דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

בגרות במתמטיקה 472 - קיץ 2021 מועד מיוחד

4 יח"ל · שאלון 035472 · תשפ"א · 5 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

כאן תמצאו את בחינת הבגרות במתמטיקה בשאלון 472 (4 יח"ל), מועד קיץ 2021 מועד מיוחד (תשפ"א), כל 5 השאלות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבות

נתונה פירמידה ישרה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע (ראה ציור). כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי צלעות. הנקודה EE היא אמצע המקצוע ADAD.

נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline w.

נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=∣w‾∣=1|\underline u|=|\underline v|=|\underline w|=1.

ABCDSE
א.

חשב את המכפלות הסקלריות: u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w, u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v.

ב.

הבע את SB→\overrightarrow{SB} ו-SE→\overrightarrow{SE} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ג(1).

חשב את גודל הזווית BSEBSE.

ג(2).

חשב את שטח המשולש BSEBSE.

הנקודה FF היא אמצע המקצוע SBSB.

ד(1).

הבע את DF→\overrightarrow{DF} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ד(2).

האם הווקטורים SB→\overrightarrow{SB} ו-DF→\overrightarrow{DF} מאונכים זה לזה? נמק.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

u‾⋅v‾=0\underline u\cdot\underline v=0, u‾⋅w‾=v‾⋅w‾=12\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=\frac12

הבסיס ריבוע, ולכן AB⊥ADAB\perp AD: הזווית בין u‾\underline u ל-v‾\underline v היא 90∘90^\circ ו-u‾⋅v‾=0\underline u\cdot\underline v=0.

הזווית בין u‾=AB→\underline u=\overrightarrow{AB} ל-w‾=AS→\underline w=\overrightarrow{AS} היא הזווית SABSAB. הפאה SABSAB היא משולש שווה צלעות, ולכן הזווית היא 60∘60^\circ:

u‾⋅w‾=∣u‾∣⋅∣w‾∣⋅cos⁡60∘=1⋅1⋅12=12\underline u\cdot\underline w=|\underline u|\cdot|\underline w|\cdot\cos60^\circ=1\cdot1\cdot\frac12=\frac12

באותו אופן, הזווית בין v‾\underline v ל-w‾\underline w היא הזווית SADSAD בפאה SADSAD השווה צלעות: v‾⋅w‾=12\underline v\cdot\underline w=\frac12.

טעות נפוצה: לחשוב ש-w‾\underline w מאונך לבסיס כי "הפירמידה ישרה". הגובה של פירמידה ישרה יורד ממרכז הבסיס, והמקצוע ASAS אינו מאונך ל-ABAB.

סעיף ב

תשובה:

SB→=u‾−w‾\overrightarrow{SB}=\underline u-\underline w, SE→=12v‾−w‾\overrightarrow{SE}=\frac12\underline v-\underline w

הולכים מ-SS אל AA (נגד הכיוון של w‾\underline w) וממשיכים לאורך הבסיס.

SB→=SA→+AB→=−w‾+u‾\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}=-\underline w+\underline u

EE אמצע ADAD, ולכן AE→=12v‾\overrightarrow{AE}=\frac12\underline v:

SE→=SA→+AE→=−w‾+12v‾\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AE}=-\underline w+\frac12\underline v

טעות נפוצה: לכתוב SA→=w‾\overrightarrow{SA}=\underline w. הווקטור w‾\underline w יוצא מ-AA אל SS, והכיוון ההפוך הוא −w‾-\underline w.

סעיף ג(1)

תשובה:

cos⁡∠BSE=123\cos\angle BSE=\frac{1}{2\sqrt3}, ∠BSE≈73.22∘\angle BSE\approx73.22^\circ

הזווית BSEBSE היא הזווית בין SB→\overrightarrow{SB} ל-SE→\overrightarrow{SE}. מחשבים את המכפלה הסקלרית לפי חוק הפילוג:

SB→⋅SE→=(u‾−w‾)⋅(12v‾−w‾)=12u‾⋅v‾−u‾⋅w‾−12v‾⋅w‾+w‾2\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{SE}=(\underline u-\underline w)\cdot\left(\frac12\underline v-\underline w\right)=\frac12\underline u\cdot\underline v-\underline u\cdot\underline w-\frac12\underline v\cdot\underline w+\underline w^2
=0−12−14+1=14=0-\frac12-\frac14+1=\frac14

האורכים: ∣SB→∣=1|\overrightarrow{SB}|=1 (מקצוע של הפירמידה), ו-∣SE→∣|\overrightarrow{SE}| דרך הריבוע הסקלרי:

∣SE→∣2=14v‾2−v‾⋅w‾+w‾2=14−12+1=34⇒∣SE→∣=32|\overrightarrow{SE}|^2=\frac14\underline v^2-\underline v\cdot\underline w+\underline w^2=\frac14-\frac12+1=\frac34\quad\Rightarrow\quad|\overrightarrow{SE}|=\frac{\sqrt3}2
cos⁡∠BSE=141⋅32=123≈0.2887⇒∠BSE≈73.22∘\cos\angle BSE=\frac{\frac14}{1\cdot\frac{\sqrt3}2}=\frac1{2\sqrt3}\approx0.2887\quad\Rightarrow\quad\angle BSE\approx73.22^\circ

טעות נפוצה: בפתיחת ∣SE→∣2|\overrightarrow{SE}|^2 לשכוח את האיבר המעורב −2⋅12v‾⋅w‾-2\cdot\frac12\underline v\cdot\underline w ולקבל ∣SE→∣2=54|\overrightarrow{SE}|^2=\frac54.

סעיף ג(2)

תשובה:

118≈0.415\frac{\sqrt{11}}8\approx0.415

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: S=12⋅SB⋅SE⋅sin⁡∠BSES=\frac12\cdot SB\cdot SE\cdot\sin\angle BSE.

sin⁡∠BSE=1−cos⁡2∠BSE=1−112=1112\sin\angle BSE=\sqrt{1-\cos^2\angle BSE}=\sqrt{1-\frac1{12}}=\sqrt{\frac{11}{12}}
SBSE=12⋅1⋅32⋅1112=118≈0.415S_{BSE}=\frac12\cdot1\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\sqrt{\frac{11}{12}}=\frac{\sqrt{11}}8\approx0.415

טעות נפוצה: להציב בנוסחת השטח את cos⁡∠BSE\cos\angle BSE במקום את הסינוס, ולקבל 12⋅1⋅32⋅123=18\frac12\cdot1\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\frac1{2\sqrt3}=\frac18.

סעיף ד(1)

תשובה:

DF→=12u‾−v‾+12w‾\overrightarrow{DF}=\frac12\underline u-\underline v+\frac12\underline w

הולכים מ-DD אל AA, עולים ל-SS, וממשיכים חצי מהמקצוע SBSB:

DF→=DA→+AS→+12SB→=−v‾+w‾+12(u‾−w‾)\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AS}+\frac12\overrightarrow{SB}=-\underline v+\underline w+\frac12(\underline u-\underline w)
=12u‾−v‾+12w‾=\frac12\underline u-\underline v+\frac12\underline w

טעות נפוצה: לכתוב DA→=v‾\overrightarrow{DA}=\underline v. הווקטור v‾\underline v הוא AD→\overrightarrow{AD}, ומ-DD אל AA הולכים בכיוון −v‾-\underline v.

סעיף ד(2)

תשובה:

לא: SB→⋅DF→=12≠0\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{DF}=\frac12\neq0

שני וקטורים מאונכים אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם היא 0.

SB→⋅DF→=(u‾−w‾)⋅(12u‾−v‾+12w‾)\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{DF}=(\underline u-\underline w)\cdot\left(\frac12\underline u-\underline v+\frac12\underline w\right)
=12u‾2−u‾⋅v‾+12u‾⋅w‾−12u‾⋅w‾+v‾⋅w‾−12w‾2=\frac12\underline u^2-\underline u\cdot\underline v+\frac12\underline u\cdot\underline w-\frac12\underline u\cdot\underline w+\underline v\cdot\underline w-\frac12\underline w^2
=12−0+14−14+12−12=12=\frac12-0+\frac14-\frac14+\frac12-\frac12=\frac12

המכפלה הסקלרית שונה מ-0, ולכן SB→\overrightarrow{SB} ו-DF→\overrightarrow{DF} אינם מאונכים.

טעות נפוצה: לטעות בסימן של −w‾⋅(−v‾)-\underline w\cdot(-\underline v) ולכתוב −12-\frac12 במקום +12+\frac12; אז המכפלה יוצאת 0 ומסיקים בטעות שהווקטורים מאונכים.

שאלה 2 · מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים

במנסרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' נתונים הקודקודים: A(−2,4,7)A(-2,4,7), B(0,5,4)B(0,5,4), C(1,3,1)C(1,3,1), D(−1,2,4)D(-1,2,4), D′(−10,5,−1)D'(-10,5,-1).

ABCDA'B'C'D'
א.

הוכח כי המרובע ABCDABCD הוא מעוין.

ב.

חשב את זוויות המעוין ABCDABCD.

ג(1).

הראה כי המנסרה ישרה.

ג(2).

חשב את נפח המנסרה.

הנקודה EE מקיימת DE→=13⋅DD′⃗\overrightarrow{DE}=\frac13\cdot\vec{DD'}.

ד(1).

הסבר מדוע הנקודה EE נמצאת על המקצוע DD′DD'.

ד(2).

חשב את נפח הפירמידה ABCDEABCDE.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

AB→=DC→=(2,1,−3)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(2,1,-3) - מקבילית; ∣AB→∣=∣AD→∣=14|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{14} - מעוין

קודם מראים ש-ABCDABCD מקבילית: זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות, כלומר וקטורים שווים.

AB→=B−A=(0+2, 5−4, 4−7)=(2,1,−3),DC→=C−D=(1+1, 3−2, 1−4)=(2,1,−3)\overrightarrow{AB}=B-A=(0+2,\,5-4,\,4-7)=(2,1,-3),\qquad\overrightarrow{DC}=C-D=(1+1,\,3-2,\,1-4)=(2,1,-3)

AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, ולכן ABCDABCD מקבילית.

עכשיו משווים שתי צלעות סמוכות: AD→=D−A=(1,−2,−3)\overrightarrow{AD}=D-A=(1,-2,-3).

∣AB→∣=4+1+9=14,∣AD→∣=1+4+9=14|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14},\qquad|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}

מקבילית ששתי צלעות סמוכות בה שוות היא מעוין.

טעות נפוצה: להשוות את AB→\overrightarrow{AB} ל-CD→\overrightarrow{CD}, לקבל וקטורים נגדיים ולהסיק בטעות שהמרובע אינו מקבילית. משווים וקטורים באותו כיוון: AB→\overrightarrow{AB} ו-DC→\overrightarrow{DC}.

סעיף ב

תשובה:

cos⁡∠DAB=914\cos\angle DAB=\frac9{14}: ∠A=∠C≈50∘\angle A=\angle C\approx50^\circ, ∠B=∠D≈130∘\angle B=\angle D\approx130^\circ

הזווית DABDAB היא הזווית בין AB→\overrightarrow{AB} ל-AD→\overrightarrow{AD} (שניהם יוצאים מ-AA):

AB→⋅AD→=2⋅1+1⋅(−2)+(−3)⋅(−3)=9\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=2\cdot1+1\cdot(-2)+(-3)\cdot(-3)=9
cos⁡∠DAB=914⋅14=914⇒∠DAB≈49.99∘≈50∘\cos\angle DAB=\frac{9}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}}=\frac9{14}\quad\Rightarrow\quad\angle DAB\approx49.99^\circ\approx50^\circ

במעוין הזוויות הנגדיות שוות והזוויות הסמוכות משלימות ל-180∘180^\circ: ∠C≈50∘\angle C\approx50^\circ, ∠B=∠D≈130∘\angle B=\angle D\approx130^\circ.

טעות נפוצה: לחשב את הזווית בין AB→\overrightarrow{AB} ל-DA→\overrightarrow{DA} (וקטור שנכנס ל-AA) ולקבל 130∘130^\circ בתור ∠A\angle A.

סעיף ג(1)

תשובה:

DD′⃗=(−9,3,−5)\vec{DD'}=(-9,3,-5); DD′⃗⋅DA→=0\vec{DD'}\cdot\overrightarrow{DA}=0, DD′⃗⋅DC→=0\vec{DD'}\cdot\overrightarrow{DC}=0

מנסרה ישרה - המקצוע הצדדי מאונך למישור הבסיס. מספיק להראות שהוא מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים בבסיס.

DD′⃗=D′−D=(−9,3,−5)\vec{DD'}=D'-D=(-9,3,-5), DA→=(−1,2,3)\overrightarrow{DA}=(-1,2,3), DC→=(2,1,−3)\overrightarrow{DC}=(2,1,-3).

DD′⃗⋅DA→=9+6−15=0,DD′⃗⋅DC→=−18+3+15=0\vec{DD'}\cdot\overrightarrow{DA}=9+6-15=0,\qquad\vec{DD'}\cdot\overrightarrow{DC}=-18+3+15=0

DD′DD' מאונך ל-DADA ול-DCDC, ולכן למישור הבסיס, והמנסרה ישרה.

טעות נפוצה: להסתפק בניצבות לצלע אחת בלבד. ישר שמאונך לישר אחד במישור אינו בהכרח מאונך למישור.

סעיף ג(2)

תשובה:

V=115V=115

שטח המעוין = מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית שביניהן.

sin⁡∠DAB=1−(914)2=11514\sin\angle DAB=\sqrt{1-\left(\frac9{14}\right)^2}=\frac{\sqrt{115}}{14}
SABCD=14⋅14⋅11514=115S_{ABCD}=\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}\cdot\frac{\sqrt{115}}{14}=\sqrt{115}

המנסרה ישרה, ולכן הגובה הוא המקצוע הצדדי: ∣DD′⃗∣=81+9+25=115|\vec{DD'}|=\sqrt{81+9+25}=\sqrt{115}.

V=SABCD⋅h=115⋅115=115V=S_{ABCD}\cdot h=\sqrt{115}\cdot\sqrt{115}=115

טעות נפוצה: לחשב את שטח הבסיס כ-12⋅14⋅14⋅sin⁡∠A\frac12\cdot\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}\cdot\sin\angle A - זה שטח של משולש ABDABD, חצי מהמעוין.

סעיף ד(1)

תשובה:

DE→\overrightarrow{DE} קולינארי ל-DD′⃗\vec{DD'} עם נקודה משותפת DD ומקדם 0<13<10<\frac13<1

DE→=13DD′⃗\overrightarrow{DE}=\frac13\vec{DD'}: שני הווקטורים קולינאריים ויוצאים מאותה נקודה DD, ולכן EE על הישר DD′DD'.

המקדם חיובי, ולכן EE באותו כיוון מ-DD כמו D′D'; והוא קטן מ-1, ולכן DEDE קצר מ-DD′DD'.

לכן EE נמצאת על הקטע DD′DD', במרחק שליש מהמקצוע מ-DD.

טעות נפוצה: להסתפק ב"הווקטורים מקבילים". וקטורים מקבילים יכולים לצאת מנקודות שונות; כאן הנקודה המשותפת DD והמקדם בין 0 ל-1 הם שקובעים שהנקודה על המקצוע.

סעיף ד(2)

תשובה:

V=1159≈12.78V=\frac{115}9\approx12.78

בסיס הפירמידה הוא המעוין ABCDABCD והקודקוד שלה EE.

DEDE הוא חלק מ-DD′DD', שמאונך למישור הבסיס (סעיף ג(1)). לכן DEDE הוא גובה הפירמידה, אף שהיא אינה ישרה.

∣DE∣=13∣DD′∣=1153|DE|=\frac13|DD'|=\frac{\sqrt{115}}3
V=13⋅SABCD⋅DE=13⋅115⋅1153=1159≈12.78V=\frac13\cdot S_{ABCD}\cdot DE=\frac13\cdot\sqrt{115}\cdot\frac{\sqrt{115}}3=\frac{115}9\approx12.78

טעות נפוצה: לשכוח את ה-13\frac13 של נוסחת נפח הפירמידה ולקבל 1153\frac{115}3 - נפח של מנסרה בגובה DEDE.

שאלה 3 · חקירת פונקציית מנה עם ln ושיקופה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x−1)x−1f(x)=\frac{\ln(x-1)}{x-1}.

א.

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

ב.

מצא את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה המאונכת לציר ה-xx.

ג.

מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ד.

מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבע את סוגה.

ה.

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

נתונה הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x).

ו(1).

רשום את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x), וקבע את סוגה.

ו(2).

באותה מערכת צירים שבה סרטטת סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x), הוסף בקו מקווקו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x).

ז.

חיברו בין נקודת הקיצון של f(x)f(x) ונקודת הקיצון של g(x)g(x). מצא את אורך הקטע.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

x>1x>1

הביטוי ln⁡(x−1)\ln(x-1) מוגדר רק כשהארגומנט חיובי: x−1>0x-1>0, כלומר x>1x>1.

גם המכנה צריך להיות שונה מ-0: x≠1x\neq1 - וזה כבר נכלל בתנאי x>1x>1.

תחום ההגדרה: x>1x>1.

טעות נפוצה: לכתוב x≥1x\ge1 או x≠1x\neq1. בנקודה x=1x=1 גם הלוגריתם וגם המכנה אינם מוגדרים, ולשמאלה הלוגריתם אינו מוגדר.

סעיף ב

תשובה:

x=1x=1

בודקים את קצה התחום x→1+x\to1^+:

המונה: x−1→0+x-1\to0^+, ולכן ln⁡(x−1)→−∞\ln(x-1)\to-\infty. המכנה: x−1→0+x-1\to0^+.

ln⁡(x−1)x−1→−∞0+=−∞\frac{\ln(x-1)}{x-1}\to\frac{-\infty}{0^+}=-\infty

לכן הישר x=1x=1 הוא אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לחשוב שכשגם המונה וגם המכנה "מתאפסים" אין אסימפטוטה. המונה כאן אינו מתאפס - הוא שואף למינוס אינסוף.

סעיף ג

תשובה:

(2,0)(2,0); אין חיתוך עם ציר ה-yy

חיתוך עם ציר ה-xx: שבר מתאפס כשהמונה מתאפס.

ln⁡(x−1)=0⇒x−1=e0=1⇒x=2\ln(x-1)=0\quad\Rightarrow\quad x-1=e^0=1\quad\Rightarrow\quad x=2

הנקודה (2,0)(2,0).

חיתוך עם ציר ה-yy דורש x=0x=0, אבל 00 אינו בתחום ההגדרה - אין חיתוך.

טעות נפוצה: לפתור ln⁡(x−1)=0\ln(x-1)=0 כ-x−1=0x-1=0 ולקבל x=1x=1 - נקודה שאינה בתחום.

סעיף ד

תשובה:

מקסימום (e+1,1e)\left(e+1,\frac1e\right)

גוזרים לפי כלל המנה. הנגזרת של ln⁡(x−1)\ln(x-1) היא 1x−1\frac1{x-1}:

f′(x)=1x−1⋅(x−1)−ln⁡(x−1)⋅1(x−1)2=1−ln⁡(x−1)(x−1)2f'(x)=\frac{\frac1{x-1}\cdot(x-1)-\ln(x-1)\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{1-\ln(x-1)}{(x-1)^2}

המכנה חיובי בתחום, ולכן f′(x)=0f'(x)=0 כשהמונה מתאפס:

ln⁡(x−1)=1⇒x−1=e⇒x=e+1\ln(x-1)=1\quad\Rightarrow\quad x-1=e\quad\Rightarrow\quad x=e+1
f(e+1)=ln⁡ee=1ef(e+1)=\frac{\ln e}{e}=\frac1e

סימן הנגזרת לפי 1−ln⁡(x−1)1-\ln(x-1): עבור 1<x<e+11<x<e+1 הלוגריתם קטן מ-1 והנגזרת חיובית (עולה); עבור x>e+1x>e+1 הנגזרת שלילית (יורדת).

לכן (e+1,1e)\left(e+1,\frac1e\right) היא נקודת מקסימום.

טעות נפוצה: להחליף את סדר האיברים במונה של כלל המנה (ln⁡(x−1)−1\ln(x-1)-1), ואז סוג הקיצון יוצא הפוך - מינימום.

סעיף ה

תשובה:

עולה מ-−∞-\infty ליד x=1x=1, חותכת ב-(2,0)(2,0), מקסימום ב-(e+1,1e)\left(e+1,\frac1e\right), ואחר כך יורדת ומתקרבת לציר ה-xx מלמעלה

מרכזים את מה שמצאנו:

ליד x=1x=1 מימין הגרף צמוד לאסימפטוטה ויורד ל-−∞-\infty.

הגרף עולה, חוצה את ציר ה-xx ב-(2,0)(2,0), ומגיע למקסימום (e+1,1e)≈(3.72, 0.37)\left(e+1,\frac1e\right)\approx(3.72,\,0.37).

אחרי המקסימום הוא יורד. עבור x>2x>2 גם המונה וגם המכנה חיוביים, ולכן הגרף נשאר מעל ציר ה-xx ומתקרב אליו.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה שוב את ציר ה-xx אחרי המקסימום. לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת בלבד, ועבור x>2x>2 היא חיובית.

סעיף ו(1)

תשובה:

מינימום (e+1,−1e)\left(e+1,-\frac1e\right)

הגרף של −f(x)-f(x) הוא שיקוף של הגרף של f(x)f(x) ביחס לציר ה-xx: ה-xx נשאר וה-yy מחליף סימן.

נקודת המקסימום (e+1,1e)\left(e+1,\frac1e\right) עוברת ל-(e+1,−1e)\left(e+1,-\frac1e\right), ובשיקוף מקסימום הופך למינימום.

טעות נפוצה: לשקף ביחס לציר ה-yy ולכתוב (−e−1,1e)\left(-e-1,\frac1e\right). סימן המינוס לפני ff משנה את ה-yy, לא את ה-xx.

סעיף ו(2)

תשובה:

שיקוף של הגרף של ff ביחס לציר ה-xx

משקפים כל נקודה של הסקיצה ביחס לציר ה-xx:

ליד x=1x=1 הגרף של gg עולה ל-+∞+\infty (אותה אסימפטוטה x=1x=1), חותך את ציר ה-xx באותה נקודה (2,0)(2,0), יורד למינימום (e+1,−1e)\left(e+1,-\frac1e\right), ואחר כך עולה ומתקרב לציר ה-xx מלמטה.

טעות נפוצה: להזיז את האסימפטוטה או את נקודת החיתוך. נקודות על ציר ה-xx נשארות במקומן בשיקוף ביחס לציר ה-xx.

סעיף ז

תשובה:

2e≈0.736\frac2e\approx0.736

לשתי הנקודות אותו שיעור xx, ולכן הקטע אנכי ואורכו הוא הפרש שיעורי ה-yy:

1e−(−1e)=2e≈0.736\frac1e-\left(-\frac1e\right)=\frac2e\approx0.736

טעות נפוצה: לחסר 1e−1e=0\frac1e-\frac1e=0 ולשכוח שהנקודה של gg נמצאת מתחת לציר.

שאלה 4 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטח

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−aex−3f(x)=e^{2x}-ae^x-3, aa הוא פרמטר.

א.

ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=0x=0. חשב את aa.

הצב את הערך של aa שמצאת וענה על הסעיפים הבאים:

ב(1).

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)?

ב(2).

מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים.

ב(3).

מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x) (אם יש כאלה), וקבע את סוגן.

ב(4).

לפונקציה f(x)f(x) יש אסימפטוטה אופקית אחת. רשום את משוואתה.

ב(5).

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+3g(x)=f(x)+3. על סמך הסעיפים הקודמים ענה:

ג(1).

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x).

ג(2).

מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x) עם הצירים.

ג(3).

חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה g(x)g(x) ובין הצירים.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

a=2a=2

גוזרים: (e2x)′=2e2x(e^{2x})'=2e^{2x} ו-(aex)′=aex(ae^x)'=ae^x:

f′(x)=2e2x−aexf'(x)=2e^{2x}-ae^x

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת: f′(0)=2e0−ae0=2−a=0f'(0)=2e^0-ae^0=2-a=0, ולכן a=2a=2.

טעות נפוצה: לגזור את e2xe^{2x} כ-e2xe^{2x} (בלי הכפל ב-2), ולקבל a=1a=1.

סעיף ב(1)

תשובה:

כל xx

f(x)=e2x−2ex−3f(x)=e^{2x}-2e^x-3. הפונקציות e2xe^{2x} ו-exe^x מוגדרות לכל xx, וכך גם סכומן.

תחום ההגדרה: כל xx.

טעות נפוצה: לכתוב x>0x>0, כמו בפונקציה לוגריתמית. המעריך של ee יכול להיות כל מספר.

סעיף ב(2)

תשובה:

(ln⁡3,0)(\ln3,0), (0,−4)(0,-4)

ציר ה-yy: f(0)=1−2−3=−4f(0)=1-2-3=-4, הנקודה (0,−4)(0,-4).

ציר ה-xx: e2x−2ex−3=0e^{2x}-2e^x-3=0. מציבים t=ext=e^x (ואז e2x=t2e^{2x}=t^2):

t2−2t−3=0⇒(t−3)(t+1)=0⇒t=3 או t=−1t^2-2t-3=0\quad\Rightarrow\quad(t-3)(t+1)=0\quad\Rightarrow\quad t=3\ \text{או}\ t=-1

ex=−1e^x=-1 אין פתרון (exe^x תמיד חיובי). ex=3⇒x=ln⁡3e^x=3\Rightarrow x=\ln3.

הנקודה (ln⁡3,0)(\ln3,0).

טעות נפוצה: לכתוב גם x=ln⁡(−1)x=\ln(-1) כפתרון, או לשכוח לחזור מ-tt ל-xx ולענות x=3x=3.

סעיף ב(3)

תשובה:

מינימום (0,−4)(0,-4)

f′(x)=2e2x−2ex=2ex(ex−1)f'(x)=2e^{2x}-2e^x=2e^x(e^x-1)

2ex>02e^x>0 תמיד, ולכן f′(x)=0f'(x)=0 רק כש-ex=1e^x=1, כלומר x=0x=0.

סימן הנגזרת לפי ex−1e^x-1: עבור x<0x<0, ex<1e^x<1 והנגזרת שלילית (יורדת); עבור x>0x>0 חיובית (עולה).

לכן (0,−4)(0,-4) נקודת מינימום, והיא היחידה.

טעות נפוצה: לקבוע את הסוג לפי ערך הפונקציה (f(0)=−4f(0)=-4, "נמוך") או לבלבל בין סימני הנגזרת, ולכתוב מקסימום. נגזרת שלילית ואחריה חיובית פירושה ירידה ואחריה עלייה - מינימום.

סעיף ב(4)

תשובה:

y=−3y=-3

כש-x→−∞x\to-\infty: e2x→0e^{2x}\to0 ו-ex→0e^x\to0, ולכן f(x)→−3f(x)\to-3.

(כש-x→∞x\to\infty האיבר e2xe^{2x} שולט והפונקציה שואפת ל-∞\infty - אין שם אסימפטוטה.)

האסימפטוטה: y=−3y=-3.

טעות נפוצה: לחפש את האסימפטוטה כש-x→+∞x\to+\infty ולענות y=0y=0, כמו אצל e−xe^{-x}.

סעיף ב(5)

תשובה:

מתקרבת ל-y=−3y=-3 מלמטה כש-x→−∞x\to-\infty, יורדת עד המינימום (0,−4)(0,-4), עולה וחותכת את ציר ה-xx ב-(ln⁡3,0)(\ln3,0)

משמאל: הגרף צמוד לאסימפטוטה y=−3y=-3. עבור xx שלילי גדול, e2xe^{2x} זניח לעומת −2ex-2e^x, ולכן f(x)<−3f(x)<-3 - הגרף מתחת לאסימפטוטה.

הגרף יורד עד המינימום (0,−4)(0,-4) (שהוא גם נקודת החיתוך עם ציר ה-yy), ואז עולה, חותך את ציר ה-xx ב-(ln⁡3,0)≈(1.1,0)(\ln3,0)\approx(1.1,0) וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף מתקרב לאסימפטוטה מלמעלה. הגרף יורד לעבר המינימום −4-4, ולכן משמאל הוא בין −4-4 ל-−3-3.

סעיף ג(1)

תשובה:

הגרף של ff מוזז 3 יחידות למעלה: אסימפטוטה y=0y=0, מינימום (0,−1)(0,-1)

הוספת 3 מזיזה את כל הגרף 3 יחידות למעלה.

האסימפטוטה y=−3y=-3 עוברת ל-y=0y=0 (ציר ה-xx), והמינימום (0,−4)(0,-4) עובר ל-(0,−1)(0,-1).

הגרף מתקרב לציר ה-xx מלמטה משמאל, יורד עד (0,−1)(0,-1), ואז עולה וחוצה את ציר ה-xx.

טעות נפוצה: להזיז את הגרף 3 יחידות ימינה. הוספת מספר לפונקציה מזיזה אנכית, לא אופקית.

סעיף ג(2)

תשובה:

(ln⁡2,0)(\ln2,0), (0,−1)(0,-1)

g(x)=e2x−2exg(x)=e^{2x}-2e^x. ציר ה-yy: g(0)=1−2=−1g(0)=1-2=-1.

ציר ה-xx: e2x−2ex=0⇒ex(ex−2)=0e^{2x}-2e^x=0\Rightarrow e^x(e^x-2)=0.

ex=0e^x=0 אין פתרון; ex=2⇒x=ln⁡2e^x=2\Rightarrow x=\ln2.

הנקודות: (ln⁡2,0)(\ln2,0) ו-(0,−1)(0,-1).

טעות נפוצה: להזיז גם את נקודת החיתוך עם ציר ה-xx ב-3 ולענות (ln⁡3,3)(\ln3,3). בהזזה אנכית נקודות החיתוך עם ציר ה-xx משתנות לגמרי וצריך לפתור מחדש.

סעיף ג(3)

תשובה:

12\frac12

השטח החסום בין הגרף לשני הצירים נמצא בין x=0x=0 לנקודת החיתוך x=ln⁡2x=\ln2. שם g(x)<0g(x)<0 (הגרף מתחת לציר), ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל:

S=−∫0ln⁡2(e2x−2ex)dx=∫0ln⁡2(2ex−e2x)dx=[2ex−12e2x]0ln⁡2S=-\int_0^{\ln2}\left(e^{2x}-2e^x\right)dx=\int_0^{\ln2}\left(2e^x-e^{2x}\right)dx=\left[2e^x-\frac12e^{2x}\right]_0^{\ln2}

eln⁡2=2e^{\ln2}=2 ו-e2ln⁡2=4e^{2\ln2}=4:

=(4−2)−(2−12)=2−1.5=12=\left(4-2\right)-\left(2-\frac12\right)=2-1.5=\frac12

טעות נפוצה: לכתוב פונקציה קדומה 2e2x2e^{2x} במקום 12e2x\frac12e^{2x} - לכפול ב-2 במקום לחלק.

שאלה 5 · זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת: (ln x)²

בציור שלפניך מוצגים הגרפים של הפונקציה f(x)f(x) ושל פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), הגרפים I, II.

א.

איזה גרף מתאים ל-f(x)f(x) ואיזה גרף מתאים ל-f′(x)f'(x)? נמק.

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−4f(x)=(\ln x)^2-4.

ב(1).

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)?

ב(2).

מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים.

ב(3).

מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבע את סוגה.

ג.

חשב את השטח המוגבל בין גרף הנגזרת f′(x)f'(x), הישר x=ex=e וציר ה-xx.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

I הוא f′(x)f'(x), II הוא f(x)f(x)

בנקודת קיצון של ff הנגזרת מתאפסת, ובתחום שבו ff יורדת הנגזרת שלילית.

לגרף II יש נקודת מינימום אחת. בדיוק שם גרף I חותך את ציר ה-xx.

משמאל למינימום גרף II יורד - ושם גרף I מתחת לציר ה-xx (שלילי). מימין למינימום גרף II עולה - ושם גרף I מעל הציר.

לכן I הוא גרף הנגזרת f′(x)f'(x) ו-II הוא גרף הפונקציה f(x)f(x).

בדיקה הפוכה: לו II היה הנגזרת, ff הייתה צריכה להחליף כיוון בשתי נקודות החיתוך של II עם ציר ה-xx - אבל לגרף I אין קיצון כזה ליד ציר ה-yy.

טעות נפוצה: לבחור את הגרף שעולה בהתחלה כ"פונקציה" ואת הגרף היורד כ"נגזרת" לפי המראה. משווים בין חיתוכי גרף אחד עם ציר ה-xx לבין הקיצונים של הגרף השני.

סעיף ב(1)

תשובה:

x>0x>0

ln⁡x\ln x מוגדר עבור x>0x>0, וההעלאה בריבוע וחיסור 4 לא משנים את התחום.

טעות נפוצה: לכתוב x≥1x\ge1 כי "ln⁡x\ln x צריך להיות אי-שלילי לפני ריבוע". מעלים בריבוע כל מספר, גם שלילי.

סעיף ב(2)

תשובה:

(e−2,0)(e^{-2},0), (e2,0)(e^2,0); אין חיתוך עם ציר ה-yy

(ln⁡x)2−4=0⇒(ln⁡x)2=4⇒ln⁡x=2 או ln⁡x=−2(\ln x)^2-4=0\quad\Rightarrow\quad(\ln x)^2=4\quad\Rightarrow\quad\ln x=2\ \text{או}\ \ln x=-2

x=e2≈7.39x=e^2\approx7.39 או x=e−2≈0.135x=e^{-2}\approx0.135 - שניהם בתחום.

x=0x=0 אינו בתחום, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-yy.

טעות נפוצה: לשכוח את הפתרון ln⁡x=−2\ln x=-2 ולמצוא נקודת חיתוך אחת בלבד.

סעיף ב(3)

תשובה:

מינימום (1,−4)(1,-4)

לפי כלל השרשרת:

f′(x)=2ln⁡x⋅1x=2ln⁡xxf'(x)=2\ln x\cdot\frac1x=\frac{2\ln x}{x}

x>0x>0, ולכן f′(x)=0f'(x)=0 כש-ln⁡x=0\ln x=0, כלומר x=1x=1; f(1)=0−4=−4f(1)=0-4=-4.

עבור 0<x<10<x<1, ln⁡x<0\ln x<0 והנגזרת שלילית; עבור x>1x>1 חיובית - מינימום (1,−4)(1,-4).

טעות נפוצה: לפתור ln⁡x=0\ln x=0 כ-x=0x=0 - נקודה שאינה בתחום - ולהסיק שאין קיצון. ln⁡x=0\ln x=0 פירושו x=e0=1x=e^0=1.

סעיף ג

תשובה:

11

גרף הנגזרת חותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1 (הקיצון של ff). בין x=1x=1 ל-x=ex=e הנגזרת חיובית, ולכן השטח הוא האינטגרל:

S=∫1ef′(x) dxS=\int_1^ef'(x)\,dx

ff היא פונקציה קדומה של f′f', ולכן:

S=f(e)−f(1)=((ln⁡e)2−4)−(0−4)=−3+4=1S=f(e)-f(1)=\left((\ln e)^2-4\right)-\left(0-4\right)=-3+4=1

טעות נפוצה: להתחיל את האינטגרל מ-x=0x=0 (הנגזרת אינה מוגדרת שם) או לחפש פונקציה קדומה חדשה ל-2ln⁡xx\frac{2\ln x}x במקום להשתמש ב-ff.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.