בגרות במתמטיקה 471 - חורף 2022

מתרגמים את הציון 70 לציון תקן - בכמה סטיות תקן הוא מעל הממוצע:

הטבלה המצטברת נותנת ישירות את השטח משמאל לציון התקן, כלומר את אחוז הציונים הנמוכים ממנו:

כלומר כ-62.9% מהתלמידים קיבלו ציון נמוך מ-70.

טעות נפוצה: לחשב $1-\Phi(0.33)=0.3707$ ולענות 37.07% - זה אחוז התלמידים שקיבלו ציון גבוה מזה של שירה.

אותו אחוז של ציונים נמוכים מהציון פירושו אותו שטח משמאל בעקומה הנורמלית, ולכן אותו ציון תקן: גם במתכונת השנייה $Z=0.33$.

מציבים בנוסחת ציון התקן, כשהממוצע $\mu_2$ הוא הנעלם:

טעות נפוצה: לכתוב $78=\mu_2-0.33\cdot10$ (להפוך את הסימן) ולקבל $\mu_2=81.3$ - ממוצע גבוה מהציון של שירה, ואז היא הייתה מתחת לממוצע, בניגוד לסעיף א.

העקומה הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן בדיוק חצי מהציונים נמוכים מהממוצע וחצי גבוהים ממנו.

החציון הוא הערך שחצי מהנתונים נמוכים ממנו, ולכן בהתפלגות נורמלית החציון שווה לממוצע: 74.7.

טעות נפוצה: לבלבל בין ההסתברות 0.5 לבין ציון התקן 0.5 ולחשב $74.7+0.5\cdot10=79.7$. לחציון מתאים שטח 0.5 משמאל, כלומר $Z=0$.

הטבלה המצטברת עובדת עם השטח משמאל. אם 29.8% קיבלו ציון גבוה מאריאל, אז $100\%-29.8\%=70.2\%$ קיבלו ציון נמוך ממנו.

מחפשים בטבלה ציון תקן שהשטח משמאלו 0.702 (קריאה הפוכה):

מחזירים לציון גולמי במתכונת הראשונה:

טעות נפוצה: לחפש בטבלה ישירות את 0.298 ולקבל $Z=-0.53$, כלומר ציון $65.05-7.95=57.1$ - זה הציון ש-29.8% קיבלו ציון נמוך ממנו.

מיקום יחסי משווים לפי ציוני תקן, כי הם מודדים את המרחק מהממוצע ביחידות של סטיית התקן בכל מבחן.

במתכונת הראשונה (מסעיף ג(1)): $Z_1=0.53$.

במתכונת השנייה הממוצע 74.7 וסטיית התקן 10:

$Z_1>Z_2$: במתכונת הראשונה אריאל היה מעל הממוצע, ובשנייה מתחתיו. לכן הוא הצליח יותר, יחסית לשאר התלמידים, במתכונת הראשונה.

טעות נפוצה: לענות שההצלחה זהה בשתי המתכונות כי הציון זהה (73). ציון גולמי שווה אינו מיקום יחסי שווה - הממוצעים שונים.

מתרגמים את הנתונים להסתברויות. מספר הבנים שווה למספר הבנות, ולכן $P(\text{בן})=P(\text{בת})=0.5$.

בין הבנים: 80% בכדורגל ו-20% בטניס.

בין הבנות: הטניס גדול פי 3 מהכדורגל, כלומר מתוך 4 חלקים 1 בכדורגל ו-3 בטניס - 25% בכדורגל ו-75% בטניס.

"בן המשתתף בכדורגל" הוא חיתוך של שני מאורעות - מסלול אחד בעץ, כופלים לאורכו:

טעות נפוצה: לענות 0.8 - זו ההסתברות שבן משתתף בכדורגל, אם כבר ידוע שנבחר בן (הסתברות מותנית), ולא ההסתברות לבחור בן כדורגלן מבין כל המשתתפים.

ההסתברות שנבחר משתתף בטניס - סכום שני המסלולים שמגיעים לטניס:

הסתברות מותנית - החיתוך חלקי התנאי:

טעות נפוצה: להפוך את כיוון ההתניה ולענות $P(\text{טניס}\mid\text{בן})=0.2$. כאן התנאי הוא "טניס", והשאלה היא כמה מתוך הטניסאים הם בנים.

ההסתברות לבחור משתתף בטניס היא השכיחות היחסית שלהם בין כל המשתתפים (סעיף ב: 0.475):

טעות נפוצה: לכפול רק באחוז הטניס של הבנות, $200\cdot0.75=150$, ולשכוח שחצי מהמשתתפים הם בנים, ושמהם רק 20% בטניס.

בבחירה הראשונה: 95 טניסאים מתוך 200.

ללא החזרה: אחרי שנבחר טניסאי נשארו 94 טניסאים מתוך 199 משתתפים:

טעות נפוצה: לחשב כאילו יש החזרה, $0.475^2\approx0.226$ - בבחירה השנייה המונה והמכנה קטנים באחד.

$B$ על ציר ה-$y$, ולכן $B(0,b)$. לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:

$6-b=2$ או $6-b=-2$, כלומר $b=4$ או $b=8$.

לפי הנתון שיעור ה-$y$ של $B$ קטן מ-6, ולכן $B(0,4)$.

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון $b=8$ ולענות $B(0,8)$ - בלי להשתמש בנתון שהשיעור קטן מ-6.

$AC$ מקבילה לציר ה-$y$, ולכן ל-$C$ אותו שיעור $x$ כמו ל-$A$: $C(6,y_C)$.

$E$ אמצע $BC$: $x_E=\frac{0+6}{2}=3$.

$E$ על ציר ה-$x$, ולכן $y_E=0$:

$C(6,-4)$, $E(3,0)$.

טעות נפוצה: לחשב את $y_C$ כממוצע של $B$ ו-$E$, $\frac{4+0}{2}=2$, כאילו $C$ היא האמצע, ולקבל $C(6,2)$.

במשולש $ABC$: $E$ אמצע $BC$ ו-$D$ אמצע $AC$, ולכן $ED$ הוא קטע אמצעים, והוא מקביל לצלע השלישית: $ED\parallel AB$, כלומר $ED\parallel FA$.

$EF$ מקביל לציר ה-$y$ (כך הועבר), וגם $AD$ (חלק מ-$AC$) מקביל לציר ה-$y$. לכן $EF\parallel AD$.

במרובע $FADE$ שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות, ולכן הוא מקבילית.

טעות נפוצה: להסתפק ב-$EF\parallel AD$ ולהסיק "מקבילית". זוג אחד של צלעות מקבילות נותן רק טרפז - צריך גם את $ED\parallel FA$ מקטע האמצעים.

$D$ אמצע $AC$: $D\left(6,\frac{6+(-4)}{2}\right)=(6,1)$.

הצלע $AD$ אנכית, ואורכה הפרש שיעורי ה-$y$: $AD=6-1=5$.

הגובה לצלע $AD$ הוא המרחק בין הישרים האנכיים $x=3$ (הישר $EF$) ו-$x=6$ (הישר $AD$): $6-3=3$.

(אפשר לבדוק: $AB$: $y=\frac13x+4$, ולכן $F(3,5)$ ו-$EF=5=AD$, כמו שצריך במקבילית.)

טעות נפוצה: להכפיל שתי צלעות סמוכות, $AD\cdot ED=5\cdot\sqrt{10}\approx15.81$. שטח מקבילית הוא צלע כפול הגובה אליה, לא כפול הצלע הסמוכה.

שיפוע $ED$:

$\alpha$ היא הזווית בין $ED$ לכיוון החיובי של ציר ה-$x$.

$EF$ אנכי ומאונך לציר ה-$x$, ו-$ED$ עולה ימינה. לכן הזווית בין $ED$ ל-$EF$ משלימה את $\alpha$ ל-$90^\circ$:

טעות נפוצה: לעצור ב-$18.435^\circ$ - זו הזווית בין $ED$ לציר ה-$x$, ולא לישר האנכי $EF$.

$AC$ קוטר, ו-$\angle ABC$ היא זווית היקפית הנשענת עליו, ולכן $\angle ABC=90^\circ$.

$OA$ משיק למעגל ב-$A$, ו-$MA$ רדיוס (חלק מהקוטר $AC$). משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן $\angle OAC=90^\circ$.

$B$ נמצאת על הקטע $OC$, ולכן $\angle ACB=\angle OCA$ - זווית משותפת לשני המשולשים.

לפי משפט הדמיון ז.ז.: $\Delta ABC\sim\Delta OAC$, בהתאמה $A\leftrightarrow O$, $B\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: להתאים את $A$ ל-$A$ ולכתוב $\Delta ABC\sim\Delta AOC$. ההתאמה נקבעת לפי הזוויות השוות - הזווית הישרה $B$ מתאימה לזווית הישרה $A$ - ובהתאמה השגויה יוצא $\frac{BC}{OC}=\frac{AC}{AC}=1$, כלומר $BC=OC$, אבסורד.

לפי הדמיון מסעיף א (בהתאמה $A\leftrightarrow O$, $B\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow C$), היחס בין צלעות מתאימות שווה:

טעות נפוצה: להכפיל את $BC$ ב-$OB=12$ במקום ב-$OC$ ולקבל $AC^2=36$, $AC=6$. מהדמיון יוצא היחס עם $OC$ - הצלע של המשולש $OAC$ שמתאימה ל-$AC$.

$AC$ קוטר, ולכן הרדיוס הוא מחצית ממנו: $R=\frac{3\sqrt5}{2}$.

משוואת מעגל שמרכזו $(a,b)$: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$:

טעות נפוצה: לשים את הקוטר במקום הרדיוס ולכתוב $(x-9)^2+(y-10.5)^2=45$.

$MA$ רדיוס לנקודת ההשקה, ולכן הוא מאונך למשיק. מכפלת השיפועים היא $-1$:

הישר עובר דרך $M(9,10.5)$:

טעות נפוצה: להשתמש בשיפוע של המשיק עצמו (2) ולקבל $y=2x-7.5$ - ישר מקביל למשיק, שאינו עובר דרך $A$.

$A$ נמצאת גם על המשיק וגם על $AM$ - נקודת החיתוך שלהם:

בדיקה: $(6-9)^2+(12-10.5)^2=9+2.25=11.25$ - הנקודה על המעגל.

טעות נפוצה: להעביר אגף עם סימן שגוי, $2x-0.5x=15$, ולקבל $x=10$, כלומר $A(10,20)$ - נקודה שאינה על המעגל.

$F$ היא נקודת החיתוך של $y=-0.5x+15$ עם ציר ה-$y$: $F(0,15)$.

הזווית החדה בין $AM$ לציר ה-$x$: $\tan\alpha=0.5$, $\alpha\approx26.565^\circ$.

$AM$, ציר ה-$y$ וציר ה-$x$ יוצרים משולש ישר זווית (הזווית הישרה בראשית). הזווית שלו ב-$F$ משלימה את $\alpha$ ל-$90^\circ$, והיא $\angle OFA$ (הקרן $FA$ היא חלק מ-$AM$, והקרן $FO$ היא ציר ה-$y$):

טעות נפוצה: לעצור ב-$26.565^\circ$ - זו הזווית של $AM$ עם ציר ה-$x$, ולא עם ציר ה-$y$.

פונקציה רציונלית מוגדרת בכל מקום שבו המכנה אינו מתאפס:

תחום ההגדרה: $x\neq\frac12$ ו-$x\neq-\frac12$.

טעות נפוצה: לחלק לא נכון, $x^2=4$, ולקבל $x\neq\pm2$.

גוזרים מנה שהמונה שלה קבוע (הנגזרת של $b$ היא 0):

$f'(x)=0$ רק כשהמונה מתאפס: $x=0$.

המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן של $f'$ הפוך לסימן של $x$: משמאל ל-0 $f'>0$ (עולה), מימין ל-0 $f'<0$ (יורדת). לכן ב-$x=0$ יש מקסימום.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס בנגזרת ($f'=\frac{32x}{(4x^2-1)^2}$) ולקבוע שזו נקודת מינימום.

בטבלת הסימנים שמים את נקודת הקיצון $x=0$ ואת הנקודות שבהן הפונקציה אינה מוגדרת, $x=\pm\frac12$:

$x<-\frac12$: $f'>0$; $-\frac12<x<0$: $f'>0$; $0<x<\frac12$: $f'<0$; $x>\frac12$: $f'<0$.

עלייה: $x<-\frac12$ או $-\frac12<x<0$. ירידה: $0<x<\frac12$ או $x>\frac12$.

טעות נפוצה: לכתוב "עולה ב-$x<0$, יורדת ב-$x>0$" - התחומים כוללים את $x=\pm\frac12$, שבהם הפונקציה אינה מוגדרת, וצריך לפצל אותם.

ישר אופקי המשיק בנקודת קיצון עובר בגובה ערך הקיצון. לכן שיעור ה-$y$ של נקודת הקיצון הוא $-2$:

טעות נפוצה: לפתור $-4+b=-2$ כ-$b=-2-4=-6$ (להעביר אגף בלי להחליף סימן).

$f(x)=\frac{4}{4x^2-1}+2$.

אסימפטוטות אנכיות: בנקודות שבהן המכנה מתאפס והמונה לא - $x=\frac12$ ו-$x=-\frac12$.

אסימפטוטה אופקית: כאשר $x\to\pm\infty$ המכנה גדל בלי גבול, השבר $\frac{4}{4x^2-1}$ שואף ל-0, ו-$f(x)\to2$. לכן $y=2$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=0$ - מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, אבל לשבר נוסף הקבוע 2, והוא מזיז את האסימפטוטה.

אוספים את תוצאות החקירה:

ל-$|x|>\frac12$ השבר חיובי, ולכן הגרף מעל $y=2$; משמאל הוא עולה ומימין יורד, וליד האסימפטוטות האנכיות הוא שואף ל-$+\infty$.

ל-$-\frac12<x<\frac12$ השבר שלילי וקטן מ-$-4$ או שווה לו, ולכן הקשת מתחת ל-$-2$: עולה עד המקסימום $(0,-2)$ ויורדת, ושואפת ל-$-\infty$ ליד $x=\pm\frac12$.

טעות נפוצה: לצייר את הענפים החיצוניים מתחת ל-$y=2$ (כאילו הם מתקרבים לאסימפטוטה מלמטה) - לכל $|x|>\frac12$ השבר חיובי, ולכן $f(x)>2$.

מתחומי העלייה והירידה (סעיף ב(2)): $f'>0$ לכל $x<0$ בתחום ההגדרה, ו-$f'<0$ לכל $x>0$. בנוסף $f'(0)=0$.

גרף II: חיובי משמאל לציר ה-$y$, עובר דרך הראשית ושלילי מימין - מתאים.

גרף III: שלילי משמאל וחיובי מימין - הפוך. גרף I: שלילי בכל התחום שבין האסימפטוטות, ואינו מתאפס ב-0 - זה בעצם גרף הפונקציה $f$ עצמה.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I כי הוא "נראה כמו הפונקציה" - הגרף של $f'$ צריך להראות את סימן השיפוע, ולהתאפס בנקודת הקיצון.

הגרף של $f'$ חותך את ציר ה-$x$ ב-$x=0$, ולכן התחום הוא $0\le x\le\frac13$. בתחום הזה $f'<0$ (הפונקציה יורדת), כלומר השטח מתחת לציר ה-$x$.

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$, ולכן:

האינטגרל שלילי כי השטח מתחת לציר, והשטח הוא הערך המוחלט: $S=3.2$.

טעות נפוצה: להציב רק את הגבול העליון ולענות $|f(\frac13)|=5.2$, בלי להחסיר את $f(0)$.

שורש ריבועי מוגדר רק כשהביטוי שבתוכו אי-שלילי:

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להחליף סימן ולכתוב $x\geq18$.

עם ציר ה-$y$: $f(0)=0$, כלומר הראשית.

עם ציר ה-$x$: מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0:

שני הערכים בתחום ההגדרה: $(-18,0)$ ו-$(0,0)$.

טעות נפוצה: לענות רק $(0,0)$ - לשכוח שגם השורש עצמו יכול להתאפס.

גוזרים מכפלה ($x$ כפול שורש), ומביאים למכנה משותף:

$f'(x)=0$: $3x+36=0$, $x=-12$. המכנה חיובי ב-$x>-18$, ולכן הסימן של $f'$ כסימן של $3x+36$: שלילי ב-$-18<x<-12$, חיובי ב-$x>-12$ - מינימום.

בקצה התחום $x=-18$: $f(-18)=0$, ומשם הפונקציה יורדת. לכן $(-18,0)$ היא נקודת מקסימום (קצה).

טעות נפוצה: למצוא רק את $\min(-12,-12\sqrt6)$ מ-$f'=0$ ולשכוח את נקודת הקצה $\max(-18,0)$.

הגרף מתחיל בנקודת הקצה $(-18,0)$, יורד עד המינימום $(-12,-12\sqrt6)$, ואחר כך עולה, עובר דרך $(0,0)$ וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף גם משמאל ל-$x=-18$, שם הפונקציה אינה מוגדרת.

כפל ב-$-2$: כל ערך $y$ מוכפל ב-$-2$ (שיקוף ביחס לציר ה-$x$ ומתיחה פי 2). שיעורי ה-$x$ לא משתנים.

השיקוף הופך מקסימום למינימום ולהפך:

$(-12,-12\sqrt6)\to(-12,24\sqrt6)$ - מקסימום. $(-18,0)\to(-18,0)$ - מינימום (קצה).

טעות נפוצה: להכפיל את ה-$y$ ב-$-2$ בלי להפוך את הסוג, ולענות $\min(-12,24\sqrt6)$, $\max(-18,0)$.

$A(-12,-12\sqrt6)$, $B(-12,24\sqrt6)$ - שתיהן על הישר $x=-12$, ולכן $AB$ אנכי:

הגובה מ-$O$ לישר $x=-12$ הוא 12.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולענות $432\sqrt6$.