מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 8 ברמת בגרות

מספרי השתילים בערוגות יוצרים סדרה חשבונית בת 13 איברים. נסמן ב-$a_1$ את מספר השתילים בערוגה הראשונה; נתון $a_{13}=5a_1$.

בערוגה הראשונה היו 9 שתילים.

טעות נפוצה: לכתוב $S_{13}=13\cdot6a_1$ ולשכוח לחלק ב-2.

יש 13 ערוגות, ולכן הערוגה האמצעית היא השביעית (6 לפניה ו-6 אחריה).

האיבר האמצעי הוא ממוצע הקצוות: $a_{13}=5\cdot9=45$, ולכן

דרך נוספת: $45=9+12d$, כלומר $d=3$, ו-$a_7=9+6\cdot3=27$.

בערוגה האמצעית היו 27 שתילים.

טעות נפוצה: לבחור את הערוגה השישית כאמצעית ($\frac{13}{2}=6.5$ מעוגל כלפי מטה). עם 13 ערוגות האמצעית היא השביעית.

הערוגות האי-זוגיות הן 1, 3, 5, ..., 13 - שבע ערוגות.

מספרי השתילים בהן $a_1, a_3, \dots, a_{13}$ יוצרים סדרה חשבונית עם הפרש $2d=6$: מ-9 עד 45.

בערוגות האי-זוגיות היו 189 שתילים סך הכול.

טעות נפוצה: לספור 6 ערוגות אי-זוגיות במקום 7, או להשתמש בהפרש $d=3$ במקום $2d=6$ בתת-הסדרה.

בעונה השנייה היו $2\cdot351=702$ שתילים, בסדרה חשבונית עם $b_1=5$, $d=4$ ומספר ערוגות $n$:

$n=18$ או $n=-19.5$. מספר ערוגות טבעי, ולכן $n=18$.

בדיקה: $S_{18}=9\cdot(10+68)=702$.

הוסיפו $18-13=5$ ערוגות.

טעות נפוצה: לכתוב $S_n=\frac n2(5+4(n-1))$ - בנוסחת הסכום מופיע $2b_1$, לא $b_1$.

הבסיס ריבוע, ולכן $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\underline u+\underline v$.

מ-$A$ הולכים ל-$C$ ומשם שליש מהדרך ל-$E$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{CE}=\underline u+\underline v-\underline w$ (כלומר $\overrightarrow{EC}$) - הווקטור מ-$C$ ל-$E$ הוא נקודת הסיום פחות נקודת ההתחלה: $\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}$.

נסמן את אורך צלע הריבוע ב-$a$: $|\underline u|=|\underline v|=a$, $|\underline w|=2a$, ולכן $\underline w^2=4a^2$.

$\underline u\perp\underline v$ (ריבוע), ו-$\underline w$ מאונך לבסיס, לכן $\underline u\cdot\underline v=\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$.

המכפלה הסקלרית 0, ולכן $\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{CE}$.

טעות נפוצה: להציב $\underline w^2=2a^2$ במקום $4a^2$ - האורך כפול, ולכן הריבוע שלו פי 4.

$|\overrightarrow{AE}|=2\cdot3=6$, ולכן $E(0,0,6)$.

$B(3,0,0)$, $D(0,3,0)$, ו-$C=B+\overrightarrow{AD}=(3,3,0)$.

טעות נפוצה: לתת ל-$E$ גובה 3 כמו הצלע - בפירמידה הזאת הגובה כפול מהצלע.

$\overrightarrow{CE}=(0,0,6)-(3,3,0)=(-3,-3,6)$.

בדיקה עם סעיף א(1): $\frac23(3,0,0)+\frac23(0,3,0)+\frac13(0,0,6)=(2,2,2)$.

טעות נפוצה: להוסיף את השליש ל-$E$ במקום ל-$C$ ולקבל $(1,1,4)$.

לפי סעיף א(2) $AM\perp CE$, ו-$M$ על $CE$, ולכן המשולש $AMC$ ישר-זווית ב-$M$.

$\overrightarrow{CM}=(2,2,2)-(3,3,0)=(-1,-1,2)$:

טעות נפוצה: לחשב $\frac12\cdot AC\cdot CM$ - הזווית הישרה היא ב-$M$, ו-$AC$ הוא היתר.

$f$ היא מכפלה של פולינום ב-$e^{2x}$. שני הגורמים מוגדרים לכל $x$, ואין מכנה, שורש או $\ln$.

תחום ההגדרה: כל $x$.

טעות נפוצה: לדרוש $2x>0$ כאילו מדובר ב-$\ln(2x)$. הפונקציה $e^{2x}$ מוגדרת לכל $x$.

ציר ה-$y$: $f(0)=5\cdot e^0=5$, הנקודה $(0,5)$.

ציר ה-$x$: $(5-2x)e^{2x}=0$. הגורם $e^{2x}$ חיובי תמיד, ולכן $5-2x=0$, $x=2.5$. הנקודה $(2.5,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(0)=5\cdot e^{2}$ - בהצבת $x=0$ המעריך הוא $2\cdot0=0$, ו-$e^0=1$.

כלל המכפלה, עם $(e^{2x})'=2e^{2x}$:

$f'(x)=0\Rightarrow8-4x=0\Rightarrow x=2$.

עבור $x<2$: $f'>0$; עבור $x>2$: $f'<0$. לכן ב-$x=2$ מקסימום.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר $-2e^{2x}$ (הנגזרת של הגורם $5-2x$) ולקבל $f'=2(5-2x)e^{2x}$, שמתאפסת ב-$x=2.5$ - נקודת החיתוך, לא הקיצון.

$f'(x)=e^{2x}(8-4x)$, ו-$e^{2x}>0$, ולכן הסימן הוא הסימן של $8-4x$.

$x<2$: חיובי - עלייה. $x>2$: שלילי - ירידה.

טעות נפוצה: לכלול את $x=2$ בשני התחומים כאילו הפונקציה "עולה ויורדת" בו, או לסמן תחומים לפי נקודת החיתוך $x=2.5$ במקום לפי נקודת הקיצון.

כאשר $x\to-\infty$: $e^{2x}\to0$, והמכפלה שואפת ל-0; עבור $x<2.5$ הפונקציה חיובית, ולכן הגרף מתקרב לציר ה-$x$ מלמעלה.

הגרף עולה דרך $(0,5)$ עד המקסימום $(2,e^4)$, ואז יורד, חותך את ציר ה-$x$ ב-$(2.5,0)$ ושואף ל-$-\infty$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף שואף ל-$-\infty$ גם משמאל, כאילו הגורם הפולינומי קובע לבד. כש-$x\to-\infty$ הגורם המעריכי שואף ל-0 ו"מנצח".

$g'(x)=-3f'(x)$, ולכן $g'$ מתאפסת רק ב-$x=2$.

הכפל ב-$-3$ הופך את סימן הנגזרת: לפני 2 $g'<0$, אחרי 2 $g'>0$ - מינימום.

טעות נפוצה: לחשב $g(2)=-3(e^4+2)$ - ההזזה $+2$ מתווספת אחרי הכפל, לא בתוך הסוגריים.

ל-$g$ נקודת מינימום (ה(1)), ולכן גרף III, שיש בו מקסימום, נפסל.

כאשר $x\to-\infty$: $f(x)\to0$, ולכן $g(x)\to-3\cdot0+2=2$. לגרף $g$ אסימפטוטה אופקית $y=2$ - מעל ציר ה-$x$.

בגרף I הגרף מתקרב משמאל לישר שמתחת לציר ה-$x$, ולכן הוא נפסל. בגרף II האסימפטוטה מעל הציר, יש מינימום, והגרף עולה בתלילות מימין ($f\to-\infty$, ולכן $g\to+\infty$).

בדיקה נוספת: $g(0)=-3\cdot5+2=-13<0$ - גם בגרף II החיתוך עם ציר ה-$y$ מתחת לציר ה-$x$, והגרף חוצה את ציר ה-$x$ משמאל לציר ה-$y$.

התשובה: גרף II.

טעות נפוצה: לשכוח שהכפל ב-$-3$ הופך את הגרף של $f$, ולבחור את גרף III, שיש בו מקסימום כמו ל-$f$. לפי ה(1) ל-$g$ יש מינימום.

בין שתי נקודות מקסימום יש נקודת מינימום, והיא היחידה. לכן הסדר משמאל לימין: מקסימום, מינימום, מקסימום.

מקסימום = הנגזרת עוברת מ-$+$ ל-$-$; מינימום = מ-$-$ ל-$+$. לכן הסימנים של $f'(x)$ משמאל לימין: $+$, $-$, $+$, $-$.

בגרף II: חיובי משמאל, שלילי, חיובי, ושלילי מימין - מתאים. בגרף I הסימנים הפוכים, וזה היה מתאים למינימום-מקסימום-מינימום.

הגרף של $f'(x)$ הוא גרף II.

טעות נפוצה: להסתכל על הגבעות של הגרף במקום על הסימנים שלו בין נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$.

המכנה $e^{x^2}$ חיובי תמיד, ולכן $f(x)=0$ רק כשהמונה 0:

נקודות החיתוך: $(-1,0)$ ו-$(1,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הפתרון השלילי $x=-1$.

השוויון מתקיים לכל $x$ (התחום הוא כל המספרים), ולכן $f(x)$ זוגית.

טעות נפוצה: לכתוב $(-x)^2=-x^2$. ריבוע של מספר נגדי שווה לריבוע של המספר.

כלל המנה, עם $(e^{x^2})'=2x\cdot e^{x^2}$:

$f'(x)=0$: $x=0$ או $x^2=2$, כלומר $x=\pm\sqrt2$.

נקודות הקיצון: $\max(-\sqrt2,0.271)$, $\min(0,-2)$, $\max(\sqrt2,0.271)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בפתיחת $-(2x^2-2)\cdot2x$ ולקבל $4x-4x^3-4x$, כלומר נגזרת שמתאפסת רק ב-$x=0$.

מרכזים את הממצאים:

•הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$ (סעיף ג), וחותך את ציר ה-$y$ ב-$(0,-2)$, שהיא גם נקודת המינימום.

•חיתוכים עם ציר ה-$x$ ב-$(\pm1,0)$; בין $-1$ ל-1 הגרף מתחת לציר, ומחוץ לתחום הזה מעליו.

•מקסימום ב-$(\pm\sqrt2,0.271)$, נמוך מאוד ביחס לעומק המינימום.

•כש-$x\to\pm\infty$ המכנה $e^{x^2}$ גדל הרבה יותר מהר מהמונה, ולכן $f(x)\to0$ (מצד החיוביים): $y=0$ אסימפטוטה אופקית.

הסקיצה: "עמק" עמוק סביב הראשית עד $-2$, עולה דרך $\pm1$ לשתי גבעות נמוכות ב-$\pm\sqrt2$, ויורד לאט אל ציר ה-$x$ בלי לחתוך אותו שוב.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף ממשיך לעלות אחרי $x=\sqrt2$, או חותך שוב את ציר ה-$x$ בקצוות.

הנגזרת מתאפסת ב-$x=-\sqrt2,0,\sqrt2$, ומחוץ ל-$[-\sqrt2,\sqrt2]$ היא רק מתקרבת לציר. לכן השטח הסגור הוא בתחום $-\sqrt2\le x\le\sqrt2$.

ב-$-\sqrt2<x<0$ הנגזרת שלילית, וב-$0<x<\sqrt2$ חיובית. $f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f'(x)$:

השטח הוא כ-4.541 יחידות שטח.

טעות נפוצה: לכתוב את השטח כ-$2f(\sqrt2)$ כמו כשהמינימום בגובה 0. כאן $f(0)=-2$, וההפרש $f(\sqrt2)-f(0)$ כולל אותו.

בודקים את ההתאמה בין קיצון של $f$ לאפס של $f'$, ובין ירידה/עלייה של $f$ לסימן של $f'$.

נקודת המינימום של I נמצאת באותו $x$ שבו II חותך את ציר ה-$x$; משמאל לה I יורד ו-II שלילי, מימין I עולה ו-II חיובי. לכן I הוא $f$ ו-II הוא $f'$.

ההפך אינו אפשרי: למינימום של II אין אפס מתאים של I באותו $x$ (I חותך את הציר מימין יותר).

טעות נפוצה: לקבוע לפי "מי משמאל" או "מי עמוק יותר". ההכרעה רק לפי ההתאמה בין קיצון לאפס ובין עלייה לסימן.

מכפלה של פולינום ב-$e^x$ מוגדרת לכל $x$.

טעות נפוצה: לפסול את $x=2.5$ כי שם "הגורם מתאפס" - התאפסות של גורם במכפלה היא חיתוך עם ציר ה-$x$, לא נקודת אי-הגדרה.

$e^x>0$, ולכן $f(x)=0$ כש-$2x-5=0$: $x=2.5$, הנקודה $(2.5,0)$.

$f(0)=(0-5)\cdot1=-5$: הנקודה $(0,-5)$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(0)=0$ כי "$x=0$" - שוכחים ש-$e^0=1$ ולא 0.

$e^x>0$, ולכן הסימן לפי $2x-3$: שלילי ל-$x<1.5$, חיובי ל-$x>1.5$.

יורדת ב-$x<1.5$, עולה ב-$x>1.5$.

טעות נפוצה: לגזור את $(2x-5)$ כ-1 במקום 2, ולקבל $f'=e^x(2x-4)$ ונקודת מעבר $x=2$.

$g$ היא שיקוף של גרף II (הנגזרת) ביחס לציר ה-$x$.

$f''(x)=e^x(2x-1)$, ולכן ל-$f'$ מינימום ב-$x=0.5$ וערכו $-2\sqrt e$. אחרי השיקוף: מקסימום $(0.5,2\sqrt e)$.

$g$ מתקרבת ל-0 מלמעלה כש-$x\to-\infty$, עולה למקסימום, חותכת ב-$(1.5,0)$ ויורדת ל-$-\infty$.

טעות נפוצה: לשקף את גרף I (של $f$) - לבלבל בין $-f'$ ל-$-f$.

$f'(x)=-f'(x)$ רק כש-$f'(x)=0$, כלומר $x=1.5$.

בין $0$ ל-$1.5$: $f'<0<g$, ולכן:

$f(1.5)=(3-5)e^{1.5}=-2e^{1.5}$, $f(0)=-5$:

טעות נפוצה: לחשב רק $\int_0^{1.5}g\,dx$ (השטח בין $g$ לציר ה-$x$) ולקבל חצי מהתשובה, $2e^{1.5}-5$.