דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

בגרות במתמטיקה 472 - קיץ 2021 מועד ב'

4 יח"ל · שאלון 035472 · תשפ"א · 5 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

כאן תמצאו את בחינת הבגרות במתמטיקה בשאלון 472 (4 יח"ל), מועד קיץ 2021 מועד ב' (תשפ"א), כל 5 השאלות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · וקטורים בקובייה: טרפז שקודקודו במרכז הקובייה

נתונה קובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה FF היא אמצע המקצוע BB′BB', והנקודה EE היא אמצע האלכסון AC′AC'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′⃗=w‾\vec{AA'}=\underline{w}. נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=∣w‾∣=1|\underline{u}|=|\underline{v}|=|\underline{w}|=1.

uvwABCDA'B'C'D'EF
א.

הבע את הווקטורים EF→\overrightarrow{EF}, AC′⃗\vec{AC'}, DB→\overrightarrow{DB} ו-DE→\overrightarrow{DE} באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w}.

ב(1).

חשב את אורך הווקטורים DB→\overrightarrow{DB} ו-DE→\overrightarrow{DE}.

ב(2).

חשב את גודל הזווית EDBEDB.

ג.

הסבר מדוע EF∥DBEF\parallel DB.

ד.

מצא את זוויות הטרפז EDBFEDBF.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

AC′⃗=u‾+v‾+w‾\vec{AC'}=\underline u+\underline v+\underline w, DB→=u‾−v‾\overrightarrow{DB}=\underline u-\underline v, DE→=12(u‾−v‾+w‾)\overrightarrow{DE}=\frac12(\underline u-\underline v+\underline w), EF→=12(u‾−v‾)\overrightarrow{EF}=\frac12(\underline u-\underline v)

הולכים מ-AA ל-C′C' לאורך מקצועות: BC→=AD→=v‾\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline v ו-CC′⃗=AA′⃗=w‾\vec{CC'}=\vec{AA'}=\underline w (מקצועות מקבילים, שווים ובאותו כיוון).

AC′⃗=AB→+BC→+CC′⃗=u‾+v‾+w‾\vec{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\vec{CC'}=\underline u+\underline v+\underline w

DB→\overrightarrow{DB} הוא הפרש של שני וקטורים שיוצאים מ-AA:

DB→=DA→+AB→=−v‾+u‾=u‾−v‾\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=-\underline v+\underline u=\underline u-\underline v

EE אמצע AC′AC', ולכן AE→=12AC′⃗=12(u‾+v‾+w‾)\overrightarrow{AE}=\frac12\vec{AC'}=\frac12(\underline u+\underline v+\underline w).

DE→=DA→+AE→=−v‾+12u‾+12v‾+12w‾=12(u‾−v‾+w‾)\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=-\underline v+\frac12\underline u+\frac12\underline v+\frac12\underline w=\frac12(\underline u-\underline v+\underline w)

FF אמצע BB′BB', ולכן BF→=12w‾\overrightarrow{BF}=\frac12\underline w. הולכים מ-EE חזרה ל-AA, משם ל-BB ומשם ל-FF:

EF→=EA→+AB→+BF→=−12(u‾+v‾+w‾)+u‾+12w‾=12u‾−12v‾\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=-\frac12(\underline u+\underline v+\underline w)+\underline u+\frac12\underline w=\frac12\underline u-\frac12\underline v

טעות נפוצה: לכתוב DB→=v‾−u‾\overrightarrow{DB}=\underline v-\underline u. הווקטור יוצא מ-DD ומגיע ל-BB, ולכן u‾\underline u (הקצה) בא עם פלוס ו-v‾\underline v (ההתחלה) עם מינוס.

סעיף ב(1)

תשובה:

∣DB→∣=2|\overrightarrow{DB}|=\sqrt2, ∣DE→∣=32|\overrightarrow{DE}|=\frac{\sqrt3}{2}

בקובייה המקצועות ABAB, ADAD, AA′AA' מאונכים זה לזה, ולכן u‾⋅v‾=u‾⋅w‾=v‾⋅w‾=0\underline u\cdot\underline v=\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0, ואורך כל אחד מהם 1, ולכן u‾2=v‾2=w‾2=1\underline u^2=\underline v^2=\underline w^2=1.

אורך וקטור מחשבים דרך הריבוע הסקלרי שלו:

∣DB→∣2=(u‾−v‾)2=u‾2−2u‾⋅v‾+v‾2=1−0+1=2⇒∣DB→∣=2|\overrightarrow{DB}|^2=(\underline u-\underline v)^2=\underline u^2-2\underline u\cdot\underline v+\underline v^2=1-0+1=2\quad\Rightarrow\quad|\overrightarrow{DB}|=\sqrt2
∣DE→∣2=14(u‾−v‾+w‾)2=14(u‾2+v‾2+w‾2−2u‾⋅v‾+2u‾⋅w‾−2v‾⋅w‾)=14⋅3|\overrightarrow{DE}|^2=\frac14(\underline u-\underline v+\underline w)^2=\frac14\left(\underline u^2+\underline v^2+\underline w^2-2\underline u\cdot\underline v+2\underline u\cdot\underline w-2\underline v\cdot\underline w\right)=\frac14\cdot3
∣DE→∣=32|\overrightarrow{DE}|=\frac{\sqrt3}{2}

טעות נפוצה: להוציא את 12\frac12 מהשורש בלי לרבע אותו, כלומר לחשב ∣DE→∣2=12⋅3|\overrightarrow{DE}|^2=\frac12\cdot3 ולקבל 1.5\sqrt{1.5}. המקדם 12\frac12 נכנס לריבוע כ-14\frac14.

סעיף ב(2)

תשובה:

cos⁡∠EDB=26\cos\angle EDB=\frac{2}{\sqrt6}, ∠EDB≈35.26∘\angle EDB\approx35.26^\circ

הזווית EDBEDB היא הזווית בין שני הווקטורים שיוצאים מהקודקוד DD: DE→\overrightarrow{DE} ו-DB→\overrightarrow{DB}.

DE→⋅DB→=12(u‾−v‾+w‾)⋅(u‾−v‾)=12(u‾2+v‾2)=12⋅2=1\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DB}=\frac12(\underline u-\underline v+\underline w)\cdot(\underline u-\underline v)=\frac12\left(\underline u^2+\underline v^2\right)=\frac12\cdot2=1

(כל המכפלות המעורבות הן 0.)

cos⁡∠EDB=DE→⋅DB→∣DE→∣⋅∣DB→∣=132⋅2=26≈0.8165\cos\angle EDB=\frac{\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{DE}|\cdot|\overrightarrow{DB}|}=\frac{1}{\frac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt6}\approx0.8165

∠EDB≈35.26∘\angle EDB\approx35.26^\circ.

טעות נפוצה: להציב במכנה ∣DE→∣=1.5|\overrightarrow{DE}|=\sqrt{1.5} (להוציא את 12\frac12 מהשורש בלי לרבע אותו). אז cos⁡∠EDB=11.5⋅2=13\cos\angle EDB=\frac{1}{\sqrt{1.5}\cdot\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt3} ומתקבלת זווית שגויה של כ-54.74∘54.74^\circ.

סעיף ג

תשובה:

EF→=12(u‾−v‾)=12DB→\overrightarrow{EF}=\frac12(\underline u-\underline v)=\frac12\overrightarrow{DB}, ולכן הווקטורים קולינאריים, ו-EF∥DBEF\parallel DB

מסעיף א: EF→=12(u‾−v‾)\overrightarrow{EF}=\frac12(\underline u-\underline v) ו-DB→=u‾−v‾\overrightarrow{DB}=\underline u-\underline v.

EF→=12DB→\overrightarrow{EF}=\frac12\overrightarrow{DB}

וקטור שהוא כפולה בסקלר של וקטור אחר קולינארי לו. הנקודה EE אינה על הישר DBDB (EE היא מרכז הקובייה, ו-DBDB על הבסיס), ולכן הקטעים EFEF ו-DBDB אינם על ישר אחד, והם מקבילים.

טעות נפוצה: לטעות בכיוון של EA→\overrightarrow{EA} (לכתוב +12(u‾+v‾+w‾)+\frac12(\underline u+\underline v+\underline w)) ולקבל EF→=32u‾+12v‾+w‾\overrightarrow{EF}=\frac32\underline u+\frac12\underline v+\underline w, שאינו כפולה של DB→\overrightarrow{DB} - ואז נראה בטעות שהקטעים אינם מקבילים.

סעיף ד

תשובה:

∠D≈35.26∘\angle D\approx35.26^\circ, ∠E≈144.74∘\angle E\approx144.74^\circ, ∠B=∠F=90∘\angle B=\angle F=90^\circ

הבסיסים של הטרפז הם EFEF ו-DBDB (סעיף ג), והשוקיים הן DEDE ו-BFBF.

∠D=∠EDB≈35.26∘\angle D=\angle EDB\approx35.26^\circ (סעיף ב(2)).

זווית BB: הזווית בין BD→=v‾−u‾\overrightarrow{BD}=\underline v-\underline u ל-BF→=12w‾\overrightarrow{BF}=\frac12\underline w.

BD→⋅BF→=(v‾−u‾)⋅12w‾=12v‾⋅w‾−12u‾⋅w‾=0\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BF}=(\underline v-\underline u)\cdot\frac12\underline w=\frac12\underline v\cdot\underline w-\frac12\underline u\cdot\underline w=0

ולכן ∠B=90∘\angle B=90^\circ.

בטרפז, שתי הזוויות שליד אותה שוק משלימות ל-180∘180^\circ (זוויות חד-צדדיות בין מקבילים):

∠E=180∘−35.26∘=144.74∘,∠F=180∘−90∘=90∘\angle E=180^\circ-35.26^\circ=144.74^\circ,\qquad\angle F=180^\circ-90^\circ=90^\circ

טעות נפוצה: להניח שהטרפז שווה-שוקיים ולכתוב ∠B=∠D\angle B=\angle D. השוקיים DEDE ו-BFBF אינן שוות (32\frac{\sqrt3}{2} לעומת 12\frac12).

שאלה 2 · פירמידה במערכת צירים: פירמידה ישרה, גובה, נפח וזווית

בפירמידה המשולשת SABOSABO הקודקודים AA ו-BB נמצאים על החלק החיובי של ציר ה-xx וציר ה-yy בהתאמה (ראה ציור). הנקודה OO היא ראשית הצירים. נתון: BO=4BO=4, AO=2AO=2. שיעורי הנקודה SS הם (1,2,3)(1,2,3).

OABSDxyz
א(1).

רשום את שיעורי הקודקודים AA ו-BB.

א(2).

הוכח כי הפירמידה SABOSABO היא ישרה.

הנקודה DD היא אמצע המקצוע ABAB.

ב(1).

הראה כי הווקטור DS→\overrightarrow{DS} מאונך למישור בסיס הפירמידה ABOABO.

ב(2).

חשב את נפח הפירמידה.

ג.

חשב את גודל הזווית SODSOD.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א(1)

תשובה:

A(2,0,0)A(2,0,0), B(0,4,0)B(0,4,0)

נקודה על ציר ה-xx היא מהצורה (x,0,0)(x,0,0). AA על החלק החיובי ו-AO=2AO=2, ולכן A(2,0,0)A(2,0,0).

נקודה על ציר ה-yy היא מהצורה (0,y,0)(0,y,0). BB על החלק החיובי ו-BO=4BO=4, ולכן B(0,4,0)B(0,4,0).

טעות נפוצה: לכתוב A(0,2,0)A(0,2,0) - להחליף בין הצירים. הסדר בשיעורים הוא תמיד (x,y,z)(x,y,z).

סעיף א(2)

תשובה:

SA=SB=SO=14SA=SB=SO=\sqrt{14}, ולכן הפירמידה ישרה

פירמידה ישרה היא פירמידה שכל המקצועות הצדדיים שלה שווים (ואז רגל הגובה היא מרכז המעגל החוסם את הבסיס). מחשבים את שלושת המקצועות הצדדיים:

SA→=(2−1, 0−2, 0−3)=(1,−2,−3),∣SA→∣=1+4+9=14\overrightarrow{SA}=(2-1,\,0-2,\,0-3)=(1,-2,-3),\quad|\overrightarrow{SA}|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}
SB→=(−1,2,−3),∣SB→∣=14\overrightarrow{SB}=(-1,2,-3),\quad|\overrightarrow{SB}|=\sqrt{14}
SO→=(−1,−2,−3),∣SO→∣=14\overrightarrow{SO}=(-1,-2,-3),\quad|\overrightarrow{SO}|=\sqrt{14}

שלושת המקצועות הצדדיים שווים, ולכן הפירמידה ישרה.

טעות נפוצה: לבדוק רק שניים מהמקצועות (SA=SBSA=SB). זה מראה רק ש-SS נמצאת מעל האנך האמצעי של ABAB; צריך גם את SOSO.

סעיף ב(1)

תשובה:

D(1,2,0)D(1,2,0), DS→=(0,0,3)\overrightarrow{DS}=(0,0,3); DS→⋅OA→=0\overrightarrow{DS}\cdot\overrightarrow{OA}=0 ו-DS→⋅OB→=0\overrightarrow{DS}\cdot\overrightarrow{OB}=0

שיעורי אמצע קטע הם הממוצע של שיעורי הקצוות:

D=(2+02,0+42,0+02)=(1,2,0)D=\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+4}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(1,2,0)
DS→=(1−1, 2−2, 3−0)=(0,0,3)\overrightarrow{DS}=(1-1,\,2-2,\,3-0)=(0,0,3)

וקטור מאונך למישור אם הוא מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים במישור. במישור הבסיס: OA→=(2,0,0)\overrightarrow{OA}=(2,0,0) ו-OB→=(0,4,0)\overrightarrow{OB}=(0,4,0).

DS→⋅OA→=0⋅2+0⋅0+3⋅0=0,DS→⋅OB→=0⋅0+0⋅4+3⋅0=0\overrightarrow{DS}\cdot\overrightarrow{OA}=0\cdot2+0\cdot0+3\cdot0=0,\qquad\overrightarrow{DS}\cdot\overrightarrow{OB}=0\cdot0+0\cdot4+3\cdot0=0

ולכן DS→\overrightarrow{DS} מאונך למישור ABOABO.

טעות נפוצה: לבדוק ניצבות לווקטור אחד בלבד (למשל AB→\overrightarrow{AB}). וקטור שמאונך לישר אחד במישור יכול להיות נטוי למישור; צריך שני וקטורים לא קולינאריים.

סעיף ב(2)

תשובה:

V=4V=4

הבסיס ABOABO הוא משולש ישר-זווית ב-OO (הצירים מאונכים), עם ניצבים AO=2AO=2 ו-BO=4BO=4:

SABO=2⋅42=4S_{ABO}=\frac{2\cdot4}{2}=4

לפי סעיף ב(1), DSDS מאונך לבסיס, ולכן הוא גובה הפירמידה: h=∣DS→∣=3h=|\overrightarrow{DS}|=3.

V=13⋅SABO⋅h=13⋅4⋅3=4V=\frac13\cdot S_{ABO}\cdot h=\frac13\cdot4\cdot3=4

טעות נפוצה: לשכוח את 13\frac13 (כמו בנפח מנסרה) ולקבל 12.

סעיף ג

תשובה:

cos⁡∠SOD=570\cos\angle SOD=\frac{5}{\sqrt{70}}, ∠SOD≈53.3∘\angle SOD\approx53.3^\circ

הזווית SODSOD היא הזווית בין OS→\overrightarrow{OS} ל-OD→\overrightarrow{OD}, שניהם יוצאים מ-OO.

OS→=(1,2,3)\overrightarrow{OS}=(1,2,3), OD→=(1,2,0)\overrightarrow{OD}=(1,2,0).

OS→⋅OD→=1+4+0=5,∣OS→∣=14,∣OD→∣=5\overrightarrow{OS}\cdot\overrightarrow{OD}=1+4+0=5,\qquad|\overrightarrow{OS}|=\sqrt{14},\qquad|\overrightarrow{OD}|=\sqrt5
cos⁡∠SOD=514⋅5=570≈0.5976⇒∠SOD≈53.3∘\cos\angle SOD=\frac{5}{\sqrt{14}\cdot\sqrt5}=\frac{5}{\sqrt{70}}\approx0.5976\quad\Rightarrow\quad\angle SOD\approx53.3^\circ

טעות נפוצה: לחשב עם SO→\overrightarrow{SO} במקום OS→\overrightarrow{OS} (וקטור שנכנס ל-OO) ולקבל cos⁡<0\cos<0 וזווית קהה של כ-126.7∘126.7^\circ.

שאלה 3 · חקירת הפונקציה (x+a)eˣ והזזה אנכית עד השקה לציר

נתונה הפונקציה f(x)=(x+a)exf(x)=(x+a)e^x. לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=1x=1.

א.

חשב את aa.

הצב a=−2a=-2 וענה על הסעיפים ב-ג.

ב(1).

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

ב(2).

מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים.

ב(3).

מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבע את סוגה.

ב(4).

מצא את התחום בו הפונקציה f(x)f(x) חיובית.

ב(5).

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k. נתון כי גרף הפונקציה g(x)g(x) משיק לציר ה-xx.

ג.

מצא את kk. נמק.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

a=−2a=-2

גוזרים לפי כלל המכפלה: (x+a)′=1(x+a)'=1 ו-(ex)′=ex(e^x)'=e^x.

f′(x)=1⋅ex+(x+a)ex=ex(x+a+1)f'(x)=1\cdot e^x+(x+a)e^x=e^x(x+a+1)

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת: f′(1)=0f'(1)=0.

e1(1+a+1)=0e^1(1+a+1)=0

e>0e>0, ולכן a+2=0a+2=0, כלומר a=−2a=-2.

טעות נפוצה: לגזור (x+a)ex(x+a)e^x כ-1⋅ex1\cdot e^x בלבד (לשכוח את כלל המכפלה). אז הנגזרת לעולם אינה מתאפסת, ולא מוצאים את aa.

סעיף ב(1)

תשובה:

כל xx

f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)e^x. הביטוי x−2x-2 מוגדר לכל xx, וגם exe^x מוגדר לכל xx.

לכן תחום ההגדרה: כל xx.

טעות נפוצה: לכתוב x>0x>0 - לבלבל בין exe^x (מוגדר לכל xx) ל-ln⁡x\ln x (מוגדר רק ל-x>0x>0).

סעיף ב(2)

תשובה:

(2,0)(2,0), (0,−2)(0,-2)

חיתוך עם ציר ה-xx: (x−2)ex=0(x-2)e^x=0. מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים 0, אבל ex>0e^x>0 תמיד, ולכן x−2=0x-2=0, x=2x=2. הנקודה (2,0)(2,0).

חיתוך עם ציר ה-yy: f(0)=(0−2)e0=−2⋅1=−2f(0)=(0-2)e^0=-2\cdot1=-2. הנקודה (0,−2)(0,-2).

טעות נפוצה: לחשב e0=0e^0=0 ולקבל את הנקודה (0,0)(0,0). e0=1e^0=1.

סעיף ב(3)

תשובה:

מינימום (1,−e)(1,-e)

f′(x)=ex(x−2+1)=ex(x−1)f'(x)=e^x(x-2+1)=e^x(x-1)

f′(x)=0f'(x)=0 רק כש-x=1x=1 (כי ex>0e^x>0). הסימן של f′f' נקבע לפי x−1x-1:

עבור x<1x<1: f′<0f'<0 (יורדת); עבור x>1x>1: f′>0f'>0 (עולה). לכן ב-x=1x=1 מינימום.

f(1)=(1−2)e1=−ef(1)=(1-2)e^1=-e

נקודת מינימום: (1,−e)(1,-e).

טעות נפוצה: לקבוע "מקסימום" כי f(1)f(1) שלילי. סוג הקיצון נקבע לפי שינוי הסימן של הנגזרת (מירידה לעלייה = מינימום), לא לפי סימן ערך הפונקציה.

סעיף ב(4)

תשובה:

x>2x>2

f(x)=(x−2)ex>0f(x)=(x-2)e^x>0. הגורם exe^x חיובי תמיד, ולכן הסימן של ff הוא הסימן של x−2x-2.

x−2>0⇒x>2x-2>0\quad\Rightarrow\quad x>2

טעות נפוצה: לענות x>1x>1 - לבלבל בין תחום העלייה (מהנגזרת) לתחום החיוביות (מהפונקציה עצמה).

סעיף ב(5)

תשובה:

יורדת עד (1,−e)(1,-e) ועולה אחר כך, חותכת את הצירים ב-(0,−2)(0,-2) וב-(2,0)(2,0), וכאשר x→−∞x\to-\infty מתקרבת לציר ה-xx מלמטה

מסכמים את הנתונים: חיתוך עם הצירים ב-(0,−2)(0,-2) ו-(2,0)(2,0); מינימום ב-(1,−e)≈(1,−2.72)(1,-e)\approx(1,-2.72); יורדת עבור x<1x<1, עולה עבור x>1x>1; שלילית עבור x<2x<2 וחיובית עבור x>2x>2.

כאשר x→−∞x\to-\infty, exe^x שואף ל-0 מהר יותר מש-x−2x-2 גדל בערכו המוחלט, ולכן f(x)→0f(x)\to0; הפונקציה שלילית שם, ולכן הגרף מתקרב לציר ה-xx מלמטה. כאשר x→∞x\to\infty, f(x)→∞f(x)\to\infty.

הסקיצה: מתחילה קרוב לציר ה-xx משמאל (מתחת לו), יורדת דרך (0,−2)(0,-2) עד (1,−e)(1,-e), עולה, חוצה את ציר ה-xx ב-(2,0)(2,0) וממשיכה לעלות במהירות.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה את ציר ה-xx גם בצד שמאל. ff שלילית לכל x<2x<2, ולכן משמאל היא רק מתקרבת לציר ולא חוצה אותו.

סעיף ג

תשובה:

k=ek=e

גרף gg הוא גרף ff מוזז אנכית ב-kk. ההזזה משנה את ערכי הפונקציה אבל לא את שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון, ולכן ל-gg מינימום ב-(1,−e+k)(1,-e+k).

גרף שמשיק לציר ה-xx נוגע בו בלי לחצות אותו. מהסקיצה, הדבר קורה כשנקודת המינימום נמצאת בדיוק על ציר ה-xx (בשאר הגרף gg גדולה מערך המינימום):

−e+k=0⇒k=e-e+k=0\quad\Rightarrow\quad k=e

טעות נפוצה: לחשוב שאפשר לקבל השקה גם ב-k=0k=0 "כי הגרף מתקרב לציר ה-xx". התקרבות אסימפטוטית אינה השקה, וב-k=0k=0 הגרף חוצה את ציר ה-xx ב-x=2x=2.

שאלה 4 · חקירת הפונקציה (2+ln x)·ln x ופונקציה שזו הנגזרת שלה

נתונה הפונקציה f(x)=(2+ln⁡x)⋅ln⁡xf(x)=(2+\ln x)\cdot\ln x.

א(1).

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)?

א(2).

מהי האסימפטוטה האנכית של הפונקציה f(x)f(x)?

א(3).

מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

א(4).

מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבע את סוגה.

א(5).

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה g(x)g(x) שמקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x). על סמך הסעיפים הקודמים מצא את שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x), וקבע את סוגן.

ג.

נתונה הפונקציה h(x)=f(x−5)h(x)=f(x-5). מהי האסימפטוטה האנכית של הפונקציה h(x)h(x)? נמק.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א(1)

תשובה:

x>0x>0

ln⁡x\ln x מוגדר רק עבור x>0x>0, ו-ff מורכבת מ-ln⁡x\ln x בלבד (סכום ומכפלה).

תחום ההגדרה: x>0x>0.

טעות נפוצה: לכתוב x≥0x\ge0. ln⁡0\ln0 אינו מוגדר.

סעיף א(2)

תשובה:

x=0x=0

בקצה התחום, כאשר x→0+x\to0^+, ln⁡x→−∞\ln x\to-\infty.

אז גם 2+ln⁡x→−∞2+\ln x\to-\infty, ומכפלה של שני גורמים ששואפים למינוס אינסוף שואפת ל-+∞+\infty: f(x)→+∞f(x)\to+\infty.

לכן הישר x=0x=0 (ציר ה-yy) הוא אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לענות "אין אסימפטוטה אנכית" כי לפונקציה אין מכנה שמתאפס. אסימפטוטה אנכית יכולה להופיע גם בקצה תחום ההגדרה: כאשר x→0+x\to0^+ הפונקציה שואפת ל-+∞+\infty.

סעיף א(3)

תשובה:

(1,0)(1,0), (e−2,0)(e^{-2},0); אין חיתוך עם ציר ה-yy

ציר ה-xx: (2+ln⁡x)ln⁡x=0(2+\ln x)\ln x=0. מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים 0:

ln⁡x=0⇒x=1\ln x=0\Rightarrow x=1, או 2+ln⁡x=0⇒ln⁡x=−2⇒x=e−22+\ln x=0\Rightarrow\ln x=-2\Rightarrow x=e^{-2}.

הנקודות: (1,0)(1,0) ו-(e−2,0)≈(0.135,0)(e^{-2},0)\approx(0.135,0).

ציר ה-yy: צריך להציב x=0x=0, אבל 0 אינו בתחום ההגדרה - אין חיתוך עם ציר ה-yy.

טעות נפוצה: לפתור ln⁡x=−2\ln x=-2 כ-x=−e2x=-e^2 או x=e2x=e^2. לפי הגדרת הלוגריתם x=e−2x=e^{-2}.

סעיף א(4)

תשובה:

מינימום (1e,−1)\left(\frac1e,-1\right)

גוזרים לפי כלל המכפלה, (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\frac1x:

f′(x)=1x⋅ln⁡x+(2+ln⁡x)⋅1x=2ln⁡x+2xf'(x)=\frac1x\cdot\ln x+(2+\ln x)\cdot\frac1x=\frac{2\ln x+2}{x}

f′(x)=0  ⟺  2ln⁡x+2=0  ⟺  ln⁡x=−1  ⟺  x=e−1=1ef'(x)=0\iff2\ln x+2=0\iff\ln x=-1\iff x=e^{-1}=\frac1e.

בתחום x>0x>0 המכנה חיובי, ולכן הסימן של f′f' הוא הסימן של ln⁡x+1\ln x+1: שלילי עבור x<1ex<\frac1e, חיובי עבור x>1ex>\frac1e. לכן מינימום.

f(1e)=(2−1)⋅(−1)=−1f\left(\frac1e\right)=(2-1)\cdot(-1)=-1

טעות נפוצה: לגזור (2+ln⁡x)ln⁡x(2+\ln x)\ln x כמכפלת הנגזרות 1x⋅1x\frac1x\cdot\frac1x ולקבל נגזרת שלא מתאפסת.

סעיף א(5)

תשובה:

יורדת מ-+∞+\infty (ליד x=0x=0) עד (1e,−1)\left(\frac1e,-1\right) ועולה אחר כך; חותכת את ציר ה-xx ב-(e−2,0)(e^{-2},0) וב-(1,0)(1,0)

מסכמים: תחום x>0x>0; אסימפטוטה x=0x=0 עם f→+∞f\to+\infty; חיתוכים (e−2,0)(e^{-2},0) ו-(1,0)(1,0); מינימום (1e,−1)\left(\frac1e,-1\right); יורדת עבור 0<x<1e0<x<\frac1e, עולה עבור x>1ex>\frac1e.

הסקיצה: מתחילה גבוה ליד ציר ה-yy, יורדת וחוצה את ציר ה-xx ב-e−2≈0.14e^{-2}\approx0.14, מגיעה למינימום ב-x=1e≈0.37x=\frac1e\approx0.37, עולה, חוצה שוב ב-x=1x=1 וממשיכה לעלות.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף גם עבור x<0x<0, או לחבר אותו לציר ה-yy. הגרף מתקרב לציר ה-yy ולא נוגע בו.

סעיף ב

תשובה:

x=e−2x=e^{-2} מקסימום, x=1x=1 מינימום

ff היא הנגזרת של gg. נקודות קיצון של gg הן נקודות שבהן ff מתאפסת ומחליפה סימן - נקודות החיתוך של ff עם ציר ה-xx: x=e−2x=e^{-2} ו-x=1x=1.

מהסקיצה: f>0f>0 עבור 0<x<e−20<x<e^{-2}, f<0f<0 עבור e−2<x<1e^{-2}<x<1, ו-f>0f>0 עבור x>1x>1.

ב-x=e−2x=e^{-2}: g′g' עוברת מחיובית לשלילית - gg עוברת מעלייה לירידה: מקסימום.

ב-x=1x=1: g′g' עוברת משלילית לחיובית: מינימום.

טעות נפוצה: להפוך את סוגי הקיצון - לחשוב שנגזרת שעוברת מחיובית לשלילית נותנת מינימום - ולענות x=e−2x=e^{-2} מינימום ו-x=1x=1 מקסימום. g′>0g'>0 ואחר כך g′<0g'<0 פירושו ש-gg עולה ואז יורדת: מקסימום.

סעיף ג

תשובה:

x=5x=5

גרף h(x)=f(x−5)h(x)=f(x-5) הוא גרף ff מוזז 5 יחידות ימינה. כל ישר אנכי של ff זז איתו, ולכן האסימפטוטה x=0x=0 הופכת ל-x=5x=5.

(בדיקה: h(x)=(2+ln⁡(x−5))ln⁡(x−5)h(x)=(2+\ln(x-5))\ln(x-5) מוגדרת עבור x>5x>5, וכאשר x→5+x\to5^+, h→+∞h\to+\infty.)

טעות נפוצה: להזיז שמאלה ולענות x=−5x=-5. f(x−5)f(x-5) מזיזה ימינה.

שאלה 5 · שטח בין הגרפים של k/(2−x) ו-k/(2+x)

לפניך הגרפים של הפונקציות f(x)=k2−xf(x)=\frac{k}{2-x} ו-g(x)=k2+xg(x)=\frac{k}{2+x} עבור y>0y>0. kk הוא פרמטר חיובי.

-11ABIII
א.

התאם בין הגרפים I ו-II ובין הפונקציות f(x)f(x) ו-g(x)g(x). נמק.

הישר x=1x=1 חותך את גרף II בנקודה AA ואת גרף I בנקודה BB. נתון כי אורך הקטע ABAB הוא 2.

ב.

חשב את הערך של kk.

הצב k=3k=3 וענה על הסעיפים ג-ה.

ג.

מצא את שיעורי נקודת החיתוך בין הגרפים של הפונקציות f(x)f(x) ו-g(x)g(x).

ד.

חשב את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות f(x)f(x) ו-g(x)g(x) והישרים x=−1x=-1 ו-x=1x=1 (השטח המקווקו בציור).

ה.

קבע אם הטענה הבאה נכונה, ונמק את קביעתך: ∫−11(f(x)−g(x)) dx=0\int_{-1}^{1}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx=0

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

גרף I הוא g(x)g(x), גרף II הוא f(x)f(x)

f(x)=k2−xf(x)=\frac{k}{2-x} אינה מוגדרת ב-x=2x=2, ולכן יש לה אסימפטוטה אנכית x=2x=2 (מימין). g(x)=k2+xg(x)=\frac{k}{2+x} אינה מוגדרת ב-x=−2x=-2 - אסימפטוטה x=−2x=-2 (משמאל).

גרף II שואף לאינסוף כשמתקרבים לאסימפטוטה הימנית, ולכן הוא f(x)f(x). גרף I שואף לאינסוף ליד האסימפטוטה השמאלית, ולכן הוא g(x)g(x).

(אפשר גם לפי עלייה וירידה: כש-xx גדל המכנה 2−x2-x קטן ו-ff עולה, והמכנה 2+x2+x גדל ו-gg יורדת.)

טעות נפוצה: לחשוב שהאסימפטוטה של k2−x\frac{k}{2-x} היא x=−2x=-2 ("הפוך מהמספר"). המכנה מתאפס כש-x=2x=2.

סעיף ב

תשובה:

k=3k=3

AA על גרף II, כלומר על ff: yA=f(1)=k2−1=ky_A=f(1)=\frac{k}{2-1}=k.

BB על גרף I, כלומר על gg: yB=g(1)=k2+1=k3y_B=g(1)=\frac{k}{2+1}=\frac k3.

AA ו-BB על אותו ישר אנכי, ולכן אורך ABAB הוא הפרש שיעורי ה-yy:

k−k3=2⇒2k3=2⇒k=3k-\frac k3=2\quad\Rightarrow\quad\frac{2k}{3}=2\quad\Rightarrow\quad k=3

טעות נפוצה: להחליף בין הגרפים ולחשב yA=k3y_A=\frac k3, yB=ky_B=k, ואז k3−k=2\frac k3-k=2 נותן k=−3k=-3 - שלילי, בניגוד לנתון.

סעיף ג

תשובה:

(0,32)\left(0,\frac32\right)

32−x=32+x\frac{3}{2-x}=\frac{3}{2+x}

המונים שווים, ולכן גם המכנים: 2−x=2+x2-x=2+x, כלומר x=0x=0.

y=32y=\frac{3}{2}. נקודת החיתוך: (0,32)\left(0,\frac32\right).

טעות נפוצה: לענות y=3y=3 - לקחת את המונה ולשכוח לחלק במכנה 2−0=22-0=2.

סעיף ד

תשובה:

6ln⁡43≈1.7266\ln\frac43\approx1.726

הגרפים נחתכים ב-x=0x=0, ולכן מפצלים את השטח לשני חלקים. מימין ל-0 (למשל x=1x=1: f=3f=3, g=1g=1) ff מעל gg; משמאל ל-0 gg מעל ff.

פונקציות קדומות: ∫32−xdx=−3ln⁡(2−x)\int\frac{3}{2-x}dx=-3\ln(2-x) (המקדם של xx הוא −1-1, ולכן מחלקים בו), ∫32+xdx=3ln⁡(2+x)\int\frac{3}{2+x}dx=3\ln(2+x).

S1=∫01(32−x−32+x)dx=[−3ln⁡(2−x)−3ln⁡(2+x)]01=(−3ln⁡1−3ln⁡3)−(−3ln⁡2−3ln⁡2)=3ln⁡43S_1=\int_0^1\left(\frac{3}{2-x}-\frac{3}{2+x}\right)dx=\Big[-3\ln(2-x)-3\ln(2+x)\Big]_0^1=(-3\ln1-3\ln3)-(-3\ln2-3\ln2)=3\ln\frac43
S2=∫−10(32+x−32−x)dx=[3ln⁡(2+x)+3ln⁡(2−x)]−10=(3ln⁡2+3ln⁡2)−(3ln⁡1+3ln⁡3)=3ln⁡43S_2=\int_{-1}^0\left(\frac{3}{2+x}-\frac{3}{2-x}\right)dx=\Big[3\ln(2+x)+3\ln(2-x)\Big]_{-1}^0=(3\ln2+3\ln2)-(3\ln1+3\ln3)=3\ln\frac43
S=S1+S2=6ln⁡43≈1.726S=S_1+S_2=6\ln\frac43\approx1.726

טעות נפוצה: לכתוב ∫32−xdx=3ln⁡(2−x)\int\frac{3}{2-x}dx=3\ln(2-x) (בלי המינוס). אז מתקבל S1=[3ln⁡(2−x)−3ln⁡(2+x)]01=−3ln⁡3S_1=\Big[3\ln(2-x)-3\ln(2+x)\Big]_0^1=-3\ln3 - שטח שלילי, סימן לטעות.

סעיף ה

תשובה:

נכונה

האינטגרל המסוים סופר שטח שבו f−g>0f-g>0 בסימן פלוס, ושטח שבו f−g<0f-g<0 בסימן מינוס.

∫−11(f−g) dx=∫−10(f−g) dx+∫01(f−g) dx=−3ln⁡43+3ln⁡43=0\int_{-1}^{1}(f-g)\,dx=\int_{-1}^{0}(f-g)\,dx+\int_{0}^{1}(f-g)\,dx=-3\ln\frac43+3\ln\frac43=0

(שני החלקים שווים בשטח כי f(−x)=32+x=g(x)f(-x)=\frac{3}{2+x}=g(x): הגרפים סימטריים זה לזה ביחס לציר ה-yy.)

הטענה נכונה. אין סתירה לסעיף ד: השטח חיובי, אבל האינטגרל של ההפרש מקזז את שני החלקים.

טעות נפוצה: לקבוע שהטענה אינה נכונה "כי השטח הוא 6ln⁡436\ln\frac43". שטח ואינטגרל מסוים שווים רק כשהפונקציה המשולבת אינה שלילית בכל הקטע.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.