מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 6 בדרך לבגרות

מספרי המושבים בשורות יוצרים סדרה חשבונית: $a_1=12$, $d=2$. השורה האחרונה היא ה-15.

בשורה האחרונה יש 40 מושבים.

טעות נפוצה: לחשב $12+15\cdot2=42$. בין השורה הראשונה ל-15 יש 14 הוספות.

סכום 15 האיברים לפי הקצוות:

טעות נפוצה: להכפיל את מספר השורות במספר המושבים בשורה הראשונה ($15\cdot12$) כאילו כל השורות שוות.

השורות האי-זוגיות הן 1, 3, ..., 15 - שמונה שורות.

בין שתי שורות אי-זוגיות סמוכות יש שני צעדים של 2, ולכן מספרי המושבים בהן יוצרים סדרה חשבונית עם הפרש 4: 12, 16, ..., 40.

טעות נפוצה: לחלק את הסכום הכולל ב-2 ($390:2=195$). בשורות האי-זוגיות יש שורה אחת יותר, ולכן הסכום אינו חצי.

מספר השורות $n$ לא ידוע. סכום $n$ האיברים הראשונים עם $a_1=20$, $d=4$:

$n=13$ או $n=-22$. מספר שורות טבעי, ולכן $n=13$.

בדיקה: $S_{13}=\frac{13}{2}(40+48)=572$.

טעות נפוצה: לשכוח לכפול ב-2 את צד ימין ($572$ במקום $1144$) כשמעבירים את $\frac n2$.

בריבוע הצלעות הסמוכות מאונכות, ולכן $\underline u\perp\underline v$ והמכפלה הסקלרית שלהם 0.

הפאה $SAB$ שווה צלעות, ולכן $\angle SAB=60^\circ$:

באותו אופן בפאה $SAD$: $\underline v\cdot\underline w=2$.

טעות נפוצה: לחשב $2\cdot2\cdot\sin60^\circ=2\sqrt3$. במכפלה הסקלרית משתמשים בקוסינוס.

האלכסונים של ריבוע חוצים זה את זה, ולכן $O$ אמצע $AC$.

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\underline u+\underline v$, ולכן $\overrightarrow{AO}=\frac12\underline u+\frac12\underline v$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AO}=\underline u+\underline v$ ולשכוח ש-$O$ באמצע האלכסון.

$|\overrightarrow{SO}|=\sqrt2$.

$\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}=\underline u-\underline w$, ו-$|\overrightarrow{SB}|=2$.

טעות נפוצה: לשכוח את האיברים המעורבים בריבוע של $\overrightarrow{SO}$ ולקבל $|\overrightarrow{SO}|^2=1+1+4=6$.

$\overrightarrow{SO}$ מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים במישור הבסיס, ולכן הוא מאונך למישור הבסיס: $SO$ הוא גובה הפירמידה.

טעות נפוצה: לקחת את המקצוע הצדדי $SA=2$ בתור הגובה ולקבל $\frac83$. הגובה הוא הקטע המאונך לבסיס.

מנה הדעיכה היא $1-0.03=0.97$.

בתחילת 2011: $120{,}000\cdot0.97=116{,}400$, כלומר ירידה של $3600$.

בתחילת 2012: $116{,}400\cdot0.97=112{,}908$, כלומר ירידה של $116{,}400-112{,}908=3492$.

הירידה קטנה משנה לשנה: בכל שנה יורדים 3% מכמות שכבר קטנה, ולכן הכמות שיורדת קטנה.

טעות נפוצה: להוריד 3,600 בכל שנה - זו ירידה בכמות קבועה (תהליך לינארי), לא באחוז קבוע.

מ-2010 עד 2020 עברו 10 שנים. עם מנה $q$:

מספר התושבים בעיר Y קטן ב-5% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחלק את הירידה הכוללת (40%) ב-10 שנים ולקבל 4% - בתהליך מעריכי אחוזים לא מתחלקים כך.

כעבור כ-7.9 שנים.

טעות נפוצה: לפתור $0.95t=\frac23$, כאילו $t$ הוא מקדם ולא מעריך.

נסמן ב-$M$ את מספר התושבים בעיר X בתחילת 2020. מנה: $1.025$. גידול ב-10%: $1.1M$.

$M$ מצטמצם, ולכן לא צריך את מספר התושבים ב-2020.

טעות נפוצה: לחשב $\frac{10}{2.5}=4$ שנים - זה נכון רק בגידול בכמות קבועה.

$x-4$ ו-$e^x$ מוגדרים לכל $x$, ולכן התחום הוא כל $x$.

ציר ה-$x$: $(x-4)e^x=0$, ו-$e^x>0$, ולכן $x=4$. הנקודה $(4,0)$.

ציר ה-$y$: $f(0)=(0-4)\cdot e^0=-4$. הנקודה $(0,-4)$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(0)=0$ כי "$e^0=0$". $e^0=1$, ולכן $f(0)=-4$.

כלל המכפלה:

$f'(x)=0$ כש-$x=3$. עבור $x<3$: $f'<0$; עבור $x>3$: $f'>0$. לכן ב-$x=3$ מינימום.

טעות נפוצה: לגזור את $(x-4)e^x$ כ-$1\cdot e^x$ (כאילו נגזרת של מכפלה היא מכפלת הנגזרות) ולא להגיע לביטוי המבוקש.

$e^x>0$, ולכן $f(x)>0\iff x-4>0\iff x>4$.

לסקיצה: משמאל הגרף קרוב לציר ה-$x$ ומתחתיו (כי $f<0$ עבור $x<4$), יורד דרך $(0,-4)$ עד המינימום $(3,-e^3)$, עולה, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$(4,0)$ וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: לענות $x>3$ - תחום העלייה במקום תחום החיוביות.

$g$ היא הזזה של $f$ ב-$k$ למעלה. נקודת המינימום של $g$ היא $(3,-e^3+k)$.

הגרף משיק לציר ה-$x$ כשנקודת המינימום נמצאת עליו:

טעות נפוצה: להשוות לאפס את $g(4)$ ולקבל $k=0$. ב-$x=4$ הגרף חוצה את הציר, לא משיק לו.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$, ולכן תחום ההגדרה: $x>0$.

חיתוך עם ציר ה-x: $x(\ln x-1)=0$. בתחום $x\ne0$, ולכן $\ln x=1$, כלומר $x=e$.

נקודת החיתוך: $(e,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב גם $(0,0)$ - $x=0$ אינו בתחום.

נגזרת של מכפלה:

כנדרש.

$f'(x)=0$: $\ln x=0$, כלומר $x=1$. עבור $0<x<1$, $\ln x<0$ (יורדת); עבור $x>1$, $\ln x>0$ (עולה). לכן זו נקודת מינימום.

נקודת מינימום: $(1,-1)$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=0$ ולקבל $x=0$ - $\ln1=0$, ולכן $x=1$.

ל-$f$ יש תחום $x>0$, מינימום שלילי ב-$(1,-1)$ וחיתוך אחד עם ציר ה-x ב-$x=e$.

•גרף II: יש לו מקסימום.

•גרף III: ממשיך גם לערכים שליליים של $x$ וחוצה את ציר ה-x פעמיים.

•גרף I: מתחיל בראשית, יורד למינימום שלילי, עולה וחוצה את ציר ה-x - מתאים.

טעות נפוצה: לבחור את גרף III כי גם לו יש מינימום שלילי - הוא מוגדר גם עבור $x\le0$.

$g'(x)=a\cdot\ln x$ מתאפסת גם היא ב-$x=1$, ולכן הקיצון של $g$ הוא ב-$x=1$:

טעות נפוצה: לכתוב $a=3$ ולשכוח שערך הקיצון של $f$ שלילי.

$g'(x)=-3\ln x$: חיובית עבור $0<x<1$ ושלילית עבור $x>1$, ולכן $g$ עולה ואחר כך יורדת - נקודת מקסימום.

(גרפית: שיקוף של גרף $f$ ביחס לציר ה-x, ומתיחה פי 3.)

טעות נפוצה: להעתיק את הסוג מ-$f$ - כש-$a<0$ סוג הקיצון מתהפך.