בגרות במתמטיקה 472 - קיץ 2025 מועד א'

נכתוב כל איבר בעזרת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d$.

הנתון $a_2+a_4=a_6$:

בסדרה יש 46 איברים, ולכן האיבר האחרון הוא $a_{46}$:

מציבים $a_1=d$: $46d=138$, כלומר $d=3$, ולכן גם $a_1=3$.

בדיקה: $a_2+a_4=6+12=18=a_6$, ו-$a_{46}=3+45\cdot3=138$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_{46}=a_1+46d$. מהאיבר הראשון עד האיבר ה-46 מוסיפים את $d$ רק 45 פעמים.

מחשבים את האיברים של A שמופיעים בנתון ($a_n=3+3(n-1)=3n$):

לכן $b_1=18$, ו-$3b_3=24$, כלומר $b_3=8$.

בסדרה הנדסית $b_3=b_1q^2$:

שתי האפשרויות: $q=\frac23$ או $q=-\frac23$.

טעות נפוצה: לכתוב $b_3=b_1q^3$ (מהאיבר הראשון לשלישי כופלים ב-$q$ רק פעמיים), או לרשום רק את השורש החיובי ולאבד את האפשרות $q=-\frac23$.

בחירת המנה: אם $q=\frac23$, כל האיברים חיוביים וכל איבר קטן מקודמו - הסדרה יורדת. אם $q=-\frac23$, סימני האיברים מתחלפים (18, -12, 8, ...) והסדרה אינה עולה ואינה יורדת. לכן $q=-\frac23$.

האיברים במקומות הזוגיים הם $b_2,b_4,b_6,\dots$. כל אחד מהם מתקבל מקודמו בכפל ב-$q^2$, ולכן הם סדרה הנדסית אין-סופית:

$|q^2|<1$, ולכן הסדרה מתכנסת והסכום הוא:

טעות נפוצה: להשתמש במנה $q=-\frac23$ במקום $q^2$ בתת-הסדרה, ולקבל $\frac{-12}{1+\frac23}=-7.2$. בין שני איברים במקומות זוגיים סמוכים יש שני צעדים בסדרה B.

$\overrightarrow{BC}$: הולכים מ-B ל-A ומשם ל-C:

$\overrightarrow{ED}$: D אמצע BC, ולכן $\overrightarrow{AD}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac12\underline u+\frac12\underline v$. מ-E הולכים ל-A ומשם ל-D:

$\overrightarrow{AM}$: מ-A עולים ל-E, ומשם $\frac23$ מהדרך ל-D:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{ED}=\underline w-\overrightarrow{AD}$ (הפוך בכיוון). וקטור מ-E ל-D הוא "הסוף פחות ההתחלה": $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$.

קודם קובעים אילו מכפלות סקלריות מתאפסות:

- $\angle BAC=90^\circ$, ולכן $\underline u\cdot\underline v=0$.

•AE גובה בפירמידה, כלומר מאונך למישור הבסיס, ולכן מאונך לכל ישר בבסיס: $\underline w\cdot\underline u=0$, $\underline w\cdot\underline v=0$.

- $\underline u\cdot\underline u=|\underline u|^2=144$, וכך גם ל-$\underline v$ ול-$\underline w$.

עכשיו פותחים את המכפלה (נשארות רק המכפלות של וקטור בעצמו):

המכפלה הסקלרית אפס, ולכן $\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{ED}$.

טעות נפוצה: לאבד את הסימן של $-\underline w$ שבתוך $\overrightarrow{ED}$, לקבל $\frac13(72+72+144)\ne0$ ולהסיק בטעות שאין ניצבות.

כדי שישר יהיה מאונך למישור, מספיק שיהיה מאונך לשני ישרים נחתכים במישור.

במישור BEC יש את הישר ED (מסעיף ב(1) $\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{ED}$) ואת הישר BC. בודקים את BC:

(שאר המכפלות מתאפסות כמו בסעיף ב(1).)

הישרים ED ו-BC נחתכים בנקודה D ואינם מקבילים, ולכן $\overrightarrow{AM}$ מאונך למישור BEC.

טעות נפוצה: להסתפק בניצבות ל-ED בלבד. ניצבות לישר אחד במישור אינה מספיקה - צריך שני ישרים נחתכים.

A בראשית, והמקצועות AB, AC, AE מאונכים זה לזה (סעיף ב(1)), ולכן אפשר להניח אותם על שלושת הצירים.

כל אחד מהם באורך 12, והנקודות על החלק החיובי של הצירים:

טעות נפוצה: לשבץ את 12 בשיעור הלא נכון (למשל $B(0,12,0)$). נקודה על ציר ה-x היא מהצורה $(x,0,0)$.

D אמצע BC - ממוצע השיעורים:

M: לפי סעיף א, $\overrightarrow{AM}=\frac13(\underline u+\underline v+\underline w)$, ו-A בראשית:

(אותו דבר מ-$M=E+\frac23(D-E)=(0,0,12)+\frac23(6,6,-12)=(4,4,4)$.)

טעות נפוצה: להתחיל מ-D במקום מ-E ולחשב $D+\frac23(E-D)=(2,2,8)$. הנתון הוא $\overrightarrow{EM}=\frac23\overrightarrow{ED}$ - הנקודה במרחק $\frac23$ מ-E.

מסעיף ב(1) $\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{ED}$, ו-D נמצאת על הישר ED, ולכן במשולש AMD הזווית ב-M ישרה. הניצבים הם AM ו-MD.

טעות נפוצה: להכפיל את AM ב-AD (AD הוא היתר, לא ניצב) ולקבל $\frac12\cdot4\sqrt3\cdot6\sqrt2\approx29.39$.

מספר הצמחים במשתלה ב' גדל מהר יותר (10% לעומת 5% בשבוע).

אילו $a\ge600$, משתלה ב' הייתה מתחילה עם לפחות אותו מספר צמחים וגדלה מהר יותר, ולכן אחרי תחילת השתילה מספר הצמחים בה היה תמיד גדול יותר - ולא היה רגע שבו המספרים שווים.

כדי שהמשתלה שגדלה מהר יותר "תשיג" את השנייה, היא חייבת להתחיל ממספר קטן יותר: $a<600$. טענה I נכונה.

טעות נפוצה: לבחור בטענה II מתוך מחשבה ש"משתלה ב' גדולה יותר" - הקצב שלה גדול יותר, אבל ההתחלה חייבת להיות קטנה יותר.

מספר הצמחים אחרי $t$ שבועות: במשתלה א' $600\cdot1.05^t$, במשתלה ב' $a\cdot1.1^t$.

אחרי 17 שבועות משתלה ב' גדולה פי 2:

(בהתאם לסעיף א, $a<600$.)

טעות נפוצה: לשים את הפי 2 בצד של משתלה ב' ($2a\cdot1.1^{17}=600\cdot1.05^{17}$) ולקבל $a\approx136$. "ב' גדולה פי 2 מ-א'" פירושו ב' = 2 · א'.

נסמן ב-$B_0$ את מספר הצמחים במשתלה ב' בתחילת המכירה וב-$q$ את מנת הדעיכה השבועית. אחרי 5 שבועות:

($B_0$ מצטמצם - לא צריך לדעת אותו.)

בכל שבוע נשאר כ-88.08% מהצמחים, כלומר המספר קטן בכ-$100\%-88.08\%=11.92\%$.

טעות נפוצה: לחלק את הירידה הכוללת בין השבועות ($\frac{47\%}{5}=9.4\%$). הירידה היא באחוז קבוע מהכמות הנוכחית, ולכן מוציאים שורש חמישי ולא מחלקים.

נסמן ב-$A_0$ את מספר הצמחים במשתלה א' בתחילת המכירה. לפי נתון סעיף ב, בתחילת המכירה (שבוע 17) במשתלה ב' יש $2A_0$ צמחים.

אחרי $t$ שבועות של מכירה:

משווים ומצמצמים ב-$A_0$:

המספרים משתווים כעבור כ-16 שבועות מתחילת המכירה.

(בעיגול פחות גס של $q$ מתקבל 15.90 - אותה תשובה.)

טעות נפוצה: להתחיל את שלב המכירה מ-600 ומ-$a$ (הכמויות ביום השתילה) במקום מהכמויות אחרי 17 שבועות, שבהן משתלה ב' גדולה פי 2.

אסימפטוטה אנכית מתקבלת במקום שבו המכנה מתאפס (והמונה $e^{2x}$ אף פעם לא מתאפס). לכן המכנה מתאפס ב-$x=2$:

טעות נפוצה: להציב $x=2$ בפונקציה כולה ולנסות להשוות אותה לאפס - האסימפטוטה נקבעת מהמכנה בלבד.

עם $a=4$ המכנה הוא ריבוע שלם:

$f(x)=\frac{e^{2x}}{(x-2)^2}$ מוגדרת בכל מקום שבו המכנה אינו אפס, כלומר $x\ne2$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ne\pm2$ -הביטוי $(x-2)^2$ מתאפס רק ב-$x=2$.

ציר ה-y: $f(0)=\frac{e^0}{(0-2)^2}=\frac14$, הנקודה $\left(0,\frac14\right)$.

ציר ה-x: שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס, אבל $e^{2x}>0$ לכל $x$. לכן אין נקודות חיתוך עם ציר ה-x.

טעות נפוצה: לכתוב $f(0)=\frac{1}{-4}$ - המכנה $(0-2)^2=4$ חיובי.

גוזרים לפי כלל המנה ($\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, ו-$(e^{2x})'=2e^{2x}$):

מוציאים גורם משותף $2e^{2x}(x-2)$ ומצמצמים:

$f'(x)=0$ רק כאשר $x=3$. בטבלת הסימנים צריך לכלול גם את $x=2$ (שם הפונקציה אינה מוגדרת, והמכנה בחזקה אי-זוגית מחליף סימן):

- $x<2$: מונה שלילי, מכנה שלילי - $f'>0$, עולה.

- $2<x<3$: מונה שלילי, מכנה חיובי - $f'<0$, יורדת.

- $x>3$: מונה חיובי, מכנה חיובי - $f'>0$, עולה.

ב-$x=3$ הפונקציה עוברת מירידה לעלייה - מינימום. $f(3)=\frac{e^6}{1}=e^6\approx403.4$.

טעות נפוצה: לבנות טבלת סימנים רק סביב $x=3$ ולשכוח את $x=2$ - מתקבלת המסקנה השגויה שהפונקציה יורדת בכל התחום $x<3$.

מאחדים את המידע:

- $f(x)>0$ לכל $x$ בתחום (מונה ומכנה חיוביים).

•כאשר $x\to-\infty$: $e^{2x}\to0$ והמכנה גדל, ולכן $f(x)\to0$ - הישר $y=0$ אסימפטוטה אופקית משמאל, והגרף מעליו.

•ליד $x=2$ המכנה שואף ל-0 מצד חיובי, ולכן $f\to+\infty$ משני הצדדים.

•משמאל ל-2: עולה, עובר ב-$\left(0,\frac14\right)$.

•מימין ל-2: יורד עד המינימום $(3,e^6)$ ואז עולה ל-$+\infty$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף משמאל לאסימפטוטה יורד ל-$-\infty$ (כמו בגרף של $\frac1{x-2}$) - כאן המכנה בריבוע, ולכן הפונקציה חיובית משני הצדדים.

$h(x)=0$ כאשר $f(x)=e^9$. כלומר מספר נקודות החיתוך של $h$ עם ציר ה-x שווה למספר נקודות החיתוך של גרף $f$ עם הישר האופקי $y=e^9$.

$e^9>e^6$ (אותו בסיס, מעריך גדול יותר), כלומר הישר נמצא מעל נקודת המינימום.

לפי הסקיצה:

•בתחום $x<2$ הפונקציה עולה מ-0 ל-$+\infty$, ולכן חותכת את הישר פעם אחת.

•בתחום $2<x<3$ היא יורדת מ-$+\infty$ ל-$e^6$, ו-$e^9$ בטווח הזה - פעם אחת.

•בתחום $x>3$ היא עולה מ-$e^6$ ל-$+\infty$ - פעם אחת.

סך הכול 3 נקודות חיתוך.

טעות נפוצה: לספור רק שתי נקודות (סביב המינימום) ולשכוח את הענף שמשמאל לאסימפטוטה.

בנקודת קיצון הנגזרת מחליפה סימן: במקסימום מחיובית לשלילית, במינימום משלילית לחיובית.

ל-$f$ יש מקסימום ואחריו (מימין) מינימום, ואין קיצון נוסף. לכן סימני $f'$ משמאל לימין חייבים להיות: חיובי, שלילי, חיובי - והגרף של $f'$ צריך לחתוך את ציר ה-x פעמיים (לא רק להשיק לו).

•גרף I: שלילי, חיובי, שלילי - מינימום ואחריו מקסימום. פסול.

•גרף II: חיובי, שלילי, חיובי. מתאים.

•גרף III: מתחיל מתחת לציר: שלילי, חיובי, שלילי, חיובי - שתי נקודות מינימום ומקסימום אחד. פסול.

•גרף IV: הגרף משיק לציר ה-x ואינו חוצה אותו - הנגזרת אינה מחליפה סימן, ולכן אין ל-$f$ קיצון. פסול.

התשובה: גרף II.

טעות נפוצה: לבחור את גרף IV כי "יש לו מקסימום ומינימום" - זה תיאור של גרף $f$, לא של $f'$. הקיצון של $f$ נקבע לפי מקומות שבהם $f'$ מחליפה סימן.

ציר ה-y: הפונקציה מוגדרת רק ל-$x>0$, ולכן $x=0$ אינו בתחום ואין חיתוך עם ציר ה-y.

ציר ה-x: $4x(\ln x)^2=0$. $4x\ne0$ בתחום, ולכן $(\ln x)^2=0$, כלומר $\ln x=0$ ו-$x=1$.

הנקודה: $(1,0)$.

טעות נפוצה: לפתור גם $4x=0$ ולרשום את הנקודה $(0,0)$ - $x=0$ אינו בתחום ההגדרה.

גזירת מכפלה, ו-$\left((\ln x)^2\right)'=2\ln x\cdot\frac1x$ (כלל השרשרת):

$f'(x)=0$ כאשר $\ln x=0$ ($x=1$) או $\ln x=-2$ ($x=e^{-2}$).

טבלת סימנים:

- $0<x<e^{-2}$: $\ln x<-2$, שני הגורמים שליליים - $f'>0$, עולה.

- $e^{-2}<x<1$: $\ln x<0$, $\ln x+2>0$ - $f'<0$, יורדת.

- $x>1$: שני הגורמים חיוביים - $f'>0$, עולה.

מקסימום ב-$x=e^{-2}$: $f(e^{-2})=4e^{-2}\cdot(-2)^2=\frac{16}{e^2}\approx2.165$.

מינימום ב-$x=1$: $f(1)=0$.

טעות נפוצה: לגזור את $(\ln x)^2$ כ-$\frac{2}{x}$ (לשכוח את הגורם $\ln x$ מכלל השרשרת), או לחלק את המשוואה ב-$\ln x$ ולאבד את הפתרון $x=1$.

מה ידוע על $f$:

- $f(x)=4x(\ln x)^2\ge0$ לכל $x>0$ (מכפלה של חיובי בריבוע).

•המינימום $(1,0)$ נמצא על ציר ה-x: הגרף משיק לציר שם ולא חוצה אותו.

•משמאל למינימום יש מקסימום חיובי.

•כאשר $x\to0^+$ הפונקציה שואפת ל-0, אבל $x=0$ לא בתחום - נקודה ריקה בראשית.

רק גרף IV מתאים: הוא אי-שלילי, יש לו "גבעה" ואחריה השקה לציר ה-x. גרפים I, II ו-III מקבלים ערכים שליליים.

טעות נפוצה: לבחור את גרף III בגלל הגבעה והשקע - הוא יורד מתחת לציר ה-x, ו-$f$ לעולם אינה שלילית.

גרף $f'$ חותך את ציר ה-x ב-$x=e^{-2}$ וב-$x=1$, וביניהן $f'<0$ (סעיף ב(2)). זה התחום הסגור בין הגרף לציר.

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$, ולכן לא צריך למצוא קדומה חדשה:

(מפתח התשובות בספר נותן 2.615 - טעות הקלדה.)

טעות נפוצה: לחשב $\int_{e^{-2}}^{1}f'(x)\,dx$ ולקבל $-2.165$, ולהציג שטח שלילי - כשהגרף מתחת לציר, השטח הוא מינוס האינטגרל.