בגרות במתמטיקה 471 - חורף 2022 מועד נבצרים

מסדרים את הנתונים בטבלה דו-ממדית של מספרי משתתפים. בסך הכול $800+1200=2000$ משתתפים.

בנים שהקדישו זמן ללימודים: $0.75\cdot800=600$; בנים שלא הקדישו: $800-600=200$.

בנות שהקדישו: $0.8\cdot1200=960$; בנות שלא הקדישו: $1200-960=240$.

"בן שהקדיש זמן" הוא חיתוך של שני מאורעות (בן, וגם הקדיש) - תא אחד בטבלה, חלקי כל המשתתפים:

טעות נפוצה: לענות $0.75$. זו ההסתברות שבן הקדיש זמן מתוך הבנים (הסתברות מותנית), ולא ההסתברות שהמשתתף שנבחר מכלל המשתתפים הוא בן שהקדיש זמן.

משתתפים שלא הקדישו זמן ללימודים: בנים ובנות יחד - סכום העמודה בטבלה:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע פשוט של האחוזים, $\frac{25\%+20\%}{2}=22.5\%$, ולענות $0.225$. מספר הבנות גדול ממספר הבנים, ולכן צריך ממוצע משוקלל - כלומר לספור משתתפים.

"ידוע ש..." - הסתברות מותנית. המדגם מצטמצם ל-440 המשתתפים שלא הקדישו זמן ללימודים (סעיף ב).

מתוכם בנים: 200.

טעות נפוצה: להפוך את כיוון ההתניה ולחשב $P(\text{לא הקדיש}\mid\text{בן})=\frac{200}{800}=0.25$. התנאי ("ידוע ש...") הוא המכנה: כאן ידוע שלא הקדיש, ולכן מחלקים ב-440.

"מקרב בני הנוער שלא הקדישו זמן" - הקבוצה שבודקים היא 440 המשתתפים שלא הקדישו זמן ללימודים.

לפי סעיף ג, אחוז הבנים בקבוצה הזאת: $\frac{5}{11}\approx45.5\%$.

אחוז הבנות בה: $\frac{240}{440}=\frac{6}{11}\approx54.5\%$.

$45.5\%<54.5\%$, ולכן האמירה אינה נכונה.

הסיבה: אחוז מי שלא הקדישו זמן גבוה יותר אצל הבנים (25% לעומת 20%), אבל יש הרבה יותר בנות, ולכן במספרים יש יותר בנות שלא הקדישו זמן.

טעות נפוצה: להשוות את 25% מהבנים ל-20% מהבנות ולקבוע שהאמירה נכונה. אלה אחוזים "מקרב הבנים" ו"מקרב הבנות", ולא "מקרב מי שלא הקדישו זמן".

העקומה הנורמלית סימטרית סביב הממוצע: חצי מהשטח משמאל לממוצע וחצי מימינו.

החציון הוא הערך שחצי מהנתונים קטנים ממנו - ולכן בהתפלגות נורמלית החציון שווה לממוצע.

החציון: 1.8 דקות.

טעות נפוצה: לענות 2 דקות - הערך היחיד מלבד הממוצע שמופיע בשאלה. מעל 2 דקות ממתינים רק 30.8%, לא 50%.

הטבלה נותנת את השטח משמאל לציון תקן, ולכן עוברים למשלים: מתחת ל-2 דקות ממתינים $100\%-30.8\%=69.2\%$.

(בטבלה $\Phi(0.5)=0.6915$.) כלומר 2 דקות הן חצי סטיית תקן מעל הממוצע. מציבים בנוסחת ציון התקן:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $\sigma=0.2\cdot0.5=0.1$ דקות. בדיקה: עם $\sigma=0.1$ ציון התקן של 2 דקות היה 2, ומעליו רק 2.28%, לא 30.8%.

ציון התקן של דקה אחת:

בגלל הסימטריה של העקומה, השטח משמאל ל-$-2$ שווה לשטח מימין ל-$2$:

כלומר 2.28% מהאנשים ממתינים פחות מדקה.

טעות נפוצה: לקרוא בטבלה $\Phi(2)=0.9772$ ולענות 97.72% - מתעלמים מהסימן השלילי של ציון התקן.

הממוצע הוא ציון תקן $0$, וסטיית תקן אחת מעל הממוצע היא ציון תקן $1$.

השטח בין שני ציוני תקן הוא הפרש הערכים המצטברים:

כלומר 34.13% מהאנשים.

טעות נפוצה: לקחת רק $\Phi(1)=0.8413$ ולענות 84.13% - זה השטח מ-$-\infty$ עד ציון תקן 1, כולל כל מי שמתחת לממוצע.

האזור "בין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעליו" מוגדר בציוני תקן: מ-$z=0$ עד $z=1$ - בכל התפלגות נורמלית.

השטח בין שני ציוני תקן נתונים זהה בכל התפלגות נורמלית, לא משנה מה הממוצע וסטיית התקן.

לכן האחוז לא השתנה: גם אחרי השינוי $\Phi(1)-\Phi(0)=34.13\%$ (עכשיו בין 1.2 ל-1.6 דקות).

טעות נפוצה: לענות שהאחוז השתנה כי "הממוצע ירד וכל ההתפלגות זזה". ההתפלגות זזה, אבל גם האזור הנבדק זז איתה.

$B$ על ציר ה-$y$, ולכן $x_B=0$. מציבים במשוואת $AB$: $y=-0+4=4$, כלומר $B(0,4)$.

$A$ על הישר $AB$ ו-$y_A=10$: $10=-x+4$, ולכן $x=-6$, כלומר $A(-6,10)$.

נוסחת המרחק:

טעות נפוצה: לחשוב ש-$B$ היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-$x$, $(4,0)$, ולקבל $AB=\sqrt{100+100}=10\sqrt2$. "על ציר ה-$y$" פירושו $x=0$.

$BC$ מקבילה לציר ה-$x$, ולכן ל-$C$ אותו שיעור $y$ כמו ל-$B$: $y_C=4$.

האורך 6 נמדד לאורך ציר ה-$x$: $x_C=0+6=6$ או $x_C=0-6=-6$.

לפי הסרטוט $C$ מימין ל-$B$, ולכן $C(6,4)$.

טעות נפוצה: לבחור $C(-6,4)$ בלי להסתכל בסרטוט - אז $C$ ו-$A$ באותו צד של ציר ה-$y$ ואין משולש כמו בסרטוט.

שיפוע $AC$ לפי $A(-6,10)$ ו-$C(6,4)$:

משוואת הישר דרך $C$: $y-4=-\frac12(x-6)$, כלומר $y=-\frac12x+7$.

חיתוך עם ציר ה-$y$ ($x=0$): $y=7$, ולכן $D(0,7)$.

טעות נפוצה: להציב את $A$ עם סימן שגוי, $y-10=-\frac12(x-6)$, ולקבל $y=-\frac12x+13$ ו-$D(0,13)$.

אמצע $AC$:

זו בדיוק $D$ (סעיף ג), ולכן $D$ אמצע $AC$.

$DE$ מקביל לציר ה-$x$, וגם $BC$ מקביל לציר ה-$x$ - לכן $DE\parallel BC$.

משפט: ישר שיוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית. לכן $E$ אמצע $AB$, ו-$DE$ קטע אמצעים.

טעות נפוצה: לטעון "$DE\parallel BC$ ולכן $DE$ קטע אמצעים" בלי להראות ש-$D$ אמצע $AC$. ישר מקביל ל-$BC$ שאינו יוצא מאמצע צלע אינו קטע אמצעים, ולכן ההוכחה הזאת פסולה.

קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית:

(בדיקה: $E$ אמצע $AB$, כלומר $E(-3,7)$, והמרחק מ-$D(0,7)$ הוא 3.)

טעות נפוצה: לקחת מחצית של צלע אחרת, $\frac{AB}{2}=3\sqrt2$. קטע האמצעים מקביל ל-$BC$ ושווה למחציתה.

שיפוע $AB$ הוא $-1$. הזווית $\alpha$ שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-$x$: $\tan\alpha=-1$, ולכן $\alpha=135^\circ$.

$BC$ יוצאת מ-$B$ בכיוון החיובי של ציר ה-$x$, ו-$BA$ יוצאת מ-$B$ שמאלה ולמעלה, לכן $\angle ABC=135^\circ$.

$BD$ יוצאת מ-$B$ לאורך ציר ה-$y$ כלפי מעלה, כלומר מאונכת ל-$BC$:

טעות נפוצה: לחשוב ש-$BD$ חוצה את הזווית $ABC$, כי $D$ אמצע $AC$ (סעיף ד(1)), ולענות $\angle EBD=\frac{135^\circ}{2}=67.5^\circ$. $BD$ הוא תיכון, ותיכון חוצה את זווית הראש רק במשולש שווה שוקיים - וכאן $BA=6\sqrt2\ne6=BC$.

$DE\parallel BC$, ולכן $\triangle AED\sim\triangle ABC$ (ז.ז.: זווית $A$ משותפת, וזוויות מתאימות בין מקבילים).

יחס הדמיון: $\frac{DE}{BC}=\frac36=\frac12$, ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

הטרפז הוא המשולש הגדול בלי המשולש הקטן: $S_{EDCB}=S_{ABC}-\frac14S_{ABC}=\frac34S_{ABC}$.

טעות נפוצה: להשתמש ביחס הדמיון במקום בריבועו: "המשולש הקטן הוא חצי", ולכן הטרפז הוא חצי והתשובה פי 2.

המעגל משיק לציר ה-$x$ בנקודה $A$, ולכן הרדיוס $MA$ מאונך לציר ה-$x$ ושווה למרחק המרכז מהציר: $R=|y_M|=10$, ו-$A(6,0)$.

טעות נפוצה: לקחת את הרדיוס כמרחק המרכז מציר ה-$y$, $R=6$, ולקבל $(x-6)^2+(y-10)^2=36$ - זה מעגל המשיק לציר ה-$y$.

על ציר ה-$y$ מתקיים $x=0$. מציבים במשוואת המעגל:

$y=18$ או $y=2$. לפי הציור $B$ היא נקודת החיתוך העליונה: $B(0,18)$.

טעות נפוצה: לבחור את $(0,2)$ - נקודת החיתוך התחתונה. בציור $B$ גבוהה מהמרכז $M$.

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן $BC\perp MB$.

(מכפלת שיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$.) הישר עובר ב-$B(0,18)$, שהיא נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$:

טעות נפוצה: לקחת את שיפוע הרדיוס כשיפוע המשיק ולקבל $y=-\frac43x+18$ - זה הישר $MB$ עצמו.

$MB$ רדיוס לנקודת ההשקה $B$, ולכן $MB\perp BC$ (משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה).

נתון $\angle BCA=90^\circ$, כלומר $AC\perp BC$.

שני ישרים המאונכים לאותו ישר ($BC$) מקבילים זה לזה, ולכן $AC\parallel MB$.

טעות נפוצה: להשתמש ברדיוס הלא נכון ולכתוב $MA\perp BC$. "רדיוס מאונך למשיק" נכון רק לרדיוס שמגיע לנקודת ההשקה $B$; מי שמשתמש ב-$MA$ מגיע למסקנה השגויה $AC\parallel MA$, כלומר ש-$AC$ אנכי.

$MA=MB$ (רדיוסים), ולכן המשולש $MAB$ שווה שוקיים ו-$\angle MAB=\angle MBA$ (זוויות הבסיס).

לפי סעיף ג(1) $AC\parallel MB$, ו-$AB$ חותך את שניהם, ולכן $\angle CAB=\angle ABM$ (זוויות מתחלפות).

משני השוויונות: $\angle CAB=\angle MAB$, כלומר $AB$ חוצה את הזווית $CAM$.

טעות נפוצה: לטעון שהמשולש $MAB$ שווה צלעות, ו"לכן" $\angle MAB=\angle CAB=60^\circ$. רק שתי צלעות בו הן רדיוסים: $AB=\sqrt{6^2+18^2}=\sqrt{360}\ne10$, ולכן הוא שווה שוקיים בלבד והזוויות אינן $60^\circ$.

$C$ היא נקודת המפגש של המשיק $BC$ עם הישר דרך $A$ המאונך לו.

$AC\parallel MB$ (סעיף ג(1)), ולכן שיפוע $AC$ הוא $-\frac43$. הישר דרך $A(6,0)$:

חיתוך עם $BC$:

$y=\frac34\cdot(-4.8)+18=14.4$, ולכן $C(-4.8,\ 14.4)$.

טעות נפוצה: לחשב את $AB$ במקום $AC$: $\sqrt{6^2+18^2}=\sqrt{360}\approx18.97$. $C$ אינה $B$ - צריך קודם למצוא את $C$ כחיתוך של שני ישרים.

פונקציה רציונלית מוגדרת כשהמכנה שונה מאפס: $x-2\neq0$.

תחום ההגדרה: $x\neq2$.

טעות נפוצה: לפתור $x-2=0$ עם סימן הפוך ולכתוב $x\neq-2$.

ב-$x=2$ המכנה מתאפס, והמונה שם: $4-8+5=1\neq0$. לכן הגרף "בורח" לאינסוף ליד $x=2$.

האסימפטוטה האנכית: $x=2$.

טעות נפוצה: להוסיף אסימפטוטה אופקית $y=1$ (יחס המקדמים המובילים). מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה, ולכן אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית.

ציר ה-$x$: $f(x)=0$ כשהמונה מתאפס: $x^2-4x+5=0$.

אין פתרון - אין חיתוך עם ציר ה-$x$.

ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{5}{-2}=-2.5$, הנקודה $(0,-2.5)$.

טעות נפוצה: לאבד את הסימן של המכנה ולכתוב $(0,2.5)$ - ב-$x=0$ המכנה $0-2=-2$.

גוזרים לפי כלל המנה $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$:

$f'(x)=0$: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0$, כלומר $x=1$ או $x=3$.

המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ לפי $(x-1)(x-3)$ (וגם $x=2$ מחוץ לתחום):

$f(1)=\frac{1-4+5}{-1}=-2$, $f(3)=\frac{9-12+5}{1}=2$.

טעות נפוצה: להחליף את הסוגים ("המקסימום חייב להיות גבוה מהמינימום") ולענות $\min(1,-2)$, $\max(3,2)$. בפונקציה עם אסימפטוטה אנכית ערך מקסימום בענף אחד יכול להיות נמוך מערך מינימום בענף אחר - הסוג נקבע רק לפי טבלת הסימנים.

משלבים: האסימפטוטה $x=2$, אין חיתוך עם ציר ה-$x$, חיתוך עם ציר ה-$y$ ב-$(0,-2.5)$, ונקודות הקיצון.

משמאל לאסימפטוטה המונה חיובי (אין לו שורשים והמקדם המוביל חיובי) והמכנה שלילי - הענף כולו מתחת לציר ה-$x$: עולה עד $(1,-2)$ ויורד ל-$-\infty$ כשמתקרבים ל-$x=2$.

מימין לאסימפטוטה הענף כולו מעל ציר ה-$x$: יורד מ-$+\infty$ עד $(3,2)$ ואחר כך עולה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מעל ציר ה-$x$ (כמו הימני). עם ענף כזה היה לגרף חיתוך עם ציר ה-$x$ או מקסימום חיובי - בסתירה לסעיפים הקודמים.

$|f(x)|=f(x)$ היכן ש-$f(x)\ge0$, ו-$|f(x)|=-f(x)$ היכן ש-$f(x)<0$.

הענף הימני של $f$ חיובי - נשאר כמו שהוא.

הענף השמאלי שלילי - משתקף ביחס לציר ה-$x$: המקסימום $(1,-2)$ הופך ל-$(1,2)$, ו-$(0,-2.5)$ הופכת ל-$(0,2.5)$. שני הענפים שואפים ל-$+\infty$ ליד $x=2$.

טעות נפוצה: לשקף גם את הענף הימני, כלומר לצייר אותו מתחת לציר - אבל $g(x)=|f(x)|\ge0$ תמיד.

השיקוף הופך "גבעה" ל"עמק": המקסימום $(1,-2)$ של $f$ הופך למינימום $(1,2)$ של $g$.

$(3,2)$ בענף החיובי - נשאר מינימום.

טעות נפוצה: להעתיק את הסוג מ-$f$ ולכתוב $\max(1,2)$ - אחרי השיקוף הנקודה היא הנמוכה ביותר בענף, כלומר מינימום.

בכל אחד משני הענפים של $g$ הגרף יורד מ-$+\infty$ עד מינימום בגובה 2 ואחר כך עולה ל-$+\infty$.

הישר $y=3$ נמצא מעל שני המינימומים ($3>2$), ולכן חותך כל ענף פעמיים: פעם בירידה ופעם בעלייה.

סך הכול 4 פתרונות.

טעות נפוצה: לבדוק את הגרף של $f$ במקום של $g$: $y=3$ חותך רק את הענף הימני (פעמיים), והתשובה יוצאת 2 - הענף השמאלי "נשכח" מתחת לציר.

המכנה $(4x-1)^2$ מתאפס כש-$4x-1=0$, כלומר $x=\frac14$.

תחום ההגדרה: $x\neq0.25$.

טעות נפוצה: לפתור $4x-1=0$ כ-$x=4$ (לחלק הפוך) ולכתוב $x\neq4$.

אנכית: ב-$x=0.25$ המכנה מתאפס והמונה (1) לא, ולכן $x=0.25$.

אופקית: כש-$x\to\pm\infty$ השבר $\frac{1}{(4x-1)^2}\to0$, ולכן $f(x)\to-4$: $y=-4$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=0$ - זו האסימפטוטה של השבר לבד. ה-$-4$ מזיז את כל הגרף 4 יחידות למטה, כולל האסימפטוטה.

ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{1}{(-1)^2}-4=1-4=-3$, הנקודה $(0,-3)$.

ציר ה-$x$: $\frac{1}{(4x-1)^2}=4$, כלומר $(4x-1)^2=\frac14$.

טעות נפוצה: להוציא שורש רק עם הסימן החיובי ($4x-1=\frac12$) ולקבל רק את $(0.375,0)$ - נקודת החיתוך שמשמאל לאסימפטוטה הולכת לאיבוד.

כותבים $f(x)=(4x-1)^{-2}-4$ וגוזרים בכלל השרשרת:

הנגזרת אינה מתאפסת, והסימן שלה מתחלף רק ב-$x=0.25$ (שם $(4x-1)^3$ מחליף סימן):

ל-$x<0.25$: $(4x-1)^3<0$, ולכן $f'(x)>0$ - עלייה. ל-$x>0.25$: $f'(x)<0$ - ירידה.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס שבא מהחזקה $-2$ ולכתוב $f'(x)=\frac{8}{(4x-1)^3}$ - ואז התחומים מתהפכים: ירידה ל-$x<0.25$ ועלייה ל-$x>0.25$.

השבר $\frac{1}{(4x-1)^2}$ חיובי תמיד, ולכן $f(x)>-4$: הגרף כולו מעל האסימפטוטה $y=-4$.

משמאל ל-$x=0.25$: הפונקציה עולה מגובה $-4$ (רחוק משמאל), עוברת ב-$(0,-3)$ וב-$(0.125,0)$, ושואפת ל-$+\infty$ ליד האסימפטוטה.