דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך - שאלון 472

4 יח"ל · שאלון 035472 · 5 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

כאן תמצאו את המבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך בשאלון 472, כל 5 השאלות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: אורך, זווית ושטח משולש

נתונה מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. ABCDABCD מקבילית. נתון: AB=2AB=2, AD=1AD=1, AA′=4AA'=4, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. הנקודה EE נמצאת על המקצוע DCDC ומחלקת אותו ביחס DE:EC=2:1DE:EC=2:1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′⃗=w‾\vec{AA'}=\underline w.

uvwABCDA'B'C'D'E
א.

הבע את הווקטורים ED′⃗\vec{ED'} ו-EB→\overrightarrow{EB} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב(1).

חשב את u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v.

ב(2).

מצא את אורך הווקטור EB→\overrightarrow{EB}.

ג(1).

חשב את גודל הזווית D′EBD'EB.

ג(2).

חשב את שטח המשולש D′EBD'EB.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

ED′⃗=−23u‾+w‾\vec{ED'}=-\frac23\underline u+\underline w, EB→=13u‾−v‾\overrightarrow{EB}=\frac13\underline u-\underline v

EE על DCDC ו-DE:EC=2:1DE:EC=2:1, ולכן DEDE הוא 23\frac23 מהמקצוע ו-ECEC הוא 13\frac13 ממנו.

במקבילית DC→=AB→=u‾\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\underline u, ולכן DE→=23u‾\overrightarrow{DE}=\frac23\underline u ו-EC→=13u‾\overrightarrow{EC}=\frac13\underline u.

במנסרה כל המקצועות הצדדיים שווים ומקבילים: DD′⃗=AA′⃗=w‾\vec{DD'}=\vec{AA'}=\underline w. במקבילית CB→=DA→=−v‾\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=-\underline v.

ED′⃗\vec{ED'}: מ-EE חוזרים ל-DD ועולים ל-D′D':

ED′⃗=ED→+DD′⃗=−23u‾+w‾\vec{ED'}=\overrightarrow{ED}+\vec{DD'}=-\frac23\underline u+\underline w

EB→\overrightarrow{EB}: מ-EE ממשיכים ל-CC ומשם ל-BB:

EB→=EC→+CB→=13u‾−v‾\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CB}=\frac13\underline u-\underline v

טעות נפוצה: להחליף בין DEDE ל-ECEC (לקחת DE→=13u‾\overrightarrow{DE}=\frac13\underline u) ולקבל ED′⃗=−13u‾+w‾\vec{ED'}=-\frac13\underline u+\underline w ו-EB→=23u‾−v‾\overrightarrow{EB}=\frac23\underline u-\underline v. היחס DE:EC=2:1DE:EC=2:1 אומר ש-DEDE הוא החלק הגדול.

סעיף ב(1)

תשובה:

u‾⋅v‾=1\underline u\cdot\underline v=1

הזווית בין u‾=AB→\underline u=\overrightarrow{AB} ל-v‾=AD→\underline v=\overrightarrow{AD} היא ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ (שני הווקטורים יוצאים מ-AA).

u‾⋅v‾=∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡60∘=2⋅1⋅12=1\underline u\cdot\underline v=|\underline u|\cdot|\underline v|\cdot\cos60^\circ=2\cdot1\cdot\frac12=1

טעות נפוצה: להשתמש בסינוס במקום בקוסינוס ולקבל 2⋅1⋅32=32\cdot1\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.

סעיף ב(2)

תשובה:

∣EB→∣=73≈0.88|\overrightarrow{EB}|=\frac{\sqrt7}{3}\approx0.88

מחשבים את הריבוע הסקלרי של EB→=13u‾−v‾\overrightarrow{EB}=\frac13\underline u-\underline v, עם u‾2=4\underline u^2=4, v‾2=1\underline v^2=1, u‾⋅v‾=1\underline u\cdot\underline v=1:

∣EB→∣2=(13u‾−v‾)2=19u‾2−23u‾⋅v‾+v‾2=49−23+1=79|\overrightarrow{EB}|^2=\left(\frac13\underline u-\underline v\right)^2=\frac19\underline u^2-\frac23\underline u\cdot\underline v+\underline v^2=\frac49-\frac23+1=\frac79
∣EB→∣=79=73≈0.88|\overrightarrow{EB}|=\sqrt{\frac79}=\frac{\sqrt7}{3}\approx0.88

בדיקה: במשולש EBCEBC: EC=23EC=\frac23, BC=1BC=1 והזווית ∠BCD=60∘\angle BCD=60^\circ (זווית נגדית במקבילית), ולפי משפט הקוסינוסים EB2=49+1−2⋅23⋅1⋅12=79EB^2=\frac49+1-2\cdot\frac23\cdot1\cdot\frac12=\frac79.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר האמצעי −2⋅13u‾⋅v‾-2\cdot\frac13\underline u\cdot\underline v (כאילו u‾⊥v‾\underline u\perp\underline v) ולקבל ∣EB→∣2=49+1=139|\overrightarrow{EB}|^2=\frac49+1=\frac{13}{9}, כלומר ∣EB→∣=133≈1.20|\overrightarrow{EB}|=\frac{\sqrt{13}}{3}\approx1.20.

סעיף ג(1)

תשובה:

cos⁡∠D′EB=−1270\cos\angle D'EB=-\frac{1}{2\sqrt{70}}, ∠D′EB≈93.43∘\angle D'EB\approx93.43^\circ

הזווית D′EBD'EB היא הזווית בין שני הווקטורים שיוצאים מ-EE: ED′⃗\vec{ED'} ו-EB→\overrightarrow{EB}.

המנסרה ישרה, ולכן המקצוע הצדדי מאונך לבסיס: w‾⋅u‾=0\underline w\cdot\underline u=0, w‾⋅v‾=0\underline w\cdot\underline v=0. כמו כן w‾2=16\underline w^2=16.

ED′⃗⋅EB→=(−23u‾+w‾)⋅(13u‾−v‾)=−29u‾2+23u‾⋅v‾=−89+23=−29\vec{ED'}\cdot\overrightarrow{EB}=\left(-\frac23\underline u+\underline w\right)\cdot\left(\frac13\underline u-\underline v\right)=-\frac29\underline u^2+\frac23\underline u\cdot\underline v=-\frac89+\frac23=-\frac29
∣ED′⃗∣2=49u‾2+w‾2=169+16=1609⇒∣ED′⃗∣=4103|\vec{ED'}|^2=\frac49\underline u^2+\underline w^2=\frac{16}{9}+16=\frac{160}{9}\quad\Rightarrow\quad|\vec{ED'}|=\frac{4\sqrt{10}}{3}
cos⁡∠D′EB=ED′⃗⋅EB→∣ED′⃗∣⋅∣EB→∣=−294103⋅73=−2470=−1270≈−0.0598\cos\angle D'EB=\frac{\vec{ED'}\cdot\overrightarrow{EB}}{|\vec{ED'}|\cdot|\overrightarrow{EB}|}=\frac{-\frac29}{\frac{4\sqrt{10}}{3}\cdot\frac{\sqrt7}{3}}=\frac{-2}{4\sqrt{70}}=-\frac{1}{2\sqrt{70}}\approx-0.0598

הקוסינוס שלילי, ולכן הזווית קהה: ∠D′EB≈93.43∘\angle D'EB\approx93.43^\circ.

טעות נפוצה: להשמיט גם כאן את u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v (כאילו הבסיס מלבן) ולקבל מכפלה −89-\frac89, cos⁡∠D′EB=−270≈−0.239\cos\angle D'EB=-\frac{2}{\sqrt{70}}\approx-0.239 וזווית של כ-103.83∘103.83^\circ.

סעיף ג(2)

תשובה:

313≈1.86\frac{\sqrt{31}}{3}\approx1.86

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: S=12⋅ED′⋅EB⋅sin⁡∠D′EBS=\frac12\cdot ED'\cdot EB\cdot\sin\angle D'EB.

sin⁡∠D′EB=1−cos⁡2∠D′EB=1−1280=279280\sin\angle D'EB=\sqrt{1-\cos^2\angle D'EB}=\sqrt{1-\frac{1}{280}}=\sqrt{\frac{279}{280}}
S=12⋅4103⋅73⋅279280=2709⋅279280=292794=2799=3319=313≈1.86S=\frac12\cdot\frac{4\sqrt{10}}{3}\cdot\frac{\sqrt7}{3}\cdot\sqrt{\frac{279}{280}}=\frac{2\sqrt{70}}{9}\cdot\sqrt{\frac{279}{280}}=\frac29\sqrt{\frac{279}{4}}=\frac{\sqrt{279}}{9}=\frac{3\sqrt{31}}{9}=\frac{\sqrt{31}}{3}\approx1.86

טעות נפוצה: לשכוח את 12\frac12 בנוסחת השטח ולקבל 2313≈3.71\frac{2\sqrt{31}}{3}\approx3.71 - זה שטח המקבילית שנבנית על שתי הצלעות.

שאלה 2 · שלוש נקודות במרחב: זווית, שטח, ניצבות למישור ונפח פירמידה

נתונות שלוש נקודות: A(1,0,7)A(1,0,7), B(3,2,1)B(3,2,1), C(3,−2,−2)C(3,-2,-2).

ABCD
א.

הראה כי שלוש הנקודות לא נמצאות על ישר אחד.

ב(1).

חשב את גודל הזווית BACBAC.

ב(2).

חשב את שטח המשולש ABCABC.

נתונה נקודה D(−12,5,−3)D(-12,5,-3).

ג(1).

הוכח כי הווקטור BD→\overrightarrow{BD} מאונך למישור ABCABC.

ג(2).

חשב את נפח הפירמידה ABCDABCD.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

AB→=(2,2,−6)\overrightarrow{AB}=(2,2,-6) ו-AC→=(2,−2,−9)\overrightarrow{AC}=(2,-2,-9) אינם קולינאריים

שלוש הנקודות על ישר אחד אם ורק אם AC→=k⋅AB→\overrightarrow{AC}=k\cdot\overrightarrow{AB} עבור מספר kk כלשהו.

AB→=B−A=(2,2,−6),AC→=C−A=(2,−2,−9)\overrightarrow{AB}=B-A=(2,2,-6),\qquad\overrightarrow{AC}=C-A=(2,-2,-9)

מהרכיב הראשון: 2=2k2=2k, כלומר k=1k=1. מהרכיב השני: −2=2k-2=2k, כלומר k=−1k=-1.

אין kk אחד שמתאים לכל הרכיבים, ולכן הווקטורים אינם קולינאריים, והנקודות AA, BB, CC אינן על ישר אחד.

טעות נפוצה: לבדוק רק את הרכיב הראשון (2 בשני הווקטורים), להסיק AC→=AB→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} ולקבוע שהנקודות על ישר אחד. צריך kk אחד שמתאים לשלושת הרכיבים.

סעיף ב(1)

תשובה:

cos⁡∠BAC=5444⋅89≈0.863\cos\angle BAC=\frac{54}{\sqrt{44}\cdot\sqrt{89}}\approx0.863, ∠BAC≈30.35∘\angle BAC\approx30.35^\circ

הזווית BACBAC היא בין שני הווקטורים שיוצאים מ-AA: AB→\overrightarrow{AB} ו-AC→\overrightarrow{AC}.

AB→⋅AC→=2⋅2+2⋅(−2)+(−6)⋅(−9)=4−4+54=54\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot2+2\cdot(-2)+(-6)\cdot(-9)=4-4+54=54
∣AB→∣=4+4+36=44,∣AC→∣=4+4+81=89|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4+4+36}=\sqrt{44},\qquad|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4+4+81}=\sqrt{89}
cos⁡∠BAC=5444⋅89=543916≈0.863⇒∠BAC≈30.35∘\cos\angle BAC=\frac{54}{\sqrt{44}\cdot\sqrt{89}}=\frac{54}{\sqrt{3916}}\approx0.863\quad\Rightarrow\quad\angle BAC\approx30.35^\circ

טעות נפוצה: להשתמש ב-BA→\overrightarrow{BA} במקום ב-AB→\overrightarrow{AB} (וקטור שלא יוצא מקודקוד הזווית). המכפלה יוצאת −54-54 והזווית 149.65∘149.65^\circ - הזווית הצמודה.

סעיף ב(2)

תשובה:

510≈15.815\sqrt{10}\approx15.81

sin⁡∠BAC=1−cos⁡2∠BAC=1−5423916=3916−29163916=10003916\sin\angle BAC=\sqrt{1-\cos^2\angle BAC}=\sqrt{1-\frac{54^2}{3916}}=\sqrt{\frac{3916-2916}{3916}}=\sqrt{\frac{1000}{3916}}
S=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡∠BAC=12⋅3916⋅10003916=121000=510≈15.81S=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\angle BAC=\frac12\cdot\sqrt{3916}\cdot\sqrt{\frac{1000}{3916}}=\frac12\sqrt{1000}=5\sqrt{10}\approx15.81

טעות נפוצה: להציב בנוסחת השטח את הקוסינוס במקום הסינוס: 12⋅44⋅89⋅543916=27\frac12\cdot\sqrt{44}\cdot\sqrt{89}\cdot\frac{54}{\sqrt{3916}}=27.

סעיף ג(1)

תשובה:

BD→⋅AB→=0\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AB}=0 ו-BD→⋅BC→=0\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BC}=0

וקטור מאונך למישור אם הוא מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים במישור. ניקח את AB→\overrightarrow{AB} ואת BC→\overrightarrow{BC} (לפי סעיף א הם לא על ישר אחד).

BD→=D−B=(−15,3,−4),BC→=C−B=(0,−4,−3)\overrightarrow{BD}=D-B=(-15,3,-4),\qquad\overrightarrow{BC}=C-B=(0,-4,-3)
BD→⋅AB→=−15⋅2+3⋅2+(−4)⋅(−6)=−30+6+24=0\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AB}=-15\cdot2+3\cdot2+(-4)\cdot(-6)=-30+6+24=0
BD→⋅BC→=0+3⋅(−4)+(−4)⋅(−3)=−12+12=0\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BC}=0+3\cdot(-4)+(-4)\cdot(-3)=-12+12=0

BD→\overrightarrow{BD} מאונך לשני וקטורים נחתכים במישור ABCABC, ולכן הוא מאונך למישור.

טעות נפוצה: להכפיל את שיעורי הנקודות עצמן במקום את הווקטורים: (−12,5,−3)⋅(3,2,1)=−36+10−3=−29≠0(-12,5,-3)\cdot(3,2,1)=-36+10-3=-29\ne0, ולהסיק בטעות שאין ניצבות.

סעיף ג(2)

תשובה:

2503≈83.33\frac{250}{3}\approx83.33

לפי סעיף ג(1), BDBD מאונך למישור הבסיס ABCABC, ולכן הוא גובה הפירמידה.

∣BD→∣=225+9+16=250=510|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{225+9+16}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}
V=13⋅SABC⋅BD=13⋅510⋅510=2503≈83.33V=\frac13\cdot S_{ABC}\cdot BD=\frac13\cdot5\sqrt{10}\cdot5\sqrt{10}=\frac{250}{3}\approx83.33

טעות נפוצה: לשכוח את 13\frac13 (נוסחת נפח מנסרה) ולקבל 250250.

שאלה 3 · מחיר דירה: עלייה באחוז קבוע ואחריה ירידה באחוז קבוע

יוסי קנה דירה במחיר 1.12 מיליון שקלים. מחיר הדירה עלה באחוז קבוע כל שנה. לאחר 9 שנים מחיר הדירה הגיע ל-1.51 מיליון שקלים. בדיוק באותו זמן חל משבר כלכלי שגרם לירידת ערך הדירה באחוז קבוע בכל שנה. במשך 4 שנים של ירידת ערך הדירה מחיר הדירה ירד בסך הכול ב-15%.

א(1).

מצא את האחוז הקבוע שבו עלה מחיר הדירה מדי שנה במשך 9 שנים לאחר קניית הדירה.

א(2).

חשב את האחוז הקבוע שבו ירד מחיר הדירה מדי שנה מאז שהתחילה הירידה בערך הדירה.

ב.

15 שנים לאחר קניית הדירה יוסי מכר אותה. האם הוא הרוויח או הפסיד לעומת המחיר ששילם עבור הדירה? נמק.

ג.

כמה שנים בערך לאחר קניית הדירה על ידי יוסי ערכה יחזור למחיר המקורי בו הוא קנה אותה?

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א(1)

תשובה:

כ-3.38%3.38\%

נסמן ב-q1q_1 את מנת הגדילה השנתית. אחרי 9 שנים:

1.12⋅q19=1.51⇒q19=1.511.12⇒q1=1.511.129≈1.03381.12\cdot q_1^{9}=1.51\quad\Rightarrow\quad q_1^9=\frac{1.51}{1.12}\quad\Rightarrow\quad q_1=\sqrt[9]{\frac{1.51}{1.12}}\approx1.0338

המחיר עלה בכל שנה בכ-3.38%3.38\%.

טעות נפוצה: לחלק את העלייה הכוללת שווה בשווה בין השנים: 0.391.12≈34.8%\frac{0.39}{1.12}\approx34.8\%, ולחלק ב-9 - מקבלים כ-3.87%3.87\%. באחוז קבוע העלייה מצטברת (ריבית דריבית), ולכן מוציאים שורש תשיעי.

סעיף א(2)

תשובה:

כ-3.98%3.98\%

ירידה כוללת של 15%15\% ב-4 שנים: המחיר אחרי 4 שנים הוא 0.850.85 מהמחיר בתחילת הירידה. נסמן ב-q2q_2 את מנת הדעיכה:

q24=0.85⇒q2=0.854≈0.9602q_2^{4}=0.85\quad\Rightarrow\quad q_2=\sqrt[4]{0.85}\approx0.9602

המחיר ירד בכל שנה בכ-100%−96.02%=3.98%100\%-96.02\%=3.98\%.

טעות נפוצה: לחלק את 15%15\% ב-4 ולענות 3.75%3.75\% - אחוזים לא מתחברים כשכל שנה מחושבת מהמחיר של השנה הקודמת.

סעיף ב

תשובה:

הרוויח: המחיר כ-1.1831.183 מיליון שקלים, יותר מ-1.121.12 מיליון (רווח של כ-63 אלף שקלים)

15 שנים אחרי הקנייה הן 9 שנים של עלייה ועוד 6 שנים של ירידה. הירידה מתחילה מ-1.511.51 מיליון:

1.51⋅q26=1.51⋅0.8564=1.51⋅0.851.5≈1.1831.51\cdot q_2^{6}=1.51\cdot0.85^{\frac64}=1.51\cdot0.85^{1.5}\approx1.183

1.183>1.121.183>1.12, ולכן יוסי הרוויח - כ-6363 אלף שקלים.

טעות נפוצה: להפעיל את הירידה על כל 15 השנים: 1.51⋅q215≈0.8211.51\cdot q_2^{15}\approx0.821 מיליון, ולהסיק שיוסי הפסיד. הירידה נמשכה רק 6 שנים.

סעיף ג

תשובה:

כ-16.3516.35 שנים אחרי הקנייה

נסמן ב-tt את מספר השנים מתחילת הירידה. מחפשים מתי המחיר יחזור ל-1.121.12 מיליון:

1.51⋅q2t=1.12⇒q2t=1.121.51⇒t=ln⁡1.121.51ln⁡q2=4ln⁡1.121.51ln⁡0.85≈7.351.51\cdot q_2^{t}=1.12\quad\Rightarrow\quad q_2^{t}=\frac{1.12}{1.51}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{\ln\frac{1.12}{1.51}}{\ln q_2}=\frac{4\ln\frac{1.12}{1.51}}{\ln0.85}\approx7.35

זה הזמן מתחילת הירידה. מהקנייה: 9+7.35≈16.359+7.35\approx16.35 שנים.

(מתאים לסעיף ב: אחרי 15 שנים המחיר עדיין מעל מחיר הקנייה.)

טעות נפוצה: לענות 7.357.35 שנים - זה הזמן מתחילת הירידה, והשאלה שואלת מקניית הדירה.

שאלה 4 · הפונקציות eˣ ו-4−eˣ: חקירה, חיתוך ושטח עם הצירים

נתונות שתי הפונקציות: f(x)=exf(x)=e^x, g(x)=−ex+4g(x)=-e^x+4.

א(1).

מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x) עם הצירים.

א(2).

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g(x)g(x) (אם יש כאלה).

א(3).

רשום את האסימפטוטות של הפונקציה g(x)g(x) המאונכות לציר ה-yy (אם יש כאלה).

א(4).

מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה g(x)g(x).

ב.

חשב את השיעורים של נקודת החיתוך של שתי הפונקציות f(x)f(x) ו-g(x)g(x).

ג(1).

סרטט באותה מערכת צירים סקיצות של הגרפים של שתי הפונקציות.

ג(2).

חשב את השטח המוגבל על ידי שני הצירים והגרפים של שתי הפונקציות.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א(1)

תשובה:

(0,3)(0,3), (ln⁡4,0)(\ln4,0)

חיתוך עם ציר ה-yy: g(0)=−e0+4=−1+4=3g(0)=-e^0+4=-1+4=3. הנקודה (0,3)(0,3).

חיתוך עם ציר ה-xx:

−ex+4=0⇒ex=4⇒x=ln⁡4-e^x+4=0\quad\Rightarrow\quad e^x=4\quad\Rightarrow\quad x=\ln4

הנקודה (ln⁡4,0)(\ln4,0) (בערך (1.39,0)(1.39,0)).

טעות נפוצה: להציב e0=0e^0=0 ולקבל את הנקודה (0,4)(0,4). כל מספר (חוץ מ-0) בחזקת 0 שווה 1.

סעיף א(2)

תשובה:

יורדת לכל xx; אין תחום עלייה

g′(x)=−exg'(x)=-e^x

ex>0e^x>0 לכל xx, ולכן g′(x)<0g'(x)<0 לכל xx: הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה ואין לה תחום עלייה.

(גם בלי גזירה: gg היא השיקוף של exe^x ביחס לציר ה-xx, מוזז 4 למעלה.)

טעות נפוצה: לגזור את הקבוע 4 כאילו הוא 4 ולקבל g′(x)=4−exg'(x)=4-e^x, שמתאפס ב-x=ln⁡4x=\ln4 - ומכאן "עולה עבור x<ln⁡4x<\ln4 ויורדת עבור x>ln⁡4x>\ln4". הנגזרת של קבוע היא 0.

סעיף א(3)

תשובה:

y=4y=4

אסימפטוטה המאונכת לציר ה-yy היא אסימפטוטה אופקית.

כאשר x→−∞x\to-\infty, ex→0e^x\to0, ולכן g(x)→4g(x)\to4 (מלמטה, כי g(x)=4−ex<4g(x)=4-e^x<4).

כאשר x→∞x\to\infty, ex→∞e^x\to\infty ו-g(x)→−∞g(x)\to-\infty - אין אסימפטוטה בצד הזה.

האסימפטוטה: y=4y=4.

טעות נפוצה: להעתיק את האסימפטוטה של exe^x ולענות y=0y=0 - ההזזה ב-4 מזיזה גם את האסימפטוטה.

סעיף א(4)

תשובה:

חיובית עבור x<ln⁡4x<\ln4, שלילית עבור x>ln⁡4x>\ln4

gg יורדת לכל xx (סעיף א(2)) ומתאפסת רק ב-x=ln⁡4x=\ln4 (סעיף א(1)).

לכן משמאל ל-ln⁡4\ln4 היא חיובית ומימין לו שלילית. (בדיקה: g(0)=3>0g(0)=3>0.)

תחום חיוביות: x<ln⁡4x<\ln4. תחום שליליות: x>ln⁡4x>\ln4.

טעות נפוצה: להפוך את התחומים (חיובית עבור x>ln⁡4x>\ln4) כאילו gg עולה כמו exe^x.

סעיף ב

תשובה:

(ln⁡2,2)(\ln2,2)

ex=−ex+4⇒2ex=4⇒ex=2⇒x=ln⁡2e^x=-e^x+4\quad\Rightarrow\quad2e^x=4\quad\Rightarrow\quad e^x=2\quad\Rightarrow\quad x=\ln2

f(ln⁡2)=eln⁡2=2f(\ln2)=e^{\ln2}=2. נקודת החיתוך: (ln⁡2,2)(\ln2,2).

טעות נפוצה: לא לאסוף את שני האיברים exe^x לאגף אחד, לכתוב ex=4e^x=4 ולקבל את הנקודה (ln⁡4,4)(\ln4,4).

סעיף ג(1)

תשובה:

ff עולה, עוברת ב-(0,1)(0,1) ומתקרבת לציר ה-xx משמאל; gg יורדת, מתקרבת ל-y=4y=4 משמאל, עוברת ב-(0,3)(0,3), (ln⁡2,2)(\ln2,2) ו-(ln⁡4,0)(\ln4,0)

f(x)=exf(x)=e^x: עולה, חיובית, עוברת ב-(0,1)(0,1), ומשמאל מתקרבת לאסימפטוטה y=0y=0.

g(x)g(x): יורדת, מתחת לאסימפטוטה y=4y=4 ומתקרבת אליה משמאל, חותכת את ציר ה-yy ב-(0,3)(0,3) ואת ציר ה-xx ב-(ln⁡4,0)(\ln4,0).

שני הגרפים נחתכים ב-(ln⁡2,2)(\ln2,2): משמאל לנקודה הזו gg מעל ff, ומימינה ff מעל gg.

-3-2-112-112345(0,1)(0,3)(ln2,2)(ln4,0)

טעות נפוצה: לצייר את gg מתקרבת ל-y=4y=4 מלמעלה. g(x)=4−exg(x)=4-e^x תמיד קטנה מ-4.

סעיף ג(2)

תשובה:

4ln⁡2−1≈1.774\ln2-1\approx1.77

התחום: מציר ה-yy (x=0x=0) ועד ציר ה-xx. הגבול העליון שלו הוא הגרף התחתון מבין השניים: מ-x=0x=0 עד x=ln⁡2x=\ln2 - הגרף של ff, ומ-x=ln⁡2x=\ln2 עד x=ln⁡4x=\ln4 - הגרף של gg. הגבול התחתון הוא ציר ה-xx.

S=∫0ln⁡2ex dx+∫ln⁡2ln⁡4(4−ex)dxS=\int_0^{\ln2}e^x\,dx+\int_{\ln2}^{\ln4}\left(4-e^x\right)dx
∫0ln⁡2ex dx=[ex]0ln⁡2=2−1=1\int_0^{\ln2}e^x\,dx=\left[e^x\right]_0^{\ln2}=2-1=1
∫ln⁡2ln⁡4(4−ex)dx=[4x−ex]ln⁡2ln⁡4=(4ln⁡4−4)−(4ln⁡2−2)=4ln⁡2−2\int_{\ln2}^{\ln4}\left(4-e^x\right)dx=\left[4x-e^x\right]_{\ln2}^{\ln4}=(4\ln4-4)-(4\ln2-2)=4\ln2-2
S=1+4ln⁡2−2=4ln⁡2−1≈1.77S=1+4\ln2-2=4\ln2-1\approx1.77

טעות נפוצה: לחשב את השטח בין שני הגרפים מ-00 עד ln⁡2\ln2, ∫0ln⁡2(4−2ex)dx=4ln⁡2−2≈0.77\int_0^{\ln2}(4-2e^x)dx=4\ln2-2\approx0.77 - זה התחום שמוגבל בציר ה-yy ובשני הגרפים בלבד, בלי ציר ה-xx.

שאלה 5 · חקירת ln(x²)/x² וזיהוי גרף הנגזרת

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2)x2f(x)=\frac{\ln(x^2)}{x^2}.

א(1).

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

א(2).

מצא את משוואת האסימפטוטה האנכית של הפונקציה f(x)f(x).

א(3).

מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

א(4).

מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבע את סוגן.

א(5).

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

א(6).

מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x)f(x).

ב.

לפניך ארבעה גרפים (I-IV). איזה מהם הוא הגרף של פונקציית הנגזרת, f′(x)f'(x)? נמק.

I
II
III
IV
◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א(1)

תשובה:

x≠0x\ne0

צריך x2>0x^2>0 (הארגומנט של ln⁡\ln חיובי) וגם x2≠0x^2\ne0 (מכנה). שני התנאים מתקיימים לכל x≠0x\ne0.

תחום ההגדרה: x≠0x\ne0.

טעות נפוצה: לכתוב x>0x>0 כמו ב-ln⁡x\ln x. כאן הארגומנט הוא x2x^2, שחיובי גם עבור xx שלילי.

סעיף א(2)

תשובה:

x=0x=0

כאשר x→0x\to0 (משני הצדדים), x2→0+x^2\to0^+, ולכן ln⁡(x2)→−∞\ln(x^2)\to-\infty והמכנה x2→0+x^2\to0^+.

המנה שואפת ל-−∞-\infty, ולכן x=0x=0 היא אסימפטוטה אנכית (הגרף יורד ל-−∞-\infty משני צדיה).

טעות נפוצה: לחפש אסימפטוטה במקום שבו המונה מתאפס ולענות x=±1x=\pm1 - שם הפונקציה מתאפסת, היא לא שואפת לאינסוף.

סעיף א(3)

תשובה:

(1,0)(1,0), (−1,0)(-1,0); אין חיתוך עם ציר ה-yy

ציר ה-yy: x=0x=0 אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך.

ציר ה-xx: שבר מתאפס כשהמונה מתאפס:

ln⁡(x2)=0⇒x2=1⇒x=±1\ln(x^2)=0\quad\Rightarrow\quad x^2=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm1

הנקודות: (1,0)(1,0) ו-(−1,0)(-1,0).

טעות נפוצה: לפתור x2=1x^2=1 ולקחת רק x=1x=1, ולקבל נקודת חיתוך אחת בלבד.

סעיף א(4)

תשובה:

max⁡(e,1e)\max\left(\sqrt e,\frac1e\right), max⁡(−e,1e)\max\left(-\sqrt e,\frac1e\right)

גוזרים לפי כלל המנה. (ln⁡(x2))′=2xx2=2x\left(\ln(x^2)\right)'=\frac{2x}{x^2}=\frac2x ו-(x2)′=2x\left(x^2\right)'=2x:

f′(x)=2x⋅x2−ln⁡(x2)⋅2xx4=2x(1−ln⁡(x2))x4=2(1−ln⁡(x2))x3f'(x)=\frac{\frac2x\cdot x^2-\ln(x^2)\cdot2x}{x^4}=\frac{2x\left(1-\ln(x^2)\right)}{x^4}=\frac{2\left(1-\ln(x^2)\right)}{x^3}

f′(x)=0f'(x)=0: ln⁡(x2)=1\ln(x^2)=1, כלומר x2=ex^2=e ו-x=±ex=\pm\sqrt e.

טבלת סימנים (הסימן של f′f' תלוי במונה 1−ln⁡(x2)1-\ln(x^2) ובמכנה x3x^3):

עבור x<−ex<-\sqrt e: מונה שלילי, מכנה שלילי - f′>0f'>0 (עולה). עבור −e<x<0-\sqrt e<x<0: מונה חיובי, מכנה שלילי - f′<0f'<0 (יורדת).

עבור 0<x<e0<x<\sqrt e: f′>0f'>0 (עולה). עבור x>ex>\sqrt e: f′<0f'<0 (יורדת).

f(±e)=ln⁡ee=1ef(\pm\sqrt e)=\frac{\ln e}{e}=\frac1e

שתי הנקודות הן מקסימום: (e,1e)\left(\sqrt e,\frac1e\right) ו-(−e,1e)\left(-\sqrt e,\frac1e\right).

טעות נפוצה: לקבוע את הסימן לפי המונה בלבד ולשכוח ש-x3<0x^3<0 עבור x<0x<0 - ואז הנקודה (−e,1e)\left(-\sqrt e,\frac1e\right) מסווגת בטעות כמינימום.

סעיף א(5)

תשובה:

גרף סימטרי לציר ה-yy: יורד ל-−∞-\infty ליד x=0x=0, חותך ב-x=±1x=\pm1, מקסימום 1e\frac1e ב-x=±ex=\pm\sqrt e ושואף ל-0 מלמעלה כש-∣x∣→∞|x|\to\infty

הפונקציה זוגית: f(−x)=ln⁡((−x)2)(−x)2=f(x)f(-x)=\frac{\ln((-x)^2)}{(-x)^2}=f(x), ולכן הגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy.

עבור x>0x>0: מ-−∞-\infty ליד x=0x=0 הגרף עולה, חותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1, מגיע למקסימום (e,1e)\left(\sqrt e,\frac1e\right) ויורד. כאשר x→∞x\to\infty, x2x^2 גדל הרבה יותר מהר מ-ln⁡(x2)\ln(x^2), ולכן f(x)→0f(x)\to0 - מלמעלה, כי עבור x>1x>1 הפונקציה חיובית.

הצד השמאלי הוא שיקוף ביחס לציר ה-yy.

-4-224-1.0-0.50.51.0-11maxmax

טעות נפוצה: לצייר את הגרף עולה ל-+∞+\infty ליד x=0x=0 (כמו 1x2\frac1{x^2}) - המונה ln⁡(x2)\ln(x^2) שלילי מאוד שם, ולכן הגרף יורד ל-−∞-\infty.

סעיף א(6)

תשובה:

חיובית: x<−1x<-1 או x>1x>1; שלילית: −1<x<0-1<x<0 או 0<x<10<x<1

המכנה x2x^2 חיובי בכל התחום, ולכן הסימן של ff הוא הסימן של ln⁡(x2)\ln(x^2).

ln⁡(x2)>0\ln(x^2)>0 כאשר x2>1x^2>1, כלומר x<−1x<-1 או x>1x>1; ln⁡(x2)<0\ln(x^2)<0 כאשר 0<x2<10<x^2<1, כלומר −1<x<0-1<x<0 או 0<x<10<x<1.

טעות נפוצה: לכתוב את תחום השליליות כ-−1<x<1-1<x<1 - הנקודה x=0x=0 אינה בתחום ההגדרה וצריך להוציא אותה.

סעיף ב

תשובה:

גרף IV

לפי סעיף א(4): f′>0f'>0 עבור x<−ex<-\sqrt e ועבור 0<x<e0<x<\sqrt e, ו-f′<0f'<0 עבור −e<x<0-\sqrt e<x<0 ועבור x>ex>\sqrt e; ו-f′f' מתאפסת ב-x=±ex=\pm\sqrt e.

גרפים I ו-II סימטריים ביחס לציר ה-yy, אבל f′(x)=2(1−ln⁡(x2))x3f'(x)=\frac{2(1-\ln(x^2))}{x^3} היא פונקציה אי-זוגית (גרף I הוא בכלל הגרף של ff). נשארו III ו-IV.

ליד x=0x=0 מימין, 1−ln⁡(x2)→+∞1-\ln(x^2)\to+\infty ו-x3→0+x^3\to0^+, ולכן f′→+∞f'\to+\infty; משמאל f′→−∞f'\to-\infty. עבור xx גדול f′<0f'<0 (הפונקציה יורדת אחרי המקסימום).

רק בגרף IV: מימין לציר ה-yy הגרף יורד מ-+∞+\infty, חותך את הציר ונשאר מתחת לו; משמאל - מעל הציר ואחר כך יורד ל-−∞-\infty. התשובה: גרף IV.

טעות נפוצה: לבחור בגרף III, שבו הסימנים הפוכים - f′<0f'<0 בקטע 0<x<e0<x<\sqrt e שבו ff עולה.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.