בגרות במתמטיקה 472 - קיץ 2025 מועד ב'

4 יח"ל · שאלון 035472 · תשפ"ה · 5 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

כאן תמצאו את בחינת הבגרות במתמטיקה בשאלון 472 (4 יח"ל), מועד קיץ 2025 מועד ב' (תשפ"ה), כל 5 השאלות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · סדרה חשבונית והנדסית: פיקדונות לחיסכון ותשלומים על מקרר

מיכל הפקידה בכל חודש כסף לחיסכון. גובה הפיקדון שהיא העבירה בכל חודש גדול במספר קבוע מגובה הפיקדון שהיא העבירה בחודש שלפניו. סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל בחודש הראשון והשני הוא 2,100 שקלים סך הכול. גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש החמישי גדול פי 3 מגובה הפיקדון שהיא העבירה בחודש הראשון.

א.

מצאו את גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש הראשון.

ב.

מצאו לאחר כמה חודשים היה סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל 22,680 שקלים סך הכול.

בחודש ה-12, במקום להפקיד כסף לחיסכון, החליטה מיכל לקנות מקרר שמחירו שווה לגובה הפיקדון שהייתה אמורה להעביר בחודש זה. מיכל שילמה בעבור המקרר בארבעה תשלומים. כל תשלום גדול פי 3 מן התשלום שלפניו.

ג.

מצאו את התשלום הראשון.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

840 שקלים

הפיקדון בכל חודש גדול במספר קבוע מהפיקדון שלפניו, לכן הפיקדונות יוצרים סדרה חשבונית. נסמן ב-a1a_1a1​ את הפיקדון הראשון וב-ddd את ההפרש.
נתון ראשון - סכום שני הפיקדונות הראשונים:
a1+(a1+d)=2100⇒2a1+d=2100a_1+(a_1+d)=2100\quad\Rightarrow\quad 2a_1+d=2100a1​+(a1​+d)=2100⇒2a1​+d=2100
נתון שני - הפיקדון החמישי גדול פי 3 מהראשון. לפי האיבר הכללי a5=a1+4da_5=a_1+4da5​=a1​+4d:
a1+4d=3a1⇒4d=2a1⇒a1=2da_1+4d=3a_1\quad\Rightarrow\quad 4d=2a_1\quad\Rightarrow\quad a_1=2da1​+4d=3a1​⇒4d=2a1​⇒a1​=2d
מציבים במשוואה הראשונה: 2⋅2d+d=21002\cdot2d+d=21002⋅2d+d=2100, כלומר 5d=21005d=21005d=2100 ו-d=420d=420d=420.
לכן a1=2⋅420=840a_1=2\cdot420=840a1​=2⋅420=840.
בדיקה: a1+a2=840+1260=2100a_1+a_2=840+1260=2100a1​+a2​=840+1260=2100, ו-a5=840+4⋅420=2520=3⋅840a_5=840+4\cdot420=2520=3\cdot840a5​=840+4⋅420=2520=3⋅840.
הפיקדון בחודש הראשון היה 840 שקלים.
טעות נפוצה: לכתוב a5=a1+5da_5=a_1+5da5​=a1​+5d. בין החודש הראשון לחמישי יש רק 4 הוספות של ddd.

סעיף ב

תשובה:

9 חודשים

מחפשים את מספר החודשים nnn שבהם סכום הפיקדונות הוא 22,680. זה סכום nnn האיברים הראשונים בסדרה, עם a1=840a_1=840a1​=840 ו-d=420d=420d=420:
Sn=n2(2⋅840+420(n−1))=22,680S_n=\frac n2\left(2\cdot840+420(n-1)\right)=22{,}680Sn​=2n​(2⋅840+420(n−1))=22,680
כופלים ב-2 ופותחים סוגריים:
n(1680+420n−420)=45,360⇒420n2+1260n−45,360=0n(1680+420n-420)=45{,}360\quad\Rightarrow\quad 420n^2+1260n-45{,}360=0n(1680+420n−420)=45,360⇒420n2+1260n−45,360=0
מחלקים ב-420: n2+3n−108=0n^2+3n-108=0n2+3n−108=0, כלומר (n+12)(n−9)=0(n+12)(n-9)=0(n+12)(n−9)=0.
n=9n=9n=9 או n=−12n=-12n=−12. מספר חודשים הוא מספר טבעי, לכן n=9n=9n=9.
סכום הפיקדונות הגיע ל-22,680 שקלים לאחר 9 חודשים.
טעות נפוצה: להשוות את האיבר הכללי ana_nan​ ל-22,680 במקום את הסכום SnS_nSn​ - השאלה היא על סך כל הפיקדונות.

סעיף ג

תשובה:

136.5 שקלים

מחיר המקרר שווה לפיקדון שמיכל הייתה אמורה להעביר בחודש ה-12:
a12=a1+11d=840+11⋅420=5460a_{12}=a_1+11d=840+11\cdot420=5460a12​=a1​+11d=840+11⋅420=5460
מחיר המקרר 5,460 שקלים.
התשלומים יוצרים סדרה הנדסית: כל תשלום גדול פי 3 מהקודם, לכן q=3q=3q=3. נסמן ב-ppp את התשלום הראשון. סכום ארבעת התשלומים הוא מחיר המקרר:
S4=p(34−1)3−1=80p2=40pS_4=\frac{p(3^4-1)}{3-1}=\frac{80p}{2}=40pS4​=3−1p(34−1)​=280p​=40p
(אפשר גם לחבר ישירות: p+3p+9p+27p=40pp+3p+9p+27p=40pp+3p+9p+27p=40p.)
40p=5460⇒p=136.540p=5460\quad\Rightarrow\quad p=136.540p=5460⇒p=136.5
התשלום הראשון היה 136.5 שקלים.
טעות נפוצה: לחשב את מחיר המקרר כ-a1+12da_1+12da1​+12d (כלומר a13a_{13}a13​), או לחלק את המחיר ב-4 כאילו התשלומים שווים.

שאלה 2 · וקטורים בפירמידה משולשת: קטע מקביל לצלע הבסיס, זווית ושטח

בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC.
ABCSEF
נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}AC=v​, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}AS=w​.
הנקודה E נמצאת על המקצוע SB, והנקודה F נמצאת על המקצוע SC.
נתון: SE→=34SB→\overrightarrow{SE}=\frac34\overrightarrow{SB}SE=43​SB, SF→=34SC→\overrightarrow{SF}=\frac34\overrightarrow{SC}SF=43​SC.

א.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​ ו-w‾\underline{w}w​ את הווקטורים BC→\overrightarrow{BC}BC, SF→\overrightarrow{SF}SF ו-SE→\overrightarrow{SE}SE.

ב(1).

הביעו באמצעות u‾\underline{u}u​ ו-v‾\underline{v}v​ את הווקטור EF→\overrightarrow{EF}EF.

ב(2).

הסבירו מדוע EF מקביל ל-BC.

נתון: B(1,−1,3)B(1,-1,3)B(1,−1,3), C(13,15,3)C(13,15,3)C(13,15,3).

ג.

מצאו את ההצגה האלגברית של הווקטור BC→\overrightarrow{BC}BC ושל הווקטור EF→\overrightarrow{EF}EF.

נתון: E(5,1,6)E(5,1,6)E(5,1,6).

ד.

מצאו את שיעורי הנקודה F.

נתון: A(4,12,3)A(4,12,3)A(4,12,3).

ה(1).

מצאו את גודל הזווית EAF.

ה(2).

חשבו את שטח המשולש EAF.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

BC→=−u‾+v‾\overrightarrow{BC}=-\underline{u}+\underline{v}BC=−u​+v​, SE→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE}=\frac34\underline{u}-\frac34\underline{w}SE=43​u​−43​w​, SF→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF}=\frac34\underline{v}-\frac34\underline{w}SF=43​v​−43​w​

כל הווקטורים הנתונים יוצאים מ-A, לכן נעבור דרך A.
BC→=BA→+AC→=−u‾+v‾\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\underline{u}+\underline{v}BC=BA+AC=−u​+v​
כדי להביע את SE→\overrightarrow{SE}SE נמצא קודם את SB→\overrightarrow{SB}SB (מ-S ל-A ומשם ל-B):
SB→=SA→+AB→=−w‾+u‾\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}=-\underline{w}+\underline{u}SB=SA+AB=−w​+u​
SE→=34SB→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE}=\frac34\overrightarrow{SB}=\frac34\underline{u}-\frac34\underline{w}SE=43​SB=43​u​−43​w​
באותו אופן SC→=SA→+AC→=−w‾+v‾\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC}=-\underline{w}+\underline{v}SC=SA+AC=−w​+v​, ולכן:
SF→=34SC→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF}=\frac34\overrightarrow{SC}=\frac34\underline{v}-\frac34\underline{w}SF=43​SC=43​v​−43​w​
טעות נפוצה: לכתוב SB→=w‾−u‾\overrightarrow{SB}=\underline{w}-\underline{u}SB=w​−u​. וקטור מ-S ל-B הוא "הסוף פחות ההתחלה" ביחס ל-A: AB→−AS→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AS}AB−AS.

סעיף ב(1)

תשובה:

EF→=−34u‾+34v‾\overrightarrow{EF}=-\frac34\underline{u}+\frac34\underline{v}EF=−43​u​+43​v​

עוברים מ-E ל-F דרך S:
EF→=ES→+SF→=−SE→+SF→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ES}+\overrightarrow{SF}=-\overrightarrow{SE}+\overrightarrow{SF}EF=ES+SF=−SE+SF
EF→=−(34u‾−34w‾)+34v‾−34w‾=−34u‾+34v‾\overrightarrow{EF}=-\left(\frac34\underline{u}-\frac34\underline{w}\right)+\frac34\underline{v}-\frac34\underline{w}=-\frac34\underline{u}+\frac34\underline{v}EF=−(43​u​−43​w​)+43​v​−43​w​=−43​u​+43​v​
הרכיבים של w‾\underline{w}w​ מתבטלים, ולכן EF→\overrightarrow{EF}EF מובע באמצעות u‾\underline{u}u​ ו-v‾\underline{v}v​ בלבד.
טעות נפוצה: לחבר SE→+SF→\overrightarrow{SE}+\overrightarrow{SF}SE+SF במקום לחסר - כיוון ES→\overrightarrow{ES}ES הפוך לכיוון SE→\overrightarrow{SE}SE.

סעיף ב(2)

תשובה:

EF→=34BC→\overrightarrow{EF}=\frac34\overrightarrow{BC}EF=43​BC, ולכן הווקטורים קולינאריים

מסעיף א: BC→=−u‾+v‾\overrightarrow{BC}=-\underline{u}+\underline{v}BC=−u​+v​. מסעיף ב(1):
EF→=34(−u‾+v‾)=34BC→\overrightarrow{EF}=\frac34(-\underline{u}+\underline{v})=\frac34\overrightarrow{BC}EF=43​(−u​+v​)=43​BC
וקטור אחד הוא כפולה בסקלר של השני, לכן הווקטורים קולינאריים. הנקודה E נמצאת על SB ושונה מ-B, ולכן אינה על הישר BC - הישרים EF ו-BC אינם מתלכדים, ולכן הם מקבילים.
טעות נפוצה: להסתפק ב"יש להם אותו כיוון" בלי להראות שאחד הוא כפולה של השני, או לשכוח לציין שהקטעים אינם על אותו ישר.

סעיף ג

תשובה:

BC→=(12,16,0)\overrightarrow{BC}=(12,16,0)BC=(12,16,0), EF→=(9,12,0)\overrightarrow{EF}=(9,12,0)EF=(9,12,0)

וקטור בין שתי נקודות: שיעורי הסוף פחות שיעורי ההתחלה.
BC→=C−B=(13−1, 15−(−1), 3−3)=(12,16,0)\overrightarrow{BC}=C-B=(13-1,\ 15-(-1),\ 3-3)=(12,16,0)BC=C−B=(13−1, 15−(−1), 3−3)=(12,16,0)
מסעיף ב(2): EF→=34BC→\overrightarrow{EF}=\frac34\overrightarrow{BC}EF=43​BC:
EF→=34(12,16,0)=(9,12,0)\overrightarrow{EF}=\frac34(12,16,0)=(9,12,0)EF=43​(12,16,0)=(9,12,0)
טעות נפוצה: לחשב B−CB-CB−C ולקבל את הווקטור הנגדי (−12,−16,0)(-12,-16,0)(−12,−16,0), או לטעות בסימן ב-15−(−1)15-(-1)15−(−1).

סעיף ד

תשובה:

F(14,13,6)F(14,13,6)F(14,13,6)

מגיעים ל-F מ-E בעזרת הווקטור EF→\overrightarrow{EF}EF:
F=E+EF→=(5+9, 1+12, 6+0)=(14,13,6)F=E+\overrightarrow{EF}=(5+9,\ 1+12,\ 6+0)=(14,13,6)F=E+EF=(5+9, 1+12, 6+0)=(14,13,6)
טעות נפוצה: לחסר את EF→\overrightarrow{EF}EF מ-E, כלומר ללכת בכיוון ההפוך.

סעיף ה(1)

תשובה:

∠EAF≈86.18∘\angle EAF\approx86.18^\circ∠EAF≈86.18∘

הזווית EAF היא הזווית בין הווקטורים AE→\overrightarrow{AE}AE ו-AF→\overrightarrow{AF}AF היוצאים מ-A:
AE→=E−A=(1,−11,3),AF→=F−A=(10,1,3)\overrightarrow{AE}=E-A=(1,-11,3),\qquad\overrightarrow{AF}=F-A=(10,1,3)AE=E−A=(1,−11,3),AF=F−A=(10,1,3)
AE→⋅AF→=10−11+9=8\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}=10-11+9=8AE⋅AF=10−11+9=8
∣AE→∣=1+121+9=131,∣AF→∣=100+1+9=110|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{1+121+9}=\sqrt{131},\qquad|\overrightarrow{AF}|=\sqrt{100+1+9}=\sqrt{110}∣AE∣=1+121+9​=131​,∣AF∣=100+1+9​=110​
cos⁡∠EAF=8131⋅110≈0.0666⇒∠EAF≈86.18∘\cos\angle EAF=\frac{8}{\sqrt{131}\cdot\sqrt{110}}\approx0.0666\quad\Rightarrow\quad\angle EAF\approx86.18^\circcos∠EAF=131​⋅110​8​≈0.0666⇒∠EAF≈86.18∘
טעות נפוצה: להשתמש ב-EA→\overrightarrow{EA}EA במקום AE→\overrightarrow{AE}AE באחד הווקטורים - מקבלים את הזווית המשלימה ל-180∘180^\circ180∘.

סעיף ה(2)

תשובה:

S△EAF≈59.887S_{\triangle EAF}\approx59.887S△EAF​≈59.887

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן:
S=12⋅∣AE→∣⋅∣AF→∣⋅sin⁡∠EAF=12⋅131⋅110⋅sin⁡86.18∘≈59.887S=\frac12\cdot|\overrightarrow{AE}|\cdot|\overrightarrow{AF}|\cdot\sin\angle EAF=\frac12\cdot\sqrt{131}\cdot\sqrt{110}\cdot\sin86.18^\circ\approx59.887S=21​⋅∣AE∣⋅∣AF∣⋅sin∠EAF=21​⋅131​⋅110​⋅sin86.18∘≈59.887
טעות נפוצה: להציב cos⁡\coscos במקום sin⁡\sinsin בנוסחת השטח, או להשתמש בזווית מעוגלת מדי ולקבל תוצאה שונה בספרות האחרונות.

שאלה 3 · גדילה ודעיכה: האזנות לשני שירים

שני שירים A ו-B הועלו ביום מסוים לאותה רשת חברתית. מספר ההאזנות לשיר A גדל באחוז קבוע בכל יום. מספר ההאזנות לשיר B גדל בכל יום באחוז הגדול פי 2 מן האחוז שבו גדל בכל יום מספר ההאזנות לשיר A.
לפניכם שני גרפים I-II המתארים את מספר ההאזנות לכל שיר לפי הזמן, מיום העלאת השירים (ציר אופקי: הזמן בימים; ציר אנכי: מספר ההאזנות).
III
5,0003,032

א.

מבין הגרפים I-II קבעו איזה גרף מתאים לשיר A. נמקו את קביעתכם.

נתון כי לאחר 5 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר A היה 7,350.

ב.

מצאו בכמה אחוזים גדל מספר ההאזנות לשיר A בכל יום.

ג.

מצאו בכמה היה גדול מספר ההאזנות לשיר A ממספר ההאזנות לשיר B, לאחר 5 ימים מיום העלאת השירים.

ד.

מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, היה מספר ההאזנות לשיר A שווה למספר ההאזנות לשיר B.

כאשר מספר ההאזנות לשיר A היה שווה למספר ההאזנות לשיר B, החלה ירידה במספר ההאזנות לשיר A. בכל יום קטן מספר ההאזנות לשיר A באותו האחוז שבו הוא גדל לפני כן.

ה.

מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר A היה 2,450.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

גרף I

מספר ההאזנות לשיר B גדל באחוז גדול יותר, ולכן גרף B עולה מהר יותר מגרף A.
בסרטוט שני הגרפים נפגשים. אילו הגרף שעולה מהר יותר היה מתחיל גבוה יותר, הוא היה נשאר מעל הגרף השני כל הזמן והם לא היו נפגשים. לכן הגרף שעולה מהר יותר (B) הוא זה שמתחיל נמוך יותר - גרף II, והוא "משיג" את הגרף השני.
מכאן ששיר A מתאים לגרף I, שמתחיל ב-5,000 האזנות ועולה לאט יותר.
טעות נפוצה: לבחור לפי הגובה בלבד ("A מתחיל גבוה כי..."), בלי לנמק בעזרת קצב הגדילה ונקודת המפגש.

סעיף ב

תשובה:

8%

מגרף I: מספר ההאזנות ההתחלתי לשיר A הוא 5,000. נסמן ב-qqq את מנת הגדילה היומית:
5000⋅q5=7350⇒q5=73505000=1.475000\cdot q^5=7350\quad\Rightarrow\quad q^5=\frac{7350}{5000}=1.475000⋅q5=7350⇒q5=50007350​=1.47
q=1.475≈1.08q=\sqrt[5]{1.47}\approx1.08q=51.47​≈1.08
מנה 1.08 פירושה גדילה של 8% בכל יום.
טעות נפוצה: לחלק את 1.47 ב-5 (ולקבל גדילה של 9.4% ליום) במקום להוציא שורש חמישי - הגדילה מצטברת בכפל, לא בחיבור.

סעיף ג

תשובה:

בכ-982 האזנות

האחוז של שיר B גדול פי 2 מהאחוז של A: 2⋅8%=16%2\cdot8\%=16\%2⋅8%=16%, ולכן מנת הגדילה של B היא 1.161.161.16.
מגרף II: מספר ההאזנות ההתחלתי לשיר B הוא 3,032.
B(5)=3032⋅1.165≈3032⋅2.1003≈6368B(5)=3032\cdot1.16^5\approx3032\cdot2.1003\approx6368B(5)=3032⋅1.165≈3032⋅2.1003≈6368
לאחר 5 ימים לשיר A היו 7,350 האזנות (נתון), ולכן:
7350−6368=9827350-6368=9827350−6368=982
מספר ההאזנות לשיר A היה גדול בכ-982 ממספר ההאזנות לשיר B.
טעות נפוצה: לקחת את מנת הגדילה של B כ-1.082≈1.1661.08^2\approx1.1661.082≈1.166 - האחוז הוא שמוכפל פי 2, לא המנה.

סעיף ד

תשובה:

לאחר 7 ימים

משווים את שתי הפונקציות:
5000⋅1.08t=3032⋅1.16t5000\cdot1.08^t=3032\cdot1.16^t5000⋅1.08t=3032⋅1.16t
מעבירים את החזקות לאגף אחד ואת המספרים לאגף השני:
(1.161.08)t=50003032\left(\frac{1.16}{1.08}\right)^t=\frac{5000}{3032}(1.081.16​)t=30325000​
מוציאים לוגריתם משני האגפים:
t=ln⁡50003032ln⁡1.161.08≈0.50020.0715≈7t=\frac{\ln\frac{5000}{3032}}{\ln\frac{1.16}{1.08}}\approx\frac{0.5002}{0.0715}\approx7t=ln1.081.16​ln30325000​​≈0.07150.5002​≈7
מספר ההאזנות לשני השירים היה שווה לאחר 7 ימים.
טעות נפוצה: "לחבר" את החזקות ולכתוב (1.161.08)2t\left(\frac{1.16}{1.08}\right)^{2t}(1.081.16​)2t, או להפוך את השבר בצד אחד בלבד.

סעיף ה

תשובה:

לאחר 22 ימים

מספר ההאזנות לשיר A ברגע שהתחילה הירידה (לאחר 7 ימים):
A(7)=5000⋅1.087≈8569A(7)=5000\cdot1.08^7\approx8569A(7)=5000⋅1.087≈8569
מכאן מספר ההאזנות קטן ב-8% בכל יום, כלומר מנת הדעיכה היא 1−0.08=0.921-0.08=0.921−0.08=0.92. נסמן ב-nnn את מספר ימי הירידה:
8569⋅0.92n=2450⇒0.92n=24508569≈0.28598569\cdot0.92^n=2450\quad\Rightarrow\quad0.92^n=\frac{2450}{8569}\approx0.28598569⋅0.92n=2450⇒0.92n=85692450​≈0.2859
n=ln⁡0.2859ln⁡0.92≈15n=\frac{\ln0.2859}{\ln0.92}\approx15n=ln0.92ln0.2859​≈15
הזמן מיום העלאת השירים: 7+15=227+15=227+15=22 ימים.
טעות נפוצה: לענות 15 - זה מספר ימי הירידה בלבד, והשאלה היא מיום העלאת השירים. טעות נוספת: להתחיל את הדעיכה מ-5,000 במקום מהכמות שהייתה ביום ה-7.

שאלה 4 · חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, וגרף הנגזרת שלה

נתונה הפונקציה: f(x)=e2xex−4f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-4}f(x)=ex−4e2x​.

א(1).

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

א(2).

מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-x של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). הפונקציה f(x)f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) חותך את ציר ה-x בנקודה אחת בלבד - הנקודה B.
f′(x)
B

ג.

מצאו את שיעור ה-x של הנקודה B.

ד(1).

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד(2).

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), על ידי ציר ה-x ועל ידי הישר x=ln⁡12x=\ln12x=ln12.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א(1)

תשובה:

x≠ln⁡4x\ne\ln4x=ln4

הפונקציה היא מנה, ולכן המכנה חייב להיות שונה מ-0:
ex−4≠0⇒ex≠4⇒x≠ln⁡4e^x-4\ne0\quad\Rightarrow\quad e^x\ne4\quad\Rightarrow\quad x\ne\ln4ex−4=0⇒ex=4⇒x=ln4
תחום ההגדרה: כל xxx חוץ מ-x=ln⁡4x=\ln4x=ln4.
טעות נפוצה: לכתוב x≠4x\ne4x=4 - המכנה מתאפס כאשר ex=4e^x=4ex=4, כלומר ב-x=ln⁡4≈1.39x=\ln4\approx1.39x=ln4≈1.39.

סעיף א(2)

תשובה:

x=ln⁡4x=\ln4x=ln4

ב-x=ln⁡4x=\ln4x=ln4 המכנה מתאפס, והמונה שונה מ-0: e2ln⁡4=42=16e^{2\ln4}=4^2=16e2ln4=42=16.
לכן כאשר xxx מתקרב ל-ln⁡4\ln4ln4 ערכי הפונקציה שואפים לאינסוף (בערכם המוחלט), והישר x=ln⁡4x=\ln4x=ln4 הוא אסימפטוטה אנכית.
טעות נפוצה: לקבוע אסימפטוטה בלי לבדוק שהמונה אינו מתאפס באותה נקודה.

סעיף ב

תשובה:

(0,−13)(0,-\frac13)(0,−31​)

חיתוך עם ציר ה-y: מציבים x=0x=0x=0 (0 בתחום ההגדרה):
f(0)=e0e0−4=11−4=−13f(0)=\frac{e^0}{e^0-4}=\frac{1}{1-4}=-\frac13f(0)=e0−4e0​=1−41​=−31​
חיתוך עם ציר ה-x: צריך f(x)=0f(x)=0f(x)=0, כלומר מונה שווה 0. אבל e2x>0e^{2x}>0e2x>0 לכל xxx, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-x.
נקודת החיתוך היחידה: (0,−13)(0,-\frac13)(0,−31​).
טעות נפוצה: לפתור e2x=0e^{2x}=0e2x=0 ולכתוב x=0x=0x=0 - חזקה של eee לעולם אינה מתאפסת.

סעיף ג

תשובה:

xB=ln⁡8x_B=\ln8xB​=ln8

גוזרים לפי כלל הנגזרת של מנה:
f′(x)=2e2x(ex−4)−e2x⋅ex(ex−4)2=2e3x−8e2x−e3x(ex−4)2=e2x(ex−8)(ex−4)2f'(x)=\frac{2e^{2x}(e^x-4)-e^{2x}\cdot e^x}{(e^x-4)^2}=\frac{2e^{3x}-8e^{2x}-e^{3x}}{(e^x-4)^2}=\frac{e^{2x}(e^x-8)}{(e^x-4)^2}f′(x)=(ex−4)22e2x(ex−4)−e2x⋅ex​=(ex−4)22e3x−8e2x−e3x​=(ex−4)2e2x(ex−8)​
B היא נקודת החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה-x, כלומר f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0. המכנה חיובי ו-e2x>0e^{2x}>0e2x>0, ולכן:
ex−8=0⇒ex=8⇒x=ln⁡8e^x-8=0\quad\Rightarrow\quad e^x=8\quad\Rightarrow\quad x=\ln8ex−8=0⇒ex=8⇒x=ln8
טעות נפוצה: לגזור את המונה בלי כלל השרשרת (e2xe^{2x}e2x במקום 2e2x2e^{2x}2e2x), או לשכוח שהנגזרת של ex−4e^x-4ex−4 היא exe^xex.

סעיף ד(1)

תשובה:

עלייה: x>ln⁡8x>\ln8x>ln8; ירידה: x<ln⁡4x<\ln4x<ln4, ln⁡4<x<ln⁡8\ln4<x<\ln8ln4<x<ln8

הסימן של f′(x)=e2x(ex−8)(ex−4)2f'(x)=\frac{e^{2x}(e^x-8)}{(e^x-4)^2}f′(x)=(ex−4)2e2x(ex−8)​ נקבע רק לפי ex−8e^x-8ex−8, כי e2x>0e^{2x}>0e2x>0 והמכנה ריבוע.
•כאשר x<ln⁡8x<\ln8x<ln8 (ו-x≠ln⁡4x\ne\ln4x=ln4): ex<8e^x<8ex<8, ולכן f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0 - הפונקציה יורדת.
•כאשר x>ln⁡8x>\ln8x>ln8: f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 - הפונקציה עולה.
אותו דבר רואים בגרף הנגזרת: מתחת לציר ה-x משמאל ל-B (משני צדי האסימפטוטה), ומעליו מימין ל-B.
ירידה: x<ln⁡4x<\ln4x<ln4 וגם ln⁡4<x<ln⁡8\ln4<x<\ln8ln4<x<ln8. עלייה: x>ln⁡8x>\ln8x>ln8.
טעות נפוצה: לכתוב ירידה בתחום אחד x<ln⁡8x<\ln8x<ln8 - הנקודה x=ln⁡4x=\ln4x=ln4 אינה בתחום ההגדרה, ולכן הם שני תחומים נפרדים.

סעיף ד(2)

תשובה:

משמאל לאסימפטוטה: יורדת מ-0 (כש-x→−∞x\to-\inftyx→−∞) דרך (0,−13)(0,-\frac13)(0,−31​) ל-−∞-\infty−∞; מימין: יורדת מ-+∞+\infty+∞ למינימום (ln⁡8,16)(\ln8,16)(ln8,16) ועולה

מאספים את מה שמצאנו:
•אסימפטוטה אנכית x=ln⁡4x=\ln4x=ln4.
•כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞: e2x→0e^{2x}\to0e2x→0 והמכנה שואף ל-−4-4−4, ולכן f(x)→0f(x)\to0f(x)→0 מלמטה (אסימפטוטה אופקית y=0y=0y=0 משמאל).
•משמאל לאסימפטוטה המכנה שלילי, ולכן f<0f<0f<0; הפונקציה יורדת ועוברת דרך (0,−13)(0,-\frac13)(0,−31​).
•מימין לאסימפטוטה f>0f>0f>0; הפונקציה יורדת עד נקודת המינימום ב-x=ln⁡8x=\ln8x=ln8 ואז עולה. f(ln⁡8)=648−4=16f(\ln8)=\frac{64}{8-4}=16f(ln8)=8−464​=16, כלומר מינימום (ln⁡8,16)(\ln8,16)(ln8,16).
f(x)
(0,-1/3)(ln8,16)
טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מעל ציר ה-x - שם המכנה שלילי והמונה חיובי, ולכן הפונקציה שלילית.

סעיף ה

תשובה:

2

גרף הנגזרת חותך את ציר ה-x רק ב-B (x=ln⁡8x=\ln8x=ln8), ומימין ל-B הוא מעל הציר. לכן השטח הוא מ-x=ln⁡8x=\ln8x=ln8 עד x=ln⁡12x=\ln12x=ln12:
S=∫ln⁡8ln⁡12f′(x) dx=f(ln⁡12)−f(ln⁡8)S=\int_{\ln8}^{\ln12}f'(x)\,dx=f(\ln12)-f(\ln8)S=∫ln8ln12​f′(x)dx=f(ln12)−f(ln8)
(fff היא פונקציה קדומה של f′f'f′.)
f(ln⁡12)=e2ln⁡12eln⁡12−4=14412−4=18,f(ln⁡8)=648−4=16f(\ln12)=\frac{e^{2\ln12}}{e^{\ln12}-4}=\frac{144}{12-4}=18,\qquad f(\ln8)=\frac{64}{8-4}=16f(ln12)=eln12−4e2ln12​=12−4144​=18,f(ln8)=8−464​=16
S=18−16=2S=18-16=2S=18−16=2
טעות נפוצה: לנסות למצוא פונקציה קדומה ל-f′f'f′ מחדש - הקדומה כבר נתונה, זו fff עצמה. טעות נוספת: לחשב e2ln⁡12e^{2\ln12}e2ln12 כ-2⋅122\cdot122⋅12 במקום 12212^2122.

שאלה 5 · חקירת מכפלה של פולינום ו-ln x, ומתיחה ושיקוף של הגרף

נתונה הפונקציה f(x)=x2⋅(−2+ln⁡x)f(x)=x^2\cdot(-2+\ln x)f(x)=x2⋅(−2+lnx).
בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV:
גרף I
גרף II
גרף III
גרף IV

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ג.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ד.

קבעו איזה מן הגרפים I-IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה f(x)f(x)f(x). נמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקציה g(x)=a⋅f(x)g(x)=a\cdot f(x)g(x)=a⋅f(x). aaa הוא פרמטר שונה מ-0. הפונקציות g(x)g(x)g(x) ו-f(x)f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום. נתון כי שיעור ה-y של נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x) הוא 0.6⋅e30.6\cdot e^30.6⋅e3.

ה(1).

מצאו את הערך של aaa.

ה(2).

מהו סוג נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x)? נמקו את תשובתכם.

ה(3).

קבעו איזה מן הגרפים I-IV שלפניכם מתאר את הפונקציה g(x)g(x)g(x). נמקו את קביעתכם.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

x>0x>0x>0

ln⁡x\ln xlnx מוגדר רק עבור x>0x>0x>0, ו-x2x^2x2 מוגדר לכל xxx. לכן תחום ההגדרה: x>0x>0x>0.
טעות נפוצה: לכתוב x≥0x\ge0x≥0 - ln⁡0\ln0ln0 אינו מוגדר.

סעיף ב

תשובה:

(e2,0)(e^2,0)(e2,0)

חיתוך עם ציר ה-y: x=0x=0x=0 אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-y.
חיתוך עם ציר ה-x: x2(−2+ln⁡x)=0x^2(-2+\ln x)=0x2(−2+lnx)=0. בתחום x>0x>0x>0 מתקיים x2≠0x^2\ne0x2=0, ולכן:
−2+ln⁡x=0⇒ln⁡x=2⇒x=e2-2+\ln x=0\quad\Rightarrow\quad\ln x=2\quad\Rightarrow\quad x=e^2−2+lnx=0⇒lnx=2⇒x=e2
נקודת החיתוך: (e2,0)(e^2,0)(e2,0).
טעות נפוצה: להוסיף את (0,0)(0,0)(0,0) מהגורם x2=0x^2=0x2=0 - הנקודה x=0x=0x=0 אינה בתחום ההגדרה.

סעיף ג

תשובה:

min⁡(e1.5,−0.5e3)\min(e^{1.5},-0.5e^3)min(e1.5,−0.5e3)

נגזרת של מכפלה:
f′(x)=2x(−2+ln⁡x)+x2⋅1x=−4x+2xln⁡x+x=x(2ln⁡x−3)f'(x)=2x(-2+\ln x)+x^2\cdot\frac1x=-4x+2x\ln x+x=x(2\ln x-3)f′(x)=2x(−2+lnx)+x2⋅x1​=−4x+2xlnx+x=x(2lnx−3)
f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0: x>0x>0x>0, ולכן 2ln⁡x−3=02\ln x-3=02lnx−3=0, כלומר ln⁡x=1.5\ln x=1.5lnx=1.5 ו-x=e1.5x=e^{1.5}x=e1.5.
סימן הנגזרת לפי 2ln⁡x−32\ln x-32lnx−3: שלילי עבור 0<x<e1.50<x<e^{1.5}0<x<e1.5 (יורדת), חיובי עבור x>e1.5x>e^{1.5}x>e1.5 (עולה). לכן זו נקודת מינימום.
f(e1.5)=(e1.5)2⋅(−2+1.5)=e3⋅(−0.5)=−0.5e3f(e^{1.5})=(e^{1.5})^2\cdot(-2+1.5)=e^3\cdot(-0.5)=-0.5e^3f(e1.5)=(e1.5)2⋅(−2+1.5)=e3⋅(−0.5)=−0.5e3
נקודת מינימום: (e1.5, −0.5e3)(e^{1.5},\,-0.5e^3)(e1.5,−0.5e3).
טעות נפוצה: לגזור את x2ln⁡xx^2\ln xx2lnx כ-2x⋅1x2x\cdot\frac1x2x⋅x1​ (מכפלת הנגזרות) במקום לפי כלל המכפלה.

סעיף ד

תשובה:

גרף I

מה שמצאנו: תחום x>0x>0x>0 (הגרף מתחיל בראשית ב"נקודה ריקה" ולא ממשיך שמאלה), נקודת קיצון אחת שהיא מינימום עם ערך שלילי (−0.5e3-0.5e^3−0.5e3), וחיתוך אחד עם ציר ה-x מימין למינימום (x=e2x=e^2x=e2).
•גרף II: יש לו מקסימום ולא מינימום.
•גרף III: המינימום שלו מעל ציר ה-x, ואין לו חיתוך עם ציר ה-x.
•גרף IV: יש לו מקסימום.
•גרף I: מתחיל בראשית, יורד למינימום שלילי, עולה וחוצה את ציר ה-x - מתאים.
התשובה: גרף I.
טעות נפוצה: לנמק לפי תכונה אחת בלבד (למשל "יש מינימום") בלי לפסול כל אחד מהגרפים האחרים.

סעיף ה(1)

תשובה:

a=−1.2a=-1.2a=−1.2

g′(x)=a⋅f′(x)g'(x)=a\cdot f'(x)g′(x)=a⋅f′(x), ולכן g′g'g′ מתאפסת באותה נקודה כמו f′f'f′: x=e1.5x=e^{1.5}x=e1.5. ערך הקיצון של ggg:
g(e1.5)=a⋅f(e1.5)=a⋅(−0.5e3)g(e^{1.5})=a\cdot f(e^{1.5})=a\cdot(-0.5e^3)g(e1.5)=a⋅f(e1.5)=a⋅(−0.5e3)
−0.5e3⋅a=0.6e3⇒a=0.6−0.5=−1.2-0.5e^3\cdot a=0.6e^3\quad\Rightarrow\quad a=\frac{0.6}{-0.5}=-1.2−0.5e3⋅a=0.6e3⇒a=−0.50.6​=−1.2
טעות נפוצה: לחשוב ששיעור ה-x של הקיצון משתנה בכפל ב-aaa - כפל בקבוע מותח את הגרף אנכית בלבד.

סעיף ה(2)

תשובה:

מקסימום

g(x)=−1.2f(x)g(x)=-1.2f(x)g(x)=−1.2f(x). כפל בקבוע שלילי הופך את סימן הנגזרת: היכן ש-fff יורדת, ggg עולה, והיכן ש-fff עולה, ggg יורדת.
fff יורדת לפני e1.5e^{1.5}e1.5 ועולה אחריה, ולכן ggg עולה לפני e1.5e^{1.5}e1.5 ויורדת אחריה - נקודת מקסימום.
(גרפית: הגרף של ggg הוא שיקוף של גרף fff ביחס לציר ה-x, עם מתיחה פי 1.2.)
טעות נפוצה: לענות "מינימום, כמו ב-fff" - הסימן השלילי של aaa הופך את סוג הקיצון.

סעיף ה(3)

תשובה:

גרף IV

ggg מוגדרת באותו תחום x>0x>0x>0, יש לה מקסימום אחד עם ערך חיובי (0.6e30.6e^30.6e3), והיא מתאפסת באותה נקודה כמו fff: x=e2x=e^2x=e2.
•גרף IV מתחיל בנקודה ריקה בראשית, עולה למקסימום חיובי, יורד וחוצה את ציר ה-x - מתאים.
•גרף II: גם לו יש מקסימום, אבל הוא מתחיל מתחת לציר ה-x וחוצה אותו פעמיים; ggg מתאפסת רק פעם אחת.
•גרפים I ו-III: יש להם מינימום.
התשובה: גרף IV.
טעות נפוצה: לבחור את גרף II כי "יש לו מקסימום", בלי לבדוק את מספר החיתוכים עם ציר ה-x ואת ההתחלה בראשית.

שאלה 1 · סדרה חשבונית והנדסית: פיקדונות לחיסכון ותשלומים על מקרר

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 2 · וקטורים בפירמידה משולשת: קטע מקביל לצלע הבסיס, זווית ושטח

סעיף א

סעיף ב(1)

סעיף ב(2)

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה(1)

סעיף ה(2)

שאלה 3 · גדילה ודעיכה: האזנות לשני שירים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 4 · חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, וגרף הנגזרת שלה

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד(1)

סעיף ד(2)

סעיף ה

שאלה 5 · חקירת מכפלה של פולינום ו-ln x, ומתיחה ושיקוף של הגרף

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה(1)

סעיף ה(2)

סעיף ה(3)

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד