בגרות במתמטיקה 472 - קיץ 2023 מועד מיוחד

מבטאים כל וקטור כמסלול לאורך מקצועות שהווקטורים שלהם ידועים.

שימו לב לכיוון: $\underline w=\overrightarrow{SA}$ מכוון מ-$S$ אל $A$, כלומר כלפי מטה.

$ABCD$ מלבן, ולכן $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline v$ ו-$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\underline u$.

$E$ אמצע $SC$, ולכן $\overrightarrow{ES}=-\frac12\overrightarrow{SC}=-\frac12(\underline u+\underline v+\underline w)$.

מ-$E$ חוזרים ל-$S$, יורדים ל-$A$ והולכים ל-$B$:

באותו אופן, דרך $A$ אל $D$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SA}=-\underline w$ (כאילו $\underline w$ מכוון כלפי מעלה) - הסימון הוא $\overrightarrow{SA}=\underline w$, ולכן במסלול שיורד מ-$S$ ל-$A$ מוסיפים $+\underline w$.

קודם אוספים את המכפלות הסקלריות הידועות:

$ABCD$ מלבן, ולכן $AB\perp AD$: $\underline u\cdot\underline v=0$.

$SA$ מאונך לבסיס, ולכן מאונך לכל ישר בבסיס: $\underline u\cdot\underline w=0$ ו-$\underline v\cdot\underline w=0$.

וקטורים מאונכים - מכפלה סקלרית 0. נסדר את שני הווקטורים מסעיף א:

זה מבנה של $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$:

לכן $\underline w^2=25$, ו-$|\underline w|=5$.

טעות נפוצה: לפתוח $(\underline u-\underline v)^2$ כ-$\underline u^2-\underline v^2=7$ ולקבל $|\underline w|=\sqrt7$. הריבוע של הפרש כולל את שני הריבועים בסימן חיובי (והמכפלה המעורבת כאן 0).

מתרגמים כל אורך למקומו על הציר.

$A$ על החלק החיובי של ציר ה-$x$, במרחק $AD=|\underline v|=3$ מהראשית: $A(3,0,0)$.

$C$ על החלק החיובי של ציר ה-$y$. $DC$ צלע נגדית ל-$AB$ במלבן, ולכן $DC=|\underline u|=4$: $C(0,4,0)$.

$SA$ מאונך לבסיס, כלומר מקביל לציר ה-$z$, ולכן ל-$S$ אותם שיעורי $x$ ו-$y$ כמו ל-$A$. אורכו $|\underline w|=5$ ושיעור ה-$z$ חיובי: $S(3,0,5)$.

טעות נפוצה: להחליף בין האורכים ולכתוב $A(4,0,0)$ - הצלע $AD$ היא $\underline v$, שאורכה 3.

מוצאים את שיעורי $E$ ו-$B$.

$E$ אמצע $SC$:

$B$ הוא הקודקוד הרביעי של המלבן: $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$, ולכן $B(3,4,0)$.

לפי הנתון (וגם בבדיקה: $-2.25-4+6.25=0$) הזווית $DEB$ ישרה, ולכן הניצבים הם $ED$ ו-$EB$:

טעות נפוצה: לכתוב $B(4,3,0)$ - $B$ נמצא מול $D$ במלבן, ולכן שיעור ה-$x$ שלו כמו של $A$ (3) ושיעור ה-$y$ כמו של $C$ (4).

בשתי הפונקציות הבסיס גדול מ-1 ($1.5$ ו-$1.2$), ולכן שתיהן עולות. גרף I יורד, ולכן הוא לא מתאר אף אחת מהן. נשארו גרפים II ו-III.

ההבדל ביניהם בערך ההתחלתי: $M(0)=10$ ו-$G(0)=100$. כלומר בהתחלה היו ביישוב א פחות נדבקים.

וגם בקצב: מנת הגדילה של א ($1.5$) גדולה מזו של ב ($1.2$), ולכן א עולה מהר יותר ובסוף עוקף את ב.

גרף III מתחיל נמוך יותר, עולה בתלילות וחוצה את II - זה יישוב א. גרף II מתחיל גבוה יותר ועולה מתון - זה יישוב ב.

טעות נפוצה: לשייך את הגרף שמתחיל גבוה ליישוב א בגלל שמנת הגדילה שלו גדולה יותר - מנת הגדילה קובעת את קצב העלייה, ואת נקודת ההתחלה קובע המקדם ($10<100$).

מציבים $t=8$ בפונקציה של יישוב ב:

לאחר 8 ימים היו ביישוב ב כ-430 נדבקים.

טעות נפוצה: לחשב $100\cdot1.2\cdot8=960$, כאילו הגדילה מוסיפה כמות קבועה בכל יום. בתהליך מעריכי כופלים ב-$1.2$ שמונה פעמים.

משווים בין שתי הפונקציות:

מחלקים ב-$10\cdot1.2^t$ (חיובי) ומאחדים את החזקות בעלות אותו מעריך:

מוציאים $\ln$ משני האגפים:

מספר הנדבקים ביישובים היה שווה לאחר כ-10.32 ימים, כלומר במהלך היום ה-11.

טעות נפוצה: לחסר את הבסיסים ולכתוב $\frac{1.5^t}{1.2^t}=0.3^t$ - מחלקים בסיסים בעלי אותו מעריך, לא מחסרים אותם.

הבדיקה הראשונית היא $t=0$, ואז ביישוב ב היו $G(0)=100$ נדבקים. לכן ביישוב ג היו בהתחלה $40\cdot100=4000$ נדבקים.

נסמן ב-$q$ את מנת הדעיכה: $C(t)=4000\cdot q^t$. לאחר 8 ימים:

בכל יום נשאר כ-$63.59\%$ מהנדבקים, כלומר מספרם ירד ב-$1-0.6359=0.3641$:

מספר הנדבקים ביישוב ג ירד בכ-$36.41\%$ בכל יום.

טעות נפוצה: לחשב את הכמות ההתחלתית כ-$40\cdot G(8)$ - "בזמן הבדיקה הראשונית" הוא $t=0$, לא היום ה-8.

$e^{a+x}$ מוגדרת לכל $x$. הבעיה היחידה היא המכנה: אסור לחלק ב-0.

טעות נפוצה: לדרוש גם $e^{a+x}\neq0$ או $x>0$ - המונה רשאי להיות כל מספר, ופונקציה מעריכית מוגדרת לכל $x$.

אסימפטוטה אנכית יכולה להיות רק בנקודה שמאפסת את המכנה: $x=3$.

בנקודה זו המונה $e^{a+3}$ חיובי (פונקציה מעריכית לעולם אינה 0), ולכן כש-$x\to3$ מתקבל "מספר חיובי חלקי מספר שמתקרב ל-0" והפונקציה שואפת לאינסוף.

האסימפטוטה: $x=3$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=3$ - אסימפטוטה המאונכת לציר ה-$x$ היא ישר אנכי, ומשוואתה $x=\ldots$.

נקודה על הגרף מקיימת את משוואת הפונקציה. מציבים $x=5$:

שתי חזקות של $e$ שוות, ולכן המעריכים שווים:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{e^{a+5}}{2}=\frac{e^6}{2}$ ולהסיק $a+5=\frac62$ - מבטלים את המכנה 2 משני האגפים לפני שמשווים מעריכים.

$f(x)=\frac{e^{x+1}}{x-3}$. גוזרים לפי כלל המנה, כש-$(e^{x+1})'=e^{x+1}$:

$e^{x+1}>0$ ו-$(x-3)^2>0$, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $x-4$.

$f'(x)=0\Rightarrow x=4$.

טבלת סימן (כולל $x=3$ שמחוץ לתחום):

$x<3$: $f'<0$; $3<x<4$: $f'<0$; $x>4$: $f'>0$.

ב-$x=4$ הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס - מינימום. $f(4)=\frac{e^5}{4-3}=e^5$.

נקודת הקיצון: מינימום $(4,e^5)$.

טעות נפוצה: לגזור $\left(e^{x+1}\right)'=(x+1)e^x$ - הנגזרת של $e^{x+1}$ היא $e^{x+1}$ עצמה (נגזרת המעריך היא 1).

לפי טבלת הסימן מסעיף ג(1), $f'<0$ משמאל ל-3 ובין 3 ל-4.

$x=3$ אינו בתחום ההגדרה, ולכן אלה שני תחומים נפרדים:

טעות נפוצה: לאחד ולכתוב $x<4$ - הפונקציה לא מוגדרת ב-3, ומשמאל לאסימפטוטה הערכים שליליים בעוד שמימין הם חיוביים, ולכן אין ירידה רציפה מעבר לאסימפטוטה.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $x=0$ בתחום.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $f(x)=0$ רק אם המונה 0. אבל $e^{x+1}>0$ לכל $x$, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לחשב $f(0)=\frac{e^0}{-3}=-\frac13$ - שוכחים שהמעריך הוא $x+1$, ולכן ב-$x=0$ מתקבל $e^1$.

אוספים את מה שמצאנו:

אסימפטוטה אנכית $x=3$; ירידה ב-$x<3$ וב-$3<x<4$; מינימום $(4,e^5)\approx(4,148.4)$; עלייה ב-$x>4$; חיתוך $\left(0,-\frac e3\right)$ ואין חיתוך עם ציר ה-$x$.

התנהגות בקצוות: כש-$x\to-\infty$ המונה $e^{x+1}\to0$ והמכנה שלילי, ולכן $f(x)\to0$ מלמטה - ציר ה-$x$ ($y=0$) הוא אסימפטוטה אופקית משמאל.

סימן: משמאל ל-3 המכנה שלילי, ולכן $f<0$; מימין ל-3 $f>0$.

ליד $x=3$: משמאל $f\to-\infty$, מימין $f\to+\infty$.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מעל ציר ה-$x$ - שם המכנה $x-3$ שלילי, ולכן כל הענף שלילי.

$g(x)>0$ פירושו $-f(x)+18>0$, כלומר $f(x)<18$. בודקים כל ענף בנפרד:

משמאל לאסימפטוטה ($x<3$): $f(x)<0<18$, ולכן $g(x)>0$.

מימין לאסימפטוטה ($x>3$): הערך הקטן ביותר של $f$ הוא המינימום $e^5\approx148.4$, ולכן $f(x)\ge e^5>18$, ו-$g(x)<0$.

(גאומטרית: הגרף של $g$ הוא שיקוף של $f$ בציר ה-$x$ והזזה של 18 כלפי מעלה; הענף הימני יורד אל מתחת ל-$-148.4+18<0$.)

חיוביות: $x<3$; שליליות: $x>3$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את הענף הימני ($f\ge e^5>18$) ולענות ש-$g(x)<0$ בכל התחום. בענף השמאלי $f(x)<0$, ולכן שם $g(x)>0$.

$\ln x$ מוגדר רק עבור $x>0$, ושני הגורמים מכילים $\ln x$. לכן התחום: $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ge0$ - $\ln0$ אינו מוגדר.

ציר ה-$y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך.

ציר ה-$x$: מכפלה שווה ל-0 כשאחד הגורמים 0:

נקודות החיתוך: $(e^{-2},0)$ ו-$(e^4,0)$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=-2$ ולפסול אותו כי "אין לוגריתם שלילי" - הלוגריתם יכול להיות שלילי; רק $x$ חייב להיות חיובי, ו-$e^{-2}>0$.

גוזרים לפי כלל המכפלה, עם $(\ln x)'=\frac1x$:

$x>0$, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $2\ln x-2$.

$0<x<e$: $\ln x<1$, $f'<0$; $x>e$: $f'>0$. מעבר ממינוס לפלוס - מינימום.

נקודת הקיצון: מינימום $(e,-9)$.

טעות נפוצה: לגזור את המכפלה כמכפלת הנגזרות: $f'=\frac1x\cdot\frac1x$ - בכלל המכפלה גוזרים כל גורם בתורו ומחברים.

התנהגות ליד קצה התחום: כש-$x\to0^+$, $\ln x\to-\infty$, ושני הגורמים שליליים וגדלים בערכם המוחלט, ולכן המכפלה $\to+\infty$.

כש-$x\to\infty$ שני הגורמים חיוביים וגדלים, ולכן $f\to+\infty$.

יחד עם החיתוכים והמינימום:

טעות נפוצה: לצייר את הגרף מתחיל בראשית - הגרף לא מגיע לציר ה-$y$; ליד $x=0$ הוא עולה ל-$+\infty$.

מה ידוע על $f'$: היא מוגדרת רק עבור $x>0$ (כמו $f$), שלילית ב-$0<x<e$, מתאפסת ב-$x=e$ וחיובית ב-$x>e$.

גרף II חיובי ליד ציר ה-$y$ ושלילי אחר כך - הפוך לסימן של $f'$. נפסל.

גרף I מוגדר גם עבור ערכי $x$ שליליים (חלק ממנו משמאל לציר ה-$y$), ואילו $f'$ מוגדרת רק עבור $x>0$. נפסל.

גרף III: מוגדר רק עבור $x>0$, שלילי בהתחלה, חוצה את ציר ה-$x$ ונעשה חיובי - מתאים.

טעות נפוצה: לבחור את גרף I כי צורתו נכונה - צריך לבדוק גם את תחום ההגדרה, וגרף I חוצה את ציר ה-$y$.

גבולות השטח: הישר $x=\sqrt e\approx1.65$, ונקודת החיתוך של $f'$ עם ציר ה-$x$, $x=e$.

בתחום $\sqrt e<x<e$ מתקיים $f'<0$, כלומר השטח מתחת לציר ה-$x$.

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$, ולכן:

$\ln\sqrt e=\frac12$, ולכן:

טעות נפוצה: לכתוב $\ln\sqrt e=\sqrt e$ או לענות $-0.25$ - שטח הוא חיובי, ולכן כשהגרף מתחת לציר לוקחים את הנגדי של האינטגרל.