בגרות במתמטיקה 472 - חורף 2024

הכמויות השבועיות גדלות במספר קבוע, ולכן הן סדרה חשבונית: $a_1=900$, מספר האיברים $n=50$, והסכום $S_{50}=167500$. הנעלם הוא ההפרש $d$.

נוסחת הסכום של סדרה חשבונית:

מציבים:

בכל שבוע ייצרו 100 מחשבים יותר מבשבוע שלפניו.

טעות נפוצה: להציב $50d$ במקום $49d$ (בין השבוע הראשון לשבוע ה-50 יש 49 הוספות של $d$), ולקבל $d=98$.

כל חודש גדול פי $q$ מקודמו, ולכן הכמויות החודשיות הן סדרה הנדסית עם מנה $q$.

מהחודש ה-4 לחודש ה-7 כופלים 3 פעמים ב-$q$:

מהחודש הראשון לחודש ה-4 כופלים 3 פעמים ב-$q$, ולכן:

בחודש הראשון נמכרו 20 מחשבים.

טעות נפוצה: לכתוב $a_7=a_4\cdot q^4$ (לספור את החודשים 4 עד 7 כארבעה צעדים) ולקבל $q^4=8$, מנה שאינה מספר שלם.

איבר אמצעי בסדרה סופית הוא איבר שמספר האיברים לפניו שווה למספר האיברים אחריו.

לפני החודש ה-7 יש 6 חודשים (1 עד 6), ולכן גם אחריו יש 6 חודשים (8 עד 13).

המכירה נמשכה 13 חודשים.

טעות נפוצה: לחשב $2\cdot7=14$ חודשים, כלומר לספור את החודש האמצעי פעמיים.

מספר המחשבים שנמכרו הוא סכום 13 האיברים הראשונים של הסדרה ההנדסית, עם $a_1=20$ ו-$q=2$ (סעיפים ב ו-ג):

מספר המחשבים שייצרו הוא 167,500 (נתון), ולכן מספר המחשבים שלא נמכרו:

טעות נפוצה: לחשב $2^{13}=8192$ ולשכוח להחסיר 1, ולקבל $S_{13}=163840$ ו-3,660 מחשבים.

הבסיס מעוין, ולכן $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline v$, ומכאן $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\underline u+\underline v$.

$E$ אמצע $SC$. וקטור מ-$A$ אל אמצע קטע הוא ממוצע הווקטורים מ-$A$ אל קצות הקטע:

עכשיו הולכים מ-$E$ חזרה ל-$A$ וממשיכים לקודקוד המבוקש:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}$ (חיבור במקום חיסור). הווקטור מ-$E$ ל-$B$ הוא $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}$, כי צריך קודם "לחזור" מ-$E$ ל-$A$.

נסמן $|\underline u|=a$. מתרגמים את הנתונים למכפלות סקלריות:

במעוין כל הצלעות שוות: $|\underline v|=|\underline u|=a$, ולפי הנתון גם $|\underline w|=a$.

$AS$ מאונך לבסיס, ולכן מאונך ל-$AB$ ול-$AD$: $\underline u\cdot\underline w=0$, $\underline v\cdot\underline w=0$.

$\underline u\cdot\underline v=a\cdot a\cdot\cos60^\circ=\frac12a^2$.

נוציא $\frac12$ מכל וקטור ונסמן $\underline p=\underline u-\underline v$. אז $\overrightarrow{EB}=\frac12(\underline p-\underline w)$ ו-$\overrightarrow{ED}=\frac12(-\underline p-\underline w)$:

(האיברים המעורבים $\underline p\cdot\underline w$ מתבטלים זה מול זה.)

ולכן $\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{ED}=\frac14\left(a^2-a^2\right)=0$, כלומר $\overrightarrow{EB}\perp\overrightarrow{ED}$.

טעות נפוצה: להציב גם $\underline u\cdot\underline v=0$ כאילו הבסיס ריבוע. הזווית בבסיס היא $60^\circ$, ורק המכפלות עם $\underline w$ מתאפסות.

$\overrightarrow{AB}=(2\sqrt3,2,0)$, ולכן:

הבסיס נמצא במישור $xy$ (שלושת הקודקודים $A$, $B$, $D$ הם בעלי $z=0$). $AS$ מאונך לבסיס ויוצא מהראשית, ולכן $S$ נמצא על ציר ה-$z$: $S(0,0,z)$.

לפי סעיף ב $|\underline w|=|\underline u|=4$, ושיעור ה-$z$ חיובי, ולכן $S(0,0,4)$.

טעות נפוצה: לבחור $S(0,0,-4)$, או לחשב את $AB$ כ-$2\sqrt3+2$ (סכום השיעורים במקום שורש סכום הריבועים).

$AS$ מאונך לבסיס, ולכן הוא גובה הפירמידה: $h=4$.

שטח המעוין (מקבילית) לפי שתי צלעות והזווית ביניהן:

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ בנוסחת נפח הפירמידה (זה נפח מנסרה), או לחשב את שטח המעוין כ-$\frac12\cdot4\cdot4\cdot\sin60^\circ$ - זה שטח משולש, חצי מהמעוין.

קצב הפשרה מהיר יותר פירושו שהמשקל קטן מהר יותר, כלומר הגרף יורד בתלילות רבה יותר.

בסרטוט גרף I מתחיל גבוה יותר, אבל יורד מהר יותר: הוא חותך את גרף II ומשם והלאה נמצא מתחתיו.

אילו גרף I היה יורד לאט יותר מגרף II, הוא היה נשאר מעליו כל הזמן והגרפים לא היו נפגשים. לכן גרף I מתאים לקרחון שקצב הפשרתו מהיר יותר.

טעות נפוצה: לבחור בגרף II כי "הוא נמוך יותר בסוף התקופה" או כי הוא מתחיל נמוך - גובה הגרף בנקודה מסוימת אינו קצב; קובעת התלילות, וזה מה שגורם לגרפים להיחתך.

בפונקציה $a\cdot q^t$ המקדם $a$ הוא הכמות ההתחלתית (ב-$t=0$), והמנה $q$ קובעת את קצב הדעיכה: ככל ש-$q$ קטן יותר, הדעיכה מהירה יותר.

$g$ מתחילה גבוה יותר, וגם $0.91<0.96$, כלומר $g$ דועכת מהר יותר (9% בשנה לעומת 4%).

גרף I מתחיל גבוה יותר ויורד מהר יותר, ולכן $g(t)$ מתוארת על ידי גרף I ו-$f(t)$ על ידי גרף II.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$0.96$ "גדול יותר ולכן מאבד יותר". המנה $0.96$ פירושה שנשארים 96% מהמשקל בכל שנה - איבוד של 4% בלבד.

מציבים $t=7$ בשתי הפונקציות:

$5.26>5.17$, ולכן לאחר 7 שנים המשקל של קרחון A היה גדול יותר.

טעות נפוצה: לעגל את החזקות מוקדם מדי (למשל $0.91^7\approx0.53$) - ההפרש בין המשקלים קטן, ועיגול גס הופך את התשובה.

משווים את שתי הפונקציות:

מחלקים את שני האגפים ב-$7\cdot0.91^t$ (חיובי), כדי לקבל חזקה אחת:

מוציאים לוגריתם משני האגפים:

המשקלים היו שווים לאחר כ-6.668 שנים (וזה מתאים לסעיף ג: לאחר 7 שנים A כבר כבד יותר).

טעות נפוצה: לחלק את המקדמים בכיוון הלא נכון ולקבל $\left(\frac{0.96}{0.91}\right)^t=\frac{7}{10}$ - משוואה שפתרונה שלילי.

נסמן ב-$N_0$ את מספר כלבי הים בתחילת המדידות וב-$q$ את מנת הגדילה השנתית. לאחר 10 שנים: $N_0\cdot q^{10}$.

(הכמות ההתחלתית מצטמצמת - לא צריך לדעת אותה.)

מנה של 1.0414 פירושה גדילה של כ-4.14% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחלק את הגדילה הכוללת (50%) ב-10 ולקבל 5% בשנה. הגדילה מצטברת בכפל, ולכן מוציאים שורש עשירי ולא מחלקים.

הקשר בין פונקציה לנגזרת שלה: היכן ש-$f(x)$ עולה, $f'(x)>0$ (הגרף שלה מעל ציר ה-$x$); היכן ש-$f(x)$ יורדת, $f'(x)<0$; ובנקודת קיצון של $f(x)$ הנגזרת מתאפסת.

נבדוק את גרף II כ"פונקציה": הוא עולה עד נקודת המקסימום שלו, יורד עד הנקודה שבה הוא נוגע בציר ה-$x$, ואחר כך עולה.

גרף I חיובי בתחום שבו גרף II עולה, חותך את ציר ה-$x$ בדיוק מתחת לשתי נקודות הקיצון של גרף II, ושלילי בקטע שבו גרף II יורד.

הבדיקה ההפוכה נכשלת: גרף II אי-שלילי בכל מקום, ולכן אילו הוא היה הנגזרת, הפונקציה הייתה עולה תמיד - אבל לגרף I יש קטע ירידה.

לכן גרף I הוא $f'(x)$, וגרף II הוא $f(x)$.

טעות נפוצה: לחפש את הנגזרת לפי "מי מבין הגרפים נמוך יותר" או לפי צורת הגרף. מה שקובע הוא ההתאמה בין נקודות הקיצון של גרף אחד לנקודות האפס של הגרף השני, ובין עלייה/ירידה לסימן.

$(x-4)^2$ הוא פולינום - מוגדר לכל $x$.

$e^{x-3}$ מוגדרת לכל $x$ (המעריך יכול להיות כל מספר).

מכפלה של שתי פונקציות שמוגדרות לכל $x$ מוגדרת לכל $x$, ואין כאן מכנה או שורש.

תחום ההגדרה: כל $x$.

טעות נפוצה: לדרוש $x-3>0$ כאילו מדובר ב-$\ln(x-3)$. בפונקציה מעריכית אין הגבלה על המעריך.

חיתוך עם ציר ה-$x$: פותרים $f(x)=0$.

$e^{x-3}>0$ לכל $x$ ולכן לא מתאפס. נשאר $(x-4)^2=0$, כלומר $x=4$. הנקודה: $(4,0)$.

חיתוך עם ציר ה-$y$: מציבים $x=0$:

הנקודה: $\left(0,\frac{16}{e^3}\right)$.

טעות נפוצה: לכתוב $e^{-3}=-e^3$ ולקבל נקודה מתחת לציר ה-$x$. חזקה שלילית היא שבר: $e^{-3}=\frac1{e^3}$.

גוזרים לפי כלל המכפלה. $\left[(x-4)^2\right]'=2(x-4)$ ו-$\left(e^{x-3}\right)'=e^{x-3}$:

מוציאים גורם משותף $(x-4)e^{x-3}$:

$f'(x)=0$: הגורם $e^{x-3}$ אינו מתאפס, ולכן $x=4$ או $x=2$.

לפי גרף II (גרף הפונקציה, סעיף א): הנקודה השמאלית היא מקסימום והנקודה הימנית, שבה הגרף נוגע בציר ה-$x$, היא מינימום.

נקודות הקיצון: $\max\left(2,\frac4e\right)$, $\min(4,0)$.

טעות נפוצה: לגזור את $(x-4)^2\cdot e^{x-3}$ כמכפלת הנגזרות, $2(x-4)\cdot e^{x-3}$. כך מתקבלת נקודת קיצון אחת בלבד ($x=4$) ומאבדים את המקסימום.

גרף הנגזרת (גרף I) חותך את ציר ה-$x$ ב-$x=2$ וב-$x=4$. משמאל הוא רק מתקרב לציר ומימין הוא עולה, ולכן השטח הסגור היחיד הוא בין $x=2$ ל-$x=4$, ושם $f'(x)<0$ (הפונקציה יורדת).

הפונקציה הקדומה של $f'(x)$ היא $f(x)$ עצמה, ולכן אין צורך לחשב אינטגרל של מכפלה:

השטח נמצא מתחת לציר ה-$x$, ולכן השטח הוא הערך המוחלט:

טעות נפוצה: להשאיר את התוצאה $-\frac4e$ כשטח. שטח הוא תמיד חיובי - כשהגרף מתחת לציר לוקחים את הערך המוחלט של האינטגרל.

הגרף של $g(x)=-f'(x)$ הוא שיקוף של גרף $f'(x)$ ביחס לציר ה-$x$.

הגרפים נחתכים כאשר $f'(x)=-f'(x)$, כלומר $f'(x)=0$: ב-$x=2$ וב-$x=4$. ביניהם $f'(x)<0$ ו-$g(x)>0$.

השטח בין שני הגרפים בקטע הזה מורכב משני חלקים שווים: החלק שבין $f'(x)$ לציר ה-$x$ (סעיף ג) והחלק שבין ציר ה-$x$ ל-$g(x)$, שהוא השיקוף שלו.

טעות נפוצה: לחשוב שהשטח בין הגרף לשיקופו שווה לשטח מסעיף ג. השיקוף מוסיף שטח שווה מהצד השני של ציר ה-$x$, ולכן השטח כפול.

שני תנאים: הביטוי שבתוך $\ln$ חיובי, והמכנה אינו אפס.

$\ln(x)$ מוגדר רק עבור $x>0$.

המכנה מתאפס כאשר:

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\neq e^{-\frac12}$ (בערך $0.607$).

טעות נפוצה: לפתור $2\ln x+1=0$ כ-$x=-\frac12$, כלומר לשכוח שהנעלם נמצא בתוך $\ln$. מ-$\ln x=-\frac12$ עוברים לחזקה: $x=e^{-\frac12}$.

שבר שווה 0 רק כשהמונה שווה 0: $3x^2=0$, כלומר $x=0$.

אבל $x=0$ אינו בתחום ההגדרה ($x>0$).

לכן אין לפונקציה אפסים, והגרף לא חותך את ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לענות "כן, בנקודה $(0,0)$" בלי לבדוק את תחום ההגדרה. $x=0$ נפסל בגלל $\ln$.

אסימפטוטה אנכית יכולה להיות במקום שבו המכנה מתאפס והמונה אינו מתאפס.

המכנה מתאפס ב-$x=e^{-\frac12}$, ושם המונה $3e^{-1}\neq0$.

לכן כשמתקרבים ל-$x=e^{-\frac12}$, $|f(x)|$ גדל לאינסוף: האסימפטוטה היא $x=e^{-\frac12}$.

ב-$x=0$ אין אסימפטוטה: כש-$x\to0^+$ המונה שואף ל-0 והמכנה ל-$-\infty$, ולכן $f(x)\to0$.

טעות נפוצה: להוסיף את $x=0$ כאסימפטוטה בגלל $\ln$. במקרה הזה $f(x)$ שואפת ל-0 ליד $x=0$ ולא לאינסוף.

גוזרים לפי כלל המנה. $(3x^2)'=6x$ ו-$(2\ln x+1)'=\frac2x$:

$f'(x)=0$: $12x\ln x=0$, כלומר $x=0$ (לא בתחום) או $\ln x=0$, $x=1$.

המכנה ו-$12x$ חיוביים בתחום, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $\ln x$. בטבלה כוללים גם את נקודת אי-ההגדרה $x=e^{-\frac12}$:

נקודת הקיצון: $\min(1,3)$.

טעות נפוצה: לכתוב $\left(3x^2\cdot\frac1{2\ln x+1}\right)'$ כמנת הנגזרות $\frac{6x}{2/x}$. במנה חייבים את כלל המנה.

מטבלת הסימנים של סעיף ב:

$f'(x)>0$ כש-$x>1$ (שם $\ln x>0$) - עלייה.

$f'(x)<0$ כש-$0<x<1$, חוץ מהנקודה $x=e^{-\frac12}$ שאינה בתחום - ירידה בשני קטעים נפרדים.

עלייה: $x>1$. ירידה: $0<x<e^{-\frac12}$ וגם $e^{-\frac12}<x<1$.

טעות נפוצה: לכתוב ירידה ב-$0<x<1$ כקטע אחד. הפונקציה לא מוגדרת ב-$x=e^{-\frac12}$, ולכן אלה שני תחומי ירידה נפרדים.

סימן הפונקציה: המונה $3x^2$ חיובי. בקטע $0<x<e^{-\frac12}$ המכנה שלילי ($\ln x<-\frac12$), ולכן $f(x)<0$; מימין לאסימפטוטה $f(x)>0$.

גרפים II ו-IV חיוביים משמאל לאסימפטוטה - נפסלים.

מימין לאסימפטוטה יש לפונקציה מינימום $(1,3)$ (מעל ציר ה-$x$). בגרף I הענף הימני מתחת לציר עם מקסימום - נפסל.

בגרף III: משמאל הגרף שלילי ויורד, ומימין יש מינימום מעל הציר - מתאים לכל מה שמצאנו.

טעות נפוצה: לבחור לפי הענף הימני בלבד (גם II וגם III נראים שם אותו דבר). צריך לבדוק גם את הסימן משמאל לאסימפטוטה.

ישר מהצורה $y=t$ מקביל לציר ה-$x$ (שיפוע 0). ישר כזה משיק לגרף בנקודה שבה $f'(x)=0$ - נקודת הקיצון $(1,3)$. לכן $t=3$.

הישר הנבדק: $y=t-5=-2$.

בענף הימני $f(x)\geq3$ (המינימום הוא 3), ולכן אין שם נקודות עם $y=-2$.

בענף השמאלי ($0<x<e^{-\frac12}$) הפונקציה יורדת מערכים שקרובים ל-0 (ליד $x=0$) עד $-\infty$ (ליד האסימפטוטה). היא עוברת פעם אחת בכל ערך שלילי, ובפרט ב-$-2$.

הישר $y=-2$ חותך את הגרף בנקודה אחת.

טעות נפוצה: להסיק "לא חותך" כי $-2$ קטן מערך המינימום 3. המינימום הוא מקומי בענף הימני בלבד; בענף השמאלי הפונקציה מקבלת את כל הערכים השליליים.