דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 7 ברמת בגרות

4 יח"ל · שאלון 035472 · 5 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 472 (4 יח"ל), ברמת בגרות: 5 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטח

נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' (ראו ציור). הנקודות FF ו-HH הן אמצעי המקצועות ABAB ו-D′C′D'C' בהתאמה. הנקודה EE מקיימת: AE→=14AA′⃗\overrightarrow{AE}=\frac14\vec{AA'}. הנקודה GG מקיימת: CG→=34CC′⃗\overrightarrow{CG}=\frac34\vec{CC'}. נסמן: AA′⃗=w‾\vec{AA'}=\underline w, BC→=v‾\overrightarrow{BC}=\underline v, AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u.

ABCDA'B'C'D'EGFH
א(1).

הביעו את הווקטורים EF→\overrightarrow{EF}, FG→\overrightarrow{FG}, HG→\overrightarrow{HG} ו-EH→\overrightarrow{EH} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

א(2).

האם המרובע EFGHEFGH הוא מקבילית? נמקו.

הנפח של הקובייה הנתונה הוא 64.

ב(1).

מצאו את אורך המקצוע של הקובייה.

ב(2).

מצאו את אורכי הווקטורים EF→\overrightarrow{EF} ו-EH→\overrightarrow{EH}.

ג(1).

מצאו את גודל הזווית HEFHEF.

ג(2).

מצאו את שטח המרובע EFGHEFGH.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א(1)

תשובה:

EF→=12u‾−14w‾\overrightarrow{EF}=\frac12\underline u-\frac14\underline w, FG→=12u‾+v‾+34w‾\overrightarrow{FG}=\frac12\underline u+\underline v+\frac34\underline w, HG→=12u‾−14w‾\overrightarrow{HG}=\frac12\underline u-\frac14\underline w, EH→=12u‾+v‾+34w‾\overrightarrow{EH}=\frac12\underline u+\underline v+\frac34\underline w

מתרגמים את מיקום הנקודות:

AE→=14w‾\overrightarrow{AE}=\frac14\underline w, ולכן EA′⃗=34w‾\vec{EA'}=\frac34\underline w.

CG→=34w‾\overrightarrow{CG}=\frac34\underline w, ולכן מ-GG עד C′C' נשאר רבע: C′G⃗=−14w‾\vec{C'G}=-\frac14\underline w.

FF אמצע ABAB: AF→=FB→=12u‾\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FB}=\frac12\underline u. HH אמצע D′C′D'C', ו-D′C′⃗=u‾\vec{D'C'}=\underline u: D′H⃗=HC′⃗=12u‾\vec{D'H}=\vec{HC'}=\frac12\underline u.

A′D′⃗=BC→=v‾\vec{A'D'}=\overrightarrow{BC}=\underline v.

EF→=EA→+AF→=−14w‾+12u‾\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}=-\frac14\underline w+\frac12\underline u
FG→=FB→+BC→+CG→=12u‾+v‾+34w‾\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\frac12\underline u+\underline v+\frac34\underline w
HG→=HC′⃗+C′G⃗=12u‾−14w‾\overrightarrow{HG}=\vec{HC'}+\vec{C'G}=\frac12\underline u-\frac14\underline w
EH→=EA′⃗+A′D′⃗+D′H⃗=34w‾+v‾+12u‾\overrightarrow{EH}=\vec{EA'}+\vec{A'D'}+\vec{D'H}=\frac34\underline w+\underline v+\frac12\underline u

טעות נפוצה: לכתוב C′G⃗=+14w‾\vec{C'G}=+\frac14\underline w. מ-C′C' יורדים אל GG, נגד הכיוון של w‾=AA′⃗\underline w=\vec{AA'}.

סעיף א(2)

תשובה:

כן: EF→=HG→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}

מרובע הוא מקבילית אם זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות - כלומר אם EF→=HG→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}.

מסעיף א(1): EF→=12u‾−14w‾\overrightarrow{EF}=\frac12\underline u-\frac14\underline w וגם HG→=12u‾−14w‾\overrightarrow{HG}=\frac12\underline u-\frac14\underline w.

הווקטורים שווים, ולכן EFGHEFGH מקבילית.

טעות נפוצה: להשוות את EF→\overrightarrow{EF} ל-GH→\overrightarrow{GH} ולקבל וקטורים נגדיים, ומכאן להסיק שאין מקבילית. צריך שני וקטורים באותו כיוון: מ-EE ל-FF ומ-HH ל-GG.

סעיף ב(1)

תשובה:

4

נפח קובייה שאורך מקצועה aa הוא a3a^3:

a3=64⇒a=643=4a^3=64\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt[3]{64}=4

טעות נפוצה: להוציא שורש ריבועי (64=8\sqrt{64}=8) במקום שורש שלישי.

סעיף ב(2)

תשובה:

∣EF→∣=5|\overrightarrow{EF}|=\sqrt5, ∣EH→∣=29|\overrightarrow{EH}|=\sqrt{29}

מקצועות הקובייה מאונכים זה לזה, ולכן כל המכפלות המעורבות 0, ו-u‾2=v‾2=w‾2=16\underline u^2=\underline v^2=\underline w^2=16.

∣EF→∣2=(12u‾−14w‾)2=14⋅16+116⋅16=4+1=5|\overrightarrow{EF}|^2=\left(\frac12\underline u-\frac14\underline w\right)^2=\frac14\cdot16+\frac1{16}\cdot16=4+1=5
∣EH→∣2=(12u‾+v‾+34w‾)2=14⋅16+16+916⋅16=4+16+9=29|\overrightarrow{EH}|^2=\left(\frac12\underline u+\underline v+\frac34\underline w\right)^2=\frac14\cdot16+16+\frac9{16}\cdot16=4+16+9=29

לכן ∣EF→∣=5|\overrightarrow{EF}|=\sqrt5 ו-∣EH→∣=29|\overrightarrow{EH}|=\sqrt{29}.

טעות נפוצה: לחבר את אורכי החלקים (2+1=32+1=3 עבור EF→\overrightarrow{EF}) כאילו הם על ישר אחד. החלקים מאונכים, ולכן מחברים ריבועים.

סעיף ג(1)

תשובה:

∠HEF≈85.24∘\angle HEF\approx85.24^\circ

הזווית HEFHEF היא הזווית בין EH→\overrightarrow{EH} ל-EF→\overrightarrow{EF} - שני הווקטורים יוצאים מ-EE.

EH→⋅EF→=(12u‾+v‾+34w‾)⋅(12u‾−14w‾)=14u‾2−316w‾2=4−3=1\overrightarrow{EH}\cdot\overrightarrow{EF}=\left(\frac12\underline u+\underline v+\frac34\underline w\right)\cdot\left(\frac12\underline u-\frac14\underline w\right)=\frac14\underline u^2-\frac3{16}\underline w^2=4-3=1
cos⁡∠HEF=129⋅5=1145≈0.0830\cos\angle HEF=\frac{1}{\sqrt{29}\cdot\sqrt5}=\frac1{\sqrt{145}}\approx0.0830

הקוסינוס חיובי, ולכן הזווית חדה: ∠HEF≈85.24∘\angle HEF\approx85.24^\circ.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן מינוס ב-−14w‾-\frac14\underline w ולקבל EH→⋅EF→=4+3=7\overrightarrow{EH}\cdot\overrightarrow{EF}=4+3=7.

סעיף ג(2)

תשובה:

SEFGH=12S_{EFGH}=12

המרובע הוא מקבילית (א(2)), ושטחה הוא מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית שביניהן.

sin⁡∠HEF=1−1145=144145\sin\angle HEF=\sqrt{1-\frac1{145}}=\sqrt{\frac{144}{145}}
SEFGH=29⋅5⋅144145=145⋅12145=12S_{EFGH}=\sqrt{29}\cdot\sqrt5\cdot\sqrt{\frac{144}{145}}=\sqrt{145}\cdot\frac{12}{\sqrt{145}}=12

טעות נפוצה: לחשב 12⋅29⋅5⋅sin⁡∠HEF=6\frac12\cdot\sqrt{29}\cdot\sqrt5\cdot\sin\angle HEF=6 - זה שטח משולש, חצי מהמקבילית.

שאלה 2 · וקטורים במנסרה ישרה: ניצבות ושטח משולש

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא מקבילית. הנקודה NN היא אמצע המקצוע B′C′B'C', והנקודה QQ נמצאת על המקצוע DD′DD' ומקיימת DQ→=23DD′⃗\overrightarrow{DQ}=\frac23\vec{DD'}. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′⃗=w‾\vec{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'NQ
א.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w את הווקטורים BN→\overrightarrow{BN} ו-QN→\overrightarrow{QN}.

נתון: ∣u‾∣=4|\underline u|=4, ∣v‾∣=6|\underline v|=6, ∠DAB=60∘\angle DAB=60^\circ.

ב.

מצאו את הערך של כל אחת מן המכפלות הסקלריות האלה: u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w.

נתון: נפח המנסרה הוא 36336\sqrt3.

ג.

מצאו את הערך של ∣w‾∣|\underline w|.

ד.

הוכיחו כי BN→\overrightarrow{BN} מאונך ל-QN→\overrightarrow{QN}.

ה(1).

הראו כי ∣QN→∣=14|\overrightarrow{QN}|=\sqrt{14}.

ה(2).

חשבו את שטח המשולש BNQBNQ.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

BN→=12v‾+w‾\overrightarrow{BN}=\frac12\underline v+\underline w, QN→=u‾−12v‾+13w‾\overrightarrow{QN}=\underline u-\frac12\underline v+\frac13\underline w

מתרגמים את מיקום הנקודות לחלקים של וקטורי הבסיס.

DQ→=23w‾\overrightarrow{DQ}=\frac23\underline w, ולכן מ-QQ עד D′D' נשאר שליש מהמקצוע: QD′⃗=13w‾\vec{QD'}=\frac13\underline w.

NN אמצע B′C′B'C', ו-B′C′⃗=AD→=v‾\vec{B'C'}=\overrightarrow{AD}=\underline v. לכן B′N⃗=12v‾\vec{B'N}=\frac12\underline v ו-C′N⃗=−12v‾\vec{C'N}=-\frac12\underline v.

מ-BB עולים ל-B′B' וממשיכים ל-NN:

BN→=BB′⃗+B′N⃗=w‾+12v‾\overrightarrow{BN}=\vec{BB'}+\vec{B'N}=\underline w+\frac12\underline v

מ-QQ עולים ל-D′D', הולכים לאורך D′C′D'C' (ששווה ל-AB→\overrightarrow{AB}) וחוזרים חצי מקצוע מ-C′C' ל-NN:

QN→=QD′⃗+D′C′⃗+C′N⃗=13w‾+u‾−12v‾\overrightarrow{QN}=\vec{QD'}+\vec{D'C'}+\vec{C'N}=\frac13\underline w+\underline u-\frac12\underline v

טעות נפוצה: לכתוב QD′⃗=23w‾\vec{QD'}=\frac23\underline w. היחס 23\frac23 נמדד מ-DD עד QQ, ומ-QQ עד D′D' נשאר רק שליש.

סעיף ב

תשובה:

u‾⋅v‾=12\underline u\cdot\underline v=12, v‾⋅w‾=0\underline v\cdot\underline w=0, u‾⋅w‾=0\underline u\cdot\underline w=0

הזווית בין u‾\underline u ל-v‾\underline v היא הזווית DABDAB:

u‾⋅v‾=∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡60∘=4⋅6⋅12=12\underline u\cdot\underline v=|\underline u|\cdot|\underline v|\cdot\cos60^\circ=4\cdot6\cdot\frac12=12

במנסרה ישרה המקצוע הצדדי מאונך למישור הבסיס, ולכן מאונך ל-ABAB ול-ADAD: u‾⋅w‾=0\underline u\cdot\underline w=0 ו-v‾⋅w‾=0\underline v\cdot\underline w=0.

טעות נפוצה: לחשוב שכל שלוש המכפלות הן 0 כי "זו מנסרה ישרה". הבסיס מקבילית, והזווית בין u‾\underline u ל-v‾\underline v אינה ישרה.

סעיף ג

תשובה:

∣w‾∣=3|\underline w|=3

במנסרה ישרה הגובה הוא המקצוע הצדדי ∣w‾∣|\underline w|, והנפח הוא שטח הבסיס כפול הגובה.

SABCD=4⋅6⋅sin⁡60∘=24⋅32=123S_{ABCD}=4\cdot6\cdot\sin60^\circ=24\cdot\frac{\sqrt3}2=12\sqrt3
123⋅∣w‾∣=363⇒∣w‾∣=312\sqrt3\cdot|\underline w|=36\sqrt3\quad\Rightarrow\quad|\underline w|=3

טעות נפוצה: לחשב את שטח הבסיס כ-4⋅6=244\cdot6=24 ולקבל ∣w‾∣=1.53|\underline w|=1.5\sqrt3.

סעיף ד

תשובה:

הוכחה: BN→⋅QN→=0\overrightarrow{BN}\cdot\overrightarrow{QN}=0

מראים שהמכפלה הסקלרית היא 0. פותחים לפי חוק הפילוג:

BN→⋅QN→=(12v‾+w‾)⋅(u‾−12v‾+13w‾)\overrightarrow{BN}\cdot\overrightarrow{QN}=\left(\frac12\underline v+\underline w\right)\cdot\left(\underline u-\frac12\underline v+\frac13\underline w\right)
=12u‾⋅v‾−14v‾2+16v‾⋅w‾+u‾⋅w‾−12v‾⋅w‾+13w‾2=\frac12\underline u\cdot\underline v-\frac14\underline v^2+\frac16\underline v\cdot\underline w+\underline u\cdot\underline w-\frac12\underline v\cdot\underline w+\frac13\underline w^2

מציבים u‾⋅v‾=12\underline u\cdot\underline v=12, v‾2=36\underline v^2=36, w‾2=9\underline w^2=9, והמכפלות עם w‾\underline w הן 0:

=12⋅12−14⋅36+13⋅9=6−9+3=0=\frac12\cdot12-\frac14\cdot36+\frac13\cdot9=6-9+3=0

ולכן BN→⊥QN→\overrightarrow{BN}\perp\overrightarrow{QN}.

טעות נפוצה: להציב v‾2=6\underline v^2=6 במקום ∣v‾∣2=36|\underline v|^2=36.

סעיף ה(1)

תשובה:

∣QN→∣2=16+9+1−12=14|\overrightarrow{QN}|^2=16+9+1-12=14

מחשבים את הריבוע הסקלרי של QN→\overrightarrow{QN}:

∣QN→∣2=(u‾−12v‾+13w‾)2=u‾2+14v‾2+19w‾2−u‾⋅v‾+23u‾⋅w‾−13v‾⋅w‾|\overrightarrow{QN}|^2=\left(\underline u-\frac12\underline v+\frac13\underline w\right)^2=\underline u^2+\frac14\underline v^2+\frac19\underline w^2-\underline u\cdot\underline v+\frac23\underline u\cdot\underline w-\frac13\underline v\cdot\underline w
=16+9+1−12+0−0=14=16+9+1-12+0-0=14

ולכן ∣QN→∣=14|\overrightarrow{QN}|=\sqrt{14}.

טעות נפוצה: לטעות בסימן של המכפלה המעורבת: 2⋅u‾⋅(−12v‾)=−u‾⋅v‾=−122\cdot\underline u\cdot\left(-\frac12\underline v\right)=-\underline u\cdot\underline v=-12, ולא +12+12.

סעיף ה(2)

תשובה:

37≈7.943\sqrt7\approx7.94

לפי סעיף ד הזווית BNQBNQ ישרה, ולכן הניצבים של המשולש הם BNBN ו-QNQN.

∣BN→∣2=(12v‾+w‾)2=14v‾2+v‾⋅w‾+w‾2=9+0+9=18⇒∣BN→∣=32|\overrightarrow{BN}|^2=\left(\frac12\underline v+\underline w\right)^2=\frac14\underline v^2+\underline v\cdot\underline w+\underline w^2=9+0+9=18\quad\Rightarrow\quad|\overrightarrow{BN}|=3\sqrt2
SBNQ=12⋅BN⋅QN=12⋅32⋅14=3228=37≈7.94S_{BNQ}=\frac12\cdot BN\cdot QN=\frac12\cdot3\sqrt2\cdot\sqrt{14}=\frac32\sqrt{28}=3\sqrt7\approx7.94

טעות נפוצה: לחשב 12⋅BQ⋅QN\frac12\cdot BQ\cdot QN. הזווית הישרה היא ב-NN, ולכן BQBQ הוא היתר ולא ניצב.

שאלה 3 · גדילה ודעיכה: ערכי שני מגרשים

נתונים שני מגרשים - מגרש א' ומגרש ב'. בתחילת שנת 2015 היה הערך של מגרש א' 310,000 שקלים והערך של מגרש ב' היה 450,000 שקלים. הערך של מגרש א' גדל בכל שנה ב-10%, והערך של מגרש ב' גדל בכל שנה פי qq. כעבור מספר מסוים של שנים היה הערך של מגרש א' שווה לערך של מגרש ב'.

א.

לפניכם שלוש טענות: I. q<1.1q<1.1; II. q=1.1q=1.1; III. q>1.1q>1.1. קבעו מהי הטענה הנכונה. נמקו את קביעתכם.

נתון כי בתחילת שנת 2023 היה הערך של מגרש א' שווה לערך של מגרש ב'.

ב(1).

מצאו מה היה הערך של מגרש א' בתחילת שנה זו.

ב(2).

מצאו בכמה אחוזים גדל הערך של מגרש ב' בכל שנה.

על פי הצפי, מתחילת שנת 2023 ואילך הערך של מגרש ב' עתיד לרדת בכל שנה באחוז שקטן פי 1.25 מן האחוז שמצאתם בתת-סעיף ב(2).

ג.

על פי צפי זה, בתחילת איזו שנה עתיד לרדת לראשונה הערך של מגרש ב' בהשוואה לערך שהיה לו בתחילת שנת 2015?

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

טענה I: q<1.1q<1.1

בהתחלה מגרש ב' שווה יותר ממגרש א' (450,000 לעומת 310,000). כדי שהערכים ישתוו, מגרש א' צריך לסגור את הפער - כלומר לגדול מהר יותר ממגרש ב'.

היחס בין הערכים אחרי tt שנים:

310,000⋅1.1t450,000⋅qt=3145(1.1q)t\frac{310{,}000\cdot1.1^t}{450{,}000\cdot q^t}=\frac{31}{45}\left(\frac{1.1}{q}\right)^t

אם q≥1.1q\ge1.1, היחס לעולם לא יגדל מעל 3145<1\frac{31}{45}<1, והערכים לא ישתוו. לכן q<1.1q<1.1, והטענה הנכונה היא I.

טעות נפוצה: לבחור ב-III כמו בדוגמאות שבהן הכמות עם qq היא זו שמשיגה את האחרת. כאן הכמות עם qq היא הגדולה, ולכן היא זו שגדלה לאט יותר.

סעיף ב(1)

תשובה:

664,513 שקלים (בקירוב)

מתחילת 2015 עד תחילת 2023 עברו 8 שנים, והערך גדל פי 1.1 בכל שנה:

310,000⋅1.18≈310,000⋅2.14359≈664,513310{,}000\cdot1.1^8\approx310{,}000\cdot2.14359\approx664{,}513

טעות נפוצה: לספור 9 שנים (2015 עד 2023 כולל). מתחילת 2015 לתחילת 2023 עוברות 8 שנים.

סעיף ב(2)

תשובה:

5%

בתחילת 2023 גם ערך מגרש ב' הוא כ-664,513 שקלים:

450,000⋅q8=664,513⇒q8≈1.47669450{,}000\cdot q^8=664{,}513\quad\Rightarrow\quad q^8\approx1.47669
q=1.476698≈1.05q=\sqrt[8]{1.47669}\approx1.05

מנה 1.05 - גדילה של 5% בכל שנה (בהתאם לסעיף א, 1.05<1.11.05<1.1).

טעות נפוצה: לחלק את הגדילה הכוללת (כ-47.7%) ב-8 ולקבל כ-6% - באחוז קבוע מוציאים שורש, לא מחלקים.

סעיף ג

תשובה:

בתחילת שנת 2033

אחוז הירידה: 5%1.25=4%\frac{5\%}{1.25}=4\%, ולכן מנת הדעיכה 0.960.96.

נסמן ב-tt את מספר השנים מתחילת 2023:

664,513⋅0.96t<450,000⇒0.96t<0.67718664{,}513\cdot0.96^t<450{,}000\quad\Rightarrow\quad0.96^t<0.67718
t>log⁡0.67718log⁡0.96≈9.55t>\frac{\log0.67718}{\log0.96}\approx9.55

(כיוון אי-השוויון התהפך בחלוקה ב-log⁡0.96<0\log0.96<0.)

המספר השלם הקטן ביותר הוא t=10t=10: 2023+10=20332023+10=2033.

טעות נפוצה: לחשב את אחוז הירידה כ-5%⋅1.25=6.25%5\%\cdot1.25=6.25\%. "קטן פי 1.25" פירושו חלוקה ב-1.25.

שאלה 4 · פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת, חקירה, חיתוך עם פונקציה נוספת ושטח

הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x) מוגדרות לכל xx. לפונקציה f(x)f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור ה-xx שלה חיובי. לפניכם שני גרפים, I ו-II, אחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

גרף I
גרף II
א.

קבעו איזה מהגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), ונמקו את קביעתכם.

נתון: f(x)=(x2−3)⋅e−x+2f(x)=(x^2-3)\cdot e^{-x+2}.

ב(1).

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה-xx.

ב(2).

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

נתונה הפונקציה g(x)=13⋅e−x+2g(x)=13\cdot e^{-x+2} המוגדרת לכל xx.

ד(1).

הסבירו מדוע הפונקציה g(x)g(x) חיובית לכל xx.

ד(2).

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם גרף הפונקציה g(x)g(x).

דרך כל אחת מן הנקודות שמצאתם בסעיף ד העבירו אנך לציר ה-xx.

ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x), על ידי ציר ה-xx ועל ידי האנכים.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

גרף II

במקסימום של ff הנגזרת מתאפסת ועוברת מחיובית לשלילית.

בגרף II המעבר מחיובית לשלילית קורה בנקודת החיתוך הימנית עם ציר ה-xx, ב-x>0x>0, ובנקודה השמאלית יש מעבר משלילית לחיובית (מינימום). זה מתאים לנתון.

בגרף I הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית בנקודה השמאלית, ב-x<0x<0, כלומר המקסימום היה ב-xx שלילי - בסתירה לנתון.

טעות נפוצה: לבחור את הגרף שבו יש "גבעה" מעל ציר ה-xx בצד החיובי. קובע רק כיוון המעבר של הסימן בנקודת האפס, לא הצורה.

סעיף ב(1)

תשובה:

(−3,0)(-\sqrt3,0), (3,0)(\sqrt3,0)

e−x+2>0e^{-x+2}>0 תמיד, ולכן f(x)=0f(x)=0 רק כאשר x2−3=0x^2-3=0:

x=±3x=\pm\sqrt3

טעות נפוצה: לכתוב רק x=3x=\sqrt3 ולשכוח את הפתרון השלילי.

סעיף ב(2)

תשובה:

min⁡(−1,−2e3)\min(-1,-2e^3), max⁡(3,6e)\max\left(3,\frac6e\right)

כלל המכפלה, ונגזרת e−x+2e^{-x+2} היא −e−x+2-e^{-x+2}:

f′(x)=2xe−x+2−(x2−3)e−x+2=e−x+2(−x2+2x+3)f'(x)=2xe^{-x+2}-(x^2-3)e^{-x+2}=e^{-x+2}\left(-x^2+2x+3\right)
−x2+2x+3=0⇒x2−2x−3=0⇒x=−1 או x=3-x^2+2x+3=0\quad\Rightarrow\quad x^2-2x-3=0\quad\Rightarrow\quad x=-1\ \text{או}\ x=3

סימן f′f': שלילי ב-x<−1x<-1, חיובי ב-−1<x<3-1<x<3, שלילי ב-x>3x>3.

מינימום ב-x=−1x=-1: f(−1)=(1−3)e3=−2e3f(-1)=(1-3)e^{3}=-2e^3. מקסימום ב-x=3x=3: f(3)=6e−1=6ef(3)=6e^{-1}=\frac6e.

טעות נפוצה: לחשב f(−1)f(-1) עם e1e^{1} במקום e3e^{3}: המעריך הוא −(−1)+2=3-(-1)+2=3.

סעיף ג

תשובה:

סקיצה: יורדת מ-+∞+\infty וחותכת את ציר ה-xx ב-−3-\sqrt3, מינימום ב-(−1,−2e3)(-1,-2e^3), עולה וחותכת ב-3\sqrt3, מקסימום ב-(3,6e)\left(3,\frac6e\right), ושואפת ל-0 מלמעלה

•כאשר x→−∞x\to-\infty שני הגורמים שואפים לאינסוף, ולכן f(x)→∞f(x)\to\infty.

•יורדת, חותכת את ציר ה-xx ב-−3≈−1.73-\sqrt3\approx-1.73, ומגיעה למינימום (−1,−2e3)≈(−1,−40.2)(-1,-2e^3)\approx(-1,-40.2).

•עולה דרך (0,−3e2)(0,-3e^2), חותכת את ציר ה-xx ב-3\sqrt3, ומגיעה למקסימום (3,6e)≈(3,2.21)\left(3,\frac6e\right)\approx(3,2.21).

•כאשר x→∞x\to\infty, e−x+2→0e^{-x+2}\to0 מהר יותר משהגורם הריבועי גדל, ו-f>0f>0 שם: הגרף מתקרב לציר ה-xx מלמעלה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מתקרב לציר ה-xx כמו הענף הימני. משמאל e−x+2e^{-x+2} גדל בלי חסם, ולכן הגרף שואף לאינסוף.

סעיף ד(1)

תשובה:

e−x+2>0e^{-x+2}>0 לכל xx, ו-13 חיובי

חזקה של ee חיובית לכל מעריך, ולכן e−x+2>0e^{-x+2}>0, ומכפלה ב-13 נשארת חיובית.

טעות נפוצה: לחשוב ש-gg שלילית כאשר x>2x>2 (מעריך שלילי). מעריך שלילי נותן מספר קטן מ-1, אבל חיובי.

סעיף ד(2)

תשובה:

(−4,13e6)(-4,13e^6), (4,13e2)\left(4,\frac{13}{e^2}\right)

(x2−3)e−x+2=13e−x+2⇒x2−3=13⇒x=±4(x^2-3)e^{-x+2}=13e^{-x+2}\quad\Rightarrow\quad x^2-3=13\quad\Rightarrow\quad x=\pm4

g(−4)=13e6g(-4)=13e^{6}, g(4)=13e−2=13e2g(4)=13e^{-2}=\frac{13}{e^2}.

טעות נפוצה: לפתור x2=13x^2=13 ולשכוח להעביר את −3-3.

סעיף ה

תשובה:

13e6−13e2≈5,242.813e^6-\frac{13}{e^2}\approx5{,}242.8

gg חיובית, ולכן השטח הוא:

S=∫−4413e−x+2 dx=[−13e−x+2]−44=−13e−2+13e6≈5,242.8S=\int_{-4}^{4}13e^{-x+2}\,dx=\left[-13e^{-x+2}\right]_{-4}^{4}=-13e^{-2}+13e^{6}\approx5{,}242.8

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס בקדומה (13e−x+213e^{-x+2}) ולקבל שטח שלילי.

שאלה 5 · גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: מקסימום ושטח

הפונקציות f(x)f(x) ו-f′(x)f'(x) מוגדרות בתחום x≠3x\neq3.

לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה-xx בנקודה אחת (a,0)(a,0). aa הוא קבוע.

(a,0)
א.

הביעו באמצעות aa את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

נתון גם כי: f(x)=e−xx−3f(x)=\frac{e^{-x}}{x-3}.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), ורשמו את הערך של aa.

ג.

רשמו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

ד.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ה.

מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-xx של הפונקציה f(x)f(x).

ו.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ז.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), ציר ה-xx וציר ה-yy.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

x=ax=a, מקסימום

f′f' מתאפסת רק ב-x=ax=a. משמאל ל-aa הגרף של f′f' מעל ציר ה-xx - ff עולה; מימין ל-aa (עד האסימפטוטה) הוא מתחת לציר - ff יורדת.

מעבר מעלייה לירידה - נקודת מקסימום ב-x=ax=a.

טעות נפוצה: לקבוע "מינימום" כי הגרף של f′f' יורד ב-x=ax=a אל מתחת לציר. מה שקובע הוא הסימן של f′f' לפני ואחרי, לא הצורה של הגרף שלה.

סעיף ב

תשובה:

max⁡(2,−1e2)\max\left(2,-\frac{1}{e^2}\right), a=2a=2

כלל המנה, עם (e−x)′=−e−x(e^{-x})'=-e^{-x}:

f′(x)=−e−x(x−3)−e−x⋅1(x−3)2=−e−x(x−3+1)(x−3)2=−e−x(x−2)(x−3)2f'(x)=\frac{-e^{-x}(x-3)-e^{-x}\cdot1}{(x-3)^2}=\frac{-e^{-x}(x-3+1)}{(x-3)^2}=\frac{-e^{-x}(x-2)}{(x-3)^2}

e−x>0e^{-x}>0, ולכן f′(x)=0f'(x)=0 רק כאשר x=2x=2. לכן a=2a=2.

f(2)=e−22−3=−1e2≈−0.135f(2)=\frac{e^{-2}}{2-3}=-\frac{1}{e^2}\approx-0.135

לפי סעיף א זו נקודת מקסימום: max⁡(2,−1e2)\max\left(2,-\frac1{e^2}\right).

טעות נפוצה: לגזור את e−xe^{-x} כ-e−xe^{-x} (בלי המינוס) ולקבל x−4=0x-4=0, כלומר x=4x=4.

סעיף ג

תשובה:

עלייה: x<2x<2; ירידה: 2<x<32<x<3, x>3x>3

הסימן של f′f' הוא הסימן של −(x−2)-(x-2), כי e−xe^{-x} ו-(x−3)2(x-3)^2 חיוביים בתחום.

x<2x<2: f′>0f'>0 - עולה. 2<x<32<x<3: f′<0f'<0 - יורדת. x>3x>3: f′<0f'<0 - יורדת.

עלייה: x<2x<2. ירידה: 2<x<32<x<3 ו-x>3x>3 (שני תחומים נפרדים, כי x=3x=3 אינו בתחום).

טעות נפוצה: לכתוב ירידה ב-x>2x>2 כתחום אחד, ולהתעלם מכך ש-ff אינה מוגדרת ב-x=3x=3.

סעיף ד

תשובה:

(0,−13)\left(0,-\frac13\right); אין חיתוך עם ציר ה-xx

חיתוך עם ציר ה-yy: f(0)=e00−3=−13f(0)=\frac{e^0}{0-3}=-\frac13 - הנקודה (0,−13)\left(0,-\frac13\right).

חיתוך עם ציר ה-xx: המונה e−xe^{-x} חיובי תמיד ולא מתאפס - אין חיתוך.

טעות נפוצה: לחשב f(0)=13f(0)=\frac13 - לשכוח שהמכנה ב-x=0x=0 הוא −3-3.

סעיף ה

תשובה:

x=3x=3

המכנה x−3x-3 מתאפס ב-x=3x=3, והמונה שם e−3≠0e^{-3}\ne0: אסימפטוטה אנכית x=3x=3.

טעות נפוצה: לכתוב x=−3x=-3 - להפוך את הסימן של המספר שבמכנה.

סעיף ו

תשובה:

משמאל ל-x=3x=3: שלילית, עולה מ-−∞-\infty (כש-x→−∞x\to-\infty) דרך (0,−13)\left(0,-\frac13\right) למקסימום (2,−1e2)\left(2,-\frac1{e^2}\right) ויורדת ל-−∞-\infty ליד האסימפטוטה; מימין: חיובית, יורדת מ-+∞+\infty ומתקרבת לציר ה-xx

משמאל ל-x=3x=3 המכנה שלילי, ולכן f<0f<0. כש-x→−∞x\to-\infty, e−x→∞e^{-x}\to\infty מהר יותר משהמכנה גדל, ולכן f→−∞f\to-\infty. הפונקציה עולה עד המקסימום (2,−1e2)\left(2,-\frac1{e^2}\right) (שלילי, מתחת לציר) ויורדת ל-−∞-\infty ליד x=3x=3.

מימין ל-x=3x=3: f>0f>0, שואפת ל-+∞+\infty ליד האסימפטוטה, יורדת, וכש-x→∞x\to\infty, e−x→0e^{-x}\to0 ולכן f→0f\to0 מלמעלה.

2468-22

טעות נפוצה: לצייר את המקסימום מעל ציר ה-xx. ערך המקסימום −1e2-\frac1{e^2} שלילי, והענף השמאלי כולו מתחת לציר.

סעיף ז

תשובה:

S=13−1e2≈0.198S=\frac13-\frac{1}{e^2}\approx0.198

השטח הוא בין ציר ה-yy (x=0x=0) לנקודת החיתוך x=2x=2. בקטע הזה f′≥0f'\ge0.

S=∫02f′(x) dx=f(2)−f(0)=−1e2−(−13)=13−1e2≈0.198S=\int_0^2f'(x)\,dx=f(2)-f(0)=-\frac1{e^2}-\left(-\frac13\right)=\frac13-\frac1{e^2}\approx0.198

טעות נפוצה: לחשב f(0)−f(2)f(0)-f(2) ולקבל שטח שלילי. הגבול העליון של האינטגרל הוא x=2x=2, ולכן f(2)−f(0)f(2)-f(0).

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.