בגרות במתמטיקה 471 - חורף 2026

ציון התקן מודד בכמה סטיות תקן הערך רחוק מהממוצע:

מציבים את הנתונים של לימור: $X=698$, $\mu=570$, $Z=1.6$:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק - $S=128\cdot1.6=204.8$. סטיית התקן היא המרחק מהממוצע חלקי ציון התקן.

57.9% מהנבחנים קיבלו ציון נמוך מהציון של יעל, כלומר השטח המצטבר משמאל לציון התקן שלה הוא 0.579.

בטבלת ההתפלגות הנורמלית מחפשים בתוך הטבלה את הערך $0.5793$: $\Phi(0.2)=0.5793$, ולכן $Z=0.2$.

מחזירים לציון גולמי:

$586<602$, ולכן יעל אינה יכולה להתקבל לחוג לספרות.

טעות נפוצה: להתייחס ל-0.579 כאל ציון התקן עצמו: $X=570+0.579\cdot80\approx616$, ולענות שיעל יכולה להתקבל. 0.579 הוא שטח (אחוז), וציון התקן נמצא בשוליים של הטבלה.

מתקבלים לפסיכולוגיה מי שקיבלו לפחות 682. ציון התקן של 682:

הטבלה נותנת את השטח משמאל: $\Phi(1.4)=0.9192$. אנחנו צריכים את השטח מימין (ציון גבוה מ-682), ולכן משתמשים במשלים:

כ-8.08% מהנבחנים יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה.

טעות נפוצה: לענות 91.92% - הערך מהטבלה הוא אחוז הנבחנים שקיבלו פחות מ-682, לא יותר.

"יכולים להתקבל לספרות" - ציון לפחות 602; "אינם יכולים להתקבל לפסיכולוגיה" - ציון נמוך מ-682. כלומר $602\le X<682$.

ציון התקן של 602: $Z=\frac{602-570}{80}=0.4$, ושל 682: $Z=1.4$ (סעיף ג(1)).

השטח בין שני ציוני תקן הוא הפרש השטחים המצטברים:

כ-26.38% מהנבחנים.

טעות נפוצה: לחשב רק את מי שיכולים להתקבל לספרות, $1-\Phi(0.4)=34.46\%$, ולשכוח להוריד את מי שיכולים להתקבל גם לפסיכולוגיה.

קודם מוצאים את מספר הנבחנים הכולל $N$. לפי ג(2), 26.4% מהנבחנים הם 7,392 נבחנים:

לפי ג(1), 8.1% מהנבחנים יכולים להתקבל לפסיכולוגיה:

(עם האחוזים הלא מעוגלים: $N=\frac{7392}{0.2638}\approx28021$ ו-$0.0808\cdot28021\approx2264$.)

טעות נפוצה: להפעיל את האחוז ישירות על 7,392: $0.081\cdot7392\approx599$. 7,392 הם רק חלק מהנבחנים - קודם מוצאים את כל האוכלוסייה.

סכום הטמפרטורות חלקי מספר הימים:

טעות נפוצה: להקליד במחשבון $20+22+24+26+28+30\div6$ בלי סוגריים ולקבל 125 - המחשבון מחלק ב-6 רק את 30. צריך $(20+22+24+26+28+30)\div6$.

סטיות מהממוצע 25: $-5,-3,-1,1,3,5$.

סכום ריבועי הסטיות: $25+9+1+1+9+25=70$.

השונות היא ממוצע ריבועי הסטיות, וסטיית התקן היא השורש שלה:

טעות נפוצה: לחלק ב-5 (מצב "סטיית תקן של מדגם" במחשבון) ולקבל $\sqrt{14}\approx3.742$. בתכנית מחלקים במספר הנתונים, 6.

מקדם המתאם:

סטיות $y$ מהממוצע 2.5: $-0.8,-0.7,0,0.3,0.5,0.7$.

מכפלות הסטיות: $(-5)(-0.8)=4$, $(-3)(-0.7)=2.1$, $(-1)\cdot0=0$, $1\cdot0.3=0.3$, $3\cdot0.5=1.5$, $5\cdot0.7=3.5$. סכום: $11.4$.

קשר לינארי חיובי חזק מאוד: ביום חם יותר יוסי שותה יותר.

טעות נפוצה: לא לחלק את סכום המכפלות במספר הנתונים: $\frac{11.4}{3.4157\cdot0.5715}\approx5.84$. מקדם מתאם תמיד בין $-1$ ל-$1$.

שיפוע ישר הרגרסיה של $y$ על פי $x$:

(בדיוק: $m=\frac{1.9}{70/6}\approx0.1629$.)

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(\bar x,\bar y)=(25,\,2.5)$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס - $m=r\cdot\frac{S_x}{S_y}\approx5.82$ - ולקבל $y\approx5.82x-143$. בניבוי $y$ על פי $x$, סטיית התקן של $y$ במונה.

I. כשכל נתון גדל פי 3, גם הסכום גדל פי 3, ולכן הממוצע גדל פי 3: $3\cdot2.5=7.5$.

II. כל סטייה מהממוצע גדלה פי 3 ($3y-3\bar y=3(y-\bar y)$), ריבוע הסטייה גדל פי 9, השונות פי 9, וסטיית התקן - השורש - פי 3.

טעות נפוצה: לבלבל עם הוספת קבוע ולקבוע שסטיית התקן לא השתנתה. הוספת קבוע מזיזה את כל הנתונים ולא משנה את הפיזור; כפל בקבוע מותח את הפיזור.

מקדם המתאם לא משתנה כשמכפילים משתנה בקבוע חיובי - עוצמת הקשר וכיוונו נשארים.

$S_x$ לא השתנתה, ו-$S_y$ גדלה פי 3 (סעיף ד).

טעות נפוצה: להכפיל פי 3 גם את $r$ וגם את $S_y$, ולקבל שיפוע גדול פי 9, כ-1.466 (ו-$r$ גדול מ-1, שאינו אפשרי).

נסמן: $R$ - המשפחה ממחזרת, $V$ - המשפחה מתנדבת, ו-$P(R)=p$.

"אינה ממחזרת" הוא המאורע המשלים: $P(\bar R)=1-p$.

ההסתברות שממחזרת גדולה ב-0.26:

63% מהמשפחות ממחזרות (ו-37% אינן ממחזרות).

טעות נפוצה: לקרוא "גדולה ב-0.26" כיחס, $p=1.26(1-p)$, ולקבל $p\approx0.5575$. "גדולה ב-" פירושו הפרש, לא מכפלה.

$\frac23$ מן המשפחות שממחזרות מתנדבות: זו הסתברות מותנית, $P(V\mid R)=\frac23$.

החיתוך הוא כפל:

טעות נפוצה: להבין ש-$\frac23$ מכלל המשפחות ממחזרות ומתנדבות, ולענות כ-66.7%. השבר נלקח רק מתוך המשפחות שממחזרות.

יחס בין מספרי משפחות הוא אותו יחס בין ההסתברויות:

משלימים טבלה דו-ממדית של הסתברויות (סכום כל שורה ועמודה):

$P(\bar R\cap V)=0.37-0.07=0.30$, ולכן:

טעות נפוצה: לחבר את התא שמצאנו לתא "ממחזרת ומתנדבת", $0.42+0.07=0.49$. התא $0.07$ הוא של משפחות שאינן מתנדבות; צריך את התא "אינה ממחזרת ומתנדבת".

התנאי: המשפחה מתנדבת. מחלקים את החיתוך בהסתברות התנאי:

טעות נפוצה: להפוך את כיוון ההתניה ולחלק ב-$P(\bar R)$: $\frac{0.30}{0.37}\approx0.811$ - זו ההסתברות שמשפחה שאינה ממחזרת מתנדבת.

"ממחזרות או מתנדבות" - לפחות אחד מהשניים. המשלים: לא ממחזרות וגם לא מתנדבות.

(או בנוסחת האיחוד: $0.63+0.72-0.42=0.93$.)

טעות נפוצה: לחבר $P(R)+P(V)=1.35$ בלי להחסיר את החיתוך, ולקבל 810 משפחות - יותר מכל המשפחות ביישוב.

$AC$ קוטר, ולכן $\angle ABC=90^\circ$: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה.

הנקודות $O$, $B$, $E$ על ציר ה-$x$, ולכן $\angle OBA+\angle ABC+\angle CBE=180^\circ$ (זווית שטוחה), כלומר:

$CE$ מאונך לציר ה-$x$, ולכן במשולש $BEC$ ישר הזווית: $\angle BCE+\angle CBE=90^\circ$.

משתי המשוואות: $\angle ABO=90^\circ-\angle CBE=\angle BCE$. מ.ש.ל.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\angle ABO=\angle BCE$ כזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים. $AB$ ו-$CE$ אינם מקבילים - השוויון נובע מהזווית הישרה $ABC$ ולא ממקבילות.

$\angle AOB=90^\circ$ (בין הצירים) ו-$\angle BEC=90^\circ$ ($CE$ אנך לציר ה-$x$).

$\angle ABO=\angle BCE$ (סעיף א(1)).

שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן $\triangle AOB\sim\triangle BEC$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow B$, $O\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר $\triangle AOB\sim\triangle CEB$ (להתאים את $A$ ל-$C$). הזווית ב-$B$ של המשולש הראשון שווה לזווית ב-$C$ של השני, ולכן $B$ מתאים ל-$C$; התאמה שגויה תוביל בסעיף הבא ל-$BE=3\cdot OB=9$.

לפי סדר הקודקודים $\triangle AOB\sim\triangle BEC$: $B\leftrightarrow A$ ו-$E\leftrightarrow O$, ולכן הצלע $BE$ מתאימה לצלע $AO$.

$AO=4$ (מרחק $A$ מהראשית).

יחס הדמיון בין $BEC$ ל-$AOB$ הוא 3, ולכן הצלעות של $BEC$ גדולות פי 3:

טעות נפוצה: להפעיל את היחס בכיוון ההפוך, $BE=\frac{AO}{3}=\frac43$. היחס הוא של $BEC$ ביחס ל-$AOB$, ולכן $BEC$ הוא המשולש הגדול.

$E$ על ציר ה-$x$ מימין ל-$B$: $x_E=OB+BE=3+12=15$, כלומר $E(15,0)$.

$CE$ מתאימה ל-$OB$: $CE=3\cdot OB=3\cdot3=9$.

$C$ מעל $E$ במרחק 9: $C(15,9)$.

טעות נפוצה: לקחת את שיעור ה-$x$ של $E$ כ-$BE$ בלבד ולקבל $C(12,9)$. $BE$ נמדד מ-$B$, לא מהראשית.

$AC$ קוטר, ולכן מרכז המעגל $M$ הוא אמצע $AC$:

שיפוע הרדיוס $MC$: $m_{MC}=\frac{9-6.5}{15-7.5}=\frac{2.5}{7.5}=\frac13$.

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן שיפועו $-3$ (מכפלת שיפועים $-1$).

טעות נפוצה: להשתמש בשיפוע הרדיוס $\frac13$ עצמו ולקבל $y=\frac13x+4$ - זה הקוטר $AC$, לא המשיק.

$K$: מציבים $y=0$ במשוואת המשיק: $0=-3x+54$, $x=18$, $K(18,0)$.

מפרקים: המרובע $ABKC$ = הטרפז $AOEC$ פחות המשולש $AOB$ ועוד המשולש $CEK$.

טרפז $AOEC$ (בסיסים $AO=4$, $CE=9$, גובה $OE=15$): $\frac{(4+9)\cdot15}{2}=97.5$.

$S_{AOB}=\frac{4\cdot3}{2}=6$, $S_{CEK}=\frac{9\cdot3}{2}=13.5$ ($EK=18-15=3$).

טעות נפוצה: לשכוח את המשולש $CEK$ שמימין ל-$CE$ ולענות $97.5-6=91.5$.

נוסחת המרחק בין שתי נקודות:

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולענות $AB=100$.

$BC\parallel$ ציר ה-$x$, ולכן ל-$C$ אותו שיעור $y$ כמו ל-$B$: $y_C=12$.

בדלתון $CB=AB=10$, ולכן $C$ רחוק 10 יחידות מ-$B$ על הישר $y=12$: $x_C=10$ או $x_C=-10$.

$C$ ברביע השני ($x<0$), ולכן $C(-10,12)$.

טעות נפוצה: לבחור $C(10,12)$ בלי לבדוק את הרביע. ברביע השני $x<0$.

בדלתון האלכסון הראשי $DB$ (המחבר את קודקודי הצלעות השוות) מאונך לאלכסון $AC$ וחוצה אותו.

שיפוע $AC$: $m_{AC}=\frac{12-4}{-10-(-6)}=\frac{8}{-4}=-2$.

ישרים מאונכים: $m_{DB}\cdot(-2)=-1$, ולכן $m_{DB}=\frac12$.

$DB$ עובר ב-$B(0,12)$: $y=\frac12x+12$.

טעות נפוצה: להשתמש בשיפוע של $AC$ עצמו ולקבל $y=-2x+12$. האלכסונים מאונכים, ולכן השיפוע הוא ההופכי הנגדי.

$D$ הוא נקודת החיתוך של הצלע $AD$ עם האלכסון $DB$:

$y=\frac13\cdot(-36)+6=-6$. $D(-36,-6)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בהעברת אגפים ($\frac16x=6$) ולקבל $D(36,18)$ - נקודה ברביע הראשון, שאינה מתאימה לסרטוט.

$M$ על האלכסון $DB$, ולכן $\angle ADM$ היא הזווית בין הישר $DA$ לישר $DB$.

זווית השיפוע של ישר מקיימת $\tan\alpha=m$:

שני הישרים עולים מ-$D$ ימינה, ו-$DB$ תלול יותר, ולכן:

טעות נפוצה: להחסיר את השיפועים ולא את הזוויות: $\tan^{-1}\left(\frac12-\frac13\right)=\tan^{-1}\frac16\approx9.46^\circ$.

$E$ אמצע $DC$, ולכן $AE$ תיכון במשולש $ADC$. תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח: $S_{ADE}=\frac12S_{ADC}$.

במשולש $ADC$: $DM\perp AC$ (האלכסונים בדלתון מאונכים), ולכן $DM$ הגובה לבסיס $AC$.

$M$ אמצע $AC$: $M(-8,8)$.

טעות נפוצה: לעצור בשטח המשולש $ADC$ ולענות 140, בלי לחלק בתיכון $AE$.

כותבים $f(x)=a(x-5)^{-2}$ וגוזרים (נגזרת של $(x-5)^n$ היא $n(x-5)^{n-1}$):

שיפוע המשיק ב-$x=7$ הוא $f'(7)$:

טעות נפוצה: לא להוריד את החזקה במכנה ולכתוב $f'(x)=\frac{-2a}{(x-5)^2}$. אז $f'(7)=-\frac a2=-2$ ויוצא $a=4$.

$f(x)=\frac{8}{(x-5)^2}$.

ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{8}{(-5)^2}=\frac{8}{25}=0.32$ - הנקודה $(0,\ 0.32)$.

ציר ה-$x$: $f(x)=0$ דורש מונה 0, אבל המונה הוא 8 - לכן אין נקודת חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לחשב $(-5)^2=-25$ ולקבל $(0,\ -0.32)$. ריבוע של מספר שלילי חיובי.

אנכית: המכנה מתאפס ב-$x=5$ והמונה שם 8 (לא 0), ולכן $x=5$.

אופקית: מעלת המונה (0) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן כש-$x\to\pm\infty$ הפונקציה שואפת ל-0: $y=0$.

טעות נפוצה: לקחת את המונה כאסימפטוטה אופקית, $y=8$. כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, האסימפטוטה היא $y=0$.

$f'(x)=\frac{-16}{(x-5)^3}$. אין אפסים לנגזרת, והסימן מתחלף רק ב-$x=5$ (נקודת אי-הגדרה).

$x<5$: $(x-5)^3<0$, ולכן $f'(x)=\frac{-16}{\text{שלילי}}>0$ - עולה.

$x>5$: $(x-5)^3>0$, ולכן $f'(x)<0$ - יורדת.

טעות נפוצה: להסתכל רק על המונה $-16$ ולקבוע שהפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה. החזקה במכנה אי-זוגית, ולכן סימן המכנה מתחלף ב-$x=5$.

מסכמים: $f(x)>0$ לכל $x\ne5$ (מונה חיובי, מכנה ריבוע), אסימפטוטות $x=5$ ו-$y=0$, חיתוך $(0,\ 0.32)$, עלייה משמאל ל-5 וירידה מימין.

הענף השמאלי מתחיל קרוב לציר ה-$x$ (משמאל), עובר ב-$(0,\ 0.32)$ ועולה לאינסוף ליד $x=5$. הענף הימני יורד מאינסוף ליד $x=5$ ומתקרב לציר ה-$x$ מלמעלה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף הימני מתחת לציר ה-$x$, כמו בהיפרבולה $\frac1x$. כאן $f(x)>0$ בכל התחום, ולכן שני הענפים מעל הציר.

מסעיף ב(3): $f$ עולה משמאל ל-5, ולכן שם $f'(x)>0$ (מעל ציר ה-$x$); $f$ יורדת מימין ל-5, ולכן שם $f'(x)<0$ (מתחת לציר).

הגרף היחיד שהענף השמאלי שלו מעל הציר והענף הימני מתחתיו הוא גרף III.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I כי הוא "נראה כמו $f$". גרף I הוא הגרף של $f$ עצמה (שני הענפים חיוביים), ולא של הנגזרת.

בקטע $0\le x\le4$ (משמאל ל-5) $f'(x)>0$, ולכן השטח הוא האינטגרל עצמו.

הפונקציה הקדומה של $f'(x)$ היא $f(x)$:

טעות נפוצה: לחשב את השטח מתחת לגרף של $f$ במקום של $f'$: $\int_0^4\frac{8}{(x-5)^2}dx=\left[\frac{-8}{x-5}\right]_0^4=8-1.6=6.4$.

גרף $g$ הוא גרף $f'$ מוזז 2 יחידות למעלה. בקטע $[0,4]$ שני הגרפים מעל ציר ה-$x$.