בגרות במתמטיקה 472 - קיץ 2023 מועד ב'

נפח תיבה = אורך × רוחב × גובה. נסמן את הגובה $DD'=h$:

$D'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$z$, במרחק 8 מהראשית, ולכן $D'(0,0,8)$.

טעות נפוצה: לכתוב $D'(8,0,0)$. $D'$ נמצא על ציר ה-$z$, ולכן רק השיעור השלישי שלו שונה מ-0.

$A$ על ציר ה-$x$ במרחק $AD=2$ מהראשית: $A(2,0,0)$.

$C$ על ציר ה-$y$ במרחק $DC=5$: $C(0,5,0)$.

$B$ הוא הקודקוד הרביעי של הבסיס $ABCD$ (מלבן במישור $xy$): $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$, ולכן $B(2,5,0)$.

$C'$ נמצא בדיוק מעל $C$, בגובה 8: $C'(0,5,8)$.

טעות נפוצה: לבלבל בין $C'$ ל-$B'$ ולכתוב $C'(2,5,8)$. $C'$ נמצא מעל $C$, ושיעור ה-$x$ של $C$ הוא 0.

$\vec{CC'}=(0,0,8)$, ולכן:

$F$ אמצע $DD'$: ממוצע השיעורים של $D(0,0,0)$ ו-$D'(0,0,8)$, כלומר $F(0,0,4)$.

אלכסוני מלבן חוצים זה את זה, ולכן $K$ הוא אמצע האלכסון $BC'$:

טעות נפוצה: לחשב את $E$ כ-$\frac34$ מהדרך מ-$C'$ אל $C$ ולקבל $E(0,5,2)$. היחס נמדד מ-$C$.

הזווית $FEK$ היא הזווית בין הווקטורים $\overrightarrow{EF}$ ו-$\overrightarrow{EK}$ - שניהם יוצאים מהקודקוד $E$.

טעות נפוצה: לקחת את $\overrightarrow{FE}$ במקום $\overrightarrow{EF}$ (וקטור אחד בכיוון הפוך). המכפלה הסקלרית מחליפה סימן ומתקבלת הזווית המשלימה, $109.4^\circ$.

שטח מקבילית = מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית ביניהן.

טעות נפוצה: להכפיל בחצי, כמו בשטח משולש. $\frac12ab\sin\gamma$ הוא שטח המשולש $FEK$ - חצי מהמקבילית.

במקבילית $FEKM$ הצלעות הנגדיות $FM$ ו-$EK$ שוות ומקבילות, ובאותו כיוון לפי סדר הקודקודים: $\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{EK}$.

בדיקה: שיעור ה-$y$ של $M$ הוא 0, כלומר $M$ על המישור של הפאה $AA'D'D$, כנדרש.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{KE}$ (סדר קודקודים הפוך) ולקבל $M(-1,0,6)$ - נקודה מחוץ לתיבה.

שלוש נקודות על ישר אחד אם שני וקטורים ביניהן מקבילים (אחד כפולה של השני) ויש להם נקודה משותפת.

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MF}$ - הווקטורים מקבילים, והנקודה $M$ משותפת לשניהם, ולכן $A$, $M$, $F$ על ישר אחד (ו-$M$ היא אמצע $AF$).

טעות נפוצה: להסתפק בכך ששלוש הנקודות נמצאות על אותה פאה. שלוש נקודות על מישור אחד אינן בהכרח על ישר אחד.

האלכסון $FK$ מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים, ולכן $S_{FMK}=\frac12S_{FEKM}$.

לפי ד(2), $M$ אמצע $AF$. במשולש $AFK$ הקטע $KM$ הוא תיכון, והתיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח (בסיסים שווים $AM=MF$ ואותו גובה מ-$K$):

ולכן שטח המקבילית גדול פי 2 משטח המשולש $AMK$.

טעות נפוצה: לחשב את שטח $AMK$ מחדש עם וקטורים ולשכוח את ה-$\frac12$ בנוסחת שטח המשולש - ואז מתקבל יחס 1.

ריבית שנתית של 1.45% פירושה שבכל שנה החוב מוכפל ב-$q=1+\frac{1.45}{100}=1.0145$.

החוב אחרי $t$ שנים: $M(t)=M_0\cdot q^t$. אחרי שנתיים:

טעות נפוצה: לחשב ריבית פשוטה, $1{,}000{,}000\cdot(1+2\cdot0.0145)=1{,}029{,}000$, ולשכוח שבשנה השנייה משלמים ריבית גם על הריבית של השנה הראשונה.

מנת הגדילה $q=1.0145$ היא ליחידת זמן של שנה, ולכן את הזמן מבטאים בשנים: 3 חודשים הם $\frac3{12}=\frac14$ שנה.

טעות נפוצה: להציב $t=3$ (חודשים) בנוסחה שבה $q$ שנתית, או לחלק את הריבית ל-4 ולחשב $1{,}000{,}000\cdot1.003625=1{,}003{,}625$.

נסמן ב-$t$ את משך ההלוואה בשנים:

מוציאים לוגריתם משני האגפים:

משך ההלוואה: 3.5 שנים (שלוש שנים וחצי).

טעות נפוצה: לחלק את הסכומים ($2{,}103{,}353.05:2{,}000{,}000$) ואז לחלק את התוצאה ב-1.0145 במקום להוציא לוגריתם - המעריך $t$ לא נעלם בחילוק.

נסמן את סכום ההלוואה ב-$A$. במסלול 1 החוב מוכפל בשנה הראשונה ב-1.01 ובשנה השנייה ב-1.022:

במסלול 2 המנה $q$ קבועה: $A\cdot q^2$. משווים:

(הסכום $A$ מצטמצם, ולכן התשובה לא תלויה בגובה ההלוואה; $q>0$.) הריבית השנתית במסלול 2: כ-1.6%.

טעות נפוצה: לעצור ב-$q^2=1.03222$ ולענות שהריבית היא 3.222%. זו הגדילה בשנתיים יחד; הריבית השנתית מתקבלת רק אחרי הוצאת שורש.

$f$ היא מכפלה של פולינום, שמוגדר לכל $x$, בפונקציה $e^{5-x}$, שמוגדרת לכל $x$ (המעריך יכול להיות כל מספר).

אין מכנה ואין לוגריתם, ולכן תחום ההגדרה: כל $x$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$e^{5-x}$ מוגדרת רק כאשר $5-x>0$ ולענות $x<5$ - הגבלה כזאת שייכת ל-$\ln$, לא לחזקה.

עם ציר ה-$y$: $f(0)=27\cdot e^5$, הנקודה $(0,27e^5)\approx(0,4007.2)$.

עם ציר ה-$x$: $(2x^2-15x+27)e^{5-x}=0$. הגורם $e^{5-x}$ חיובי תמיד, ולכן:

$x=3$ או $x=4.5$: הנקודות $(3,0)$, $(4.5,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(0)=27$ ולשכוח את $e^{5-0}=e^5$.

גוזרים לפי כלל המכפלה. הנגזרת של $e^{5-x}$ היא $-e^{5-x}$ (כלל השרשרת: הנגזרת של המעריך היא $-1$):

$e^{5-x}>0$, ולכן $f'(x)=0$ רק כאשר:

סימן $f'$ הוא סימן הטרינום $-2x^2+19x-42$ (פרבולה "בוכה"):

- $x<3.5$: $f'<0$ (יורדת)

- $3.5<x<6$: $f'>0$ (עולה)

- $x>6$: $f'<0$ (יורדת)

מינימום $(3.5,-e^{1.5})$, מקסימום $\left(6,\frac9e\right)$.

טעות נפוצה: לגזור את $e^{5-x}$ כ-$e^{5-x}$ (בלי המינוס). מקבלים $f'=(2x^2-11x+12)e^{5-x}$ ונקודות קיצון שגויות ב-$x=1.5$ וב-$x=4$.

מאחדים את תוצאות הסעיפים הקודמים ומוסיפים את ההתנהגות בקצוות:

•כאשר $x\to\infty$: $e^{5-x}\to0$ מהר יותר מש-$2x^2-15x+27$ גדל, ולכן $f(x)\to0$. אחרי $x=4.5$ הפונקציה חיובית, ולכן הגרף מתקרב לציר ה-$x$ מלמעלה (אסימפטוטה $y=0$ מימין).

•כאשר $x\to-\infty$: שני הגורמים גדלים, ולכן $f(x)\to\infty$.

משמאל לימין: ירידה מאינסוף דרך $(0,27e^5)$ ו-$(3,0)$ עד המינימום $(3.5,-4.48)$, עלייה דרך $(4.5,0)$ עד המקסימום $(6,3.31)$, ואחר כך ירידה ושאיפה ל-0.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ אחרי המקסימום. ל-$f$ יש רק שני אפסים, 3 ו-4.5, ולכן אחרי 6 הגרף נשאר מעל הציר.

מסעיף ב(2): $f'<0$ כאשר $x<3.5$, $f'>0$ כאשר $3.5<x<6$, ו-$f'<0$ כאשר $x>6$.

כלומר גרף הנגזרת נמצא מתחת לציר ה-$x$, עולה מעליו (בין 3.5 ל-6) וחוזר מתחת לציר.

בגרפים I ו-III הסדר הפוך: מעל הציר, מתחת לו ושוב מעליו. רק גרף II מתאים.

טעות נפוצה: לבחור גרף שדומה לגרף של $f$ עצמה (יורד, עולה, יורד) - צריך להשוות את סימן הנגזרת, לא את צורת הפונקציה.

$f(x)<0$ בין האפסים: $3<x<4.5$ (הטרינום $2x^2-15x+27$ שלילי בין שורשיו, ו-$e^{5-x}>0$).

$f'(x)<0$ בתחומי הירידה: $x<3.5$ או $x>6$.

שני התנאים יחד - החיתוך של התחומים: $3<x<3.5$.

טעות נפוצה: לאחד את התחומים ("או") במקום לחתוך אותם ("וגם").

גרף $f'$ חותך את ציר ה-$x$ רק ב-$x=3.5$ וב-$x=6$. משמאל ל-3.5 ומימין ל-6 התחום בין הגרף לציר אינו סגור, ולכן השטח המוגבל הוא בין 3.5 ל-6, שם $f'>0$.

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$, ולכן:

טעות נפוצה: לחשב $f(6)-f(3.5)$ ולשכוח שהערך $f(3.5)$ שלילי - ולקבל $\frac9e-e^{1.5}\approx-1.17$.

$\ln x$ מוגדר רק כאשר $x>0$.

המכנה $4x$ צריך להיות שונה מ-0: $x\ne0$ - מתקיים כבר כאשר $x>0$.

תחום ההגדרה: $x>0$.

טעות נפוצה: לענות $x\ne0$ בגלל המכנה ולשכוח את הדרישה של $\ln x$.

שבר מתאפס כאשר המונה מתאפס: $(\ln x)^2=0$, כלומר $\ln x=0$, ולכן $x=e^0=1$.

$x=1$ בתחום ההגדרה. הנקודה: $(1,0)$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=0$ ולקבל $x=0$ - הלוגריתם מתאפס ב-$x=1$, ו-$x=0$ בכלל לא בתחום.

כלל המנה. במונה $(\ln x)^2$, ולפי כלל השרשרת הנגזרת שלו $2\ln x\cdot\frac1x$:

המכנה חיובי, ולכן $f'(x)=0$ כאשר $\ln x=0$ ($x=1$) או $\ln x=2$ ($x=e^2$).

הסימן כסימן $\ln x\,(2-\ln x)$:

- $0<x<1$: $\ln x<0$, $2-\ln x>0$: $f'<0$ (יורדת)

- $1<x<e^2$: שני הגורמים חיוביים: $f'>0$ (עולה)

- $x>e^2$: $\ln x>0$, $2-\ln x<0$: $f'<0$ (יורדת)

$f(1)=0$ - מינימום. $f(e^2)=\frac{2^2}{4e^2}=\frac1{e^2}$ - מקסימום.

טעות נפוצה: לגזור את $(\ln x)^2$ כ-$2\ln x$ בלי הכפל ב-$\frac1x$ (כלל השרשרת). המונה יוצא $4\ln x\,(2x-\ln x)$, ולמשוואה $2x=\ln x$ אין פתרון - כך "נעלם" המקסימום.

התנהגות $f$ בקצוות:

•כאשר $x\to0^+$: $(\ln x)^2\to\infty$ והמכנה $4x\to0^+$, ולכן $f\to+\infty$ - אסימפטוטה אנכית $x=0$.

•כאשר $x\to\infty$: $(\ln x)^2$ גדל לאט בהרבה מ-$4x$, ולכן $f\to0$; $f\ge0$, ולכן מלמעלה.

$f$: יורדת מאינסוף אל המינימום $(1,0)$ (נוגעת בציר), עולה למקסימום $\left(e^2,\frac1{e^2}\right)\approx(7.39,0.135)$, ויורדת לאט אל ציר ה-$x$.

$g(x)=-f(x)$: כל נקודה $(x,y)$ עוברת ל-$(x,-y)$ - שיקוף ביחס לציר ה-$x$. ל-$g$ מקסימום $(1,0)$, מינימום $\left(e^2,-\frac1{e^2}\right)$, והיא שואפת ל-$-\infty$ כאשר $x\to0^+$.

טעות נפוצה: לשקף ביחס לציר ה-$y$ (לצייר את $g$ בצד השלילי של ציר ה-$x$) - הסימן מינוס לפני $f$ משנה את ערכי $y$, לא את $x$.

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת, כלומר שיפוע המשיק הוא 0 - המשיק אופקי.

הוא עובר דרך $\left(e^2,\frac1{e^2}\right)$, ולכן משוואתו $y=\frac1{e^2}$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=e^2$ - זה ישר אנכי, ואילו משיק בנקודת קיצון הוא אופקי.

השטח $S$ כלוא בין גרף $f$ לבין הישר $y=\frac1{e^2}$.

שיקוף ביחס לציר ה-$x$ מעביר את גרף $f$ לגרף $g$, ואת הישר $y=\frac1{e^2}$ לישר $y=-\frac1{e^2}$ (שהוא המשיק לגרף $g$ בנקודת המינימום שלו).

שיקוף שומר על צורה ושטח, ולכן השטח המוגבל על ידי גרף $g$ והישר $y=-\frac1{e^2}$ שווה ל-$S$: $c=-\frac1{e^2}$.

טעות נפוצה: לענות $c=0$, מתוך מחשבה שציר ה-$x$ (ציר השיקוף) הוא תמונת המשיק. בין גרף $g$ לציר ה-$x$ אין שטח חסום: מימין ל-1 הגרף שואף ל-0 ואינו חוזר אל הציר. השיקוף מעביר את המשיק $y=\frac1{e^2}$ אל $y=-\frac1{e^2}$.