דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

בגרות במתמטיקה 472 - חורף 2022 מועד נבצרים

4 יח"ל · שאלון 035472 · תשפ"ב · 4 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

כאן תמצאו את בחינת הבגרות במתמטיקה בשאלון 472 (4 יח"ל), מועד חורף 2022 מועד נבצרים (תשפ"ב), כל 4 השאלות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מעוין: טענות על מכפלות סקלריות ושטח משולש

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' הבסיס ABCDABCD הוא מעוין.

נתון: אורך צלע המעוין הוא 2, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ, נפח המנסרה הוא 838\sqrt3.

הנקודה EE היא אמצע המקצוע C′D′C'D'.

נסמן: AA′⃗=w‾\vec{AA'}=\underline w, AB→=v‾\overrightarrow{AB}=\underline v, AD→=u‾\overrightarrow{AD}=\underline u.

ABCDA'B'C'D'E
א.

הביעו את B′A⃗\vec{B'A} ו-B′E⃗\vec{B'E} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

לפניכם שלוש טענות (1)-(3). קבעו אילו מהטענות נכונות. נמקו.

(1) u‾⋅v‾=0\underline u\cdot\underline v=0

(2) u‾⋅w‾=0\underline u\cdot\underline w=0

(3) B′A⃗\vec{B'A} מאונך ל-B′E⃗\vec{B'E}.

ג.

חשבו את אורך הגובה של המנסרה.

ד(1).

חשבו את אורך הווקטור B′E⃗\vec{B'E}.

ד(2).

חשבו את שטח המשולש AB′EAB'E.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

B′A⃗=−v‾−w‾\vec{B'A}=-\underline v-\underline w, B′E⃗=u‾−12v‾\vec{B'E}=\underline u-\frac12\underline v

מבטאים כל וקטור כמסלול לאורך מקצועות המנסרה, שכל אחד מהם הוא u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w או חלק מהם.

מ-B′B' יורדים ל-BB (נגד הכיוון של AA′⃗\vec{AA'}) וממשיכים ל-AA (נגד הכיוון של AB→\overrightarrow{AB}):

B′A⃗=B′B⃗+BA→=−w‾−v‾\vec{B'A}=\vec{B'B}+\overrightarrow{BA}=-\underline w-\underline v

מ-B′B' הולכים ל-C′C': B′C′⃗=BC→=AD→=u‾\vec{B'C'}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline u (צלעות נגדיות במעוין מקבילות ושוות).

EE אמצע C′D′C'D', ו-C′D′⃗=CD→=BA→=−v‾\vec{C'D'}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=-\underline v, ולכן C′E⃗=−12v‾\vec{C'E}=-\frac12\underline v:

B′E⃗=B′C′⃗+C′E⃗=u‾−12v‾\vec{B'E}=\vec{B'C'}+\vec{C'E}=\underline u-\frac12\underline v

טעות נפוצה: לכתוב C′E⃗=+12v‾\vec{C'E}=+\frac12\underline v. הכיוון מ-C′C' אל D′D' הפוך לכיוון של AB→\overrightarrow{AB}, ולכן הסימן מינוס.

סעיף ב

תשובה:

(1) אינה נכונה, (2) נכונה, (3) נכונה

(1) הזווית בין u‾\underline u ל-v‾\underline v היא הזווית BADBAD של המעוין:

u‾⋅v‾=∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡60∘=2⋅2⋅12=2≠0\underline u\cdot\underline v=|\underline u|\cdot|\underline v|\cdot\cos60^\circ=2\cdot2\cdot\frac12=2\ne0

הטענה אינה נכונה.

(2) המנסרה ישרה, ולכן המקצוע הצדדי AA′AA' מאונך למישור הבסיס ובפרט ל-ADAD. וקטורים מאונכים - מכפלה סקלרית 0: u‾⋅w‾=0\underline u\cdot\underline w=0. הטענה נכונה.

(3) מחשבים את המכפלה הסקלרית של הווקטורים מסעיף א. באותו אופן גם v‾⋅w‾=0\underline v\cdot\underline w=0, ו-v‾2=∣v‾∣2=4\underline v^2=|\underline v|^2=4:

B′A⃗⋅B′E⃗=(−v‾−w‾)⋅(u‾−12v‾)=−u‾⋅v‾+12v‾2−u‾⋅w‾+12v‾⋅w‾\vec{B'A}\cdot\vec{B'E}=(-\underline v-\underline w)\cdot\left(\underline u-\frac12\underline v\right)=-\underline u\cdot\underline v+\frac12\underline v^2-\underline u\cdot\underline w+\frac12\underline v\cdot\underline w
=−2+12⋅4−0+0=0=-2+\frac12\cdot4-0+0=0

המכפלה הסקלרית 0, ולכן B′A⃗⊥B′E⃗\vec{B'A}\perp\vec{B'E}. הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לקבוע ש-(1) נכונה "כי במנסרה ישרה הכול מאונך". רק המקצוע הצדדי מאונך לבסיס; הזווית בין צלעות המעוין היא 60∘60^\circ.

סעיף ג

תשובה:

4

נפח מנסרה = שטח הבסיס ×\times הגובה.

שטח המעוין לפי שתי צלעות והזווית ביניהן:

SABCD=AB⋅AD⋅sin⁡60∘=2⋅2⋅32=23S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot\sin60^\circ=2\cdot2\cdot\frac{\sqrt3}2=2\sqrt3
23⋅h=83⇒h=42\sqrt3\cdot h=8\sqrt3\quad\Rightarrow\quad h=4

טעות נפוצה: לחשב את שטח המעוין כ-12⋅2⋅2⋅sin⁡60∘=3\frac12\cdot2\cdot2\cdot\sin60^\circ=\sqrt3 (שטח של משולש) ולקבל גובה 8.

סעיף ד(1)

תשובה:

∣B′E⃗∣=3|\vec{B'E}|=\sqrt3

אורך וקטור מחשבים דרך הריבוע הסקלרי שלו: ∣B′E⃗∣2=B′E⃗⋅B′E⃗|\vec{B'E}|^2=\vec{B'E}\cdot\vec{B'E}.

∣B′E⃗∣2=(u‾−12v‾)2=u‾2−u‾⋅v‾+14v‾2=4−2+14⋅4=3|\vec{B'E}|^2=\left(\underline u-\frac12\underline v\right)^2=\underline u^2-\underline u\cdot\underline v+\frac14\underline v^2=4-2+\frac14\cdot4=3
∣B′E⃗∣=3|\vec{B'E}|=\sqrt3

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר המעורב −2⋅12u‾⋅v‾=−u‾⋅v‾-2\cdot\frac12\underline u\cdot\underline v=-\underline u\cdot\underline v (כאילו u‾⊥v‾\underline u\perp\underline v) ולקבל 5\sqrt5.

סעיף ד(2)

תשובה:

SAB′E=15S_{AB'E}=\sqrt{15}

לפי טענה (3) בסעיף ב, B′A⃗⊥B′E⃗\vec{B'A}\perp\vec{B'E}, ולכן המשולש AB′EAB'E ישר-זווית ב-B′B' והניצבים שלו B′AB'A ו-B′EB'E.

אורך B′AB'A: לפי סעיף ג ∣w‾∣=4|\underline w|=4, ו-v‾⋅w‾=0\underline v\cdot\underline w=0:

∣B′A⃗∣2=(−v‾−w‾)2=v‾2+2v‾⋅w‾+w‾2=4+0+16=20⇒∣B′A⃗∣=20|\vec{B'A}|^2=(-\underline v-\underline w)^2=\underline v^2+2\underline v\cdot\underline w+\underline w^2=4+0+16=20\quad\Rightarrow\quad|\vec{B'A}|=\sqrt{20}
SAB′E=12⋅B′A⋅B′E=12⋅20⋅3=1260=15≈3.87S_{AB'E}=\frac12\cdot B'A\cdot B'E=\frac12\cdot\sqrt{20}\cdot\sqrt3=\frac12\sqrt{60}=\sqrt{15}\approx3.87

טעות נפוצה: לקחת את AEAE כאחד הניצבים. הזווית הישרה היא ב-B′B', ולכן AEAE הוא היתר.

שאלה 2 · גדילה ודעיכה: נדבקים בשלושה יישובים

לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף הקורונה לפי ימים בשלושה יישובים.

הפונקציה המתארת את מספר הנדבקים בכל יום ביישוב א' היא G(t)=100⋅(1.2)tG(t)=100\cdot(1.2)^t, וביישוב ב' היא M(t)=10⋅(1.5)tM(t)=10\cdot(1.5)^t.

(ציר אופקי: מספר הימים; ציר אנכי: מספר הנדבקים.)

IIIIII
א.

התאימו לכל אחד מן היישובים א' וב' את גרף הפונקציה מבין הגרפים I-III. נמקו.

ב.

מה היה מספר הנדבקים ביישוב ב' לאחר 8 ימים?

ג.

חשבו לאחר כמה ימים מספר הנדבקים ביישוב א' וביישוב ב' היה שווה.

בזמן הבדיקה הראשונית של יישובים א' וב', ביישוב ג' מספר הנדבקים היה גדול פי 40 ממספר הנדבקים ביישוב ב', לכן הוחלט לתת ביישוב ג' תרופה ניסיונית ומספר הנדבקים קטן באופן מעריכי. לאחר 8 ימים מספר הנדבקים ביישוב ג' היה רבע ממספר הנדבקים ביישוב ב'.

ד.

חשבו בכמה אחוזים ירד מספר הנדבקים בכל יום ביישוב ג'.

ה.

הוחלט לסגור את בתי הספר ביישוב בו מספר הנדבקים יגיע ל-600. האם יסגרו את בתי הספר באחד מן הישובים אלו במהלך 10 הימים מהבדיקה הראשונית? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

יישוב א' - גרף II; יישוב ב' - גרף III

גרף I יורד - זו דעיכה, ושתי הפונקציות GG ו-MM עולות (הבסיסים 1.2 ו-1.5 גדולים מ-1). לכן גרף I אינו של יישוב א' או ב'.

נשארו גרפים II ו-III. משווים את הערך ההתחלתי, t=0t=0 (נקודת החיתוך עם ציר ה-yy):

G(0)=100G(0)=100, M(0)=10M(0)=10. גרף II מתחיל גבוה יותר מגרף III, ולכן גרף II הוא של יישוב א' וגרף III של יישוב ב'.

בדיקה: הבסיס של MM (1.5) גדול מזה של GG (1.2), ולכן גרף III עולה בתלילות רבה יותר ובסוף עוקף את גרף II - כמו בסרטוט.

טעות נפוצה: להתאים לפי הבסיס בלבד ("1.5 גדול יותר, לכן הגרף העליון") ולהחליף בין הגרפים. בתחילת התהליך הגרף העליון הוא זה עם הערך ההתחלתי הגדול.

סעיף ב

תשובה:

M(8)=10⋅1.58≈256M(8)=10\cdot1.5^8\approx256 נדבקים

מציבים t=8t=8 בפונקציה של יישוב ב':

M(8)=10⋅1.58=10⋅25.629≈256M(8)=10\cdot1.5^8=10\cdot25.629\approx256

לאחר 8 ימים היו ביישוב ב' כ-256 נדבקים.

טעות נפוצה: לחשב (10⋅1.5)8=158(10\cdot1.5)^8=15^8. החזקה חלה רק על הבסיס 1.5, ולא על המקדם 10.

סעיף ג

תשובה:

t≈10.32t\approx10.32, כלומר במהלך היום ה-11

משווים בין הפונקציות ומכנסים את החזקות לצד אחד:

100⋅1.2t=10⋅1.5t⇒1.5t1.2t=10010⇒1.25t=10100\cdot1.2^t=10\cdot1.5^t\quad\Rightarrow\quad\frac{1.5^t}{1.2^t}=\frac{100}{10}\quad\Rightarrow\quad1.25^t=10

פותרים בעזרת לוגריתם:

t=ln⁡10ln⁡1.25=2.30260.2231≈10.32t=\frac{\ln10}{\ln1.25}=\frac{2.3026}{0.2231}\approx10.32

מספר הנדבקים השתווה לאחר כ-10.32 ימים, כלומר במהלך היום ה-11.

טעות נפוצה: לחלק את המקדמים בכיוון ההפוך ולקבל 1.25t=0.11.25^t=0.1, ומשם זמן שלילי. מעבירים את החזקות לצד אחד ואת המקדמים לצד השני בזהירות.

סעיף ד

תשובה:

בכ-20.46%

מתרגמים את הנתונים למספרים. "בזמן הבדיקה הראשונית" פירושו t=0t=0:

C(0)=40⋅M(0)=40⋅10=400C(0)=40\cdot M(0)=40\cdot10=400

לאחר 8 ימים - רבע ממספר הנדבקים ביישוב ב' (מסעיף ב):

C(8)=14⋅M(8)=256.294≈64.07C(8)=\frac14\cdot M(8)=\frac{256.29}{4}\approx64.07

בתהליך דעיכה C(t)=C(0)⋅qtC(t)=C(0)\cdot q^t, ולכן:

400⋅q8=64.07⇒q8=0.16018⇒q=0.160188≈0.7954400\cdot q^8=64.07\quad\Rightarrow\quad q^8=0.16018\quad\Rightarrow\quad q=\sqrt[8]{0.16018}\approx0.7954

בכל יום נשאר כ-79.54% מהנדבקים, כלומר מספרם ירד בכ-100%−79.54%=20.46%100\%-79.54\%=20.46\%.

טעות נפוצה: לענות 79.54% - זו המנה (מה שנשאר), לא אחוז הירידה.

סעיף ה

תשובה:

כן - רק ביישוב א' (G(10)≈619G(10)\approx619); ביישוב ב' M(10)≈577M(10)\approx577, וביישוב ג' המספר יורד מ-400

ביישובים א' וב' מספר הנדבקים עולה, ולכן הערך הגדול ביותר בתוך 10 הימים הוא ב-t=10t=10:

G(10)=100⋅1.210≈619≥600,M(10)=10⋅1.510≈577<600G(10)=100\cdot1.2^{10}\approx619\ge600,\qquad M(10)=10\cdot1.5^{10}\approx577<600

ביישוב ג' מספר הנדבקים יורד, ולכן הערך הגדול ביותר הוא בהתחלה: C(0)=400<600C(0)=400<600.

לכן בתי הספר ייסגרו רק ביישוב א' (שם מספר הנדבקים מגיע ל-600 כעבור t=ln⁡6ln⁡1.2≈9.83t=\frac{\ln6}{\ln1.2}\approx9.83 ימים).

טעות נפוצה: לבדוק את יישוב ג' בסוף התקופה בלבד. בתהליך יורד בודקים את תחילת התקופה - שם הערך הגדול ביותר.

שאלה 3 · חקירת פונקציה לוגריתמית עם פרמטר והזזה אופקית

נתונה הפונקציה f(x)=2ln⁡(x2−a)f(x)=2\ln(x^2-a), aa פרמטר חיובי. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) בנקודה x=5x=5 שווה ל-1.25.

א.

מצאו את aa.

הציבו a=9a=9 וענו על הסעיפים הבאים.

ב(1).

רשמו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

ב(2).

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לציר ה-xx של הפונקציה f(x)f(x).

ב(3).

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

ב(4).

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים.

ב(5).

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

נתונה הפונקציה g(x)=f(x−4)g(x)=f(x-4).

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x).

ד.

האם הפונקציה g(x)g(x) זוגית / אי זוגית / או לא זוגית ולא אי זוגית? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

a=9a=9

גוזרים לפי כלל השרשרת: (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\frac{u'}{u}, כאשר u=x2−au=x^2-a:

f′(x)=2⋅2xx2−a=4xx2−af'(x)=2\cdot\frac{2x}{x^2-a}=\frac{4x}{x^2-a}

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בה:

f′(5)=2025−a=1.25⇒25−a=16⇒a=9f'(5)=\frac{20}{25-a}=1.25\quad\Rightarrow\quad25-a=16\quad\Rightarrow\quad a=9

בדיקה: a=9a=9 חיובי, ו-x=5x=5 בתחום (25−9>025-9>0).

טעות נפוצה: לגזור ln⁡(x2−a)\ln(x^2-a) כ-1x2−a\frac1{x^2-a} ולשכוח את הנגזרת הפנימית 2x2x.

סעיף ב(1)

תשובה:

x<−3x<-3 או x>3x>3

הלוגריתם מוגדר רק לביטוי חיובי:

x2−9>0⇒(x−3)(x+3)>0x^2-9>0\quad\Rightarrow\quad(x-3)(x+3)>0

הפרבולה x2−9x^2-9 פתוחה כלפי מעלה ומתאפסת ב-±3\pm3, ולכן חיובית מחוץ לשורשים: x<−3x<-3 או x>3x>3.

טעות נפוצה: לכתוב −3<x<3-3<x<3 - זה התחום שבו הביטוי שלילי.

סעיף ב(2)

תשובה:

x=−3x=-3, x=3x=3

בקצוות התחום x→3+x\to3^+ ו-x→−3−x\to-3^- הביטוי x2−9x^2-9 שואף ל-0+0^+, ולכן ln⁡(x2−9)→−∞\ln(x^2-9)\to-\infty ו-f(x)→−∞f(x)\to-\infty.

האסימפטוטות האנכיות: x=−3x=-3 ו-x=3x=3.

טעות נפוצה: לחפש אסימפטוטה במקום שבו "המכנה מתאפס" ב-ff עצמה. ל-ff אין מכנה; האסימפטוטות נמצאות היכן שהביטוי בתוך ה-ln⁡\ln שואף ל-0.

סעיף ב(3)

תשובה:

עלייה: x>3x>3; ירידה: x<−3x<-3

f′(x)=4xx2−9f'(x)=\frac{4x}{x^2-9}

f′(x)=0f'(x)=0 רק ב-x=0x=0, שאינו בתחום - אין נקודות קיצון.

בתחום ההגדרה המכנה x2−9x^2-9 חיובי, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן 4x4x:

ל-x>3x>3: f′(x)>0f'(x)>0 - עולה. ל-x<−3x<-3: f′(x)<0f'(x)<0 - יורדת.

טעות נפוצה: להכניס את x=0x=0 לטבלת הסימנים ולהכריז על קיצון ב-x=0x=0. הנקודה אינה בתחום ההגדרה.

סעיף ב(4)

תשובה:

(−10,0)(-\sqrt{10},0), (10,0)(\sqrt{10},0); אין חיתוך עם ציר ה-yy

חיתוך עם ציר ה-xx: 2ln⁡(x2−9)=0⇒ln⁡(x2−9)=0⇒x2−9=12\ln(x^2-9)=0\Rightarrow\ln(x^2-9)=0\Rightarrow x^2-9=1:

x2=10⇒x=±10x^2=10\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{10}

שתי הנקודות בתחום (10>3\sqrt{10}>3).

חיתוך עם ציר ה-yy: x=0x=0 אינו בתחום, ולכן אין חיתוך.

טעות נפוצה: לבלבל בין ln⁡u=0\ln u=0 ל-ln⁡u=1\ln u=1, לפתור x2−9=ex^2-9=e ולקבל x=±9+e≈±3.42x=\pm\sqrt{9+e}\approx\pm3.42. ln⁡u=0\ln u=0 כאשר u=1u=1.

סעיף ב(5)

תשובה:

שני ענפים סימטריים לציר ה-yy: משמאל ל-x=−3x=-3 יורד אל −∞-\infty ליד האסימפטוטה, ומימין ל-x=3x=3 עולה מ-−∞-\infty; חותך את ציר ה-xx ב-±10\pm\sqrt{10}

מרכזים את מה שמצאנו: תחום x<−3x<-3 או x>3x>3; אסימפטוטות x=±3x=\pm3 (הגרף יורד בהן ל-−∞-\infty); יורדת ב-x<−3x<-3 ועולה ב-x>3x>3; חיתוכים (±10,0)(\pm\sqrt{10},0).

הענף הימני: עולה מ-−∞-\infty ליד x=3x=3, חוצה את ציר ה-xx ב-10≈3.16\sqrt{10}\approx3.16 וממשיך לעלות. הענף השמאלי הוא תמונת ראי שלו (f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)).

-8-6-4-22468-6-4-22468

טעות נפוצה: לצייר קטע של הגרף בין −3-3 ל-33. שם הפונקציה אינה מוגדרת.

סעיף ג

תשובה:

הגרף של ff מוזז 4 יחידות ימינה: תחום x<1x<1 או x>7x>7, אסימפטוטות x=1x=1, x=7x=7, חיתוכים עם ציר ה-xx ב-4±104\pm\sqrt{10}, וחיתוך עם ציר ה-yy ב-(0,2ln⁡7)(0,2\ln7)

g(x)=f(x−4)g(x)=f(x-4) - הגרף של ff מוזז 4 יחידות ימינה. כל שיעור xx גדל ב-4:

תחום: x−4<−3x-4<-3 או x−4>3x-4>3, כלומר x<1x<1 או x>7x>7. אסימפטוטות: x=1x=1, x=7x=7.

חיתוכים עם ציר ה-xx: x=4±10x=4\pm\sqrt{10}, כלומר בערך 0.840.84 ו-7.167.16.

הפעם x=0x=0 בתחום: g(0)=f(−4)=2ln⁡7≈3.89g(0)=f(-4)=2\ln7\approx3.89 - חיתוך עם ציר ה-yy ב-(0,2ln⁡7)(0,2\ln7).

-4-224681012-6-4-22468

טעות נפוצה: להזיז שמאלה. ב-f(x−4)f(x-4) הגרף זז ימינה: הערך של gg ב-xx הוא הערך של ff ב-x−4x-4.

סעיף ד

תשובה:

לא זוגית ולא אי-זוגית

פונקציה זוגית או אי-זוגית חייבת תחום הגדרה סימטרי ביחס ל-0: אם xx בתחום, גם −x-x.

תחום gg: x<1x<1 או x>7x>7. למשל x=−7x=-7 בתחום, אבל x=7x=7 לא. התחום אינו סימטרי.

לכן gg אינה זוגית ואינה אי-זוגית. (הגרף של gg סימטרי ביחס לישר x=4x=4, לא ביחס לציר ה-yy.)

טעות נפוצה: לענות "זוגית" כי ff זוגית. ההזזה האופקית מעבירה את ציר הסימטריה מ-x=0x=0 ל-x=4x=4.

שאלה 4 · גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: חקירה ושטח

הפונקציות f(x)f(x) ו-f′(x)f'(x) מוגדרות בתחום x≠−2x\neq-2.

לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה-xx בנקודה אחת (a,0)(a,0). aa הוא קבוע.

(a,0)
א.

הביעו באמצעות aa את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

נתון גם כי: f(x)=e2xx+2f(x)=\frac{e^{2x}}{x+2}.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), ורשמו את הערך של aa.

ג.

רשמו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

ד.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ה.

מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-xx של הפונקציה f(x)f(x).

ו.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ז.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), ציר ה-xx וציר ה-yy.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

x=ax=a, מינימום

נקודת קיצון של ff היא נקודה בתחום שבה f′f' מתאפסת ומחליפה סימן.

לפי הסרטוט f′f' מתאפסת רק ב-x=ax=a. משמאל ל-aa (בין האסימפטוטה ל-aa) הגרף של f′f' מתחת לציר ה-xx - ff יורדת; מימין ל-aa הוא מעל הציר - ff עולה.

מעבר מירידה לעלייה - נקודת מינימום ב-x=ax=a.

טעות נפוצה: לזהות את נקודת הקיצון של ff עם נקודת הקיצון של הגרף המסורטט. הגרף הוא של f′f'; קיצון של ff הוא היכן ש-f′f' חותך את ציר ה-xx.

סעיף ב

תשובה:

min⁡(−1.5,2e3)\min\left(-1.5,\frac{2}{e^3}\right), a=−1.5a=-1.5

גוזרים לפי כלל המנה, עם (e2x)′=2e2x(e^{2x})'=2e^{2x}:

f′(x)=2e2x(x+2)−e2x⋅1(x+2)2=e2x(2x+4−1)(x+2)2=e2x(2x+3)(x+2)2f'(x)=\frac{2e^{2x}(x+2)-e^{2x}\cdot1}{(x+2)^2}=\frac{e^{2x}(2x+4-1)}{(x+2)^2}=\frac{e^{2x}(2x+3)}{(x+2)^2}

e2x>0e^{2x}>0 תמיד, ולכן f′(x)=0f'(x)=0 רק כאשר 2x+3=02x+3=0, כלומר x=−1.5x=-1.5. לכן a=−1.5a=-1.5.

f(−1.5)=e−3−1.5+2=e−30.5=2e3≈0.0996f(-1.5)=\frac{e^{-3}}{-1.5+2}=\frac{e^{-3}}{0.5}=\frac{2}{e^3}\approx0.0996

לפי סעיף א זו נקודת מינימום: min⁡(−1.5,2e3)\min\left(-1.5,\frac2{e^3}\right).

טעות נפוצה: לגזור את e2xe^{2x} כ-e2xe^{2x} (בלי הכפל ב-2) ולקבל x+1=0x+1=0, כלומר x=−1x=-1.

סעיף ג

תשובה:

עלייה: x>−1.5x>-1.5; ירידה: x<−2x<-2, −2<x<−1.5-2<x<-1.5

סימן f′f' נקבע לפי 2x+32x+3 (המונה e2xe^{2x} והמכנה (x+2)2(x+2)^2 חיוביים בתחום).

בטבלת הסימנים צריך לכלול גם את x=−2x=-2, שבה ff אינה מוגדרת:

x<−2x<-2: 2x+3<02x+3<0 - יורדת. −2<x<−1.5-2<x<-1.5: 2x+3<02x+3<0 - יורדת. x>−1.5x>-1.5: 2x+3>02x+3>0 - עולה.

עלייה: x>−1.5x>-1.5. ירידה: x<−2x<-2 ו-−2<x<−1.5-2<x<-1.5 (שני תחומים נפרדים).

טעות נפוצה: לכתוב ירידה ב-x<−1.5x<-1.5 כתחום אחד. הפונקציה אינה מוגדרת ב-x=−2x=-2, ולכן אלה שני תחומים נפרדים.

סעיף ד

תשובה:

(0,0.5)(0,0.5); אין חיתוך עם ציר ה-xx

חיתוך עם ציר ה-yy: f(0)=e00+2=12f(0)=\frac{e^0}{0+2}=\frac12 - הנקודה (0,0.5)(0,0.5).

חיתוך עם ציר ה-xx: שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס, אבל e2x>0e^{2x}>0 לכל xx. לכן אין חיתוך עם ציר ה-xx.

טעות נפוצה: לכתוב e0=0e^0=0 ולקבל f(0)=0f(0)=0. e0=1e^0=1.

סעיף ה

תשובה:

x=−2x=-2

המכנה x+2x+2 מתאפס ב-x=−2x=-2, והמונה שם e−4≠0e^{-4}\ne0, ולכן ff שואפת לאינסוף (בערכו המוחלט) - אסימפטוטה אנכית x=−2x=-2.

טעות נפוצה: לחפש אסימפטוטה אנכית היכן ש-e2xe^{2x} "מתאפס". e2xe^{2x} לעולם אינו 0; האסימפטוטה האנכית באה מהמכנה.

סעיף ו

תשובה:

משמאל ל-x=−2x=-2: שלילית, מתקרבת לציר ה-xx מלמטה כש-x→−∞x\to-\infty ויורדת ל-−∞-\infty ליד האסימפטוטה; מימין: יורדת מ-+∞+\infty למינימום (−1.5,2e3)\left(-1.5,\frac2{e^3}\right) ועולה דרך (0,0.5)(0,0.5)

משמאל לאסימפטוטה (x<−2x<-2): המכנה שלילי, ולכן f<0f<0. כש-x→−∞x\to-\infty, e2x→0e^{2x}\to0 ולכן f→0f\to0 מלמטה (ציר ה-xx אסימפטוטה אופקית משמאל). הפונקציה יורדת, ולכן היא צוללת ל-−∞-\infty ליד x=−2x=-2.

מימין לאסימפטוטה: f>0f>0; ליד x=−2x=-2 היא שואפת ל-+∞+\infty, יורדת עד המינימום (−1.5,2e3)\left(-1.5,\frac2{e^3}\right), עולה, חותכת את ציר ה-yy ב-(0,0.5)(0,0.5) וממשיכה לעלות.

-6-5-4-3-2-1-3-2-1123

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מעל ציר ה-xx. משמאל ל-−2-2 המכנה שלילי והמונה חיובי, ולכן הפונקציה שלילית.

סעיף ז

תשובה:

S=0.5−2e3≈0.40S=0.5-\frac{2}{e^3}\approx0.40

השטח הוא בין נקודת החיתוך של f′f' עם ציר ה-xx, x=−1.5x=-1.5, לבין ציר ה-yy, x=0x=0. בקטע הזה f′≥0f'\ge0 (הגרף מעל הציר).

הפונקציה הקדומה של f′f' היא ff, ולכן:

S=∫−1.50f′(x) dx=f(0)−f(−1.5)=12−2e3≈0.40S=\int_{-1.5}^{0}f'(x)\,dx=f(0)-f(-1.5)=\frac12-\frac{2}{e^3}\approx0.40

טעות נפוצה: להציב את הגבולות ב-f′f' במקום ב-ff: f′(0)−f′(−1.5)=34−0=0.75f'(0)-f'(-1.5)=\frac34-0=0.75. הפונקציה הקדומה של f′f' היא ff.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.