בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2025 מועד ב'

$93.3\%$ מן הנבחנים קיבלו פחות מ-92, כלומר $P(X<92)=0.933$.

בטבלה המצטברת $\Phi(1.5)=0.9332$, ולכן ציון התקן של 92 הוא $z=1.5$.

מציבים בנוסחת ציון התקן ומבודדים את הממוצע:

טעות נפוצה: להוסיף במקום להחסיר, $\mu=92+1.5\cdot8=104$. ממוצע גדול מ-92 פירושו שרוב הנבחנים קיבלו יותר מ-92 - בסתירה לנתון.

מוצאים את ציון הסף: מעליו $44\%$, ולכן מתחתיו $56\%$, כלומר $\Phi(z)=0.56$.

בטבלה $\Phi(0.15)=0.5596$, ולכן $z=0.15$.

כל מי שקיבל יותר מ-81.2 נמצא ב-$44\%$ העליונים. $82>81.2$, ולכן הנבחן התקבל.

(דרך אחרת: ל-82 יש $z=\frac{82-80}{8}=0.25$, ומעליו $1-0.5987=40.1\%$ בלבד - הוא בתוך ה-$44\%$ העליונים.)

טעות נפוצה: לחשב שמעל 82 יש $40.1\%$, ולהסיק "$40.1\%<44\%$ ולכן לא התקבל". דווקא משום שרק $40.1\%$ קיבלו יותר ממנו, הוא בין ה-$44\%$ הטובים ביותר.

המצטיינים: ציון התקן של 90 הוא $z=\frac{90-80}{8}=1.25$.

כל מצטיין התקבל (90 גדול מציון הסף 81.2). לכן "התקבלו ואינם מצטיינים" הם הנבחנים שציונם בין 81.2 ל-90:

טעות נפוצה: לענות רק את אחוז המצטיינים, $10.56\%$, או להוסיף אותו ל-$44\%$ ($54.56\%$). המצטיינים כלולים בתוך ה-$44\%$, ולכן מחסירים אותם.

לפי סעיף ג, $33.4\%$ מכלל הנבחנים התקבלו ואינם מצטיינים. נסמן ב-$N$ את מספר הנבחנים:

טעות נפוצה: לחלק ב-$0.44$ (כל המתקבלים) ולקבל כ-5,314 נבחנים. 2,338 הם רק המתקבלים שאינם מצטיינים.

ציון התקן של נדב במבחן הכניסה:

במבחן הנוסף ציון התקן שלו זהה, ולכן:

טעות נפוצה: לחשוב ש"אותו ציון ואותו ציון תקן" פירושו אותה סטיית תקן, ולענות $\sigma=8$. הממוצעים שונים, ולכן גם סטיות התקן שונות.

ממוצע = סכום הערכים חלקי מספרם:

טעות נפוצה: לחלק ב-5 כי במסלול ד' חסר נתון. הנתון החסר הוא המהירות, לא המרחק - יש 6 מרחקים, והממוצע 7.2 שגוי.

הסטיות מהממוצע 6: $-4,\ -1.5,\ 0,\ 1,\ 2,\ 2.5$.

ריבועי הסטיות: $16,\ 2.25,\ 0,\ 1,\ 4,\ 6.25$, וסכומם $29.5$.

טעות נפוצה: לחלק ב-$n-1=5$ ולקבל $S_x^2=5.9$. בתכנית סטיית התקן מחושבת בחלוקה במספר הנתונים, 6.

נסמן את המהירות במסלול ד' ב-$a$. גם הממוצע שווה ל-$a$:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{55}{6}=a$ - לשכוח שגם $a$ עצמו נכנס לסכום - ולקבל מהירות של כ-9.17 קמ"ש.

ככל שהמרחק גדל, המהירות נוטה לקטון - הקשר שלילי, ולכן $r<0$. זה פוסל את $0.95$ ואת $0.24$.

$r=-1$ פירושו שכל הנקודות על ישר אחד. הנקודות $(2,13)$, $(4.5,12)$, $(6,12.5)$ אינן על ישר אחד (המהירות עולה ואז יורדת), ולכן $r\neq-1$.

נשאר $r=-0.86$: קשר שלילי חזק אך לא מושלם.

טעות נפוצה: לבחור $0.95$ "כי הוא הכי קרוב ל-1, כלומר הקשר הכי חזק". הסימן של $r$ קובע את כיוון הקשר, וכאן הוא יורד.

שיפוע ישר הרגרסיה:

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(\bar x,\bar y)=(6,11)$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $b=r\cdot\frac{S_x}{S_y}$, ולקבל שיפוע $-1.086$ וישר $y=-1.086x+17.52$. בניבוי $y$ על פי $x$, $S_y$ במונה.

מציבים $x=4$ בישר הרגרסיה:

טעות נפוצה: להציב $y=4$ ולפתור עבור $x$ (מקבלים 16.3). המרחק הוא $x$, ומנבאים את $y$.

בשלוש הדיאגרמות לישר אותו שיפוע שלילי, ולכן השיפוע אינו מכריע.

ישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים $(6,11)$, ולכן הוא עובר בין הנקודות: חלק מהן מעליו וחלק מתחתיו.

בדיאגרמה I כל הנקודות מעל הישר, ובדיאגרמה III כל הנקודות מתחתיו - הישר לא יכול לעבור שם בנקודת הממוצעים.

לכן הישר מסורטט בדיאגרמה II.

טעות נפוצה: לבחור דיאגרמה III כי "חותך הישר עם ציר ה-$y$ הוא 15.09, גבוה מכל המהירויות". החיתוך עם ציר ה-$y$ נמצא ב-$x=0$, רחוק מהנקודות; מה שקובע הוא שהישר עובר ב-$(6,11)$.

ממגירה א': $P(\text{תפוח})=\frac{7}{18}$, $P(\text{אגס})=\frac{11}{18}$. ממגירה ב': $P(\text{תפוח})=\frac{4}{10}$, $P(\text{אגס})=\frac{6}{10}$.

ההוצאות מהמגירות בלתי תלויות, ו"סוגים שונים" הם שני מסלולים: תפוח ואז אגס, או אגס ואז תפוח:

טעות נפוצה: לחשב רק את המסלול "תפוח ממגירה א' ואגס ממגירה ב'" ולקבל $\frac{42}{180}=\frac{7}{30}$. הסדר ההפוך הוא מסלול נוסף.

המשלים של "לפחות תפוח אחד" הוא "שני אגסים":

טעות נפוצה: לחסר מ-1 את ההסתברות לשני תפוחים, $1-\frac{28}{180}=\frac{38}{45}$. המשלים של "לפחות תפוח אחד" הוא "אף תפוח", כלומר שני אגסים.

$P(\text{שני תפוחים})=\frac{7}{18}\cdot\frac{4}{10}=\frac{28}{180}$.

המאורע "שני תפוחים" מוכל במאורע "לפחות תפוח אחד", ולכן החיתוך הוא "שני תפוחים":

טעות נפוצה: לענות את ההסתברות הלא מותנית, $\frac{28}{180}=\frac{7}{45}$. הידיעה שהוצא לפחות תפוח אחד מצמצמת את המרחב, ולכן מחלקים ב-$\frac{114}{180}$.

במגירה ג': $7+4+x=11+x$ תפוחים ו-$11+6=17$ אגסים, בסך הכול $28+x$ פירות.

ללא החזרה: אחרי שהוצא אגס נשארים 16 אגסים מתוך $27+x$ פירות:

$x=-62$ נפסל (מספר תפוחים אינו שלילי), ולכן $x=7$.

טעות נפוצה: לחשב כאילו מחזירים את הפרי, $\left(\frac{17}{28+x}\right)^2=\frac{8}{35}$, ולקבל $x\approx7.6$ - מספר לא שלם של תפוחים.

$A$ נמצאת על הצלע $AB$. מציבים $x=-3$: $y=-1.75\cdot(-3)+12.75=5.25+12.75=18$, ולכן $A(-3,18)$.

במעוין האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $E$ אמצע $AC$:

טעות נפוצה: לטעות בסימן בהצבה, $-1.75\cdot(-3)=-5.25$, ולקבל $A(-3,7.5)$ ו-$E(-7,4.75)$.

טעות נפוצה: לחלק את הפרש ה-$x$ בהפרש ה-$y$ ולקבל $\frac{8}{16}=\frac12$. שיפוע הוא שינוי ב-$y$ חלקי שינוי ב-$x$.

במעוין האלכסונים מאונכים, ולכן $m_{BD}\cdot2=-1$, כלומר $m_{BD}=-\frac12$.

$BD$ עובר ב-$E(-7,10)$:

טעות נפוצה: לקחת שיפוע שווה לשיפוע $AC$ (מקביל במקום מאונך), ולקבל $y=2x+24$.

$B$ היא נקודת החיתוך של הצלע $AB$ והאלכסון $BD$:

$y=-0.5\cdot5+6.5=4$, ולכן $B(5,4)$.

טעות נפוצה: להעביר אגפים ולחבר את המקדמים במקום לחסר, $-2.25x=-6.25$, ולקבל $B(2.78,\,5.11)$ - נקודה שאינה על הישר $AB$ (בדיקת הצבה חושפת זאת).

במשולש $ABE$ הזווית $E$ ישרה (האלכסונים מאונכים).

טעות נפוצה: לקחת את הניצב הצמוד במונה, $\tan=\frac{BE}{AE}=1.5$, ולקבל $56.31^\circ$ - זו הזווית $BAE$.

$G$ על הישר $BD$, ולכן $\angle ABG=\angle ABE=33.69^\circ$.

במשולש $GAB$: $\angle AGB=180^\circ-97^\circ-33.69^\circ=49.31^\circ$, ו-$AB=\sqrt{8^2+14^2}=\sqrt{260}$.

משפט הסינוסים:

(דרך אחרת: $\angle GAE=97^\circ-56.31^\circ=40.69^\circ$, ובמשולש ישר הזווית $AEG$: $GE=AE\cdot\tan40.69^\circ\approx7.69$.)

טעות נפוצה: לעצור ב-$GB$ ולענות $21.11$. $G$ על הקטע $DE$, ו-$GE$ הוא מה שנשאר אחרי שמחסירים את $BE$.

$AD$ מונח על ציר ה-$y$, ו-$BD$ מקביל לציר ה-$x$. הצירים מאונכים, ולכן $\angle ADB=90^\circ$.

$\angle ADB$ היא זווית היקפית (קודקודה $D$ על המעגל), והיא נשענת על המיתר $AB$.

זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר, ולכן $AB$ קוטר.

טעות נפוצה: לנמק "$\angle ACB=90^\circ$ ולכן $AB$ קוטר". את הזווית $ACB$ לא ידוע שהיא ישרה - זו מסקנה מכך ש-$AB$ קוטר, ולא נימוק לו.

$\angle CBD$ - קודקוד $B$ על המעגל, והיא נשענת על הקשת $CD$.

$\angle DAC$ - קודקוד $A$ על המעגל, והיא נשענת על אותה קשת $CD$.

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות, ולכן $\angle CBD=\angle DAC$.

טעות נפוצה: לטעון שהזוויות שוות כ"זוויות קודקודיות ב-$E$". הקודקודים שלהן הם $B$ ו-$A$, לא $E$; הזוויות הקודקודיות ב-$E$ הן $\angle BEC$ ו-$\angle AED$.

$\angle CBE=\angle DAE$ (סעיף א(2)).

$BE=AE$ (נתון).

$\angle BEC=\angle AED$ (זוויות קודקודיות).

לכן $\triangle CBE\cong\triangle DAE$ לפי ז.צ.ז. (הצלע $BE$ כלואה בין $\angle CBE$ ל-$\angle BEC$, וכך גם $AE$ בין $\angle DAE$ ל-$\angle AED$).

טעות נפוצה: להתאים את הקודקודים בסדר אחר, $\triangle CBE\cong\triangle ADE$. אז בסעיף ה מתקבל $BC=DE=7.5$ במקום $BC=AD$.

$D$ על ציר ה-$y$ ועל הישר $BD$ האופקי שעובר ב-$E$, ולכן $D(0,10)$ ו-$DE=7.5$.

במשולש ישר הזווית $ADE$ (הזווית $D$ ישרה):

$A$ מעל $D$ על ציר ה-$y$: $A(0,20)$.

$BE=AE=12.5$, ו-$B$ משמאל ל-$E$ על הישר $y=10$: $B(-7.5-12.5,\ 10)=(-20,10)$.

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר בפיתגורס, $AD=\sqrt{12.5^2+7.5^2}\approx14.58$, ולקבל $A(0,24.58)$.

$AB$ קוטר, ולכן המרכז $M$ באמצע $AB$:

טעות נפוצה: לקחת את כל הקוטר כרדיוס, $R^2=AB^2=500$, ולקבל $(x+10)^2+(y-15)^2=500$.

מהחפיפה $\triangle CBE\cong\triangle DAE$ (סעיף ב), $BC$ מתאימה ל-$AD$ (מול הזוויות הקודקודיות השוות ב-$E$).

לכן $BC=AD=10$.

טעות נפוצה: להתאים את $BC$ ל-$DE$ ולענות 7.5. הצלע המתאימה נקבעת לפי סדר הקודקודים: $C\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow A$.

$BC=10$; $CE=DE=7.5$ (צלעות מתאימות בחפיפה); $MB=R=\sqrt{125}\approx11.18$.

טעות נפוצה: לחשב את $EM$ רק לפי ההפרש ב-$x$, $2.5$, ולקבל היקף $31.18$.

המכנה מתאפס כאשר $(x+4)^2=0$, כלומר $x=-4$.

תחום ההגדרה: $x\neq-4$.

טעות נפוצה: לפתור $x+4=0$ עם סימן הפוך ולכתוב $x\neq4$.

אנכית: ב-$x=-4$ המכנה מתאפס והמונה $-48\neq0$, ולכן $x=-4$ אסימפטוטה אנכית.

אופקית: מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן $y=0$.

טעות נפוצה: לחלק את המקדמים של $x$ במונה ובמכנה ולכתוב $y=12$. היחס בין המקדמים המובילים נותן את האסימפטוטה רק כשהמעלות שוות.

$f(x)=0$ כאשר המונה מתאפס: $12x=0$, $x=0$ (והוא בתחום).

נקודת החיתוך: $(0,0)$.

טעות נפוצה: לאפס את המכנה ולהוסיף את $(-4,0)$. ב-$x=-4$ הפונקציה אינה מוגדרת - שם יש אסימפטוטה, לא חיתוך.

גוזרים לפי כלל המנה:

$f'(x)=0$ כאשר $x=4$. טבלת סימנים: ל-$-4<x<4$ המונה והמכנה חיוביים ($f'>0$), ול-$x>4$ המונה שלילי ($f'<0$).

עלייה ואחריה ירידה: מקסימום. $f(4)=\frac{48}{64}=\frac34$.

טעות נפוצה: לחשב $f(4)$ הפוך, $\frac{64}{48}=\frac43$, ולענות $\max\left(4,\frac43\right)$.

מחברים את נתוני החקירה: אסימפטוטות $x=-4$ ו-$y=0$, חיתוך $(0,0)$, מקסימום $\left(4,\frac34\right)$.

ל-$x<-4$: $f'<0$ (המונה חיובי, המכנה שלילי) והמונה $12x<0$ - הענף השמאלי מתחת לציר, יורד מ-0 (ב-$-\infty$) ל-$-\infty$ (ליד $x=-4$).

ל-$x>-4$: עולה מ-$-\infty$ (ליד $x=-4$), עובר ב-$(0,0)$, מגיע למקסימום $\left(4,\frac34\right)$ ויורד, ושואף ל-0 מעל הציר.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מעל ציר ה-$x$ (עולה ל-$+\infty$ ליד $x=-4$). בדיקה ב-$x=-5$: $f(-5)=-60<0$.

ערכים חיוביים מתקבלים רק בענף הימני, ל-$x>0$: הפונקציה עולה מ-0 עד $\frac34$ ואז יורדת חזרה ושואפת ל-0.

לכן ישר $y=k$ עם $0<k<\frac34$ חותך את הגרף פעמיים, ועם $k>\frac34$ אינו חותך.

רק בגובה המקסימום יש נקודה משותפת אחת: $k=\frac34$.

טעות נפוצה: לראות רק את העלייה מ-$(0,0)$ למקסימום ולהסיק שכל $0<k<\frac34$ נותן נקודה אחת. אחרי המקסימום הגרף יורד ועובר שוב בכל גובה כזה.

$g$ היא הזזה של $f$ ביחידה אחת כלפי מעלה.

ההזזה האנכית לא משנה את האסימפטוטה האנכית, $x=-4$, ומעלה את האופקית ל-$y=0+1=1$.

טעות נפוצה: להזיז גם את האסימפטוטה האנכית ולכתוב $x=-3$. הזזה כלפי מעלה לא משנה שיעורי $x$.

$g(x)=\frac34$ פירושו $f(x)+1=\frac34$, כלומר $f(x)=-\frac14$.

בענף השמאלי $f$ יורדת מ-0 ל-$-\infty$, ולכן מקבלת את $-\frac14$ פעם אחת.

בענף הימני, ל-$-4<x<0$, $f$ עולה מ-$-\infty$ ל-0, ולכן מקבלת את $-\frac14$ פעם אחת. ל-$x>0$ הערכים חיוביים.

בסך הכול 2 נקודות משותפות.

טעות נפוצה: לחשוב ש"$y=\frac34$ משיק במקסימום, ולכן גם ל-$g$ יש נקודה אחת". גרף $g$ הוזז, והמקסימום שלו כעת בגובה $\frac74$.