מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 7 בדרך לבגרות

מספרי הכרטיסים יוצרים סדרה הנדסית: $a_1=40$, $q=2$. הערב האחרון הוא הערב השישי.

בערב האחרון נמכרו 1,280 כרטיסים.

טעות נפוצה: לכתוב $a_6=40\cdot2^6$. בין הערב הראשון לשישי יש רק 5 הכפלות.

מספר הכרטיסים בכל הערבים הוא סכום 6 האיברים הראשונים:

סך ההכנסות הוא 75,600 שקלים.

טעות נפוצה: לכפול ב-30 רק את מספר הכרטיסים של הערב האחרון.

הסכום שהועבר לקרן: $\frac{75{,}600}{3}=25{,}200$ שקלים.

הסכומים החודשיים יוצרים סדרה חשבונית: $a_1=600$, $d=130$. סכום $n$ האיברים הוא כל הסכום שהועבר:

כופלים ב-2: $n(1200+130n-130)=50{,}400$, כלומר $130n^2+1070n-50{,}400=0$.

מחלקים ב-10 ומקבלים $13n^2+107n-5040=0$, כנדרש.

טעות נפוצה: לכתוב $a_1+(n-1)d=25{,}200$, כלומר להשוות את האיבר האחרון לסכום כולו במקום להשתמש בנוסחת הסכום.

פותרים את המשוואה מסעיף ג(1):

$n=16$ או $n\approx-24.2$. מספר החודשים טבעי, לכן $n=16$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולחשב $\sqrt{107^2-4\cdot13\cdot5040}$ - המקדם החופשי שלילי, ולכן מתחת לשורש מתקבל חיבור.

החודש האחרון הוא החודש ה-16:

בחודש האחרון חולקו 2,550 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב $600+16\cdot130$ - בין החודש הראשון לחודש ה-16 יש 15 הוספות של $d$.

$\vec{A'C'}=\overrightarrow{AC}=\underline u+\underline v$, ו-$M$ אמצע $A'C'$:

$P$ אמצע $CC'$, ו-$\vec{CC'}=\underline w$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AM}=\frac12\underline u+\frac12\underline v$ ולשכוח לעלות לפאה העליונה ($+\underline w$).

מ-$M$ ל-$P$ אפשר ללכת דרך $A$: $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}$.

טעות נפוצה: לחסר בסדר הפוך, $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AP}$, ולקבל את הווקטור הנגדי.

בתיבה המקצועות שיוצאים מקודקוד מאונכים זה לזה, ולכן $\underline u\cdot\underline v=\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$.

ולכן $\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{MP}$.

טעות נפוצה: להציב $\underline u^2=3$ במקום $\underline u^2=|\underline u|^2=9$.

לפי סעיף ג המשולש ישר-זווית ב-$P$, ולכן שטחו חצי מכפלת הניצבים $AP$ ו-$MP$.

טעות נפוצה: לקחת את $AM$ כניצב - הזווית הישרה היא ב-$P$, ולכן $AM$ הוא היתר.

מנת הגדילה $q=1.04$:

טעות נפוצה: לחשב עלייה קבועה של $4\%$ מ-800 בכל שנה ($6\cdot32=192$) ולקבל $992$ אלף.

המחיר גדל פי $1.2653$, כלומר עלה בכ-$26.53\%$.

טעות נפוצה: לחבר $6\cdot4\%=24\%$.

10 שנים הן 6 שנות עלייה ו-4 שנות ירידה. הירידה מתחילה מהמחיר בסוף העלייה (סעיף א), במנה $0.95$:

$824.49>800$ - המחיר עדיין גבוה ממחיר הקנייה.

טעות נפוצה: להפעיל את הירידה על מחיר הקנייה: $800\cdot0.95^4\approx651.6$ אלף.

$t$ - שנים מתחילת הירידה:

מהקנייה: $6+4.59\approx10.59$ שנים.

טעות נפוצה: לענות $4.59$ - זה הזמן מתחילת הירידה.

$t^2-4t+3=0\Rightarrow(t-1)(t-3)=0$, ולכן $e^x=1$ או $e^x=3$.

$x=0$ או $x=\ln3$. הנקודה $(0,0)$ היא גם החיתוך עם ציר ה-$y$ ($f(0)=1-4+3=0$).

טעות נפוצה: לעצור ב-$t=1,3$ ולענות $x=1$ ו-$x=3$ בלי לחזור ל-$x$ דרך $\ln$.

$2e^x>0$, ולכן $f'=0$ כש-$e^x=2$, כלומר $x=\ln2$; $f(\ln2)=4-8+3=-1$.

משמאל ל-$\ln2$ הנגזרת שלילית ומימין חיובית - מינימום $(\ln2,-1)$.

טעות נפוצה: לכתוב $(e^{2x})'=e^{2x}$ ולקבל $f'(x)=e^x(e^x-4)$, וקיצון ב-$x=\ln4$.

כש-$x\to-\infty$: $e^{2x},e^x\to0$, ולכן $f\to3$. האסימפטוטה $y=3$.

עבור $x$ שלילי גדול $-4e^x$ שולט, ולכן $f(x)<3$ - הגרף מתחת לאסימפטוטה.

הגרף יורד, עובר ב-$(0,0)$, מגיע למינימום $(\ln2,-1)$, עולה, חוצה ב-$(\ln3,0)$ וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: לענות שאין אסימפטוטה כי הפונקציה שואפת לאינסוף כש-$x\to\infty$. צריך לבדוק גם את $x\to-\infty$.

הגרף מתחת לציר ה-$x$ בין נקודות החיתוך $x=0$ ו-$x=\ln3$, ולכן:

טעות נפוצה: לכתוב את הקדומה של $3$ כ-$0$ או כ-$3$ במקום $3x$.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$ - זה התחום.

$(\ln x+1)\ln x=0$: $\ln x=0\Rightarrow x=1$, או $\ln x=-1\Rightarrow x=e^{-1}=\frac1e$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=-1$ כ-$x=-e$. $x$ חייב להיות חיובי, ו-$x=e^{-1}$.

$f'=0\iff\ln x=-\frac12\iff x=e^{-\frac12}=\frac1{\sqrt e}\approx0.61$.

המכנה חיובי; עבור $x<\frac1{\sqrt e}$ המונה שלילי, ואחר כך חיובי - מינימום.

טעות נפוצה: להציב $x=\frac1{\sqrt e}$ ולחשב $\ln x=\frac12$ (בלי המינוס), ולקבל $f=\frac34$.

סדר הנקודות: $\frac1e\approx0.37<\frac1{\sqrt e}\approx0.61<1$.

הגרף יורד מלמעלה ליד ציר ה-$y$, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$\frac1e$, יורד עד המינימום, עולה, חוצה שוב ב-$x=1$ וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: לצייר את המינימום מימין ל-$x=1$. מספיק להשוות $\frac1{\sqrt e}$ ל-1 כדי לראות שהוא בין שתי נקודות החיתוך.

$g'=f$. בשתי הנקודות $f=0$.

ב-$x=\frac1e$: משמאל $f>0$ ומימין $f<0$ - $g$ עוברת מעלייה לירידה: מקסימום.

ב-$x=1$: משמאל $f<0$ ומימין $f>0$ - מינימום.

טעות נפוצה: לסווג לפי הצורה של $f$ (שם $f$ יורדת, שם עולה) במקום לפי הסימן של $f$. הסימן של $g'$ הוא שקובע.