החיתוך היחידה היא הראשית $(0,0)$.

טעות נפוצה: לאפס את המכנה ולכתוב גם את $(-3,0)$ - ב-$x=-3$ הפונקציה אינה מוגדרת.

גוזרים לפי כלל המנה. הנגזרת של $(x+3)^2$ היא $2(x+3)$:

מוציאים גורם משותף $2x(x+3)$ מהמונה ומצמצמים $(x+3)$:

$f'(x)=0\iff x=0$. בטבלת הסימנים חייבים לכלול גם את $x=-3$, שבה המכנה מחליף סימן:

$x<-3$: מונה שלילי, מכנה שלילי - $f'>0$ (עולה). $-3<x<0$: מונה שלילי, מכנה חיובי - $f'<0$ (יורדת). $x>0$: $f'>0$ (עולה).

ב-$x=0$ הפונקציה עוברת מירידה לעלייה, ולכן $(0,0)$ נקודת מינימום.

סקיצה: משמאל לאסימפטוטה הגרף עולה מ-$y=1$ (מעליה) לאינסוף ליד $x=-3$; מימין לה יורד מאינסוף עד $(0,0)$ ואז עולה ומתקרב ל-$y=1$ מלמטה.

טעות נפוצה: להפוך את הסדר בכלל המנה (מכנה גזור כפול מונה פחות מונה גזור כפול מכנה) ולקבל $f'(x)=\frac{-6x}{(x+3)^3}$ - ואז $(0,0)$ מסווגת כמקסימום.

הגרף של $-f(x)$ הוא שיקוף של הגרף של $f(x)$ ביחס לציר ה-$x$: כל $y$ מתחלף ב-$-y$, וה-$x$ לא משתנה.

לכן האסימפטוטה האנכית נשארת $x=-3$, והאופקית $y=1$ הופכת ל-$y=-1$.

טעות נפוצה: לשקף גם את האסימפטוטה האנכית ולכתוב $x=3$ - שיקוף ביחס לציר ה-$x$ אינו משנה את שיעורי ה-$x$.

משקפים את הסקיצה של $f$ ביחס לציר ה-$x$:

נקודת המינימום $(0,0)$ נשארת במקומה (היא על ציר ה-$x$) והופכת למקסימום.

משמאל ל-$x=-3$: הגרף יורד מ-$y=-1$ (מתחתיה) למינוס אינסוף. מימין ל-$x=-3$: עולה ממינוס אינסוף עד $(0,0)$, ואחר כך יורד ומתקרב ל-$y=-1$ מלמעלה.

טעות נפוצה: לשקף ביחס לציר ה-$y$ (כאילו $g(x)=f(-x)$) ולקבל גרף עם אסימפטוטה $x=3$ ומינימום ב-$(0,0)$.

כאשר $x\to\infty$, $\frac{2}{x^2}\to0$, ולכן $f(x)\to b$: האסימפטוטה האופקית היא $y=b$.

נתון שהאסימפטוטה היא $y=4$, ולכן $b=4$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$\frac{2}{x^2}$ שואף ל-2 ולכתוב $2+b=4$, $b=2$.

$f(x)=\frac{2}{x^2}+4=2x^{-2}+4$, ולכן $f'(x)=-4x^{-3}=-\frac{4}{x^3}$.

בתחום $x>0$ המכנה $x^3$ חיובי, ולכן $f'(x)<0$: הפונקציה יורדת בכל התחום. זה פוסל את גרפים 1 ו-4 (עולים בהתחלה) ואת גרף 2 (יש לו מינימום).

בנוסף $\frac{2}{x^2}>0$, ולכן $f(x)>4$ תמיד - הגרף מעל האסימפטוטה, וכש-$x\to0^+$, $f(x)\to\infty$.

הגרף המתאים: גרף 3.

טעות נפוצה: לגזור $\frac{2}{x^2}$ כ-$\frac{4}{x^3}$ (בלי המינוס של החזקה השלילית), להסיק שהפונקציה עולה ולבחור בגרף 1.

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה:

$f(1)=2+4=6$, ולכן נקודת ההשקה $(1,6)$:

טעות נפוצה: לגזור $\frac{2}{x^2}$ כ-$-\frac{2}{x}$, לקבל $x=0.5$ ו-$f(0.5)=12$, ומשם $y=-4x+14$.

המשיק חותך את ציר ה-$x$ כש-$0=-4x+10$, כלומר ב-$x=2.5$.

השטח המבוקש: מלמעלה גרף $f$ מ-$x=1$ עד $x=4$; מלמטה המשיק מ-1 עד 2.5 וציר ה-$x$ מ-2.5 עד 4.

לכן: (השטח מתחת ל-$f$ מ-1 עד 4) פחות (המשולש שמתחת למשיק מ-1 עד 2.5).

המשולש: בסיס $2.5-1=1.5$ וגובה $f(1)=6$: $\frac{1.5\cdot6}{2}=4.5$.

טעות נפוצה: לחשב רק את האינטגרל ולענות 13.5 - בלי להוריד את המשולש שמתחת למשיק, שאינו חלק מהשטח.

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי:

טעות נפוצה: לחלק ב-$-4$ בלי להפוך את כיוון האי-שוויון ולקבל $x\ge2.5$.

גוזרים מכפלה. הנגזרת של $\sqrt{10-4x}$ היא $\frac{-4}{2\sqrt{10-4x}}$ (כולל הנגזרת הפנימית $-4$):

מכנה משותף $\sqrt{10-4x}$:

$f'=0$ כשהמונה מתאפס: $x=0$ או $x=2$ (שתיהן בתוך התחום). המכנה חיובי בתוך התחום, ולכן הסימן נקבע לפי $10x(2-x)$:

$x<0$: $f'<0$ (יורדת). $0<x<2$: $f'>0$ (עולה). $2<x<2.5$: $f'<0$ (יורדת).

$f(0)=0$ ו-$f(2)=4\sqrt{10-8}=4\sqrt2$. לכן $\min(0,0)$ ו-$\max(2,4\sqrt2)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $-4$, לקבל מונה $20x-7x^2$ ואפסים $0$ ו-$\frac{20}{7}$ (מחוץ לתחום) - ולפספס את המקסימום.

מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך של הגרף עם הישר $y=5$.

$4\sqrt2\approx5.66>5$, ולכן הישר $y=5$ עובר מתחת למקסימום.

$x<0$: $f$ יורדת מאינסוף ל-0 - חותכת את $y=5$ פעם אחת.

$0<x<2$: $f$ עולה מ-0 ל-$5.66$ - פעם אחת. $2<x\le2.5$: $f$ יורדת מ-$5.66$ ל-$f(2.5)=0$ - פעם אחת.

סך הכול 3 פתרונות.

טעות נפוצה: להסתכל רק על הקטע $0\le x\le2.5$ (ה"גבעה") ולענות 2 - הענף השמאלי, שבו $f$ יורדת מאינסוף, חותך גם הוא.

$f'$ חיובית בדיוק היכן ש-$f$ עולה, ושלילית היכן ש-$f$ יורדת (סעיף א(2)).

חיוביות: $0<x<2$. שליליות: $x<0$ ו-$2<x<2.5$.

טעות נפוצה: לענות לפי הסימן של $f$ עצמה ($f\ge0$ בכל התחום) ולכתוב "$f'$ חיובית לכל $x<2.5$, $x\ne0$".

אפסים של $f'$: $x=0$ ו-$x=2$. סימנים מסעיף ב(1).

ליד $x=2.5$ המכנה $\sqrt{10-4x}$ שואף ל-0 והמונה $10\cdot2.5\cdot(-0.5)<0$, ולכן $f'\to-\infty$.