מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 6 ברמת בגרות

לפי האיבר הכללי $a_n=a_1q^{n-1}$:

מחלקים ב-$a_1q^2$ (שונה מ-0 בסדרה הנדסית):

טעות נפוצה: להוציא שורש ריבועי במקום שורש רביעי ולקבל $q=\pm4$. בודקים: $4^4=256\ne16$.

כל האיברים חיוביים, ולכן $q=2$ (במנה $q=-2$ האיברים מחליפים סימן).

בסדרה 12 איברים, ולכן שני האמצעיים הם $a_6$ ו-$a_7$ (5 איברים לפניהם ו-5 אחריהם).

טעות נפוצה: לכתוב $a_6=a_1q^6$ ולקבל $a_1(64+128)=288$, כלומר $a_1=1.5$.

סכום כל 12 האיברים של A:

סכום A גדול פי 15 מסכום B:

טעות נפוצה: לכפול ב-15 במקום לחלק - "A גדול פי 15 מ-B" פירושו $S_A=15S_B$.

מבטאים את האיבר הראשון באמצעות ההפרש:

נוסחת הסכום של 14 איברים, ומשווים לסכום מסעיף ג:

טעות נפוצה: להציב $(n-1)d=14d$ במקום $13d$ בנוסחת הסכום.

הולכים מ-$S$ ל-$A$ ומשם ל-$C$.

$\overrightarrow{SA}=-\underline w$, ו-$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\underline u+\underline v$ (במלבן $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$).

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SA}=\underline w$ - הווקטור $\underline w$ יוצא מ-$A$ אל $S$, והדרך מ-$S$ אל $A$ היא $-\underline w$.

במלבן $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\underline u$. מציבים את סעיף א:

$\underline u^2=AB^2=36$, והבסיס מלבן ולכן $\underline u\cdot\underline v=0$:

טעות נפוצה: להשמיט את $\underline u\cdot\underline v$ בלי נימוק, או להציב $\underline u^2=6$ במקום 36.

מעלים בריבוע סקלרי:

טעות נפוצה: לכתוב $|\overrightarrow{SB}|^2=\underline u^2+\underline w^2$ בלי האיבר המעורב, ולקבל $|\underline w|=\sqrt{28}$.

$\overrightarrow{BA}=-\underline u$ ו-$\overrightarrow{BC}=\underline v$. מספיק להראות ש-$\overrightarrow{SB}$ מאונך ל-$\underline u$ ול-$\underline v$:

לכן $SB\perp BA$ ו-$SB\perp BC$.

טעות נפוצה: להוכיח רק ניצבות אחת. כדי להסיק ש-$SB$ הוא גובה צריך ניצבות לשני ישרים נחתכים בבסיס.

$SB$ מאונך לשני ישרים נחתכים במישור הבסיס ($BA$ ו-$BC$), ולכן הוא מאונך לבסיס והוא גובה הפירמידה: $h=|\overrightarrow{SB}|=8$.

שטח הבסיס: $6\cdot4=24$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את $|\underline w|=10$, או לשכוח את $\frac13$ בנוסחת נפח הפירמידה.

נסמן ב-$M_0$ את מספר הצבאים בתחילת 2008 וב-$q$ את המנה ($0<q<1$).

המספר בשנה השנייה הוא המספר בשנה הראשונה כפול $q<1$, ולכן בשנה הראשונה נעלמו יותר צבאים.

אותו אחוז נלקח בכל שנה מכמות קטנה יותר.

טעות נפוצה: לענות "שווה, כי האחוז קבוע".

מ-2008 עד 2016 עברו 8 שנים. בשמורה A המנה היא $0.96$:

בשמורה B, עם מנה $q$, בתחילת 2016 יש אותו מספר:

מספר הצבאים בשמורה B קטן ב-7% בכל שנה.

טעות נפוצה: להעלות בחזקת 10 (כמו "עשור") במקום 8 - צריך לספור בדיוק את מספר השנים בין התאריכים.

כעבור כ-10 שנים (בתחילת 2018 בקירוב).

טעות נפוצה: לפתור $82{,}500\cdot0.07^t=40{,}000$ - המנה היא 0.93 (מה שנשאר), לא 0.07 (מה שיורד).

נסמן ב-$M$ את מספר הצבאים בשמורה A בתחילת 2020. גידול של 3%: מנה $1.03$. גידול ב-25% פירושו $1.25M$:

כעבור כ-7.55 שנים.

טעות נפוצה: לכתוב $1.03^t=0.25$, או לחשב את $M$ בלי צורך.

$\ln x$ מוגדר רק עבור $x>0$, והפונקציה בנויה כולה ממנו. תחום ההגדרה: $x>0$.

טעות נפוצה: לחשוב שבגלל החזקה הזוגית $(\ln x)^2$ הפונקציה מוגדרת גם לערכים שליליים. הלוגריתם עצמו לא מוגדר שם.

$\ln x=0\Rightarrow x=1$; $\ln x=6\Rightarrow x=e^6$. הנקודות $(1,0)$ ו-$(e^6,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=6$ במקום $x=e^6$ - הפתרון של $\ln x=6$ הוא $x=e^6$.

$f'(x)=0$: $\ln x=0\Rightarrow x=1$, או $\ln x=4\Rightarrow x=e^4$.

$x>0$, ולכן הסימן לפי $\ln x(\ln x-4)$:

- $0<x<1$: שני הגורמים שליליים - $f'>0$, עולה.

- $1<x<e^4$: $\ln x>0$, $\ln x-4<0$ - $f'<0$, יורדת.

- $x>e^4$: $f'>0$, עולה.

מקסימום $(1,0)$, ומינימום:

טעות נפוצה: להציב $\ln x=4$ ולשכוח לרבע אותו באיבר השני: $4^3-6\cdot4=40$ במקום $64-96=-32$ - ואז "המינימום" יוצא מעל המקסימום.

כאשר $x\to0^+$, $\ln x\to-\infty$, ושני האיברים שואפים ל-$-\infty$, ולכן $f\to-\infty$.

הגרף עולה עד $(1,0)$ - נוגע בציר ה-$x$, יורד עד $(e^4,-32)$, עולה וחותך את ציר ה-$x$ ב-$(e^6,0)$.

טעות נפוצה: לחשוב שליד $x=0$ הגרף שואף ל-$+\infty$ כי $(\ln x)^2$ חיובי. האיבר $-6(\ln x)^2$ שלילי, וגם $(\ln x)^3$ שלילי.

$f'$ חיובית היכן ש-$f$ עולה, ושלילית היכן ש-$f$ יורדת. מסעיף ג:

חיובית עבור $0<x<1$ ו-$x>e^4$; שלילית עבור $1<x<e^4$.

טעות נפוצה: להשתמש בנקודות החיתוך של $f$ ($1$ ו-$e^6$) כגבולות התחומים. הסימן של $f'$ מתחלף בנקודות הקיצון.

$f'$ מחליפה סימן ב-$x=1$, ולכן מפצלים. על $[1,e^2]$ היא שלילית, כי $e^2<e^4$.

$f$ קדומה של $f'$: $f(1)=0$, $f\left(\frac1e\right)=-1-6=-7$, $f(e^2)=8-24=-16$.

טעות נפוצה: לחשב $f(e^2)-f(\frac1e)=-16+7=-9$ באינטגרל אחד - החלקים מעל ומתחת לציר מתקזזים.

$\ln x$ מוגדר רק עבור $x>0$. לכן תחום ההגדרה: $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב "כל $x$" כי $x^2$ מוגדר תמיד - הגורם $\ln x$ הוא שקובע את התחום.

חיתוך עם ציר ה-y: $x=0$ אינו בתחום, ולכן אין.

חיתוך עם ציר ה-x: בתחום $x>0$, $x^2\ne0$, ולכן:

נקודת החיתוך: $(e^{1.5},0)$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=\frac23$ (להפוך את השבר) במקום $\ln x=\frac32$.

נגזרת של מכפלה:

$f'(x)=0$: $x>0$, ולכן $\ln x=1$, כלומר $x=e$.

סימן הנגזרת לפי $1-\ln x$: חיובי עבור $0<x<e$ (עולה), שלילי עבור $x>e$ (יורדת). לכן זו נקודת מקסימום.

נקודת מקסימום: $(e,\,e^2)$.

טעות נפוצה: לגזור את $-2\ln x$ ל-$-\frac1{2x}$; הנגזרת היא $-\frac2x$.

מה שמצאנו: תחום $x>0$ (הגרף מתחיל בראשית ולא ממשיך שמאלה), נקודת קיצון אחת שהיא מקסימום עם ערך חיובי ($e^2$), וחיתוך אחד עם ציר ה-x מימין למקסימום ($x=e^{1.5}$).

•גרף I: ממשיך גם לערכים שליליים של $x$ וחוצה את ציר ה-x פעמיים.

•גרף II: יש לו מינימום.

•גרף IV: יש לו מינימום, והוא כולו מעל ציר ה-x.

•גרף III: מתחיל בראשית, עולה למקסימום חיובי, יורד וחוצה את ציר ה-x - מתאים.

התשובה: גרף III.

טעות נפוצה: לבחור את גרף I כי "יש לו מקסימום" - הוא מוגדר גם עבור $x\le0$, בניגוד לתחום.

$g'(x)=a\cdot f'(x)$, ולכן הקיצון של $g$ באותו $x=e$, וערכו:

טעות נפוצה: לחלק $-0.4e^2$ ב-$e$ (שיעור ה-x) במקום ב-$e^2$ (שיעור ה-y של הקיצון של $f$).

$a=-0.4<0$, ולכן סימן $g'=a\cdot f'$ הפוך לסימן $f'$: $g$ יורדת לפני $x=e$ ועולה אחריה. זו נקודת מינימום.

(גרפית: שיקוף של גרף $f$ ביחס לציר ה-x, עם כיווץ אנכי פי 0.4.)

טעות נפוצה: לקבוע את הסוג לפי סימן ערך הקיצון ("$-0.4e^2$ שלילי, אז מינימום") - הנימוק הנכון הוא היפוך סימן הנגזרת.

$g$ מוגדרת עבור $x>0$, יש לה מינימום אחד עם ערך שלילי ($-0.4e^2$), והיא מתאפסת רק ב-$x=e^{1.5}$, מימין למינימום.

•גרף II: מתחיל בראשית, יורד למינימום שלילי, עולה וחוצה את ציר ה-x - מתאים.

•גרף IV: גם לו מינימום, אבל הוא מעל ציר ה-x ואינו מתאפס.

•גרפים I ו-III: יש להם מקסימום.

התשובה: גרף II.

טעות נפוצה: לבחור את גרף IV כי "יש לו מינימום", בלי לבדוק שערך המינימום של $g$ שלילי.