בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2021 מועד מיוחד

זה ניסוי דו-שלבי: קודם בוחרים שקית (כל שקית בהסתברות $\frac12$), ואחר כך סוכריה מתוך השקית.

בשקית א' יש 2 סוכריות מנטה מתוך 6, ובשקית ב' - 3 מתוך 6.

יש שני מסלולים שמובילים למנטה, ומחברים אותם (הסתברות שלמה):

טעות נפוצה: לשכוח את השלב של בחירת השקית ולחבר $\frac26+\frac36=\frac56$ - זו כבר לא הסתברות של מסלול אחד, ואפילו לא ייתכן שהיא נכונה (גדולה מההסתברות בכל שקית).

זו הסתברות מותנית: התנאי הוא "הוצאה מנטה", והשאלה היא על השקית.

המונה הוא המסלול "שקית א' ואז מנטה": $\frac12\cdot\frac26=\frac16$. המכנה חושב בסעיף א.

טעות נפוצה: להפוך את כיוון ההתניה ולחשב את ההסתברות להוציא מנטה מתוך שקית א', $\frac26=\frac13$.

בשקית יש רק 2 סוכריות מנטה, ולכן "לא יישארו סוכריות מנטה" פירושו ששתי הסוכריות שהוצאו הן מנטה.

בהוצאה הראשונה: 2 מנטה מתוך 6. אחרי שהוצאה מנטה נשארו 5 סוכריות, ומהן מנטה אחת:

טעות נפוצה: לא לעדכן את השקית אחרי ההוצאה הראשונה (כאילו מחזירים) ולחשב $\frac26\cdot\frac26=\frac19$.

מחשבים את ציוני התקן של שני הקצוות:

הטבלה נותנת את ההסתברות להיות מתחת לערך. ההסתברות להיות בין שני ערכים היא ההפרש:

טעות נפוצה: לחשב את ציון התקן של 11 עם סימן שגוי ($-0.33$) ולקבל $0.9082-0.3707=0.5375$.

"רק 10% גבוה ממנו" פירושו ש-90% מהמקררים מתחתיו: $\Phi(z)=0.9$.

בטבלה הערך הקרוב ביותר ל-0.9 הוא $\Phi(1.28)=0.8997$, ולכן $z=1.28$.

ממירים לערך גולמי: $x=\mu+z\sigma$:

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.1 במקום 0.9, לקבל $z=-1.28$ ולענות $10-3.84=6.16$ שנים - זה הערך שרק 10% נמוכים ממנו.

כלומר $0.13\%$ מהמקררים.

טעות נפוצה: לקרוא בטבלה את $\Phi(3)=0.9987$ ולענות $99.87\%$ - זה אחוז המקררים שמחזיקים יותר משנה.

היצרן מחליף את המקררים שהתקלקלו בשנה הראשונה, כלומר $0.13\%$ מהם (סעיף ג(1)):

טעות נפוצה: לכפול ב-0.13 במקום ב-0.0013 (לשכוח שזה אחוז) ולקבל 6,500 מקררים.

העקומה הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן חצי מהמקררים מתחת לממוצע וחצי מעליו.

לכן בהתפלגות נורמלית החציון שווה לממוצע: 10 שנים, ולא 11. הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: לטעון שאי אפשר לקבוע את החציון בלי רשימת הנתונים, ולכן "אי אפשר לדעת". בהתפלגות נורמלית החציון ידוע - הוא הממוצע.

13 גדול מהממוצע בסטיית תקן אחת ($z=1$), ו-7 קטן מהממוצע בסטיית תקן אחת ($z=-1$).

העקומה סימטרית סביב הממוצע, ולכן השטח מעל $z=1$ שווה לשטח מתחת ל-$z=-1$:

הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לקרוא את $\Phi(1)=0.8413$ כאחוז המקררים מעל 13 שנים ולהשוות ל-$\Phi(-1)=0.1587$ - מקבלים $84.13\%$ מול $15.87\%$ ומסיקים שהאחוזים שונים.

במשולש $ABE$ נתון $AB=AE$, ולכן הוא שווה שוקיים, וזוויות הבסיס שלו שוות: $\angle ABE=\angle AEB$ (הזוויות שמול השוקיים השוות).

במקבילית $AD\parallel BC$, ו-$BE$ חותך את שני הישרים, ולכן $\angle AEB=\angle EBC$ (זוויות מתחלפות).

מכאן $\angle ABE=\angle EBC$, כלומר $BE$ חוצה את $\angle ABC$.

טעות נפוצה: לזהות את זוויות הבסיס כ-$\angle BAE$ ו-$\angle AEB$ ולהסיק שהן שוות - ומכאן ש-$BE$ חוצה את $\angle BAD$. זוויות הבסיס הן אלה שמול השוקיים $AB$ ו-$AE$, כלומר הזוויות שליד $B$ ו-$E$.

$AE=AB=5$, ו-$E$ על ציר ה-$x$ מימין ל-$A$ (על הצלע $AD$):

$x_E=-3+5=2$, ולכן $E(2,0)$.

טעות נפוצה: למדוד את 5 שמאלה מ-$A$ ולקבל $E(-8,0)$ - נקודה שאינה על הצלע $AD$.

השיפוע של $BE$: $m_{BE}=\frac{0-4}{2-0}=-2$.

$\angle BEC=90^\circ$, ולכן $EC\perp BE$ ומכפלת השיפועים היא $-1$: $m_{EC}=\frac12$.

הישר עובר דרך $E(2,0)$:

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן, $m_{EC}=-\frac12$, ולקבל $y=-\frac12x+1$.

במקבילית $BC\parallel AD$, ו-$AD$ על ציר ה-$x$, ולכן $BC$ אופקי: הישר $y=4$ (דרך $B$).

$C$ היא נקודת החיתוך של $y=4$ עם $EC$:

$C(10,4)$.

טעות נפוצה: להציב $x=4$ במקום $y=4$ במשוואת $EC$ ולקבל $C(4,1)$.

$CB$ אופקי, ולכן הזווית $BCE$ היא הזווית שהישר $EC$ יוצר עם הכיוון האופקי.

הטנגנס של זווית הנטייה שווה לשיפוע:

(אפשר גם במשולש ישר הזווית $BEC$: $\tan\angle BCE=\frac{BE}{EC}=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{80}}=\frac12$.)

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולחשב $\tan\angle BCE=\frac{EC}{BE}=2$, ולקבל $63.435^\circ$ - זו הזווית $EBC$.

$BCEA$ טרפז כי $BC\parallel AE$.

הזווית ב-$A$: במשולש ישר הזווית $AOB$ ($O$ ראשית הצירים) $OA=3$, $OB=4$:

בטרפז, סכום הזוויות שליד אותה שוק הוא $180^\circ$ (זוויות חד-צדדיות בין המקבילים):

$\angle B=180^\circ-53.13^\circ=126.87^\circ$.

$\angle C=\angle BCE\approx26.565^\circ$ (סעיף ג(1)), ולכן $\angle E=180^\circ-26.565^\circ=153.435^\circ$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס בזווית $A$, $\tan\angle A=\frac34$, ולקבל $\angle A\approx36.87^\circ$ ו-$\angle B\approx143.13^\circ$.

$\angle BAC$ ו-$\angle BDC$ הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $BC$, ולכן $\angle BAE=\angle CDE$.

$\angle ABD$ ו-$\angle ACD$ הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $AD$, ולכן $\angle ABE=\angle DCE$.

(אפשר גם: $\angle AEB=\angle DEC$ - זוויות קודקודיות.)

לכן $\triangle ABE\sim\triangle DCE$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר $\triangle ABE\sim\triangle CDE$ ($A\leftrightarrow C$) - בסדר הזה הזוויות השוות אינן מתאימות, והיחס בסעיף ג(2) ייכתב בין צלעות שאינן מתאימות.

על ציר ה-$y$ מתקיים $x=0$. מציבים במשוואת המעגל:

$y=2$ או $y=-6$. לפי האיור $B$ למעלה ו-$A$ למטה: $A(0,-6)$, $B(0,2)$.

טעות נפוצה: להציב $y=0$ במקום $x=0$ ולקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$, $(3\pm\sqrt{21},0)$.

ממשוואת המעגל הרדיוס הוא $R=\sqrt{25}=5$.

המעגל חוסם את המשולש $ACD$, ולפי משפט הסינוסים הצלע חלקי סינוס הזווית שמולה שווה ל-$2R$:

טעות נפוצה: לשכוח את ה-2 ולכתוב $CD=R\sin30^\circ=2.5$.

לפי סעיף א, $AB$ ו-$DC$ הן צלעות מתאימות (מול הזוויות השוות ב-$E$).

$AB=2-(-6)=8$ (סעיף ב), $DC=5$ (סעיף ג(1)). יחס הדמיון: $\frac{AB}{DC}=\frac85$.

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לענות ביחס הדמיון עצמו, $\frac85$, בלי להעלות בריבוע.

הפונקציה לא מוגדרת כשהמכנה מתאפס:

תחום ההגדרה: $x\ne1$, $x\ne3$.

טעות נפוצה: לכפול ב-$-1$ רק את חלק מהאיברים ולפתור $x^2+4x+3=0$, ולקבל $x\ne-1$, $x\ne-3$.

אסימפטוטות אנכיות: בנקודות שבהן המכנה מתאפס והמונה לא. ב-$x=1$ וב-$x=3$ המונה $x^2$ אינו 0, ולכן $x=1$ ו-$x=3$ הן אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטה אופקית: מעלות המונה והמכנה שוות (2), ולכן $y$ הוא יחס המקדמים המובילים:

טעות נפוצה: להתעלם מהמינוס של $-x^2$ ולכתוב $y=1$.

גוזרים לפי כלל המנה:

$f'(x)=0$ כשהמונה מתאפס: $2x(2x-3)=0$, כלומר $x=0$ או $x=1.5$.

המכנה חיובי תמיד (ריבוע), ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $2x(2x-3)$. בטבלה שמים גם את $x=1$ ו-$x=3$ (נקודות אי-הגדרה):

$x<0$: $f'>0$ (עולה); $0<x<1$: $f'<0$ (יורדת); $1<x<1.5$: $f'<0$; $1.5<x<3$: $f'>0$; $x>3$: $f'>0$.

ב-$x=0$ מעלייה לירידה - מקסימום: $f(0)=0$. ב-$x=1.5$ מירידה לעלייה - מינימום: $f(1.5)=\frac{2.25}{-2.25+6-3}=\frac{2.25}{0.75}=3$.

טעות נפוצה: להחליף את סדר האיברים במונה של כלל המנה ($u'v$ ו-$uv'$) ולקבל $f'$ עם סימן הפוך - ואז הסוגים מתחלפים: $\min(0,0)$ ו-$\max(1.5,3)$.

משרטטים את האסימפטוטות $x=1$, $x=3$, $y=-1$ ומסמנים את נקודות הקיצון.

הצד של האסימפטוטה האופקית: $f(x)+1=\frac{4x-3}{-x^2+4x-3}$. כש-$x\to-\infty$ המונה והמכנה שליליים - הגרף מעל $y=-1$; כש-$x\to\infty$ המונה חיובי והמכנה שלילי - מתחת.

ענף שמאלי ($x<1$): עולה מ-$-1$ עד המקסימום $(0,0)$, ואז יורד ל-$-\infty$ כש-$x\to1^-$ (המכנה שלילי שם).

ענף אמצעי ($1<x<3$): המכנה חיובי, הגרף יורד מ-$+\infty$ למינימום $(1.5,3)$ ועולה שוב ל-$+\infty$.

ענף ימני ($x>3$): עולה מ-$-\infty$ ומתקרב ל-$y=-1$ מלמטה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף האמצעי יורד ל-$-\infty$ ליד האסימפטוטות - אבל במינימום הערך הוא 3 (חיובי), ולכן הענף כולו מעל ציר ה-$x$ ושני קצותיו ב-$+\infty$.

מתחומי העלייה והירידה: $f'>0$ כש-$x<0$, $f'<0$ בין 0 ל-1.5 (חוץ מ-$x=1$), ו-$f'>0$ כש-$x>1.5$ (חוץ מ-$x=3$).

ליד $x=1$ הנגזרת שלילית משני הצדדים: הגרף יורד ל-$-\infty$ משני צדי האסימפטוטה. ליד $x=3$ הנגזרת חיובית משני הצדדים: הגרף עולה ל-$+\infty$ משני הצדדים.

רק בגרף 2 הנגזרת חיובית משמאל ל-0, שלילית משני צדי $x=1$ וחיובית משני צדי $x=3$.

טעות נפוצה: לבחור בגרף 3, מתוך הנחה שהנגזרת מחליפה סימן בכל אסימפטוטה כמו הפונקציה עצמה. כאן המכנה של $f'$ הוא ריבוע, ולכן הנגזרת לא מחליפה סימן באסימפטוטות.

גרף $f'$ חותך את ציר ה-$x$ ב-$x=0$, ובין $-2$ ל-0 הוא חיובי (מעל הציר). לכן השטח הוא האינטגרל מ-$-2$ עד 0.

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$, ולכן:

טעות נפוצה: להציב את הגבולות בנגזרת במקום בפונקציה: $f'(0)-f'(-2)=0-\frac{28}{225}$, ולענות $\frac{28}{225}$.

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת: $f'(x)=3ax^2+12x-9$.

טעות נפוצה: להציב $x=1$ בפונקציה במקום בנגזרת: $f(1)=a+6-9=0$, ולקבל $a=3$.

$f(x)=-x^3+6x^2-9x$. מוציאים גורם משותף $-x$:

$f(x)=0$ כש-$x=0$ או $x=3$. החיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=0$.

נקודות החיתוך: $(0,0)$ ו-$(3,0)$.

טעות נפוצה: לפרק את הריבוע השלם כ-$(x+3)^2$ ולקבל את הנקודה $(-3,0)$.

$f'=0$ ב-$x=1$ וב-$x=3$. המקדם המוביל שלילי: $f'<0$ כש-$x<1$, $f'>0$ בין 1 ל-3, $f'<0$ כש-$x>3$.

ב-$x=1$ מירידה לעלייה - מינימום: $f(1)=-1+6-9=-4$. ב-$x=3$ מעלייה לירידה - מקסימום: $f(3)=0$.

טעות נפוצה: להתעלם מהמינוס שלפני $3x^2$ ולקבוע את הסימנים כמו בפרבולה "מחייכת" - ואז הסוגים מתחלפים: $\max(1,-4)$, $\min(3,0)$.

פולינום ממעלה שלישית עם מקדם מוביל שלילי: משמאל הגרף גבוה ($+\infty$) ומימין נמוך ($-\infty$).

עובר בראשית, יורד למינימום $(1,-4)$, עולה למקסימום $(3,0)$ ויורד.

ב-$x=3$ השורש כפול ($(x-3)^2$): הגרף נוגע בציר ה-$x$ ולא חוצה אותו - והנקודה היא גם המקסימום.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ ב-$x=3$ ועולה מעליו - אבל $f(x)=-x(x-3)^2\le0$ לכל $x>0$.

הכפלה בקבוע חיובי $\frac12$ מכווצת את הגרף אנכית: שיעורי ה-$x$ לא משתנים, שיעורי ה-$y$ מוכפלים ב-$\frac12$, וסוג הקיצון נשמר (כי $g'=\frac12f'$ עם אותו סימן).

$\min(1,-2)$, $\max(3,0)$.

טעות נפוצה: לכווץ גם את שיעורי ה-$x$ ולכתוב $\min(0.5,-2)$, $\max(1.5,0)$.

$g$ מתאפסת באותן נקודות כמו $f$ (0 ו-3), וכל ערך שלה הוא חצי מהערך של $f$.

כש-$x<0$ ($f>0$) הגרף של $g$ מתחת לגרף של $f$; בין 0 ל-3 ($f<0$) הגרף של $g$ מעליו, קרוב יותר לציר.

טעות נפוצה: לצייר את $g$ "מעל" $f$ בכל מקום (כאילו $\frac12f$ תמיד גדולה יותר) - כש-$f$ חיובית, חצי ממנה קטן ממנה.

נקודות החיתוך: $f(x)=\frac12f(x)\iff f(x)=0$, כלומר $x=0$ ו-$x=3$.

בין 0 ל-3 $f\le0$, ולכן $g=\frac12f\ge f$: $g$ הפונקציה העליונה.

טעות נפוצה: לחשב רק את השטח בין $f$ לציר ה-$x$ ולענות 6.75.

$OA=10$ (רדיוס). $OH$ הוא האנך מהמרכז למיתר $AB$, ולכן הוא חוצה את המיתר: $AB=2AH$.

במשולש ישר הזווית $OHA$, לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לשכוח ש-$AH$ הוא רק חצי מהבסיס ולענות $AB=\sqrt{100-x^2}$.

גוזרים לפי כלל המכפלה, ואת השורש לפי כלל השרשרת: