מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך - שאלון 471

בונים עץ: בזריקה הראשונה קליעה בהסתברות $P$ והחטאה ב-$1-P$.

אחרי החטאה, הסתברות הקליעה בשנייה היא $P+0.05$, ולכן הסתברות ההחטאה בשנייה היא $1-(P+0.05)=0.95-P$.

(על הענפים: אחרי קליעה - $P+0.1$ ו-$0.9-P$; אחרי החטאה - $P+0.05$ ו-$0.95-P$.)

שתי החטאות - מסלול אחד בעץ, כופלים לאורכו:

$P=0.8$ או $P=1.15$

הסתברות אינה גדולה מ-1, ולכן $P=0.8$.

טעות נפוצה: להתעלם מהתלות ולכתוב $(1-P)^2=0.03$, ומקבלים $P=1-\sqrt{0.03}\approx0.827$.

עם $P=0.8$: אחרי קליעה הסתברות הקליעה בשנייה $0.9$ (החטאה $0.1$); אחרי החטאה הסתברות הקליעה בשנייה $0.85$.

"רק בזריקה אחת" - שני מסלולים זרים: קליעה ואז החטאה, או החטאה ואז קליעה:

טעות נפוצה: לחשב כאילו הזריקות בלתי תלויות, $2\cdot0.8\cdot0.2=0.32$ - ההסתברות בזריקה השנייה תלויה בתוצאת הראשונה.

זו הסתברות מותנית: המאורע "קלע רק בשנייה" (החטאה ואז קליעה) חלקי המאורע "קלע רק באחת" (מסעיף ב):

נסמן: $A$ - קליעה רק בשנייה, $B$ - קליעה רק באחת.

טעות נפוצה: לענות $0.17$ - זו ההסתברות של החיתוך (החטאה ואז קליעה), בלי לחלק בהסתברות התנאי.

$AB\parallel CD$, ולכן הזוויות $ABC$ ו-$BCD$ הן זוויות חד-צדדיות בין ישרים מקבילים, וסכומן $180^\circ$:

טעות נפוצה: לחשוב שהן זוויות מתחלפות ושוות, ולכתוב $\sphericalangle ABC=2\alpha$.

$CE$ חוצה את הזווית $BCD$: $\sphericalangle ECB=\alpha$.

$BE$ חוצה את הזווית $ABC$: $\sphericalangle EBC=\frac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha$.

סכום הזוויות במשולש $BEC$:

לכן המשולש $BEC$ ישר זווית (הזווית הישרה ב-$E$).

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 את הזווית $ABC$ ולכתוב $\sphericalangle EBC=180^\circ-2\alpha$ - ואז יוצא $\sphericalangle BEC=\alpha$, כאילו המשולש אינו ישר זווית.

לפי סעיף א(2), $EC\perp EB$.

$EC$ עובר דרך $E(-1,2)$: $y-2=-(x+1)$, כלומר $y=-x+1$.

טעות נפוצה: לבנות את $EC$ מאונך ל-$BC$ (שיפוע $\frac13$) במקום ל-$EB$, ולקבל $y=\frac13x+\frac73$.

$C$ היא נקודת החיתוך של $EC$ ו-$BC$. מציבים $y=-x+1$ ב-$3x+y=7$:

$C(3,-2)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בפתיחת הסוגריים, $3x-x-1=7$, ולקבל $C(4,-3)$ - נקודה על $EC$ שאינה על $BC$ ($3\cdot4-3=9\ne7$).

במשולש ישר הזווית $BEC$ (הזווית הישרה ב-$E$):

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\tan=\frac{EC}{EB}=2$, ולקבל $63.43^\circ$ - זו הזווית $EBC$.

$\sphericalangle A=\sphericalangle D=90^\circ$ (טרפז ישר זווית, $AD$ מאונך לשני הבסיסים).

$CE$ חוצה את הזווית $C$: $\sphericalangle BCD=2\cdot26.57^\circ=53.13^\circ$.

$\sphericalangle ABC=180^\circ-53.13^\circ=126.87^\circ$ (סעיף א(1)).

טעות נפוצה: לקחת את $26.57^\circ$ כזווית הטרפז ב-$C$ (לשכוח שזו מחצית הזווית), ולקבל $\sphericalangle B\approx153.43^\circ$.

טעות נפוצה: לחסר בלי להתחשב בסימן ($2-8$ ו-$8-2$), ומקבלים $\sqrt{72}\approx8.49$.

מרכז המעגל $O(2,-2)$, רדיוס 10.

$OA$: מ-$(2,-2)$ ל-$(-8,-2)$ - קטע אופקי. $OC$: מ-$(2,-2)$ ל-$(2,8)$ - קטע אנכי. לכן $\sphericalangle AOC=90^\circ$.

הזווית ההיקפית $ABC$ נשענת על אותה קשת $AC$ (הקשת שאינה מכילה את $B$) כמו הזווית המרכזית $AOC$, ולכן היא מחציתה:

טעות נפוצה: לענות $90^\circ$ - זו הזווית המרכזית, והזווית ההיקפית היא מחציתה.

מכפלת השיפועים $-1$, ולכן $AB\perp AE$: המשולש $ABE$ ישר זווית ב-$A$.

טעות נפוצה: לקחת את $AE$ ואת $BE$ כניצבים (הזווית ב-$E$ אינה ישרה), ומקבלים $\frac{\sqrt{320}\cdot\sqrt{640}}{2}\approx226.27$.

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, ולכן סכום הזוויות הנגדיות $ABC$ ו-$ADC$ הוא $180^\circ$.

הזווית $EDC$ צמודה לזווית $ADC$ ($A$, $D$, $E$ על ישר אחד), ולכן $\sphericalangle EDC=180^\circ-\sphericalangle ADC=\sphericalangle ABC$.

הזווית $E$ משותפת לשני המשולשים.

לכן $\triangle ABE\sim\triangle CDE$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow D$, $E\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: לנמק ש-$DC\parallel AB$ (זוויות מתאימות) - הצלעות אינן מקבילות: $m_{AB}=-\frac12$ ו-$m_{DC}=\frac13$.

לפי ההתאמה $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow E$, הצלע $EA$ מתאימה לצלע $EC$:

טעות נפוצה: להתאים את $EB$ ל-$EC$ (שתיהן על הישר $BC$), ומקבלים $\frac{\sqrt{640}}{\sqrt{40}}=4$ - אבל $EB$ מתאימה ל-$ED$.

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לחלק ביחס הדמיון עצמו, $\frac{160}{2\sqrt2}\approx56.57$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $2x^2-2x-4=0$, מחלקים ב-2: $x^2-x-2=0$, $(x-2)(x+1)=0$, ולכן $x=2$ או $x=-1$.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=-4$.

הנקודות: $(-1,0)$, $(2,0)$, $(0,-4)$.

טעות נפוצה: לפרק $x^2-x-2=(x+2)(x-1)$ ולקבל $(-2,0)$ ו-$(1,0)$ - בבדיקה $f(1)=-4\ne0$.

המקדם של $x^2$ חיובי - פרבולה "מחייכת" (מינימום).

הקודקוד באמצע בין השורשים: $x=\frac{-1+2}{2}=0.5$, $f(0.5)=2\cdot0.25-1-4=-4.5$. הקודקוד: $(0.5,-4.5)$.

מסרטטים פרבולה דרך $(-1,0)$, $(0,-4)$, $(2,0)$ עם קודקוד $(0.5,-4.5)$.

טעות נפוצה: לשים את הקודקוד על ציר ה-$y$, בנקודה $(0,-4)$ - הקודקוד נמצא באמצע בין השורשים, ב-$x=0.5$.

השורש מוגדר כשהביטוי שבתוכו אי-שלילי: $2x^2-2x-4\ge0$.

לפי הפרבולה מסעיף א: $f(x)\ge0$ מחוץ לשורשים, כולל השורשים עצמם.

תחום ההגדרה: $x\le-1$ או $x\ge2$.

טעות נפוצה: לענות $-1\le x\le2$ - שם הפרבולה מתחת לציר ה-$x$, כלומר $f(x)\le0$.

$g(x)=0$ כש-$f(x)=0$: $x=-1$ ו-$x=2$ (שניהם בתחום). הנקודות $(-1,0)$, $(2,0)$.

$x=0$ אינו בתחום ההגדרה ($f(0)=-4<0$), ולכן אין לגרף חיתוך עם ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ולכתוב $g(0)=\sqrt4=2$ (לשכוח את הסימן של $-4$), ולקבל נקודה $(0,2)$ שאינה קיימת.

$g'(x)=0$ רק ב-$x=0.5$, שאינו בתחום ההגדרה. לכן אין קיצון פנימי.

המכנה חיובי בתחום, והסימן של $g'$ הוא הסימן של $2x-1$:

ב-$x<-1$: $g'(x)<0$ - יורדת. ב-$x>2$: $g'(x)>0$ - עולה.

בקצוות התחום $g=0$, וכל ערך אחר של $g$ חיובי - לכן $(-1,0)$ ו-$(2,0)$ הן נקודות מינימום (קיצון בקצה התחום).

טעות נפוצה: להעתיק את קודקוד הפרבולה ולכתוב מינימום ב-$x=0.5$ - הנקודה אינה בתחום ההגדרה ($f(0.5)=-4.5<0$).

מרכזים: תחום $x\le-1$ או $x\ge2$; הגרף לא שלילי; חיתוכים ומינימום בקצה ב-$(-1,0)$ וב-$(2,0)$; ירידה משמאל ועלייה מימין.

הענף השמאלי יורד עד $(-1,0)$ ונעצר שם; הענף הימני מתחיל ב-$(2,0)$ ועולה. בין $-1$ ל-2 אין גרף.

טעות נפוצה: לסרטט "קשת" בין $-1$ ל-2 (כמו החלק השלילי של הפרבולה, משוקף) - שם $f(x)<0$ ו-$g$ אינה מוגדרת.

$f$ עולה היכן ש-$f'(x)>0$ (הגרף של $f'$ מעל ציר ה-$x$) ויורדת היכן ש-$f'(x)<0$.

משמאל ל-$x=-2$ הגרף של $f'$ מתחת לציר: $f$ יורדת ב-$x<-2$.

מימין ל-$-2$ הגרף מעל הציר, חוץ מנקודת ההשקה ב-$x=1$ שבה $f'(1)=0$ - שם הנגזרת לא מחליפה סימן, ולכן $f$ ממשיכה לעלות: $f$ עולה ב-$x>-2$.

טעות נפוצה: לקרוא את הגרף של $f'$ כאילו הוא הגרף של $f$ ולענות "ירידה ב-$-1<x<1$" (היכן שהגרף של $f'$ יורד) - העלייה והירידה של $f$ נקבעות לפי הסימן של $f'$, לא לפי הכיוון שלה.

ב-$x=-2$ הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן ממינוס לפלוס: $f$ יורדת ואחר כך עולה - מינימום.

ב-$x=1$ הנגזרת מתאפסת אבל לא מחליפה סימן (חיובית משני הצדדים) - אין שם קיצון.

טעות נפוצה: לקבוע שגם $x=1$ נקודת קיצון, כי $f'(1)=0$ - אפס של הנגזרת בלי החלפת סימן אינו קיצון.

פונקציה קדומה של $f'$:

נקודת הקיצון היא $(-2,-10)$ (סעיף א(2)):

$f(x)=x^4-6x^2+8x+14$.

טעות נפוצה: להציב את $-10$ ב-$x=1$ (אפס הנגזרת השני), $1-6+8+C=-10$, ולקבל $C=-13$ - ב-$x=1$ אין קיצון.

שיפוע המשיק הוא $f'(x)$, ולכן מחפשים $f'(x)=0$: $x=-2$ ו-$x=1$ (הנקודות הנתונות על הגרף של $f'$).

$f(-2)=-10$, $f(1)=1-6+8+14=17$.

הנקודות: $(-2,-10)$ ו-$(1,17)$.

טעות נפוצה: לענות רק $(-2,-10)$ (נקודת הקיצון) - גם ב-$x=1$ השיפוע 0, אף שאין שם קיצון.

המכנה $x-1$ מתאפס ב-$x=1$ והמונה (4) לא: אסימפטוטה אנכית $x=1$.

כש-$x\to\pm\infty$ השבר $\frac{4}{x-1}\to0$, ולכן $f(x)\to3$: אסימפטוטה אופקית $y=3$.

טעות נפוצה: לענות $y=0$ (האסימפטוטה של השבר לבדו) ולשכוח את ה-$+3$.

נסמן $A\left(t,\ \frac{4}{t-1}+3\right)$, $t>1$ (ברביע הראשון, על הענף הימני).

המלבן נבנה בין $A$ לנקודת המפגש של האסימפטוטות $(1,3)$. אורכי צלעותיו:

$t-1$ ו-$\left(\frac{4}{t-1}+3\right)-3=\frac{4}{t-1}$.

$P'(t)=0$: $(t-1)^2=4$, $t-1=\pm2$. רק $t=3$ מקיים $t>1$.

$P'<0$ ב-$1<t<3$ ו-$P'>0$ ב-$t>3$ - מינימום. $f(3)=\frac42+3=5$, ולכן $A(3,5)$ (וההיקף המינימלי 8).

טעות נפוצה: להשאיר גם את $t-1=-2$, כלומר $t=-1$, ולקבל נקודה $(-1,1)$ - היא על הענף השמאלי ולא ברביע הראשון.

צלעות המלבן ב-$t=3$: $t-1=2$ ו-$\frac{4}{t-1}=2$ (ריבוע).

(למעשה $S=(t-1)\cdot\frac{4}{t-1}=4$ לכל נקודה $A$ - השטח קבוע.)

טעות נפוצה: לחשב את המלבן שבין $A$ לצירים, $3\cdot5=15$, במקום המלבן שבין $A$ לאסימפטוטות.