בגרות במתמטיקה 472 - קיץ 2023 מועד א'

4 יח"ל · שאלון 035472 · תשפ"ג · 3 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

כאן תמצאו את בחינת הבגרות במתמטיקה בשאלון 472 (4 יח"ל), מועד קיץ 2023 מועד א' (תשפ"ג), כל 3 השאלות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · וקטורים בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים: זווית, שטח וניצבות למישור

בפירמידה המשולשת ABCDABCDABCD המקצועות ADADAD, BDBDBD ו-CDCDCD מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה EEE נמצאת על המישור ABCABCABC, ומתקיים: BE→=19BA→+49BC→\overrightarrow{BE}=\frac19\overrightarrow{BA}+\frac49\overrightarrow{BC}BE=91​BA+94​BC. נסמן: DA→=u‾\overrightarrow{DA}=\underline uDA=u​, DB→=v‾\overrightarrow{DB}=\underline vDB=v​, DC→=w‾\overrightarrow{DC}=\underline wDC=w​.
uvwDABCE

א.

הביעו את הווקטורים BA→\overrightarrow{BA}BA, BC→\overrightarrow{BC}BC, DE→\overrightarrow{DE}DE באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

נתון: ∣u‾∣=2|\underline u|=2∣u​∣=2, ∣v‾∣=∣w‾∣=1|\underline v|=|\underline w|=1∣v​∣=∣w​∣=1.

ב(1).

חשבו את אורכי המקצועות BABABA ו-BCBCBC.

ב(2).

חשבו את גודל הזווית ABCABCABC.

ב(3).

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

ג.

הוכיחו כי הווקטור DE→\overrightarrow{DE}DE מאונך למישור ABCABCABC.

ד.

חשבו את נפח הפירמידה ABCDABCDABCD.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

BA→=u‾−v‾\overrightarrow{BA}=\underline u-\underline vBA=u​−v​, BC→=−v‾+w‾\overrightarrow{BC}=-\underline v+\underline wBC=−v​+w​, DE→=19u‾+49v‾+49w‾\overrightarrow{DE}=\frac19\underline u+\frac49\underline v+\frac49\underline wDE=91​u​+94​v​+94​w​

כל וקטור בין שני קודקודים של הבסיס עובר דרך הקודקוד DDD, שממנו יוצאים וקטורי הבסיס.
DB→=v‾\overrightarrow{DB}=\underline vDB=v​, ולכן BD→=−v‾\overrightarrow{BD}=-\underline vBD=−v​.
BA→=BD→+DA→=−v‾+u‾\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=-\underline v+\underline uBA=BD+DA=−v​+u​
BC→=BD→+DC→=−v‾+w‾\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=-\underline v+\underline wBC=BD+DC=−v​+w​
ל-EEE מגיעים מ-DDD דרך BBB, ומציבים את הנתון על BE→\overrightarrow{BE}BE:
DE→=DB→+BE→=v‾+19(u‾−v‾)+49(w‾−v‾)\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BE}=\underline v+\frac19(\underline u-\underline v)+\frac49(\underline w-\underline v)DE=DB+BE=v​+91​(u​−v​)+94​(w​−v​)
מקבצים איברים: המקדם של v‾\underline vv​ הוא 1−19−49=491-\frac19-\frac49=\frac491−91​−94​=94​.
DE→=19u‾+49v‾+49w‾\overrightarrow{DE}=\frac19\underline u+\frac49\underline v+\frac49\underline wDE=91​u​+94​v​+94​w​
טעות נפוצה: לכתוב BD→=v‾\overrightarrow{BD}=\underline vBD=v​ ולקבל BA→=u‾+v‾\overrightarrow{BA}=\underline u+\underline vBA=u​+v​. הווקטור v‾\underline vv​ הוא מ-DDD אל BBB, והכיוון ההפוך מקבל מינוס.

סעיף ב(1)

תשובה:

BA=5BA=\sqrt5BA=5​, BC=2BC=\sqrt2BC=2​

אורך וקטור מחשבים דרך הריבוע הסקלרי שלו. שלושת וקטורי הבסיס מאונכים זה לזה, ולכן כל מכפלה סקלרית מעורבת שלהם היא 0.
∣BA→∣2=(u‾−v‾)2=u‾2−2u‾⋅v‾+v‾2=4−0+1=5|\overrightarrow{BA}|^2=(\underline u-\underline v)^2=\underline u^2-2\underline u\cdot\underline v+\underline v^2=4-0+1=5∣BA∣2=(u​−v​)2=u​2−2u​⋅v​+v​2=4−0+1=5
BA=5BA=\sqrt5BA=5​.
∣BC→∣2=(w‾−v‾)2=w‾2−2v‾⋅w‾+v‾2=1−0+1=2|\overrightarrow{BC}|^2=(\underline w-\underline v)^2=\underline w^2-2\underline v\cdot\underline w+\underline v^2=1-0+1=2∣BC∣2=(w​−v​)2=w​2−2v​⋅w​+v​2=1−0+1=2
BC=2BC=\sqrt2BC=2​.
טעות נפוצה: להציב u‾2=2\underline u^2=2u​2=2 במקום ∣u‾∣2=4|\underline u|^2=4∣u​∣2=4, ולקבל BA=3BA=\sqrt3BA=3​.

סעיף ב(2)

תשובה:

∠ABC≈71.565∘\angle ABC\approx71.565^\circ∠ABC≈71.565∘

הזווית ABCABCABC היא הזווית בין BA→\overrightarrow{BA}BA ל-BC→\overrightarrow{BC}BC (שניהם יוצאים מ-BBB).
BA→⋅BC→=(u‾−v‾)⋅(w‾−v‾)=u‾⋅w‾−u‾⋅v‾−v‾⋅w‾+v‾2=0−0−0+1=1\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(\underline u-\underline v)\cdot(\underline w-\underline v)=\underline u\cdot\underline w-\underline u\cdot\underline v-\underline v\cdot\underline w+\underline v^2=0-0-0+1=1BA⋅BC=(u​−v​)⋅(w​−v​)=u​⋅w​−u​⋅v​−v​⋅w​+v​2=0−0−0+1=1
cos⁡∠ABC=BA→⋅BC→∣BA→∣⋅∣BC→∣=15⋅2=110\cos\angle ABC=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot|\overrightarrow{BC}|}=\frac1{\sqrt5\cdot\sqrt2}=\frac1{\sqrt{10}}cos∠ABC=∣BA∣⋅∣BC∣BA⋅BC​=5​⋅2​1​=10​1​
∠ABC≈71.565∘\angle ABC\approx71.565^\circ∠ABC≈71.565∘.
טעות נפוצה: לכתוב (−v‾)⋅(−v‾)=−1(-\underline v)\cdot(-\underline v)=-1(−v​)⋅(−v​)=−1. מכפלת שני מינוסים היא פלוס, ומכפלה שלילית הייתה נותנת זווית קהה (108.4∘108.4^\circ108.4∘).

סעיף ב(3)

תשובה:

1.5

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: S=12⋅BA⋅BC⋅sin⁡∠ABCS=\frac12\cdot BA\cdot BC\cdot\sin\angle ABCS=21​⋅BA⋅BC⋅sin∠ABC.
מ-cos⁡∠ABC=110\cos\angle ABC=\frac1{\sqrt{10}}cos∠ABC=10​1​ מקבלים sin⁡∠ABC=1−110=310\sin\angle ABC=\sqrt{1-\frac1{10}}=\frac3{\sqrt{10}}sin∠ABC=1−101​​=10​3​.
SABC=12⋅5⋅2⋅310=12⋅3=1.5S_{ABC}=\frac12\cdot\sqrt5\cdot\sqrt2\cdot\frac3{\sqrt{10}}=\frac12\cdot3=1.5SABC​=21​⋅5​⋅2​⋅10​3​=21​⋅3=1.5
טעות נפוצה: לשכוח את ה-12\frac1221​ ולקבל 3 - זה שטח של מקבילית שבנויה על שתי הצלעות.

סעיף ג

תשובה:

הוכחה: DE→⋅BA→=0\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{BA}=0DE⋅BA=0 ו-DE→⋅BC→=0\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{BC}=0DE⋅BC=0

וקטור מאונך למישור אם הוא מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים שבמישור. במישור ABCABCABC נבחר את BA→\overrightarrow{BA}BA ואת BC→\overrightarrow{BC}BC.
DE→⋅BA→=(19u‾+49v‾+49w‾)⋅(u‾−v‾)=19u‾2−49v‾2=49−49=0\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{BA}=\left(\frac19\underline u+\frac49\underline v+\frac49\underline w\right)\cdot(\underline u-\underline v)=\frac19\underline u^2-\frac49\underline v^2=\frac49-\frac49=0DE⋅BA=(91​u​+94​v​+94​w​)⋅(u​−v​)=91​u​2−94​v​2=94​−94​=0
DE→⋅BC→=(19u‾+49v‾+49w‾)⋅(w‾−v‾)=49w‾2−49v‾2=49−49=0\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{BC}=\left(\frac19\underline u+\frac49\underline v+\frac49\underline w\right)\cdot(\underline w-\underline v)=\frac49\underline w^2-\frac49\underline v^2=\frac49-\frac49=0DE⋅BC=(91​u​+94​v​+94​w​)⋅(w​−v​)=94​w​2−94​v​2=94​−94​=0
(כל המכפלות המעורבות הן 0 כי וקטורי הבסיס מאונכים זה לזה.)
DE→\overrightarrow{DE}DE מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים במישור ABCABCABC, ולכן הוא מאונך למישור.
טעות נפוצה: להראות ניצבות לווקטור אחד בלבד במישור. וקטור יכול להיות מאונך לישר אחד במישור בלי להיות מאונך למישור.

סעיף ד

תשובה:

13\frac1331​

בוחרים בסיס וגובה נוחים: הבסיס BCDBCDBCD הוא משולש ישר-זווית ב-DDD (כי DB⊥DCDB\perp DCDB⊥DC), ו-DADADA מאונך גם ל-DBDBDB וגם ל-DCDCDC, ולכן הוא הגובה לבסיס הזה.
SBCD=12⋅DB⋅DC=12⋅1⋅1=12S_{BCD}=\frac12\cdot DB\cdot DC=\frac12\cdot1\cdot1=\frac12SBCD​=21​⋅DB⋅DC=21​⋅1⋅1=21​
V=13⋅SBCD⋅DA=13⋅12⋅2=13V=\frac13\cdot S_{BCD}\cdot DA=\frac13\cdot\frac12\cdot2=\frac13V=31​⋅SBCD​⋅DA=31​⋅21​⋅2=31​
בדיקה בדרך אחרת: ∣DE→∣2=481+1681+1681=49|\overrightarrow{DE}|^2=\frac4{81}+\frac{16}{81}+\frac{16}{81}=\frac49∣DE∣2=814​+8116​+8116​=94​, ולכן V=13⋅1.5⋅23=13V=\frac13\cdot1.5\cdot\frac23=\frac13V=31​⋅1.5⋅32​=31​.
טעות נפוצה: לשכוח את ה-13\frac1331​ של נפח פירמידה ולקבל 1 (זה נפח מנסרה עם אותו בסיס וגובה).

שאלה 2 · גדילה מעריכית: פיקדון והלוואה בבנק

בבנק מסחרי יש שני סוגים של חוב: חוב של הבנק ללקוח (כאשר הלקוח מפקיד כסף בבנק) וחוב של הלקוח לבנק (כאשר הבנק מלווה כסף ללקוח). בבנק מסחרי מסוים, כאשר הבנק חייב כסף ללקוח, הוא משלם ללקוח ריבית בגובה של 1.5% מן החוב בכל שנה. בתחילת שנת 2023 הפקיד דני בבנק 10,000 ₪.
בסרטוט שלפניכם (ציר אופקי: הזמן בשנים; ציר אנכי: החוב בשקלים) מתוארים שני גרפים, I ו-II, שמשמשים בסעיף ד.
III

א.

איזו מבין הפונקציות 1-4 מתארת את גובה החוב של הבנק לדני לפי השנים (t)(t)(t)?
(1) f(t)=10,000⋅1.015tf(t)=10{,}000\cdot1.015^tf(t)=10,000⋅1.015t  (2) f(t)=10,150⋅1.02tf(t)=10{,}150\cdot1.02^tf(t)=10,150⋅1.02t  (3) f(t)=10,150⋅2tf(t)=10{,}150\cdot2^tf(t)=10,150⋅2t  (4) f(t)=10,000⋅1.5tf(t)=10{,}000\cdot1.5^tf(t)=10,000⋅1.5t

ב.

כמה כסף יהיה הבנק חייב לדני כעבור 20 שנה מן היום שבו הפקיד דני את הכסף?

כאשר הבנק הזה מלווה כסף ללקוח, הוא גובה ממנו ריבית של 15% מגובה החוב בכל שנה. בתחילת שנת 2023 לוותה יעל 1,000 ₪ מן הבנק.

ג.

מצאו את הפונקציה g(t)g(t)g(t) המתארת את גובה החוב של יעל לבנק לפי השנים (t)(t)(t).

ד.

בסרטוט שבגזע השאלה מתוארים הגרפים של הפונקציה f(t)f(t)f(t) ושל הפונקציה g(t)g(t)g(t). איזו פונקציה מתאר גרף II? נמקו.

בתחילת כל שנה הבנק מברר את המאזן שלו: כמה כסף לקוחותיו חייבים לו, וכמה כסף הוא חייב ללקוחותיו.

ה.

בתחילתה של איזו שנה יגלה הבנק שהחוב שלו לדני קטן מן החוב של יעל לבנק?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

פונקציה (1): f(t)=10,000⋅1.015tf(t)=10{,}000\cdot1.015^tf(t)=10,000⋅1.015t

בתהליך גדילה באחוז קבוע: f(t)=f(0)⋅qtf(t)=f(0)\cdot q^tf(t)=f(0)⋅qt, כאשר f(0)f(0)f(0) הכמות בהתחלה ו-q=1+p100q=1+\frac p{100}q=1+100p​.
בהתחלה (ב-t=0t=0t=0) החוב לדני הוא הסכום שהפקיד: 10,000. זה פוסל את (2) ואת (3), שבהן f(0)=10,150f(0)=10{,}150f(0)=10,150.
הריבית 1.5% בשנה, ולכן q=1+1.5100=1.015q=1+\frac{1.5}{100}=1.015q=1+1001.5​=1.015. זה פוסל את (4), שבה q=1.5q=1.5q=1.5 (גדילה של 50% בשנה).
התשובה: (1).
טעות נפוצה: לבחור ב-(4) - לתרגם 1.5% ל-q=1.5q=1.5q=1.5. מנת הגדילה היא 1+0.0151+0.0151+0.015, ולא 1.51.51.5.

סעיף ב

תשובה:

13,468.5513{,}468.5513,468.55 ₪

מציבים t=20t=20t=20 בפונקציה מסעיף א:
f(20)=10,000⋅1.01520≈10,000⋅1.346855=13,468.55f(20)=10{,}000\cdot1.015^{20}\approx10{,}000\cdot1.346855=13{,}468.55f(20)=10,000⋅1.01520≈10,000⋅1.346855=13,468.55
טעות נפוצה: לחשב ריבית פשוטה: 10,000⋅(1+20⋅0.015)=13,00010{,}000\cdot(1+20\cdot0.015)=13{,}00010,000⋅(1+20⋅0.015)=13,000. הריבית מתווספת לחוב בכל שנה, ובשנה הבאה מחושבת גם עליה.

סעיף ג

תשובה:

g(t)=1,000⋅1.15tg(t)=1{,}000\cdot1.15^tg(t)=1,000⋅1.15t

החוב ההתחלתי הוא 1,000, והוא גדל ב-15% בכל שנה: q=1+15100=1.15q=1+\frac{15}{100}=1.15q=1+10015​=1.15.
g(t)=1,000⋅1.15tg(t)=1{,}000\cdot1.15^tg(t)=1,000⋅1.15t
טעות נפוצה: לכתוב g(t)=1,000⋅0.15tg(t)=1{,}000\cdot0.15^tg(t)=1,000⋅0.15t. מנה קטנה מ-1 מתארת דעיכה, אבל החוב גדל.

סעיף ד

תשובה:

גרף II מתאר את f(t)=10,000⋅1.015tf(t)=10{,}000\cdot1.015^tf(t)=10,000⋅1.015t

משווים את שתי הפונקציות בשתי תכונות: נקודת ההתחלה וקצב הגדילה.
נקודת החיתוך עם ציר החוב: f(0)=10,000f(0)=10{,}000f(0)=10,000 ו-g(0)=1,000g(0)=1{,}000g(0)=1,000. גרף II מתחיל גבוה יותר.
קצב הגדילה: למנה של ggg (1.151.151.15) יש גדילה מהירה בהרבה מלמנה של fff (1.0151.0151.015). גרף II עולה במתינות, וגרף I עולה בתלילות.
לכן גרף II מתאר את f(t)f(t)f(t), וגרף I את g(t)g(t)g(t).
טעות נפוצה: לבחור לפי מי שגבוה יותר בסוף הסרטוט. אחרי נקודת החיתוך ggg גבוהה מ-fff, ולכן צריך להשוות בנקודת ההתחלה ובקצב העלייה.

סעיף ה

תשובה:

בתחילת שנת 2042

מחפשים את ה-ttt שבו f(t)<g(t)f(t)<g(t)f(t)<g(t):
10,000⋅1.015t<1,000⋅1.15t10{,}000\cdot1.015^t<1{,}000\cdot1.15^t10,000⋅1.015t<1,000⋅1.15t
מחלקים ב-1,000⋅1.015t1{,}000\cdot1.015^t1,000⋅1.015t (מספר חיובי, כיוון אי-השוויון נשמר):
10<(1.151.015)t10<\left(\frac{1.15}{1.015}\right)^t10<(1.0151.15​)t
מוציאים ln⁡\lnln משני האגפים (ln⁡\lnln פונקציה עולה):
t>ln⁡10ln⁡1.151.015≈2.30260.12487≈18.44t>\frac{\ln10}{\ln\frac{1.15}{1.015}}\approx\frac{2.3026}{0.12487}\approx18.44t>ln1.0151.15​ln10​≈0.124872.3026​≈18.44
הבנק בודק רק בתחילת כל שנה, כלומר ב-ttt שלם. ה-ttt השלם הראשון שגדול מ-18.44 הוא 19.
2023+19=20422023+19=20422023+19=2042: בתחילת שנת 2042.
טעות נפוצה: לעגל את 18.44 ל-18 ולענות 2041. ב-t=18t=18t=18 החוב לדני עדיין גדול יותר; צריך את השלם הראשון שאחרי 18.44.

שאלה 3 · חקירת פונקציה מעריכית, נקודת חיתוך עם e^3x ושטח

נתונה הפונקציה f(x)=ex⋅(ex−6)2f(x)=e^x\cdot(e^x-6)^2f(x)=ex⋅(ex−6)2, המוגדרת לכל xxx.

א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

הראו כי מתקיים: f(x)=e3x−12e2x+36exf(x)=e^{3x}-12e^{2x}+36e^xf(x)=e3x−12e2x+36ex.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

נתונה הפונקציה g(x)=e3xg(x)=e^{3x}g(x)=e3x, העולה לכל xxx.

ה(1).

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ה(2).

באותה מערכת צירים שבה סרטטתם את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) בקו מקווקו.

ה(3).

מצאו את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x), על ידי הגרף של הפונקציה g(x)g(x)g(x) ועל ידי ציר ה-yyy.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

(ln⁡6,0)(\ln6,0)(ln6,0), (0,25)(0,25)(0,25)

חיתוך עם ציר ה-yyy: מציבים x=0x=0x=0: f(0)=e0⋅(1−6)2=1⋅25=25f(0)=e^0\cdot(1-6)^2=1\cdot25=25f(0)=e0⋅(1−6)2=1⋅25=25. הנקודה (0,25)(0,25)(0,25).
חיתוך עם ציר ה-xxx: ex⋅(ex−6)2=0e^x\cdot(e^x-6)^2=0ex⋅(ex−6)2=0. מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים 0.
ex>0e^x>0ex>0 לכל xxx, ולכן נשאר (ex−6)2=0(e^x-6)^2=0(ex−6)2=0, כלומר ex=6e^x=6ex=6, x=ln⁡6x=\ln6x=ln6. הנקודה (ln⁡6,0)(\ln6,0)(ln6,0).
טעות נפוצה: לכתוב גם ex=0⇒x=0e^x=0\Rightarrow x=0ex=0⇒x=0. ל-exe^xex אין אפסים; e0=1e^0=1e0=1.

סעיף ב

תשובה:

(ex−6)2=e2x−12ex+36(e^x-6)^2=e^{2x}-12e^x+36(ex−6)2=e2x−12ex+36, ואחרי כפל ב-exe^xex: e3x−12e2x+36exe^{3x}-12e^{2x}+36e^xe3x−12e2x+36ex

פותחים את הריבוע לפי (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2(a−b)2=a2−2ab+b2 עם a=exa=e^xa=ex, b=6b=6b=6:
(ex−6)2=(ex)2−2⋅6⋅ex+36=e2x−12ex+36(e^x-6)^2=(e^x)^2-2\cdot6\cdot e^x+36=e^{2x}-12e^x+36(ex−6)2=(ex)2−2⋅6⋅ex+36=e2x−12ex+36
כופלים ב-exe^xex לפי ex⋅ekx=e(k+1)xe^x\cdot e^{kx}=e^{(k+1)x}ex⋅ekx=e(k+1)x:
f(x)=ex(e2x−12ex+36)=e3x−12e2x+36exf(x)=e^x\left(e^{2x}-12e^x+36\right)=e^{3x}-12e^{2x}+36e^xf(x)=ex(e2x−12ex+36)=e3x−12e2x+36ex
טעות נפוצה: לכתוב (ex)2=ex2(e^x)^2=e^{x^2}(ex)2=ex2. חזקה של חזקה: (ex)2=e2x(e^x)^2=e^{2x}(ex)2=e2x.

סעיף ג

תשובה:

מקסימום (ln⁡2,32)(\ln2,32)(ln2,32), מינימום (ln⁡6,0)(\ln6,0)(ln6,0)

גוזרים את הצורה מסעיף ב, לפי (ekx)′=kekx(e^{kx})'=ke^{kx}(ekx)′=kekx:
f′(x)=3e3x−24e2x+36ex=3ex(e2x−8ex+12)f'(x)=3e^{3x}-24e^{2x}+36e^x=3e^x\left(e^{2x}-8e^x+12\right)f′(x)=3e3x−24e2x+36ex=3ex(e2x−8ex+12)
f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0: 3ex>03e^x>03ex>0, ולכן e2x−8ex+12=0e^{2x}-8e^x+12=0e2x−8ex+12=0. מציבים t=ext=e^xt=ex: t2−8t+12=0t^2-8t+12=0t2−8t+12=0, כלומר t=2t=2t=2 או t=6t=6t=6.
ex=2⇒x=ln⁡2e^x=2\Rightarrow x=\ln2ex=2⇒x=ln2; ex=6⇒x=ln⁡6e^x=6\Rightarrow x=\ln6ex=6⇒x=ln6.
סימן הנגזרת: f′(x)=3ex(ex−2)(ex−6)f'(x)=3e^x(e^x-2)(e^x-6)f′(x)=3ex(ex−2)(ex−6). עבור x<ln⁡2x<\ln2x<ln2 שני הסוגריים שליליים: f′>0f'>0f′>0. בין ln⁡2\ln2ln2 ל-ln⁡6\ln6ln6: f′<0f'<0f′<0. אחרי ln⁡6\ln6ln6: f′>0f'>0f′>0.
לכן ב-x=ln⁡2x=\ln2x=ln2 מקסימום וב-x=ln⁡6x=\ln6x=ln6 מינימום.
f(ln⁡2)=eln⁡2⋅(eln⁡2−6)2=2⋅(−4)2=32f(\ln2)=e^{\ln2}\cdot(e^{\ln2}-6)^2=2\cdot(-4)^2=32f(ln2)=eln2⋅(eln2−6)2=2⋅(−4)2=32, f(ln⁡6)=0f(\ln6)=0f(ln6)=0.
טעות נפוצה: לפתור t2−8t+12=0t^2-8t+12=0t2−8t+12=0 ולהציב את t=2t=2t=2 במקום xxx. צריך לחזור מ-ttt ל-xxx: x=ln⁡tx=\ln tx=lnt.

סעיף ד

תשובה:

סקיצה: מתקרבת ל-0 מלמעלה כש-x→−∞x\to-\inftyx→−∞, עולה עד (ln⁡2,32)(\ln2,32)(ln2,32), יורדת עד (ln⁡6,0)(\ln6,0)(ln6,0) ומשיקה שם לציר ה-xxx, ואז עולה לאינסוף

אוספים את הנתונים: f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0 לכל xxx (מכפלה של ex>0e^x>0ex>0 בריבוע).
כש-x→−∞x\to-\inftyx→−∞: ex→0e^x\to0ex→0 ו-(ex−6)2→36(e^x-6)^2\to36(ex−6)2→36, ולכן f(x)→0f(x)\to0f(x)→0 - אסימפטוטה אופקית y=0y=0y=0, והגרף מעליה.
הגרף עולה עד המקסימום (ln⁡2,32)(\ln2,32)(ln2,32) (בדרך עובר ב-(0,25)(0,25)(0,25)), יורד עד המינימום (ln⁡6,0)(\ln6,0)(ln6,0) - שם הוא נוגע בציר ה-xxx - ואחר כך עולה לאינסוף.
טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה את ציר ה-xxx ב-ln⁡6\ln6ln6. זה שורש כפול: הגרף רק נוגע בציר ונשאר מעליו.

סעיף ה(1)

תשובה:

(ln⁡3,27)(\ln3,27)(ln3,27)

משווים, בצורה מסעיף ב: e3x−12e2x+36ex=e3xe^{3x}-12e^{2x}+36e^x=e^{3x}e3x−12e2x+36ex=e3x.
e3xe^{3x}e3x מצטמצם: −12e2x+36ex=0-12e^{2x}+36e^x=0−12e2x+36ex=0, כלומר 12ex(3−ex)=012e^x(3-e^x)=012ex(3−ex)=0.
ex≠0e^x\ne0ex=0, ולכן ex=3e^x=3ex=3, x=ln⁡3x=\ln3x=ln3, ו-g(ln⁡3)=e3ln⁡3=33=27g(\ln3)=e^{3\ln3}=3^3=27g(ln3)=e3ln3=33=27.
טעות נפוצה: לחשב e3ln⁡3=3⋅3=9e^{3\ln3}=3\cdot3=9e3ln3=3⋅3=9. e3ln⁡3=(eln⁡3)3=27e^{3\ln3}=\left(e^{\ln3}\right)^3=27e3ln3=(eln3)3=27.

סעיף ה(2)

תשובה:

סקיצה: ggg עולה מ-0 (אסימפטוטה y=0y=0y=0), עוברת ב-(0,1)(0,1)(0,1), מתחת ל-fff עד x=ln⁡3x=\ln3x=ln3 ומעליה אחר כך

g(x)=e3xg(x)=e^{3x}g(x)=e3x: חיובית, עולה, g(0)=1g(0)=1g(0)=1, ו-g(x)→0g(x)\to0g(x)→0 כש-x→−∞x\to-\inftyx→−∞.
יש נקודת חיתוך אחת עם fff: (ln⁡3,27)(\ln3,27)(ln3,27). לשמאלה f−g=12ex(3−ex)>0f-g=12e^x(3-e^x)>0f−g=12ex(3−ex)>0, כלומר ggg מתחת ל-fff; לימינה ggg מעל fff.
טעות נפוצה: לצייר את ggg חותכת את fff שוב ליד המינימום (ln⁡6,0)(\ln6,0)(ln6,0). אחרי ln⁡3\ln3ln3 ההפרש f−gf-gf−g שלילי כל הזמן, ולכן אין חיתוך נוסף.

סעיף ה(3)

תשובה:

24

השטח הוא בין x=0x=0x=0 (ציר ה-yyy) לבין נקודת החיתוך x=ln⁡3x=\ln3x=ln3, ובתחום הזה fff מעל ggg.
S=∫0ln⁡3(f(x)−g(x))dx=∫0ln⁡3(36ex−12e2x)dx=[36ex−6e2x]0ln⁡3S=\int_0^{\ln3}\left(f(x)-g(x)\right)dx=\int_0^{\ln3}\left(36e^x-12e^{2x}\right)dx=\left[36e^x-6e^{2x}\right]_0^{\ln3}S=∫0ln3​(f(x)−g(x))dx=∫0ln3​(36ex−12e2x)dx=[36ex−6e2x]0ln3​
eln⁡3=3e^{\ln3}=3eln3=3 ו-e2ln⁡3=9e^{2\ln3}=9e2ln3=9:
S=(36⋅3−6⋅9)−(36−6)=54−30=24S=(36\cdot3-6\cdot9)-(36-6)=54-30=24S=(36⋅3−6⋅9)−(36−6)=54−30=24
טעות נפוצה: לכתוב ∫12e2xdx=24e2x\int12e^{2x}dx=24e^{2x}∫12e2xdx=24e2x (לכפול ב-2 במקום לחלק). הקדומה של e2xe^{2x}e2x היא 12e2x\frac12e^{2x}21​e2x.

שאלה 1 · וקטורים בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים: זווית, שטח וניצבות למישור

סעיף א

סעיף ב(1)

סעיף ב(2)

סעיף ב(3)

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 2 · גדילה מעריכית: פיקדון והלוואה בבנק

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 3 · חקירת פונקציה מעריכית, נקודת חיתוך עם e3x ושטח

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה(1)

סעיף ה(2)

סעיף ה(3)

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד

שאלה 3 · חקירת פונקציה מעריכית, נקודת חיתוך עם e^3x ושטח