בגרות במתמטיקה 472 - חורף 2023

הפאה $AA'D'D$ היא מלבן, ובמלבן האלכסונים חוצים זה את זה. לכן $E$ היא אמצע האלכסון $AD'$.

את $\vec{BD'}$ בונים במסלול לאורך מקצועות: מ-$B$ חוזרים ל-$A$, משם ל-$D$ ומשם עולים ל-$D'$. $\vec{DD'}=\vec{AA'}=\underline w$ כי המקצועות הצדדיים מקבילים ושווים.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{BA}=\underline u$. הווקטור $\underline u$ הולך מ-$A$ ל-$B$, ולכן מ-$B$ ל-$A$ הוא $-\underline u$.

מגיעים מ-$B$ ל-$F$ דרך נקודות שהווקטורים אליהן כבר ידועים: $B\to A\to E\to F$.

מצד שני, לפי סעיף א(1):

הביטויים זהים, ולכן $\overrightarrow{BF}=\frac12\vec{BD'}$ (כלומר $F$ היא אמצע האלכסון $BD'$).

טעות נפוצה: לחבר $-\underline u+\frac12\underline u$ ולקבל $-\frac32\underline u$ (סימן הפוך ל-$\overrightarrow{EF}$), ואז השוויון "לא יוצא".

נתון $\overrightarrow{EF}=\frac12\underline u=\frac12\overrightarrow{AB}$.

וקטור שהוא כפולה בסקלר של וקטור אחר מקביל לו (קולינארי). לכן הישרים $EF$ ו-$AB$ מקבילים.

הם לא על אותו ישר: $E$ נמצאת על הפאה $AA'D'D$ ולא על המקצוע $AB$.

טעות נפוצה: לנמק "כי $EF$ ו-$AB$ באותו אורך" או לנסות להראות מכפלה סקלרית 0 - מכפלה סקלרית 0 מראה ניצבות, לא מקבילות.

בתיבה כל המקצועות היוצאים מקודקוד מאונכים זה לזה, ולכן $\underline u\cdot\underline v=0$ ו-$\underline u\cdot\underline w=0$.

מחשבים את המכפלה הסקלרית לפי חוק הפילוג:

המכפלה הסקלרית 0 ושני הווקטורים אינם וקטור האפס, ולכן $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AE}$.

טעות נפוצה: לנמק "$AB$ מאונך לפאה ולכן..." בלי חישוב, או להציב $\underline u\cdot\underline v=|\underline u||\underline v|$ כאילו הזווית ביניהם 0.

נפח תיבה = שטח הבסיס כפול הגובה, והגובה הוא המקצוע הצדדי $AA'$.

שטח הבסיס: $2\cdot2=4$.

טעות נפוצה: לחלק את 16 ב-2 בלבד (אורך הצלע במקום שטח הבסיס) ולקבל 8.

לפי א(2) $|\overrightarrow{BF}|=\frac12|\vec{BD'}|$, ולכן מחשבים את אורך האלכסון.

$|\underline u|=|\underline v|=2$, $|\underline w|=4$, וכל המכפלות המעורבות הן 0 (המקצועות מאונכים):

טעות נפוצה: לשכוח את החצי ולענות $\sqrt{24}$ - זה אורך האלכסון $BD'$, לא של $BF$.

הזווית $ABF$ נמצאת בקודקוד $B$, ולכן לוקחים שני וקטורים שיוצאים מ-$B$: $\overrightarrow{BA}=-\underline u$ ו-$\overrightarrow{BF}=-\frac12\underline u+\frac12\underline v+\frac12\underline w$.

$\angle ABF\approx65.91^\circ$.

טעות נפוצה: להציב במכנה את אורך האלכסון $|\vec{BD'}|=\sqrt{24}$ במקום $|\overrightarrow{BF}|=\sqrt6$: מתקבל $\cos\angle ABF=\frac{2}{2\sqrt{24}}=\frac1{\sqrt{24}}$ והזווית השגויה $78.22^\circ$.

$\angle BAE=90^\circ$: לפי ב(2) $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AE}$.

$\angle AEF=90^\circ$: לפי ב(1) $EF\parallel AB$, ו-$AE$ מאונך ל-$AB$, ולכן מאונך גם ל-$EF$.

המרובע $AEFB$ הוא טרפז ($EF\parallel AB$), וסכום הזוויות במרובע הוא $360^\circ$:

טעות נפוצה: להניח שגם $\angle EFB=90^\circ$ כי "זה מלבן". $EF=1$ קצר מ-$AB=2$, ולכן המרובע טרפז ישר-זווית ולא מלבן.

מנה מוגדרת כשהמכנה שונה מ-0. המונה $e^{2x}$ מוגדר לכל $x$.

תחום ההגדרה: כל $x$ פרט ל-$x=\sqrt6$ ו-$x=-\sqrt6$.

טעות נפוצה: לפסול רק את $x=\sqrt6$ ולשכוח את הפתרון השלילי של $x^2=6$.

אסימפטוטה אנכית יכולה להיות רק בנקודה שבה המכנה מתאפס.

ב-$x=\pm\sqrt6$ המונה $e^{2x}$ חיובי ושונה מ-0, והמכנה שואף ל-0, ולכן $|f(x)|$ שואף לאינסוף.

האסימפטוטות: $x=\sqrt6$ ו-$x=-\sqrt6$.

טעות נפוצה: לחפש גם את $x=0$ כאסימפטוטה בגלל $e^{2x}$. הפונקציה המעריכית מוגדרת ורציפה לכל $x$ ולא יוצרת אסימפטוטה אנכית.

ציר ה-$x$: $f(x)=0$ רק כשהמונה מתאפס. אבל $e^{2x}>0$ לכל $x$, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-$x$.

ציר ה-$y$: מציבים $x=0$ (נמצא בתחום ההגדרה):

נקודת החיתוך: $(0,-\frac16)$.

טעות נפוצה: לכתוב $e^0=0$ ולקבל $(0,0)$. $e^0=1$.

גוזרים לפי כלל המנה, כש-$(e^{2x})'=2e^{2x}$:

$e^{2x}>0$ והמכנה חיובי, ולכן $f'(x)=0$ רק כש-$x^2-x-6=0$, כלומר $(x-3)(x+2)=0$: $x=3$ או $x=-2$. שתיהן בתחום ההגדרה.

סימן $f'$ נקבע לפי $x^2-x-6$ (פרבולה צוחקת עם שורשים $-2$ ו-$3$). בטבלת הסימן כוללים גם את $\pm\sqrt6$:

$x<-\sqrt6$: $f'>0$ (עולה); $-\sqrt6<x<-2$: $f'>0$ (עולה); $-2<x<\sqrt6$: $f'<0$ (יורדת); $\sqrt6<x<3$: $f'<0$ (יורדת); $x>3$: $f'>0$ (עולה).

ב-$x=-2$ הפונקציה עוברת מעלייה לירידה - מקסימום: $f(-2)=\frac{e^{-4}}{4-6}=-\frac1{2e^4}$.

ב-$x=3$ מירידה לעלייה - מינימום: $f(3)=\frac{e^6}{9-6}=\frac{e^6}3$.

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית ולכתוב $(e^{2x})'=e^{2x}$. אז מקבלים $x^2-2x-6=0$ ונקודות שגויות.

חסרים שני ענפים: בין האסימפטוטות ומימין ל-$x=\sqrt6$.

בין $-\sqrt6$ ל-$\sqrt6$ המכנה $x^2-6$ שלילי והמונה חיובי, ולכן $f<0$: הענף כולו מתחת לציר ה-$x$. ליד שתי האסימפטוטות הוא שואף ל-$-\infty$.

הענף האמצעי עולה עד המקסימום $(-2,-\frac1{2e^4})$ (קרוב מאוד לציר, אבל מתחתיו), יורד, חותך את ציר ה-$y$ ב-$(0,-\frac16)$ וממשיך לרדת ל-$-\infty$ ליד $x=\sqrt6$.

מימין ל-$\sqrt6$ המכנה חיובי, ולכן $f>0$: הענף יורד מ-$+\infty$ ליד האסימפטוטה עד המינימום $(3,\frac{e^6}3)$ ואז עולה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף האמצעי חוצה את ציר ה-$x$ או נוגע בו במקסימום. ערך המקסימום שלילי, ולפי סעיף ב אין חיתוך עם ציר ה-$x$.

$g$ היא הזזה של $f$ ב-$c$ יחידות לאורך ציר ה-$y$: $g'(x)=f'(x)$, ולכן לנקודות הקיצון אותם שיעורי $x$ ($-2$ ו-$3$) ואותו סוג, והערך שלהן גדל ב-$c$.

נקודות הקיצון של $g$: $(-2,-\frac1{2e^4}+c)$ ו-$(3,\frac{e^6}3+c)$.

דורשים שאחת מהן תהיה על $y=4$:

טעות נפוצה: לחשוב שההזזה משנה את שיעור ה-$x$ של הקיצון, או להציב $c$ בתוך הפונקציה ($f(x+c)$) במקום להוסיף אותו לערך.

הנקודה $(e^3,0)$ על הגרף, ולכן $f(e^3)=0$. לפי חוקי הלוגריתמים $\ln e^3=3$.

טעות נפוצה: לכתוב $(\ln e^3)^2=\ln e^6=6$ במקום $3^2=9$, ולקבל $a=3$.

$\ln x$ מוגדר רק עבור $x>0$, וכל שאר הפעולות (ריבוע, כפל, חיבור) מוגדרות תמיד.

תחום ההגדרה: $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ge0$. $\ln0$ אינו מוגדר.

$f(x)=0$: $(\ln x)^2-4\ln x+3=0$. מציבים $t=\ln x$:

$t=3$ נותן $x=e^3$ - הנקודה הנתונה. $t=1$ נותן $\ln x=1$, כלומר $x=e$.

נקודת החיתוך האחרת: $(e,0)$.

טעות נפוצה: לענות $(1,0)$ - לעצור ב-$t=1$ ולשכוח לחזור מ-$t=\ln x$ ל-$x$.

גוזרים: $((\ln x)^2)'=2\ln x\cdot\frac1x$ לפי כלל השרשרת.

בתחום $x>0$ המכנה חיובי, ולכן $f'=0$ כש-$2\ln x-4=0$, כלומר $\ln x=2$ ו-$x=e^2$.

ל-$0<x<e^2$: $\ln x<2$ ו-$f'<0$ (יורדת); ל-$x>e^2$: $f'>0$ (עולה). לכן מינימום.

טעות נפוצה: לגזור את $(\ln x)^2$ כ-$\frac2x$ (כאילו זה $2\ln x$). אז $f'(x)=\frac{2-4}{x}<0$ תמיד, ומסיקים בטעות שאין לפונקציה נקודת קיצון.

כש-$x\to0^+$: $\ln x\to-\infty$, ולכן $(\ln x)^2\to+\infty$ ו-$-4\ln x\to+\infty$: $f\to+\infty$. ציר ה-$y$ הוא אסימפטוטה אנכית.

הפונקציה יורדת עד $x=e^2$, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$(e,0)$, מגיעה למינימום $(e^2,-1)$, עולה, חוצה ב-$(e^3,0)$ וממשיכה לעלות.

טעות נפוצה: להתחיל את הגרף מנקודה על ציר ה-$y$. $x=0$ אינו בתחום, והגרף רק מתקרב אליו כלפי מעלה.

היכן ש-$f\ge0$ ($0<x\le e$ ו-$x\ge e^3$) הגרף של $g$ זהה לגרף של $f$.

היכן ש-$f<0$ ($e<x<e^3$) משקפים ביחס לציר ה-$x$: המינימום $(e^2,-1)$ הופך למקסימום $(e^2,1)$.

בנקודות $(e,0)$ ו-$(e^3,0)$ הגרף נוגע בציר בחוד (נקודות מינימום של $g$).

טעות נפוצה: לשקף גם את החלקים החיוביים, או לשקף ביחס לציר ה-$y$ ($f(|x|)$ במקום $|f(x)|$).

בנקודת קיצון של $f$ הנגזרת מתאפסת, ובתחום שבו $f$ יורדת $f'<0$.

בדיקה: אם II הוא $f$, נקודת המינימום שלו נמצאת בדיוק מתחת לנקודה שבה I חותך את ציר ה-$x$; משמאל לה II יורד ו-I שלילי, ומימין II עולה ו-I חיובי. הכול מתאים.

בכיוון ההפוך זה לא מתאים: אם I היה $f$, אז בנקודת המינימום של I הנגזרת הייתה צריכה להתאפס - אבל שם II שלילי (הוא חותך את הציר רק מימין יותר).

לכן I הוא גרף הנגזרת $f'(x)$ ו-II הוא גרף $f(x)$.

טעות נפוצה: לבחור את הגרף ש"נמוך יותר" או "תלול יותר" כנגזרת. ההכרעה היא רק לפי ההתאמה בין קיצון של $f$ לאפס של $f'$ ובין עלייה/ירידה לסימן.

$x-3$ ו-$e^x$ מוגדרים לכל $x$, וגם מכפלתם. תחום ההגדרה: כל $x$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>0$ - זה התחום של $\ln x$, לא של $e^x$.

ציר ה-$x$: $(x-3)e^x=0$. $e^x>0$, ולכן $x-3=0$, $x=3$: הנקודה $(3,0)$.

ציר ה-$y$: $f(0)=(0-3)\cdot e^0=-3$: הנקודה $(0,-3)$.

טעות נפוצה: להוסיף פתרון מ-$e^x=0$ (למשל $x=0$). למשוואה $e^x=0$ אין פתרון.

גזירת מכפלה:

$e^x>0$, ולכן סימן $f'$ הוא סימן $x-2$: שלילי ל-$x<2$ וחיובי ל-$x>2$.

יורדת ב-$x<2$, עולה ב-$x>2$ (מינימום ב-$x=2$, מתאים לגרף II).

טעות נפוצה: לגזור $(x-3)e^x$ כ-$1\cdot e^x$ בלבד (לגזור כל גורם לחוד), ולהסיק שהפונקציה תמיד עולה.

$g(x)=-f'(x)$ הוא שיקוף של גרף הנגזרת (גרף I) ביחס לציר ה-$x$.

I מתקרב ל-0 מלמטה כש-$x\to-\infty$, יורד למינימום ב-$x=1$ ($f''(x)=e^x(x-1)$), חותך ב-$x=2$ ועולה מהר.

לכן $g$ מתקרבת ל-0 מלמעלה, עולה למקסימום ב-$x=1$ (ערכו $e$), חותכת את ציר ה-$x$ ב-$(2,0)$ ויורדת ל-$-\infty$.

טעות נפוצה: לשקף את גרף II (של $f$) במקום את גרף I, או לשקף ביחס לציר ה-$y$.

נקודת החיתוך של $f'$ ו-$g=-f'$: $f'(x)=-f'(x)$, כלומר $f'(x)=0$, $x=2$.

בין $x=0$ ל-$x=2$: $f'<0$ ו-$g>0$, ולכן $g$ הוא הגרף העליון:

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$, ולכן אין צורך לחפש קדומה חדשה:

טעות נפוצה: לחשב $\int_0^2\left(f'-g\right)dx$ (תחתון פחות עליון) ולקבל $6-2e^2$ - שטח שלילי.