בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2021 מועד א'

"75% מתוך בעלי התואר" הוא הסתברות מותנית: $P(\text{מרוצה}\mid\text{תואר})=0.75$.

הסתברות של "תואר וגם מרוצה" היא מכפלת ההסתברות לתואר בהסתברות המותנית:

טעות נפוצה: לענות 0.75 - זו ההסתברות להיות מרוצה רק מתוך בעלי התואר, ולא ההסתברות לתושב אקראי להיות גם בעל תואר וגם מרוצה.

הנתון "80% מבין אלה שלא מרוצים הם ללא תואר" מותנה בקבוצת הלא מרוצים: $P(\text{ללא תואר}\mid\text{לא מרוצה})=0.8$, ולכן $P(\text{תואר}\mid\text{לא מרוצה})=0.2$.

בעלי התואר שאינם מרוצים: $P(\text{תואר}\cap\text{לא מרוצה})=0.4-0.3=0.1$.

החיתוך הזה הוא 20% מכלל הלא מרוצים:

ולכן $P(\text{מרוצה})=1-0.5=0.5$: 50% מהתושבים מרוצים.

טעות נפוצה: לקרוא את הנתון בכיוון ההפוך, "80% מחסרי התואר אינם מרוצים": $P(\text{לא מרוצה})=0.1+0.6\cdot0.8=0.58$, ולענות 42%.

התנאי הוא "מרוצה", ולכן מחלקים בהסתברות להיות מרוצה (סעיף ב(1)).

חסרי התואר המרוצים: $P(\text{ללא תואר}\cap\text{מרוצה})=0.5-0.3=0.2$.

טעות נפוצה: לעצור בחיתוך ולענות 0.2 - בלי לחלק בהסתברות התנאי.

צריך להשוות שתי הסתברויות מותנות: מרוצה בתוך קבוצת בעלי התואר, ומרוצה בתוך קבוצת חסרי התואר.

דניאל: $P(\text{מרוצה}\mid\text{תואר})=0.75$ (נתון).

מיכאל: חסרי התואר הם 0.6 מהתושבים, ומהם 0.2 מרוצים (סעיף ב(2)):

$0.75>\frac13$, ולכן ההסתברות של דניאל גדולה יותר.

טעות נפוצה: להתעלם מהמידע על כל אחד מהם ולהציב לשניהם $P(\text{מרוצה})=0.5$ מסעיף ב(1), ולענות שההסתברויות שוות.

$B$ על ציר ה-$y$: מציבים $x=0$ במשוואת $AB$ ומקבלים $B(0,5)$.

$\angle C=90^\circ$, ולכן $BC\perp OC$. $OC\parallel AB$, ולכן גם $BC\perp AB$.

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$:

$BC$ עובר דרך $B(0,5)$: $y=\frac12x+5$.

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן ולקבל $y=-\frac12x+5$ - ישר שאינו מאונך ל-$AB$.

$OC\parallel AB$ ועובר דרך הראשית, ולכן משוואתו $y=-2x$.

$C$ היא נקודת החיתוך של $OC$ ו-$BC$:

טעות נפוצה: לחתוך את $BC$ עם $AB$ במקום עם $OC$ - מקבלים את $B(0,5)$ ולא את $C$.

המשולש $BOC$ ישר זווית ב-$C$, והיתר שלו $OB=5$.

$BC$ הוא הניצב שמול הזווית $BOC$:

טעות נפוצה: לחשב $\tan\alpha=\frac{4}{2}=2$ מהשיעורים של $C$ ולענות $63.43^\circ$ - זו הזווית בין $OC$ לציר ה-$x$, ולא הזווית עם ציר ה-$y$.

$\angle AOB=90^\circ$ (בין הצירים) ו-$\angle BCO=90^\circ$ (נתון), ולכן $\angle AOB=\angle BCO$.

$AB\parallel OC$ ו-$OB$ חותך אותם, ולכן $\angle ABO=\angle BOC$ (זוויות מתחלפות).

לפי משפט הדמיון ז.ז.: $\triangle ABO\sim\triangle BOC$, בהתאמה $A\leftrightarrow B$, $B\leftrightarrow O$, $O\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: להתאים את הקודקודים לפי סדר האותיות בלי לבדוק את הזוויות, למשל $\angle OAB=\angle BOC$. מהתאמה שגויה כזו יוצא בסעיף ג(2) יחס של $\left(\frac{AO}{OC}\right)^2=\frac{5}{16}$.

לפי ההתאמה בג(1), היתר $AB$ מתאים ליתר $BO$. $A(2.5,0)$ (הצבת $y=0$ ב-$AB$):

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

(בדיקה: $S_{ABO}=\frac{2.5\cdot5}{2}=6.25$, $S_{BOC}=\frac{\sqrt5\cdot\sqrt{20}}{2}=5$.)

טעות נפוצה: לענות ביחס הדמיון עצמו, $\frac{\sqrt5}{2}\approx1.118$, בלי להעלות בריבוע.

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות $180^\circ$: $\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$.

הזוויות שוות (נתון), ולכן כל אחת מהן $90^\circ$.

$\angle ABC$ היא זווית היקפית בת $90^\circ$ הנשענת על המיתר $AC$, וזווית היקפית ישרה נשענת על קוטר. לכן $AC$ קוטר.

טעות נפוצה: לטעון שהזוויות שוות כי הן "נשענות על אותה קשת" ולהסיק מכאן משהו על $AC$ - הן נשענות על שתי הקשתות המשלימות של $AC$. בלי משפט הזוויות הנגדיות לא מגיעים ל-$90^\circ$.

לפי סעיף א, $AC$ קוטר, ולכן מרכז המעגל $M$ הוא אמצע $AC$:

הרדיוס הוא המרחק מ-$M$ ל-$C$:

משוואת המעגל: $(x-2)^2+(y+2)^2=20$.

טעות נפוצה: להציב כ-$R^2$ את ריבוע אורך הקוטר $AC^2=80$ ולקבל $(x-2)^2+(y+2)^2=80$.

$B$ ו-$D$ על ציר ה-$x$, ולכן מציבים $y=0$ במשוואת המעגל:

לפי הסרטוט $B$ מימין: $B(6,0)$, $D(-2,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במקום $y=0$, לקבל $(y+2)^2=16$ ולענות $(0,2)$ ו-$(0,-6)$ - אלה נקודות החיתוך עם ציר ה-$y$.

הזווית ההיקפית $ABD$ נשענת על הקשת $AD$. הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת היא $\angle AMD$.

שיפוע $MA$: $\frac{-6+2}{0-2}=2$. שיפוע $MD$: $\frac{0+2}{-2-2}=-\frac12$. המכפלה $-1$, ולכן $\angle AMD=90^\circ$.

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת:

(אפשר גם במשולש $AOB$: $OA=OB=6$, והוא ישר זווית ושווה שוקיים.)

טעות נפוצה: לענות $90^\circ$ - זו הזווית המרכזית $AMD$, ולא הזווית ההיקפית.

$A$, $E$ ו-$C$ על ישר אחד (האלכסון $AC$). נבחר במשולש $EBA$ את הבסיס $AE$, ובמשולש $EBC$ את הבסיס $EC$.

הגובה לשני הבסיסים הוא אותו קטע: האנך $h$ מ-$B$ לישר $AC$.

טעות נפוצה: להסיק שהשטחים שווים (יחס 1) כי לשני המשולשים יש צלע משותפת $BE$. צלע משותפת אינה מספיקה - צריך בסיסים על ישר אחד וגובה משותף; כאן $\frac{AE}{EC}=3$.

נקודת חיתוך עם ציר ה-$x$: $f(-3)=0$.

טעות נפוצה: להציב $x=3$ במקום $x=-3$ ולקבל $a=-3$.

$f(x)=x\sqrt{x+3}$. הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי:

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולכתוב $x\ge3$.

עם ציר ה-$x$: מכפלה שווה לאפס כשאחד הגורמים אפס - $x=0$ או $\sqrt{x+3}=0$, כלומר $x=-3$. שניהם בתחום.

עם ציר ה-$y$: $f(0)=0$ - הראשית.

הנקודות: $(-3,0)$ ו-$(0,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם $x$ ולענות רק $(-3,0)$.

גוזרים לפי כלל המכפלה ומביאים למכנה משותף:

$f'(x)=0$ כש-$x=-2$. בתחום $-3<x<-2$: $f'<0$ (יורדת); ב-$x>-2$: $f'>0$ (עולה). לכן $(-2,f(-2))=(-2,-2)$ מינימום.

בקצה התחום $x=-3$: $f(-3)=0$, והפונקציה יורדת מימינו - לכן $(-3,0)$ מקסימום (קצה).

טעות נפוצה: לבדוק רק איפה הנגזרת מתאפסת ולענות רק $\min(-2,-2)$, בלי נקודת הקצה $(-3,0)$.

הגרף קיים רק ב-$x\ge-3$. הוא מתחיל בנקודה $(-3,0)$, יורד עד $(-2,-2)$, עולה וחותך את ציר ה-$x$ בראשית, וממשיך לעלות (ב-$x$ גדול $f(x)$ גדל ללא הגבלה).

טעות נפוצה: להמשיך את הגרף משמאל ל-$x=-3$ - שם הפונקציה אינה מוגדרת.

לפי הסקיצה, הערך הקטן ביותר של $f$ הוא $-2$ (מינימום מוחלט), ומעליו הפונקציה מקבלת כל ערך (היא עולה לאינסוף).

לכן הישר $y=k$ חותך את הגרף לכל $k\ge-2$, ואינו חותך אותו רק כש-$k<-2$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמקסימום $(-3,0)$ הוא הערך הגדול ביותר ולענות $k>0$ - זה מקסימום קצה מקומי, והגרף ממשיך לעלות מימין לראשית.

כפל ב-$-2$ הופך את הסימן: $g$ חיובית איפה ש-$f$ שלילית, ולהפך. האפסים נשארים.

$f<0$ ב-$-3<x<0$ ו-$f>0$ ב-$x>0$. לכן $g>0$ ב-$-3<x<0$ ו-$g<0$ ב-$x>0$.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן השלילי ולהעתיק את תחומי הסימן של $f$: חיוביות $x>0$, שליליות $-3<x<0$.

שיעורי ה-$x$ של הקיצון נשמרים, שיעורי ה-$y$ מוכפלים ב-$-2$, והסוג מתהפך (שיקוף ביחס לציר ה-$x$).

$(-3,0)$ מקסימום של $f$ $\Rightarrow$ $(-3,0)$ מינימום של $g$.

$(-2,-2)$ מינימום של $f$ $\Rightarrow$ $(-2,4)$ מקסימום של $g$.

טעות נפוצה: להכפיל את שיעורי ה-$y$ בלי להפוך את הסוג ולענות $\max(-3,0)$, $\min(-2,4)$.

$f'>0$ ב-$x<-1$, $f'<0$ ב-$-1<x<1$, $f'>0$ ב-$x>1$.

$f(-1)=-1+3+2=4$: $(-1,4)$ מקסימום. $f(1)=1-3+2=0$: $(1,0)$ מינימום.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בהצבה, $f(-1)=-1-3+2=-2$, ולקבל "מקסימום" $(-1,-2)$ - נמוך מהמינימום.

ולכן $(-2,0)$ על ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: להציב בנגזרת, $f'(-2)=9\ne0$, ולהסיק ש-$x=-2$ אינה נקודת חיתוך.

נקודות: חיתוך $(-2,0)$, מקסימום $(-1,4)$, חיתוך עם ציר ה-$y$ $(0,2)$, מינימום $(1,0)$ על ציר ה-$x$.

הגרף עולה מ-$-\infty$ דרך $(-2,0)$ ל-$(-1,4)$, יורד דרך $(0,2)$ ל-$(1,0)$ - שם נוגע בציר ולא חוצה אותו - ועולה ל-$\infty$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ ב-$x=1$ ויורד מתחתיו - המינימום הוא 0, ולכן יש רק שתי נקודות חיתוך.

בתחום $[-3,-1]$ הפונקציה מחליפה סימן ב-$x=-2$: שלילית ב-$[-3,-2]$ וחיובית ב-$[-2,-1]$. מפצלים את השטח.

טעות נפוצה: לחשב רק את החלק שמעל הציר ($[-2,-1]$) ולענות 2.75.

$g$ היא הזזה של $f$ ב-4 יחידות כלפי מטה: שיעורי ה-$x$ ונגזרת זהים, שיעורי ה-$y$ קטנים ב-4, והסוג נשמר.

$\max(-1,4)\Rightarrow\max(-1,0)$, $\min(1,0)\Rightarrow\min(1,-4)$.

טעות נפוצה: להזיז אופקית (כאילו $g(x)=f(x-4)$) ולענות $\max(3,4)$, $\min(5,0)$.

$f(x)-g(x)=4$ לכל $x$, ו-$f$ מעל $g$:

טעות נפוצה: לחשב רק את השטח מתחת ל-$f$, $\int_0^1 f(x)\,dx=0.75$.

$f(x)=\frac{3}{x^2+1}$: המונה והמכנה חיוביים, ולכן $f(x)>0$ לכל $x$, ו-$f(0)=3$.

$g(x)=\frac{4x}{x^2+1}$: $g(0)=0$ (הגרף עובר בראשית), ו-$g(x)<0$ עבור $x<0$.

גרף א חיובי לכל $x$ וחותך את ציר ה-$y$ מעל הראשית - זה $f$. גרף ב שלילי משמאל לראשית ועובר בה - זה $g$.

טעות נפוצה: לחשוב ש"המונה של $g$ גדול יותר ולכן $g$ הגרף הגבוה", ולענות גרף א: $g$, גרף ב: $f$.

לשני השברים אותו מכנה חיובי, ולכן הם שווים כשהמונים שווים:

טעות נפוצה: לחלק הפוך, $x=\frac43$, ולקבל $M\left(\frac43,1.08\right)$ - בנקודה זו $g\left(\frac43\right)=1.44\ne1.08$.

משמאל ל-$M$ ($t<0.75$) גרף $f$ מעל גרף $g$ (למשל ב-$x=0$: $3>0$), ולכן אורך הקטע האנכי הוא העליונה פחות התחתונה:

טעות נפוצה: לכתוב $g(t)-f(t)=\frac{4t-3}{t^2+1}$ - ביטוי שלילי לכל $t<0.75$, ולכן אינו אורך.

גוזרים לפי כלל המנה:

$t=2$ נפסל, כי הישר משמאל ל-$M$ ($t<0.75$).

ב-$t<-0.5$ הנגזרת חיובית וב-$-0.5<t<0.75$ שלילית - מקסימום ב-$t=-0.5$ (אורך הקטע $\frac{5}{1.25}=4$).

טעות נפוצה: לא לפסול את $t=2$ ולענות שני ערכים, או $t=2$ - מימין ל-$M$.