בגרות במתמטיקה 471 - חורף 2025

השטח משמאל ל-18 שווה לשטח מימין ל-24 (22.7% כל אחד). העקומה הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן הממוצע נמצא באמצע בין 18 ל-24:

22.7% מהטלפונים נמצאים משמאל ל-18. בטבלה: $\Phi(0.75)=0.7734$, ולכן $\Phi(-0.75)=1-0.7734=0.2266\approx0.227$. כלומר ציון התקן של 18 הוא $-0.75$:

טעות נפוצה: להכפיל במקום לחלק ולקבל $\sigma=3\cdot0.75=2.25$. עם סטיית תקן כזו ציון התקן של 18 היה $-1.33$, ומשמאל לו היו רק כ-9% מהטלפונים, לא 22.7%.

הטלפונים הפגומים הם $3.5\%$ בעלי אורך החיים הקצר ביותר, ולכן מחפשים את הערך $x$ שבעבורו $P(X<x)=0.035$.

ציון התקן שבעבורו $\Phi(z)=0.035$ הוא $z\approx-1.812$ (בטבלה: $z\approx-1.81$).

$z=\frac{x-21}{4}$, ולכן $x=21+4z\approx21+4\cdot(-1.812)=21-7.248\approx13.75$ חודשים.

(עם הערך המעוגל מהטבלה $z=-1.81$ מתקבל $x=21-7.24=13.76$ חודשים.)

אורך החיים הגדול ביותר של טלפון שנחשב פגום הוא כ-$13.75$ חודשים.

ציון התקן של 26: $z=\frac{26-21}{4}=1.25$. מהטבלה $\Phi(1.25)=0.8944$, ולכן $P(X>26)=1-0.8944=0.1056$.

מספר הטלפונים: $2000\cdot0.1056=211.2\approx211$ טלפונים. (אם מעגלים קודם את ההסתברות ל-$10.6\%$, מתקבל $2000\cdot0.106=212$.)

כשכל הנתונים מוכפלים ב-1.5, גם הממוצע מוכפל ב-1.5: $21\cdot1.5=31.5$.

כל המרחקים מהממוצע גדלים גם הם פי 1.5, ולכן גם סטיית התקן מוכפלת ב-1.5: $4\cdot1.5=6$.

טעות נפוצה: להכפיל רק את הממוצע ולהשאיר את סטיית התקן 4 (ממוצע 31.5, סטיית תקן 4). סטיית התקן לא משתנה רק כשמוסיפים קבוע לכל הנתונים, לא כשכופלים אותם.

משתמשים בממוצע ובסטיית התקן החדשים מסעיף ד(1):

כלומר 1.22% מהטלפונים.

טעות נפוצה: להשתמש בממוצע הישן עם סטיית התקן החדשה: $z=\frac{18-21}{6}=-0.5$, ולקבל $30.85\%$.

הסטיות מהממוצע: $-6,\,-2,\,8,\,2,\,-2$. ריבועי הסטיות: $36,\,4,\,64,\,4,\,4$, וסכומם 112.

טעות נפוצה: לחלק ב-4 במקום ב-5 (מספר הנתונים) ולקבל $S_x=\sqrt{28}\approx5.292$.

בדיאגרמת הפיזור הנקודות מסודרות במגמה עולה: בחודשים עם יותר ימי גשם ההכנסה גבוהה יותר. לכן הקשר חיובי ו-$r>0$.

$r=0$ פירושו שאין קשר לינארי, ו-$r=-0.959$ פירושו קשר שלילי חזק. שניהם לא מתאימים לדיאגרמה, ולכן $r=0.959$ (קשר חיובי חזק - הנקודות קרובות לישר עולה).

טעות נפוצה: לבחור $r=0$ כי הנקודות אינן נמצאות בדיוק על ישר אחד. $r=0$ מתאים רק למצב שבו אין שום מגמה לינארית.

טעות נפוצה: להפוך את היחס בין סטיות התקן, $0.959\cdot\frac{4.733}{8.46}\approx0.537$ - זה השיפוע של ישר הרגרסיה לניבוי $x$ על פי $y$.

ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים $(\bar x,\bar y)=(12,71)$:

טעות נפוצה: לטעות בסימן בפתיחת הסוגריים ולקבל $y=1.714x+91.568$ - ישר שאינו עובר דרך $(12,71)$.

מציבים $x=15$ במשוואה מסעיף ג(2):

ההכנסה נמדדת באלפי שקלים, ולכן הניבוי הוא כ-76,142 שקלים.

טעות נפוצה: לשכוח את היחס בין סטיות התקן ולנבא $\bar y+r(x-\bar x)=71+0.959\cdot3\approx73.877$.

בכל חודש ההכנסה של בית מרקחת ב' היא $y-20$. ערכי $x$ לא השתנו.

הפחתת קבוע מכל ערכי $y$ מורידה את הממוצע $\bar y$ ב-20 ולא משנה את סטיית התקן $S_y$ ואת מקדם המתאם. לכן השיפוע נשאר 1.714 וכל ניבוי יורד ב-20:

טעות נפוצה: להוסיף 20 במקום להחסיר ולקבל $y=1.714x+70.432$.

ל-$\frac13$ מהבנים יש רישיון, ולכן ל-$\frac23$ מהבנים אין רישיון:

כלומר 37.5% מתלמידי השכבה הם בנים.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\frac13$ במקום ב-$\frac23$ (לשכוח שה-25% הם הבנים בלי רישיון) ולקבל $0.25\cdot3=75\%$.

בונים טבלה דו-ממדית (הסתברויות מתוך כל השכבה):

בנים עם רישיון: $0.375-0.25=0.125$. לפי הנתון גם בנות עם רישיון: $0.125$.

בנות: $1-0.375=0.625$, ולכן בנות בלי רישיון: $0.625-0.125=0.5$.

טעות נפוצה: להפוך את כיוון ההתניה ולחשב $P(\text{אין רישיון}\mid\text{בן})=\frac{0.25}{0.375}=\frac23$ - זו ההסתברות שלבן שנבחר אין רישיון.

הבנים הם 37.5% מהשכבה (סעיף א):

טעות נפוצה: לחלק ב-0.25 (אחוז הבנים בלי רישיון) ולקבל $N=276$.

אחרי ההצטרפות יש בשכבה $184+26=210$ תלמידים. נסמן ב-$b$ את מספר הבנים שהצטרפו; יש $69+b$ בנים.

בבחירה ללא החזרה, בבחירה השנייה נשארים בן אחד ותלמיד אחד פחות:

$b=-144$ נפסל (מספר תלמידים אינו שלילי), ולכן הצטרפו 7 בנים. (בדיקה: $76\cdot75=5700$.)

טעות נפוצה: לפתור את המשוואה עבור מספר הבנים הכולל, $B(B-1)=5700$, לקבל $B=76$ ולענות 76 - זה מספר הבנים בשכבה אחרי ההצטרפות, לא מספר הבנים שהצטרפו.

$AE$ מקביל לציר ה-$y$, ו-$EP$ (על הישר $CP$) מקביל לציר ה-$x$. לכן $AE\perp EP$, כלומר $\angle AEP=90^\circ$.

$P$ נמצאת על הצלע $AB$, ולכן $\angle CBP=\angle ABC=90^\circ$ (נתון).

$\angle APE=\angle CPB$ - זוויות קודקודיות (הישרים $AB$ ו-$EC$ נחתכים ב-$P$).

לכן $\triangle AEP\sim\triangle CBP$ לפי משפט הדמיון ז.ז. (סדר הקודקודים: $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow B$, $P\leftrightarrow P$).

טעות נפוצה: לנמק ש-$\angle EAP=\angle BCP$ כזוויות מתחלפות בין 'הישרים המקבילים' $AE$ ו-$CB$ - אבל $CB$ אינו מקביל ל-$AE$ (הוא אינו אנכי), ולכן הנימוק פסול. השוויון נובע מהדמיון, לא להפך.

לפי סדר הקודקודים בדמיון, $AP$ (מול הזווית הישרה $E$) מתאימה ל-$CP$ (מול הזווית הישרה $B$):

טעות נפוצה: להפוך את יחס הדמיון ולחשב $AP=\frac53\cdot12.5\approx20.83$ - אבל המשולש $AEP$ הוא הקטן מבין השניים (היחס $\frac35<1$).

$P$ על ציר ה-$y$: $P(0,y_P)$. לפי נוסחת המרחק ו-$AP=7.5$:

$y_P-14=\pm4.5$, כלומר $y_P=18.5$ או $y_P=9.5$. נתון $y_P<14$, ולכן $P(0,9.5)$.

$C$ על הישר $y=9.5$ (מקביל לציר ה-$x$ דרך $P$), במרחק $CP=12.5$ מ-$P$, ומימין לציר ה-$y$ (סרטוט): $C(12.5,\,9.5)$.

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון $y_P=18.5$ ולקבל $P(0,18.5)$ ו-$C(12.5,18.5)$ - פתרון שסותר את הנתון $y_P<14$.

הצלע $AB$ עוברת דרך $A(-6,14)$ ודרך $P(0,9.5)$:

$P$ היא נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$, ולכן $y=-0.75x+9.5$.

טעות נפוצה: לחלק את הפרש ה-$x$ בהפרש ה-$y$ ולקבל שיפוע $-\frac43$, כלומר $y=-\frac43x+9.5$.

$CB\perp AB$, ולכן $m_{CB}\cdot(-0.75)=-1$, כלומר $m_{CB}=\frac43$. הישר $CB$ עובר דרך $C(12.5,9.5)$:

$B$ היא נקודת החיתוך של $AB$ ו-$CB$:

$y=-0.75\cdot8+9.5=3.5$, ולכן $B(8,3.5)$.

טעות נפוצה: להחליף רק את הסימן של השיפוע ($m_{CB}=0.75$) בלי להפוך אותו, ולקבל $B(6.25,\,4.81)$ - נקודה שבה $CB$ אינו מאונך ל-$AB$.

$E(-6,9.5)$. האלכסון $EC$ נמצא על הישר $y=9.5$, ואורכו $12.5-(-6)=18.5$.

האלכסון מחלק את המרובע למשולש $AEC$ (מעליו, גובה $14-9.5=4.5$) ולמשולש $EBC$ (מתחתיו, גובה $9.5-3.5=6$):

טעות נפוצה: לקחת כגובה של $B$ את המרחק שלה מציר ה-$x$ (3.5) במקום מהישר $EC$, ולקבל $\frac{18.5\cdot(4.5+3.5)}{2}=74$.

$C$ נמצאת על המעגל, ולכן הרדיוס הוא $R=MC=-5-(-15)=10$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן של המרכז ולכתוב $(x-5)^2+y^2=100$ - מעגל שמרכזו $(5,0)$.

מציבים $y=2x$ במשוואת המעגל:

$(x+5)(x-3)=0$, ולכן $x=3$ או $x=-5$. מציבים ב-$y=2x$: $(3,6)$ ו-$(-5,-10)$.

לפי הסרטוט $A$ ברביע הראשון ו-$B$ למטה: $A(3,6)$, $B(-5,-10)$.

טעות נפוצה: לפתוח את $(x+5)^2$ כ-$x^2+25$, לקבל $5x^2=75$ ואת הנקודות $(\pm\sqrt{15},\pm2\sqrt{15})$ - שאינן על המעגל.

הצלע $CO$ על ציר ה-$x$, ולכן $\angle ACO$ היא זווית הנטייה של הישר $CA$:

זווית הנטייה של $OA$ (הישר $y=2x$): $\tan\alpha=2$, $\alpha\approx63.435^\circ$. זו הזווית בין $OA$ לחלק החיובי של ציר ה-$x$, ו-$\angle AOC$ (עם החלק השלילי, לכיוון $C$) צמודה לה:

טעות נפוצה: לענות $\angle AOC=63.435^\circ$ - זו הזווית בין $OA$ לחלק החיובי של ציר ה-$x$, ולא לקטע $OC$.

הראשית $O$ נמצאת על הצלע $AB$ (הישר $y=2x$ עובר בראשית), ולכן $O$ מחלקת את המשולש לשני משולשים עם בסיס משותף $CO=15$ על ציר ה-$x$:

טעות נפוצה: לחשב רק את שטח המשולש $ACO$ (45) - החלק שמעל ציר ה-$x$.

למשולשים $EAB$ ו-$CAB$ יש אותו גובה מ-$B$ לישר $AC$, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:

טעות נפוצה: לייחס את השטח 64 למשולש $EBC$ (הבסיס $EC$) ולקבל $AE=\frac{56}{120}\cdot6\sqrt{10}=2.8\sqrt{10}$.

הפונקציה מוגדרת כשהמכנה שונה מאפס: $x\neq0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>0$, כאילו זו פונקציית שורש - גם ערכים שליליים של $x$ מותרים.

ב-$x=0$ המכנה מתאפס והמונה שווה ל-$a\neq0$, ולכן $x=0$ היא אסימפטוטה אנכית.

מעלת המונה (2) גדולה ממעלת המכנה (1), ולכן אין אסימפטוטה אופקית: $f(x)=x+1+\frac ax$ שואפת ל-$\pm\infty$ כש-$x\to\pm\infty$.

טעות נפוצה: לחלק את המקדמים המובילים בכל מקרה ולענות שיש גם אסימפטוטה $y=1$ - הכלל הזה מתאים רק למעלות שוות.

מציבים את הנקודה $(2,7.5)$:

טעות נפוצה: לחלק ב-2 רק את $a$: $4+2+\frac a2=7.5$, ולקבל $a=3$.

מפרקים: $f(x)=x+1+\frac9x$, ולכן:

$f'(x)=0$ ב-$x=\pm3$. המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $x^2-9$ (ו-$x=0$ מחוץ לתחום):

$f(-3)=-3+1-3=-5$, $f(3)=3+1+3=7$. מקסימום $(-3,-5)$, מינימום $(3,7)$.

טעות נפוצה: להחליף את הסוגים כי 'ערך המקסימום ($-5$) קטן מערך המינימום (7)' ולענות $\min(-3,-5)$, $\max(3,7)$. קיצון הוא מקומי, והסוג נקבע לפי סימן הנגזרת סביב הנקודה.

מרכזים: אסימפטוטה אנכית $x=0$, מקסימום $(-3,-5)$, מינימום $(3,7)$, ותחומי העלייה והירידה מסעיף ג.

אין חיתוך עם ציר ה-$x$: $x^2+x+9=0$ חסרת פתרון (הדיסקרימיננטה $1-36<0$). לכן הענף השמאלי כולו מתחת לציר והימני כולו מעליו.

טעות נפוצה: לסרטט את הענפים מתקרבים לישר אופקי $y=1$ - לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית, והענפים שואפים ל-$\pm\infty$.

$g'(x)=f(x)-11$ - הזזה של גרף $f$ ב-11 יחידות כלפי מטה. הקיצון של $f$ עובר ל-$(-3,-16)$ ול-$(3,-4)$.

נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$: $f(x)=11$:

טעות נפוצה: להזיז את הגרף 11 יחידות שמאלה (במקום למטה), כאילו $g'(x)=f(x+11)$.

מגרף $g'$: ב-$x<0$ $g'<0$; ב-$0<x<1$ $g'>0$; ב-$1<x<9$ $g'<0$; ב-$x>9$ $g'>0$.

ב-$x=1$ הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית - מקסימום של $g$. ב-$x=9$ משלילית לחיובית - מינימום של $g$.

ב-$x=0$ הנגזרת מחליפה סימן, אבל $x=0$ אינו בתחום ההגדרה של $g$, ולכן אין שם נקודת קיצון.

טעות נפוצה: להוסיף מינימום ב-$x=0$, כי $g'$ עוברת שם משלילית לחיובית - אבל $x=0$ אינו בתחום ההגדרה של $g$.