בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2025 מועד א'

69.2% קפצו פחות מ-4.5 מטרים, כלומר $P(X<4.5)=0.692$.

מחפשים בגוף הטבלה המצטברת את הערך הקרוב ל-0.692: $\Phi(0.5)=0.6915$, ולכן ציון התקן של 4.5 הוא $z=0.5$.

מציבים בהגדרת ציון התקן:

סטיית התקן היא 0.6 מטרים.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק - לכתוב $\sigma=0.3\cdot0.5=0.15$ מטרים. בדיקה: עם $\sigma=0.15$ ציון התקן של 4.5 היה 2, ולא 0.5.

מחשבים את ציון התקן של 5.16 (עם $\sigma=0.6$ מסעיף א):

בטבלה: $\Phi(1.6)=0.9452$ - זה החלק שקפץ פחות מ-5.16.

הזוכים קפצו יותר, ולכן לוקחים את המשלים:

טעות נפוצה: לענות 94.5% - הערך בטבלה הוא השטח משמאל ל-$z$ (מי שקפץ פחות), ולא מי שקפץ יותר.

נסמן ב-$N$ את מספר המשתתפים. לפי סעיף ב, כ-5.5% מהם זכו במדליה:

(עם הערך המדויק 0.0548 מתקבל כ-200.7, כלומר כ-200 משתתפים.)

טעות נפוצה: לחלק באחוז עצמו ולא בשבר - $\frac{11}{5.5}=2$ משתתפים. האחוז צריך להפוך לשבר עשרוני (0.055) לפני החילוק.

כדי להשוות מיקום יחסי בשתי אוכלוסיות שונות משווים ציוני תקן, ולא תוצאות גולמיות.

קפיצה לרוחק:

קפיצה לגובה:

$z_2>z_1$: בקפיצה לגובה התוצאה של אלון רחוקה יותר מהממוצע ביחידות של סטיית תקן, ולכן אחוז המשתתפים שקפצו פחות ממנו גדול יותר ($\Phi(1.25)=0.8944$ לעומת $\Phi(1)=0.8413$).

התוצאה בקפיצה לגובה מדורגת במקום גבוה יותר.

טעות נפוצה: להשוות את ההפרשים מהממוצע במטרים - 0.6 מטר לעומת 0.25 מטר - ולענות "בקפיצה לרוחק". ההפרש צריך להימדד ביחס לפיזור של כל תחרות.

הממוצע הוא סכום הערכים חלקי מספרם:

טעות נפוצה: לחלק ב-4 (מספר ההפרשים בין הדירות) ולקבל 125 מ"ר - גדול מכל השטחים בטבלה, וזה לא ייתכן לממוצע.

מחשבים את ההפרשים מהממוצע: $-18,\ -10,\ -2,\ 12,\ 18$.

סכום ריבועי ההפרשים:

טעות נפוצה: לעצור לפני השורש ולענות 179.2 - זו השונות, ויחידותיה מ"ר בריבוע; סטיית התקן היא השורש שלה.

ההפרשים של $y$ מהממוצע 2.7: $-1.7,\ -0.9,\ 0,\ 0.7,\ 1.9$.

סכום מכפלות ההפרשים:

קשר ליניארי חיובי וחזק מאוד.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-$n=5$ ולקבל $r=\frac{82.2}{16.72}\approx4.92$ - מקדם מתאם תמיד בין $-1$ ל-1.

שיפוע ישר הרגרסיה של $y$ על פי $x$:

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(\bar x,\bar y)=(100,\,2.7)$:

טעות נפוצה: להפוך את סטיות התקן - $b=r\cdot\frac{S_x}{S_y}\approx10.54$ - ולקבל $\hat y=10.54x-1051.3$: לפי ישר כזה כל מ"ר נוסף מייקר דירה בכ-10.5 מיליון שקלים, ודירה של 95 מ"ר "עולה" מחיר שלילי.

מציבים $x=95$ במשוואת ישר הרגרסיה:

הניבוי: כ-2.24 מיליון שקלים.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר החופשי ולענות $0.092\cdot95=8.74$ מיליון שקלים - יותר מהדירה היקרה ביותר בטבלה.

כל המחירים עלו באותו סכום, ולכן גם הממוצע עלה ב-0.2: $\bar y_{\text{חדש}}=2.9$.

ההפרש של כל מחיר מהממוצע נשאר אותו הפרש:

סטיית התקן מחושבת רק מההפרשים, ולכן היא לא השתנתה: $S_y=1.249$.

טעות נפוצה: לחשוב שסטיית התקן גדלה ב-0.2 (ל-1.449) - הוספת קבוע מזיזה את כל הנתונים יחד ואינה משנה את הפיזור.

בנוסחה של $r$ מופיעים רק ההפרשים מהממוצעים וסטיות התקן. לפי סעיף ה(1) ההפרשים של $y$ וסטיית התקן של $y$ לא השתנו, ו-$x$ לא השתנה כלל, ולכן $r=0.983$ גם אחרי העלייה.

(בדיאגרמת הפיזור כל הנקודות עלו 0.2 למעלה - הצורה שלהן, ולכן עוצמת הקשר, לא השתנו.)

טעות נפוצה: לחשוב שמקדם המתאם גדל כי "המחירים גבוהים יותר" - $r$ מודד את עוצמת הקשר הליניארי, לא את גודל הערכים.

"בת שמתנדבת" היא חיתוך של שני מאורעות. ידועים לנו ההסתברות להתנדב, וההסתברות להיות בת בתוך המתנדבים:

טעות נפוצה: לענות $\frac35=0.6$ - זה החלק של הבנות מבין המתנדבים בלבד, ולא מבין כל השכבה.

נבנה טבלה דו-ממדית (בשברים מתוך השכבה).

הבנות שמתנדבות הן פי 3 מהבנות שאינן מתנדבות:

40% מתלמידי השכבה הם בנים.

טעות נפוצה: לחשב $1-0.45=0.55$, כלומר לחסר רק את הבנות המתנדבות, ולענות 55% - שוכחים את הבנות שאינן מתנדבות.

מהטבלה: $P(\text{בן}\cap\text{מתנדב})=0.75-0.45=0.3$.

התנאי הוא "בן", ולכן מחלקים בהסתברות להיות בן:

טעות נפוצה: לענות 0.3 - זו ההסתברות לבחור מכל השכבה בן שמתנדב; כאן כבר ידוע שנבחר בן, ולכן מחלקים ב-0.4.

"אחוז המתנדבות מבין הבנות" היא הסתברות מותנית - התנאי הוא "בת":

"אחוז המתנדבים מבין הבנים" חושב בסעיף ג: $0.75$.

שני האחוזים שווים (75%), ולכן המשפט אינו נכון.

טעות נפוצה: להשוות את החיתוכים - 0.45 בנות מתנדבות לעומת 0.3 בנים מתנדבים - ולקבוע שהמשפט נכון. יש יותר מתנדבות כי יש יותר בנות, אבל האחוז בתוך כל קבוצה זהה.

$AC\perp CB$ (הזווית ב-$C$ ישרה), ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

הישר עובר ב-$A(-16,0)$:

טעות נפוצה: להפוך את השבר בלי להחליף סימן - $m_{AC}=-\frac52$ - ולקבל $y=-2.5x-40$; מכפלת השיפועים אז היא $+1$, והישרים אינם מאונכים.

$C$ הוא נקודת החיתוך של $AC$ ו-$CB$:

$C(-10,15)$. בדיקה ב-$CB$: $-0.4\cdot(-10)+11=15$.

טעות נפוצה: להעביר אגפים עם סימן שגוי - $2.9x=51$ - ולקבל $x\approx17.6$, נקודה מימין לציר ה-$y$, בניגוד לסרטוט.

תיכון לצלע $AC$ יוצא מ-$B$ לאמצע $AC$, ולכן $E$ אמצע $AC$:

טעות נפוצה: לחשב את כל $AC$, $\sqrt{6^2+15^2}\approx16.155$, ולשכוח ש-$E$ הוא האמצע.

$B$ על ציר ה-$y$ ועל $CB$: $B(0,11)$.

המשולש $ECB$ ישר זווית ב-$C$ ($E$ על $AC$). $CB$ הוא הניצב שמול הזווית $CEB$, ו-$EC$ הניצב שלידה:

טעות נפוצה: להפוך את היחס - $\tan=\frac{EC}{CB}=\frac34$ - ולקבל $36.87^\circ$, שהיא הזווית $CBE$.

$A$, $E$, $C$ על ישר אחד, ולכן הזווית $AEK$ צמודה לזווית $CEB$:

$E$ אמצע $AC$, ולכן $AE=EC=\sqrt{65.25}\approx8.077$.

טעות נפוצה: לכתוב $S=\frac12\cdot AE\cdot EK$ בלי הסינוס, כאילו הזווית ב-$E$ ישרה, ולקבל $EK\approx7.43$.

נקודה על ציר ה-$x$: מציבים $y=0$ במשוואת המעגל:

$x=10$ או $x=-6$. $A$ על החלק החיובי של הציר, ולכן $A(10,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את $(0-6)^2$ - לפתור $(x-2)^2=100$ - ולקבל $A(12,0)$, נקודה שאינה על המעגל.

$M(2,6)$ הוא אמצע הקוטר $AB$, ולכן:

שיפוע הרדיוס $MB$:

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן $m_{BC}=\frac43$:

טעות נפוצה: לקחת את שיפוע הרדיוס, $-\frac34$, כשיפוע המשיק, ולקבל $y=-\frac34x+7.5$ - ישר שעובר דרך המרכז, כלומר מכיל את הקוטר ואינו משיק.

$C$ - חיתוך המשיק עם ציר ה-$x$:

$A$ ו-$C$ שניהם על ציר ה-$x$:

טעות נפוצה: לחשב $AC=15-10=5$ (לחסר את הערכים המוחלטים) - $C$ ו-$A$ משני צדי הראשית, ולכן המרחקים מתחברים.

$D$ על המעגל, ו-$\angle ADB$ היא זווית היקפית שנשענת על הקשת $AB$.

$AB$ קוטר, ולכן הזווית ההיקפית שנשענת עליו היא זווית ישרה: $\angle ADB=90^\circ$.

טעות נפוצה: לנמק בכך ש-$AB$ חוצה את הזווית $DAC$ - חוצה הזווית לא קובע את גודל $\angle ADB$; מה שקובע הוא ש-$AB$ קוטר.

$\angle ABC=90^\circ$: $BC$ משיק למעגל ב-$B$, ו-$AB$ קוטר - כלומר עובר דרך המרכז, ולכן מכיל את הרדיוס $MB$. משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

$\angle ADB=90^\circ$: לפי סעיף ד(1).

$\angle BAC=\angle DAB$: נתון ש-$AB$ חוצה את הזווית $DAC$.

לכן $\triangle ABC\sim\triangle ADB$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow B$.

טעות נפוצה: לנמק את הזווית הישרה ב-$B$ בכך ש"היא נשענת על הקוטר" - $C$ אינה על המעגל, ולכן $\angle ABC$ אינה זווית היקפית; הנימוק הוא משיק מאונך לרדיוס.

לפי סדר הקודקודים בדמיון, $AC$ (היתר במשולש $ABC$) מתאים ל-$AB$ (היתר במשולש $ADB$).

$AB$ קוטר: $AB=2\cdot10=20$. לפי סעיף ג, $AC=25$.

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לענות $\frac54$ - זה יחס הצלעות, ולא יחס השטחים.

בשבר $\frac{x^2-9}{x^2+1}$ מעלת המונה שווה למעלת המכנה, ולכן כש-$x\to\pm\infty$ השבר שואף ליחס המקדמים המובילים: $\frac11=1$.

מוסיפים את ה-1 שמחוץ לשבר:

האסימפטוטה: $y=2$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$y=1$ ולשכוח את ה-$+1$ שנוסף לשבר.

גוזרים את השבר בכלל המנה (הנגזרת של 1 היא 0):

$f'(x)=0$ רק ב-$x=0$. המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $20x$:

נקודת מינימום: $(0,-8)$.

טעות נפוצה: להחליף את סדר האיברים במונה של כלל המנה ($v'u-u'v$) ולקבל $f'(x)=\frac{-20x}{(x^2+1)^2}$, ואז "מקסימום" ב-$(0,-8)$.

מטבלת הסימנים בסעיף ב(1): $f'(x)<0$ עבור $x<0$ - הפונקציה יורדת; $f'(x)>0$ עבור $x>0$ - הפונקציה עולה.

טעות נפוצה: לקבוע את התחומים לפי הסימן של $f$ עצמה (שלילית בין $-2$ ל-2) ולכתוב "ירידה ב-$-2<x<2$" - עלייה וירידה נקבעות לפי הסימן של הנגזרת.

מביאים למכנה משותף:

$f(x)=0$ כשהמונה מתאפס: $2x^2=8$, $x=\pm2$.

נקודות החיתוך: $(2,0)$, $(-2,0)$.

טעות נפוצה: לאפס רק את המונה של השבר המקורי, $x^2-9=0$, ולקבל $x=\pm3$ - בלי להתחשב ב-$+1$.

מרכזים את הנתונים: אסימפטוטה $y=2$, מינימום $(0,-8)$, חיתוכים $(\pm2,0)$, ירידה ב-$x<0$ ועלייה ב-$x>0$.

הפונקציה זוגית ($f(-x)=f(x)$), ולכן הגרף סימטרי לציר ה-$y$.

$f(x)=2-\frac{10}{x^2+1}<2$ לכל $x$, ולכן הגרף מתקרב לאסימפטוטה מלמטה ואינו חוצה אותה.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף חוצה את $y=2$ ומתקרב אליה מלמעלה - הפונקציה תמיד קטנה מ-2.

מסעיף ב: $f$ יורדת ב-$x<0$ ועולה ב-$x>0$, ולכן $f'(x)<0$ משמאל לראשית ו-$f'(x)>0$ מימין לה, ו-$f'(0)=0$ (נקודת הקיצון היחידה).

גרפים II ו-III חיוביים משמאל - נפסלים. גרף IV מתאפס מימין לראשית, ולא בה - נפסל.

גרף I שלילי משמאל לראשית, חיובי מימינה ועובר בראשית - זה הגרף של $f'(x)$.

טעות נפוצה: לבחור את גרף IV - לבדוק רק "שלילי משמאל, חיובי מימין" בלי לבדוק שהנגזרת מתאפסת בדיוק ב-$x=0$.

$f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f'(x)$. בין $-2$ ל-0 הנגזרת שלילית (השטח מתחת לציר), ובין 0 ל-2 חיובית - מפצלים ב-0:

טעות נפוצה: לחשב אינטגרל אחד מ-$-2$ עד 2: $f(2)-f(-2)=0$ - החלק שמתחת לציר מקזז את החלק שמעליו, ושטח אינו יכול להיות 0.

ביטוי שבתוך שורש ריבועי חייב להיות אי-שלילי:

טעות נפוצה: להעביר אגפים בלי להפוך את כיוון אי-השוויון כשמחלקים ב-$(-1)$: $-x\ge-14$ ולכתוב $x\ge14$.

ציר ה-$x$: מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0 (בתוך התחום):

$3x-6=0\Rightarrow x=2$, או $\sqrt{14-x}=0\Rightarrow x=14$.

ציר ה-$y$:

נקודות החיתוך: $(2,0)$, $(14,0)$, $(0,-22.45)$.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש בחישוב $f(0)$ ולקבל $-6\cdot14=-84$.

גוזרים מכפלה. הנגזרת של $\sqrt{14-x}$ בכלל השרשרת היא $\frac{-1}{2\sqrt{14-x}}$:

$f'(x)=0$: $90-9x=0$, $x=10$. ($f'$ אינה מוגדרת ב-$x=14$, קצה התחום.)

הפונקציה יורדת עד קצה התחום, ולכן ב-$x=14$ יש מינימום קצה: $f(14)=0$.

נקודות הקיצון: $\max(10,48)$, $\min(14,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $(-1)$ של $14-x$ ולקבל $f'(x)=\frac{78-3x}{2\sqrt{14-x}}$, שמתאפסת ב-$x=26$ - מחוץ לתחום - ולהסיק שאין מקסימום.

מרכזים: תחום $x\le14$; כש-$x\to-\infty$ הגורם $3x-6$ שלילי וגדל בערכו המוחלט, והשורש גדל - הפונקציה שואפת ל-$-\infty$.

עלייה עד המקסימום $(10,48)$, ובדרך חיתוך עם ציר ה-$y$ ב-$(0,-22.45)$ ועם ציר ה-$x$ ב-$(2,0)$.

ירידה מ-$(10,48)$ לנקודת הקצה $(14,0)$, שבה הגרף נעצר.