בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2021 מועד ב'

מחשבים את ציון התקן של הציון 55 במתמטיקה:

לעבור = לקבל 55 ומעלה, כלומר מחפשים את השטח מימין ל-$z=-0.6$:

(או לפי הסימטריה: $P(Z>-0.6)=\Phi(0.6)=0.7257$.)

ההסתברות לעבור את הבחינה במתמטיקה היא בערך 0.726.

טעות נפוצה: לקרוא מהטבלה $\Phi(-0.6)=0.2743$ ולענות 0.274 - זו ההסתברות להיכשל (ציון מתחת ל-55), לא לעבור.

ציון התקן של 55 באנגלית:

ההסתברות לעבור באנגלית:

$0.8413>0.7257$, ולכן ההסתברות לעבור באנגלית גדולה יותר.

אפשר לנמק גם בלי טבלה: הציון 55 נמצא באנגלית סטיית תקן שלמה מתחת לממוצע ובמתמטיקה רק 0.6 סטיית תקן מתחת לממוצע. ככל שהציון העובר נמוך יותר יחסית לממוצע, השטח שמימינו גדול יותר.

טעות נפוצה: לראות ש-$-1<-0.6$ ולהסיק שבאנגלית "המצב גרוע יותר" ולענות שלא. ציון התקן הנמוך שייך לסף המעבר ולא לתלמיד - סף נמוך יותר יחסית לממוצע פירושו שקל יותר לעבור.

מניחים שהציון במתמטיקה והציון באנגלית בלתי תלויים, ולכן ההסתברות לעבור את שתי הבחינות היא מכפלת ההסתברויות:

טעות נפוצה: לכפול את ההסתברויות להיכשל, $0.2743\cdot0.1587\approx0.0435$ - זו ההסתברות שהתלמיד ייכשל בשתי הבחינות.

לכל תלמיד ההסתברות לעבור את שתי הבחינות היא $p=0.6105$ (סעיף ג), וההסתברות שלא יעבור את שתיהן היא $1-p=0.3895$.

"רק אחד מהם" קורה בשני סדרים: הראשון עובר והשני לא, או הראשון לא והשני כן:

טעות נפוצה: לחשב רק סדר אחד, $0.6105\cdot0.3895\approx0.2378$, ולשכוח שהתלמיד שעובר יכול להיות הראשון או השני.

נסמן ב-$N$ את מספר הכדורים בכד. ההוצאה עם החזרה, ולכן שתי ההוצאות בלתי תלויות וההסתברות לכחול בכל הוצאה היא $\frac6N$:

(הפתרון השלילי $-0.3$ נפסל - הסתברות אינה שלילית.)

מספר הכדורים הירוקים: $20-6-9=5$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$N=20$ ולענות "20 כדורים ירוקים" - 20 הוא מספר כל הכדורים בכד.

ההסתברויות בכל הוצאה: כחול $\frac{6}{20}=0.3$, אדום $\frac{9}{20}=0.45$, ירוק $\frac{5}{20}=0.25$.

"אותו צבע" - שלושה מסלולים זרים בעץ: שני כחולים, שני אדומים או שני ירוקים:

טעות נפוצה: לחשב כאילו ההוצאה בלי החזרה: $\frac{6\cdot5+9\cdot8+5\cdot4}{20\cdot19}\approx0.321$. הכדור הראשון מוחזר, ולכן ההסתברויות בהוצאה השנייה לא משתנות.

"צבעים שונים" הוא המאורע המשלים של "אותו צבע":

$0.645>0.355$, ולכן ההסתברות להוציא שני כדורים בצבעים שונים גדולה יותר.

טעות נפוצה: לחשב "צבעים שונים" כזוגות בלי סדר, $0.3\cdot0.45+0.3\cdot0.25+0.45\cdot0.25=0.3225$, ולענות "קטנה". כל זוג צבעים מופיע בעץ בשני סדרים, ולכן צריך לכפול ב-2 (ואז מקבלים 0.645).

המשלים של "לפחות כחול אחד" הוא "אף כדור אינו כחול". ההסתברות שכדור אינו כחול היא $1-0.3=0.7$:

טעות נפוצה: לחשב $1-0.3^2=0.91$ - זה המשלים של "שני כחולים", כלומר "לכל היותר כחול אחד".

$\angle AOE=90^\circ$ - הזווית בין הצירים.

$\angle CBE=\angle CBA=90^\circ$ - זווית של מלבן ($E$ על הצלע $AB$).

$\angle AEO=\angle CEB$ - זוויות קודקודיות.

לכן $\triangle AOE\sim\triangle CBE$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $O\leftrightarrow B$, $E\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר $\triangle AOE\sim\triangle BCE$ (להתאים את $A$ ל-$B$). אז בסעיף ג מתאימים את היתר $AE$ לניצב $BE$ ומקבלים יחס דמיון $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt5}=2$ במקום $\frac{2\sqrt5}{5}$.

השיפוע של $DC$:

$AD\perp DC$ (זווית של מלבן), ולכן $m_{AD}\cdot(-2)=-1$, כלומר $m_{AD}=\frac12$.

הישר עובר דרך $D(4,6)$:

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן, $m=-\frac12$, ולקבל $y=-\frac12x+8$ - ישר שאינו מאונך ל-$DC$.

$A$ נמצאת על ציר ה-$y$ ועל הישר $AD$: מציבים $x=0$ ומקבלים $A(0,4)$.

$AB\parallel DC$ (צלעות נגדיות במלבן), ולכן $m_{AB}=-2$:

טעות נפוצה: לקחת את נקודת החיתוך של $AD$ עם ציר ה-$x$, $(-8,0)$, כאילו היא $A$, ולקבל $y=-2x-16$. לפי האיור $A$ על ציר ה-$y$.

$E$ על ציר ה-$x$, ולכן מציבים $y=0$ במשוואת $AB$:

$E(2,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במקום $y=0$ ולקבל $(0,4)$ - זו הנקודה $A$, החיתוך עם ציר ה-$y$.

לפי ההתאמה מסעיף א, היתר $AE$ (מול הזווית הישרה $O$) מתאים ליתר $CE$ (מול הזווית הישרה $B$).

טעות נפוצה: להתאים את $OE$ ל-$CE$ כי שניהם על ציר ה-$x$, ולקבל $\frac{2}{5}=0.4$. $OE$ הוא ניצב ו-$CE$ הוא יתר - הם אינם צלעות מתאימות.

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: להשתמש ביחס הדמיון עצמו ולא בריבועו: $\frac{5}{2\sqrt5}\approx1.118$.

מהדמיון: $\angle ECB=\angle EAO$ (זוויות מתאימות, $C\leftrightarrow A$).

במשולש ישר הזווית $AOE$:

לכן $\angle ECB\approx26.565^\circ$.

טעות נפוצה: להחליף בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה, $\tan=\frac{OA}{OE}=2$, ולקבל $63.435^\circ$ - זו הזווית $AEO$.

$CD$ עובר דרך המרכז $M$ ומאונך למיתר $AB$. אנך למיתר שעובר דרך מרכז המעגל חוצה את המיתר, ולכן $AD=DB$.

במשולשים $ACD$ ו-$BCD$:

$AD=DB$ (הוכח), $\angle CDA=\angle CDB=90^\circ$ ($CD$ גובה), $CD$ צלע משותפת.

לכן $\triangle ACD\cong\triangle BCD$ (צ.ז.צ.), ומכאן $CA=CB$ (צלעות מתאימות במשולשים חופפים).

(אפשר גם: $CD$ הוא האנך האמצעי של $AB$, וכל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע.)

טעות נפוצה: לנמק $AD=DB$ רק בכך ש-$CD$ הוא גובה. גובה חוצה את הבסיס רק במשולש שווה שוקיים - וזה בדיוק מה שצריך להוכיח, כך שההוכחה מעגלית. הנימוק הנכון הוא שהגובה עובר דרך המרכז.

$A$ ו-$B$ הן נקודות החיתוך של המעגל עם הישר $y=-6$. מציבים:

$x=1$ או $x=7$. לפי האיור $A$ משמאל: $A(1,-6)$, $B(7,-6)$.

טעות נפוצה: לקחת רק את השורש החיובי, $x-4=3$, ולמצוא רק את $B(7,-6)$.

$AB$ אופקי, ולכן הגובה $CD$ אנכי: הוא על הישר $x=4$ שעובר דרך $M(4,-2)$. $C$ היא הקצה העליון של הקוטר האנכי: $C(4,-2+5)=C(4,3)$, ו-$D(4,-6)$.

במשולש ישר הזווית $ACD$:

$CD$ חוצה את הזווית $ACB$ (המשולשים $ACD$, $BCD$ חופפים), ולכן $\angle ACB=2\cdot18.435^\circ\approx36.87^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את $CD$ כרדיוס, $CD=5$, ולקבל $\tan\angle ACD=\frac35$ ו-$\angle ACB\approx61.93^\circ$. $CD$ הוא רדיוס ועוד $MD$.

$MA=MC=5$ (רדיוסים), ולכן המשולש $ACM$ שווה שוקיים: $\angle MAC=\angle MCA$.

$M$ על $CD$, ולכן $\angle MCA=\angle DCA\approx18.435^\circ$, וגם $\angle MAC\approx18.435^\circ$.

טעות נפוצה: לבלבל בין $\angle CMA$ לזווית המרכזית $\angle AMB=2\angle ACB\approx73.74^\circ$, ולקבל זוויות בסיס $53.13^\circ$.

$CM$ רדיוס: $CM=5$.

$M(4,-2)$ ו-$D(4,-6)$ על אותו ישר אנכי:

טעות נפוצה: לחבר את הערכים המוחלטים של שיעורי ה-$y$, $6+2=8$, כאילו $M$ ו-$D$ משני צדי ציר ה-$x$.

הבסיסים $CM$ ו-$DM$ של שני המשולשים נמצאים על אותו ישר ($CD$), והגובה מ-$A$ לישר הזה משותף - הוא $AD$ (כי $AD\perp CD$).

טעות נפוצה: לחשוב שהמשולשים דומים ולהעלות בריבוע: $\left(\frac54\right)^2=\frac{25}{16}$. המשולשים אינם דומים; יש להם גובה משותף, ולכן יחס השטחים הוא יחס הבסיסים.

הפונקציה מוגדרת בכל מקום שבו המכנה אינו מתאפס. המכנה $x$ מתאפס רק ב-$x=0$, ולכן התחום הוא $x\neq0$.

טעות נפוצה: לענות $x>0$ - מבלבלים עם תחום ההגדרה של שורש. במנה המגבלה היא רק איפוס המכנה, ומספרים שליליים מותרים.

טבלת סימנים (כולל $x=0$, שבה הפונקציה לא מוגדרת):

$x<-2$: $f'>0$ (עולה); $-2<x<0$: $f'<0$ (יורדת); $0<x<2$: $f'<0$ (יורדת); $x>2$: $f'>0$ (עולה).

ב-$x=-2$ מעלייה לירידה - מקסימום: $f(-2)=\frac{12}{-2}+3\cdot(-2)=-6-6=-12$.

ב-$x=2$ מירידה לעלייה - מינימום: $f(2)=6+6=12$.

$\max(-2,-12)$, $\min(2,12)$.

טעות נפוצה: להציב $x=-2$ ולאבד את הסימנים, $f(-2)=6+6=12$, ולקבל $\max(-2,12)$ - מקסימום שגבוה מהמינימום, שאינו יכול להיות על הענף השלילי ($x<0$ נותן $f(x)<0$).

חיתוך עם ציר ה-$y$ דורש $x=0$, אבל $x=0$ אינו בתחום ההגדרה - אין חיתוך עם ציר ה-$y$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $f(x)=0$:

אין פתרון ממשי, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-$x$. (אפשר גם: עבור $x>0$ שני המחוברים חיוביים, ועבור $x<0$ שניהם שליליים, כך שהסכום אינו מתאפס.)

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ולקבל $\frac{12}{0}=0$, כלומר "נקודת חיתוך $(0,0)$". חילוק באפס אינו מוגדר.

מסכמים את החקירה:

תחום $x\neq0$, ו-$x=0$ אסימפטוטה אנכית. ליד $0^+$: $\frac{12}{x}\to+\infty$; ליד $0^-$: $\frac{12}{x}\to-\infty$.

ענף ימני ($x>0$): יורד מ-$+\infty$ (ליד ציר ה-$y$) עד המינימום $(2,12)$ ואז עולה.

ענף שמאלי ($x<0$): עולה עד המקסימום $(-2,-12)$ ואז יורד ל-$-\infty$ ליד ציר ה-$y$.

אין חיתוך עם הצירים, ולכן הענף הימני כולו מעל ציר ה-$x$ והשמאלי כולו מתחתיו.

טעות נפוצה: לחבר את שתי נקודות הקיצון בקו רציף שעובר דרך ציר ה-$y$ - מתעלמים מהאסימפטוטה $x=0$, ומקבלים גרף שחותך את ציר ה-$y$, בניגוד לסעיף א(3).

$g(x)=f(x)+c$ הוא הזזה אנכית של $f$ ב-$c$ יחידות: נקודות הקיצון זזות ל-$(2,12+c)$ ול-$(-2,-12+c)$, וסוגן לא משתנה.

גרף משיק לציר ה-$x$ כשהוא נוגע בציר בנקודה שבה הנגזרת מתאפסת - כלומר נקודת קיצון נמצאת על הציר:

טעות נפוצה: להשוות לאפס את שיעור ה-$x$ של הקיצון במקום את שיעור ה-$y$, ולקבל $c=\pm2$ - הזזה אנכית משנה רק את שיעורי ה-$y$.

$g(x)=f(x)-12$: מזיזים את הסקיצה מסעיף א(4) 12 יחידות למטה.

המינימום $(2,12)$ עובר ל-$(2,0)$ - הענף הימני נוגע בציר ה-$x$ ב-$(2,0)$ ומשני צדיו מעל הציר.

המקסימום $(-2,-12)$ עובר ל-$(-2,-24)$. האסימפטוטה $x=0$ לא משתנה.

טעות נפוצה: להזיז את הגרף אופקית (כאילו $g(x)=f(x-12)$) ולקבל אסימפטוטה $x=12$. הוספת קבוע לפונקציה מזיזה אנכית.

$g(x)=\frac{12}{x}+3x-12$, ולכן $g'(x)=-\frac{12}{x^2}+3$ (הקבוע נגזר לאפס).

טעות נפוצה: לחשב את נקודת ההשקה מ-$f$ ולא מ-$g$: $f(1)=15$, ולקבל $y=-9x+24$.

חיתוכי המשיק $y=-9x+12$ עם הצירים:

ציר ה-$y$: $(0,12)$. ציר ה-$x$: $0=-9x+12$, $x=\frac43$.

המשולש ישר זווית בראשית, וניצביו $12$ ו-$\frac43$:

טעות נפוצה: לשכוח את החצי ולענות 16 - מכפלת הניצבים היא שטח המלבן, לא המשולש.

פרבולה מהצורה $(x-p)^2$ נוגעת בציר ה-$x$ בקודקוד $(p,0)$.

$f(x)=(2-x)^2=(x-2)^2$ - הקודקוד $(2,0)$, מימין לציר ה-$y$.

$g(x)=(2+x)^2=(x+2)^2$ - הקודקוד $(-2,0)$, משמאל לציר ה-$y$.

באיור הגרף I נוגע בציר ה-$x$ משמאל לראשית, ולכן I הוא $g(x)$, ו-II (שנוגע מימין) הוא $f(x)$.

טעות נפוצה: לקרוא מ-$(2+x)^2$ קודקוד ב-$x=2$ (לפי הסימן שבסוגריים) ולהחליף: I - $f(x)$, II - $g(x)$.

$f(0)=4$, ולכן נקודת החיתוך $(0,4)$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$x=0$ ולכתוב את הנקודה $(0,0)$ - שיעור ה-$y$ מתקבל מהצבה בפונקציה ולא מה-$x$.

הגרפים נחתכים ב-$x=0$, ובכל צד אחרת מהן עליונה:

ב-$-1\le x\le0$: $f(-1)=9>g(-1)=1$ - $f$ עליונה. ב-$0\le x\le1$: $g$ עליונה.

טעות נפוצה: לחשב רק את החלק הימני, $\int_0^1 8x\,dx=4$, ולשכוח שגם משמאל לציר ה-$y$ יש שטח מסומן.

הסבר: באינטגרל המסוים החלק שבו $f>g$ (משמאל) נספר בחיוב, והחלק שבו $f<g$ (מימין) נספר בשלילה. לפי סעיף ג שני החלקים שווים (4 כל אחד), ולכן הם מבטלים זה את זה - אף על פי שהשטח הוא 8.

טעות נפוצה: להשוות את האינטגרל לשטח מסעיף ג, לומר שהוא 8 ולקבוע שהטענה אינה נכונה. אינטגרל מסוים הוא שטח מסומן, לא שטח.

$AC+BD=100$ ו-$AC=2x$, ולכן $BD=100-2x$.

אלכסוני המעוין חוצים זה את זה, ולכן $M$ אמצע $BD$:

טעות נפוצה: לשכוח שהאלכסונים חוצים זה את זה ולענות $MB=100-2x$ - זה אורך כל האלכסון $BD$.

אורכים חיוביים: $AC=2x>0$, כלומר $x>0$; ו-$MB=50-x>0$, כלומר $x<50$.

התחום: $0<x<50$.

טעות נפוצה: לדרוש רק $2x<100$ ו-$x<100$, ולענות $0<x<100$ - שוכחים ש-$AC=2x$ ולכן $x$ הוא רק חצי מהאלכסון.