מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 5 בדרך לבגרות

מספרי הבקבוקים יוצרים סדרה הנדסית: $a_1=160$, $q=1.5$. השבוע האחרון הוא החמישי.

בשבוע האחרון נאספו 810 בקבוקים.

טעות נפוצה: לחשב $160\cdot1.5^5$. מהשבוע הראשון לחמישי יש ארבע הכפלות.

מחפשים את סכום 5 האיברים הראשונים:

(בדיקה: $160+240+360+540+810=2110$.)

טעות נפוצה: לחלק ב-$q=1.5$ במקום ב-$q-1=0.5$.

מספרי הבקבוקים של שכבה ח' יוצרים סדרה חשבונית: $b_1=100$, $n=12$, $S_{12}=2520$.

טעות נפוצה: לכתוב $12d$ במקום $11d$ בתוך הסוגריים - בין האיבר הראשון ל-12 יש 11 הפרשים.

סך הבקבוקים של שתי השכבות: $2110+2520=4630$.

$1852>1800$, ולכן הסכום יספיק.

טעות נפוצה: לכפול ב-0.4 רק את הבקבוקים של שכבה אחת.

$\vec{A'C'}=\overrightarrow{AC}=\underline u+\underline v$, ו-$M$ אמצע $A'C'$:

$P$ אמצע $CC'$, ו-$\vec{CC'}=\underline w$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AM}=\frac12\underline u+\frac12\underline v$ ולשכוח לעלות לפאה העליונה ($+\underline w$).

מ-$M$ ל-$P$ אפשר ללכת דרך $A$: $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}$.

טעות נפוצה: לחסר בסדר הפוך, $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AP}$, ולקבל את הווקטור הנגדי.

בתיבה המקצועות שיוצאים מקודקוד מאונכים זה לזה, ולכן $\underline u\cdot\underline v=\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$.

ולכן $\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{MP}$.

טעות נפוצה: להציב $\underline u^2=3$ במקום $\underline u^2=|\underline u|^2=9$.

לפי סעיף ג המשולש ישר-זווית ב-$P$, ולכן שטחו חצי מכפלת הניצבים $AP$ ו-$MP$.

טעות נפוצה: לקחת את $AM$ כניצב - הזווית הישרה היא ב-$P$, ולכן $AM$ הוא היתר.

בפונקציה $a\cdot q^t$ נשאר בכל שעה החלק $q$ מהכמות, ולכן הכמות קטנה ב-$(1-q)\cdot100\%$.

אצל המטופל הראשון הכמות קטנה ב-10% בכל שעה, ואצל השני ב-4%. לכן אצל הראשון הכמות קטנה מהר יותר.

טעות נפוצה: לקרוא את המנה כאחוז הירידה ("קטנה ב-90%") - $0.9$ הוא החלק שנשאר, והירידה היא 10%.

הכמות ההתחלתית: $f(0)=8$, $g(0)=5$. לכן גרף $f$ מתחיל גבוה יותר.

לפי סעיף א, $f$ גם יורדת מהר יותר - ולכן היא הגרף שמתחיל גבוה, יורד בתלילות וחותך את הגרף השני.

גרף I מתחיל גבוה יותר ויורד מהר יותר, ולכן $f(t)$ מתוארת על ידי גרף I ו-$g(t)$ על ידי גרף II.

טעות נפוצה: לבחור לפי מה שקורה בסוף הסרטוט (גרף II גבוה יותר שם) ולשייך אותו לכמות ההתחלתית הגדולה - צריך לבדוק את ערך הפונקציה ב-$t=0$.

מציבים $t=5$:

לאחר 5 שעות הכמות אצל המטופל הראשון (כ-4.72 מ"ג) גדולה מזו של השני (כ-4.08 מ"ג).

טעות נפוצה: לכפול לפני החזקה, כלומר לחשב $(8\cdot0.9)^5$. סדר הפעולות: קודם החזקה $0.9^5$, ואחר כך הכפל ב-8.

מחלקים את שני האגפים ב-$5\cdot0.9^t$ (מספר חיובי, לכן מותר):

ו-$\frac85=1.6$, כנדרש.

טעות נפוצה: לחלק רק את המקדמים ולהשאיר $0.9^t$ ו-$0.96^t$ בשני אגפים שונים - כך אי אפשר לפתור בלוגריתם אחד. מכנסים את שתי החזקות לצד אחד כי יש להן אותו מעריך $t$.

פותרים את המשוואה מסעיף ד(1) בעזרת לוגריתם:

הכמויות היו שוות לאחר כ-7.28 שעות. (מתאים לסעיף ג: לאחר 5 שעות הראשון עדיין גבוה יותר.)

טעות נפוצה: לחשב $\frac{1.6}{0.96/0.9}$ - כלומר לחלק במקום להוציא לוגריתם. הנעלם נמצא במעריך, ולכן צריך לוגריתם.

נסמן ב-$N_0$ את המספר ההתחלתי וב-$q$ את מנת הגדילה. לאחר 5 שעות: $N_0\cdot q^5$.

מנה של 1.0696 פירושה גדילה של כ-6.96% בכל שעה.

טעות נפוצה: לחלק 40% ב-5 ולקבל 8% בשעה - הגדילה מצטברת בכפל ולא בחיבור, ולכן מוציאים שורש חמישי.

חיתוך עם ציר ה-y:

חיתוך עם ציר ה-x: מוציאים גורם משותף $e^x$:

$e^x>0$ לכל $x$, ולכן $e^x=4$, כלומר $x=\ln4$.

נקודות החיתוך: $(0,-3)$ ו-$(\ln4,0)$.

טעות נפוצה: לחלק את המשוואה ב-$e^x$ ולפתור $e^x=4$ בלי לנמק ש-$e^x$ אינו מתאפס, או לכתוב $x=4$ במקום $x=\ln4$.

גוזרים איבר-איבר (כלל השרשרת ב-$e^{2x}$):

כנדרש.

B היא נקודת החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה-x: $f'(x)=0$. $2e^x>0$, ולכן:

טעות נפוצה: לגזור $e^{2x}$ ל-$e^{2x}$ בלי הכופל 2 מכלל השרשרת.

הסימן של $f'(x)=2e^x(e^x-2)$ נקבע לפי $e^x-2$ (וכך רואים גם בגרף הנגזרת):

- $x<\ln2$: $f'(x)<0$ - יורדת.

- $x>\ln2$: $f'(x)>0$ - עולה.

לכן ב-$x=\ln2$ יש מינימום:

נקודת מינימום: $(\ln2,-4)$.

טעות נפוצה: לחשב $e^{2\ln2}=2\cdot2$ במקום $2^2$ - כאן במקרה יוצא אותו מספר, אבל בדרך כלל לא (למשל $e^{2\ln3}=9$, לא 6).

מימין ל-B ($x=\ln2$) גרף הנגזרת מעל ציר ה-x, ולכן השטח הוא מ-$\ln2$ עד $\ln3$:

טעות נפוצה: לקבל שטח שלילי מפני שערכי $f$ עצמם שליליים - השטח הוא מתחת לגרף $f'$, שהוא חיובי בתחום, וההפרש $f(\ln3)-f(\ln2)$ חיובי.

לפי כלל המנה, כשנגזרת המונה $(\ln x)^2$ היא $2\ln x\cdot\frac1x$ (כלל השרשרת) ונגזרת המכנה היא 1:

כנדרש.

טעות נפוצה: להחליף את סדר האיברים במונה של כלל המנה ($u v'-u'v$ במקום $u'v-uv'$), ולקבל את הנגזרת עם סימן הפוך.

$x=0$ אינו בתחום, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-$y$.

$f(x)=0$ כאשר $(\ln x)^2=0$, כלומר $\ln x=0$ ו-$x=1$.

נקודת החיתוך: $(1,0)$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=0$ ולקבל $x=0$ במקום $x=e^0=1$.

$f'(x)=0$ כאשר $\ln x=0$ או $\ln x=2$, כלומר $x=1$ או $x=e^2$.

סימן $f'$ (המכנה $x^2$ חיובי):

$0<x<1$: $\ln x<0$ ו-$2-\ln x>0$, ולכן $f'<0$.

$1<x<e^2$: שני הגורמים חיוביים, $f'>0$.

$x>e^2$: $2-\ln x<0$, ולכן $f'<0$.

ב-$x=1$ מינימום, $f(1)=0$; ב-$x=e^2$ מקסימום:

טעות נפוצה: לחשב $\ln(e^2)=e$ - לפי הגדרת ln, $\ln(e^2)=2$.

מטבלת הסימנים:

עלייה: $1<x<e^2$.

ירידה: $0<x<1$ ו-$x>e^2$.

טעות נפוצה: לכתוב ירידה עבור $x<1$ בלי החסם $0<x$.

כאשר $x\to0^+$: $(\ln x)^2\to\infty$ ו-$x\to0^+$, ולכן $f(x)\to\infty$.

כאשר $x\to\infty$: $x$ גדל מהר יותר מ-$(\ln x)^2$, ולכן $f(x)\to0$.

$f(x)\ge0$ לכל $x$ בתחום.

מחברים: יורדת מ-$+\infty$ אל $(1,0)$ (נוגעת בציר), עולה עד $(7.39,\,0.54)$, ויורדת לאט לכיוון ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ ב-$x=1$ - הפונקציה לא שלילית, ו-$(1,0)$ היא נקודת מינימום.

הקלט של $f$ הוא $x-3$ וחייב להיות חיובי: $x-3>0$, כלומר $x>3$.

טעות נפוצה: לענות $x>-3$.

גרף $g$ הוא גרף $f$ מוזז 3 יחידות ימינה: שיעורי ה-$x$ גדלים ב-3, ושיעורי ה-$y$ וסוג הקיצון נשמרים.

טעות נפוצה: להחסיר 3 משיעורי ה-$x$ (הזזה שמאלה).