בגרות במתמטיקה 472 - חורף 2025

מתרגמים את הנתון למשוואה בעזרת האיבר הכללי $a_n=a_1q^{n-1}$:

בסדרה הנדסית $a_1\ne0$ ו-$q\ne0$, ולכן מותר לחלק ב-$a_1q$:

טעות נפוצה: לכתוב רק $q=3$. למשוואה $q^4=81$ (חזקה זוגית) יש גם פתרון שלילי.

כל האיברים חיוביים, ולכן המנה חיובית: במנה $q=-3$ האיברים מחליפים סימן. נשאר $q=3$.

בסדרה יש 10 איברים, ולכן שני האיברים האמצעיים הם החמישי והשישי: $a_5$ ו-$a_6$.

טעות נפוצה: לבחור כאמצעיים את $a_5$ בלבד, או את $a_6$ ו-$a_7$. בסדרה בת 10 איברים יש 4 איברים לפני $a_5$ ו-4 אחרי $a_6$.

קודם מחשבים את סכום כל 10 האיברים של A לפי נוסחת הסכום של סדרה הנדסית:

סכום A גדול פי 11 מסכום B, ולכן מחלקים ב-11:

טעות נפוצה: להציב בנוסחה $q^{9}$ במקום $q^{10}$ (כמו באיבר הכללי). בנוסחת הסכום של $n$ איברים המעריך הוא $n$.

נסמן ב-$b_1$ את האיבר הראשון וב-$d$ את ההפרש. מבטאים את $b_1$ באמצעות $d$:

מציבים בנוסחת הסכום של 32 איברים, ומשווים לסכום מסעיף ג:

טעות נפוצה: לתרגם את הנתון ל-$b_1=16d$. הנתון הוא על האיבר השני, ו-$b_2=b_1+d$.

בתיבה מקצועות מקבילים ושווים מייצגים אותו וקטור: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\underline v$ ו-$\vec{DD'}=\vec{AA'}=\underline w$.

$M$ מפגש האלכסונים בפאה $BCC'B'$, ולכן $M$ אמצע האלכסון $BC'$. $\vec{BC'}=\overrightarrow{BC}+\vec{CC'}=\underline v+\underline w$, ולכן:

טעות נפוצה: לחשב $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AP}$ - זה הווקטור $\overrightarrow{PM}$, הנגדי ל-$\overrightarrow{MP}$, וכל הסימנים מתהפכים.

בתיבה כל שלושת המקצועות שיוצאים מקודקוד מאונכים זה לזה, ולכן $\underline u\cdot\underline v=\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$.

כל המכפלות המעורבות מתאפסות, ונשארים רק הריבועים:

המכפלה הסקלרית 0, ולכן $\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{MP}$.

טעות נפוצה: לכפול $\frac13\cdot\frac16$ ולקבל $\frac1{18}$ עם סימן חיובי - האיבר הוא $\frac13\underline w\cdot\left(-\frac16\underline w\right)=-\frac1{18}\underline w^2$, ובלי המינוס המכפלה יוצאת 64.

לפי ב(1) הזווית $APM$ ישרה, ולכן הניצבים הם $AP$ ו-$MP$. מחשבים אורכים דרך הריבוע הסקלרי:

טעות נפוצה: לשכוח לרבע את המקדמים ($\frac12\underline v$ תורם $\frac14\underline v^2$, לא $\frac12\underline v^2$).

המרחקים מ-$D$ לאורך הצירים הם אורכי המקצועות: $DA=|\underline v|=8$, $DC=|\underline u|=24$, $DD'=|\underline w|=24$.

לכן $A(8,0,0)$, $C(0,24,0)$, $D'(0,0,24)$.

$B=A+\overrightarrow{AB}$, ו-$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(0,24,0)$, ולכן $B(8,24,0)$.

$C'=C+\vec{CC'}$, ו-$\vec{CC'}=\vec{DD'}=(0,0,24)$, ולכן $C'(0,24,24)$.

טעות נפוצה: לשים את $C$ במרחק 8 מ-$D$. $DC$ מקביל ל-$AB$, ולכן אורכו $|\underline u|=24$, לא $|\underline v|$.

$M$ אמצע האלכסון $BC'$, ולכן שיעוריה הם ממוצע השיעורים של $B(8,24,0)$ ו-$C'(0,24,24)$:

טעות נפוצה: לקחת אמצע של $BC$ (מקצוע) במקום אמצע האלכסון של הפאה, ולקבל $(4,24,0)$.

$DP=\frac13DD'=8$, ולכן $P(0,0,8)$.

הזווית $PMB$ היא הזווית בין הווקטורים שיוצאים מ-$M$:

$\overrightarrow{MP}=P-M=(-4,-24,-4)$, $\overrightarrow{MB}=B-M=(4,0,-12)$.

טעות נפוצה: לקחת את $\overrightarrow{PM}$ במקום $\overrightarrow{MP}$ - הזווית שמתקבלת היא הזווית המשלימה, $95.89^\circ$.

המזרן התחיל בנפח גדול יותר (7,400 לעומת 3,700), וכעבור 7 ימים הנפחים השתוו. לכן המזרן מאבד בכל יום אחוז גדול יותר: מנת הדעיכה שלו קטנה יותר.

נסמן ב-$q_1$ את מנת הגלגל וב-$q_2$ את מנת המזרן, $q_2<q_1$. יחס הנפחים אחרי $t$ ימים:

$\frac{q_2}{q_1}<1$, ולכן היחס יורד כל הזמן. ב-$t=7$ הוא שווה 1; לפני כן הוא גדול מ-1 (המזרן גדול), ואחרי כן קטן מ-1 (הגלגל גדול).

I: אחרי 6 ימים המזרן עדיין גדול - הטענה לא נכונה. II: אחרי 8 ימים הגלגל גדול - הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לחשוב שהמזרן, שהתחיל גדול, נשאר גדול גם אחרי יום 7. אחרי נקודת ההשוואה הסדר מתהפך, כי הוא מאבד אחוז גדול יותר.

מנת הדעיכה של הגלגל: $q_1=1-0.04=0.96$. נסמן ב-$q$ את מנת המזרן.

כעבור 7 ימים הנפחים שווים:

האחוז שבו הנפח קטן: $1-0.8695=0.1305$, כלומר כ-13.05% ביום.

טעות נפוצה: לענות 86.95% - זו המנה (החלק שנשאר בכל יום), לא האחוז שבו הנפח קטן.

מחלקים ב-$7400\cdot0.96^t$ ומכנסים לחזקה אחת:

לפי סעיף ב, $\frac q{0.96}=\frac1{\sqrt[7]2}=2^{-\frac17}$, ולכן $2^{-\frac t7}=\frac16$, כלומר $2^{\frac t7}=6$:

(בחישוב עם $q\approx0.8695$: $t=\frac{\log\frac16}{\log\frac{0.8695}{0.96}}\approx18.1$.)

טעות נפוצה: לכתוב $7400q^t=3\cdot3700\cdot0.96^t$ - "נפח המזרן הוא $\frac13$ מנפח הגלגל" פירושו שהמזרן קטן, ולכן ה-$\frac13$ מוכפל בנפח הגלגל.

נסמן ב-$V_0$ את הנפח בתחילת הניפוח וב-$n$ את מספר הדקות. מנת הגדילה היא $1.22$:

הנפח ההתחלתי מצטמצם, ולכן לא צריך לדעת אותו.

טעות נפוצה: להשתמש במנה $0.22$ במקום $1.22$ - בגדילה ב-22% הנפח מוכפל בכל דקה ב-$1+0.22$.

בנקודת מקסימום של $f$ הנגזרת מתאפסת ועוברת מחיובית (הפונקציה עולה) לשלילית (הפונקציה יורדת).

בגרף I הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית בנקודת החיתוך הימנית עם ציר ה-$x$, שבה $x>0$. בנקודת החיתוך השמאלית היא עוברת משלילית לחיובית - שם יש מינימום. כלומר מקסימום אחד, ב-$x$ חיובי - מתאים לנתון.

בגרף II הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית בנקודת החיתוך השמאלית, שבה $x<0$ - המקסימום היה ב-$x$ שלילי, בסתירה לנתון.

לכן גרף I מתאר את $f'(x)$.

טעות נפוצה: לחפש את המקסימום של $f$ בנקודת השיא של הגרף. השיא של גרף הנגזרת הוא המקום שבו $f$ עולה הכי מהר, לא נקודת קיצון של $f$.

$f(x)=0$. הגורם $e^{-2x+1}$ חיובי תמיד ולכן לא מתאפס, כך שנשאר:

נקודות החיתוך: $(-\sqrt2,0)$ ו-$(\sqrt2,0)$.

טעות נפוצה: לפתור גם $e^{-2x+1}=0$ ולקבל $x=\frac12$. לחזקה של $e$ אין ערך 0.

גוזרים לפי כלל המכפלה, ונגזרת $e^{-2x+1}$ היא $-2e^{-2x+1}$:

סימן $f'$ הוא סימן $-2x^2+2x+4$ (פרבולה הפוכה): שלילי ב-$x<-1$, חיובי ב-$-1<x<2$, שלילי ב-$x>2$.

לכן ב-$x=-1$ מינימום: $f(-1)=(1-2)e^{3}=-e^3$. ב-$x=2$ מקסימום: $f(2)=(4-2)e^{-3}=\frac2{e^3}$.

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $-2$ של $e^{-2x+1}$ ולקבל $f'(x)=e^{-2x+1}(-x^2+2x+2)$, עם נקודות קיצון שגויות.

מאספים את מה שמצאנו:

•כאשר $x\to-\infty$: $x^2-2\to\infty$ ו-$e^{-2x+1}\to\infty$, ולכן $f(x)\to\infty$.

•הגרף יורד, חותך את ציר ה-$x$ ב-$x=-\sqrt2\approx-1.41$, ומגיע למינימום $(-1,-e^3)\approx(-1,-20.1)$.

•הגרף עולה, חותך את ציר ה-$y$ ב-$(0,-2e)$ ואת ציר ה-$x$ ב-$x=\sqrt2$, ומגיע למקסימום $\left(2,\frac2{e^3}\right)\approx(2,0.1)$.

•כאשר $x\to\infty$: $e^{-2x+1}$ שואף ל-0 מהר יותר משהגורם $x^2-2$ גדל, ולכן $f(x)\to0$. הגרף חיובי שם, כלומר מתקרב לציר ה-$x$ מלמעלה: $y=0$ אסימפטוטה אופקית מימין.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ אחרי המקסימום. עבור $x>\sqrt2$ שני הגורמים חיוביים, ולכן הגרף רק מתקרב לציר.

חזקה של בסיס חיובי ($e\approx2.718$) היא תמיד חיובית, לכל מעריך: $e^{-2x+1}>0$.

מכפלה של מספר חיובי (7) במספר חיובי היא חיובית, ולכן $g(x)>0$ לכל $x$.

טעות נפוצה: לחשוב שכאשר המעריך $-2x+1$ שלילי (ב-$x>\frac12$) גם החזקה שלילית. מעריך שלילי נותן מספר בין 0 ל-1, לא מספר שלילי.

מחלקים ב-$e^{-2x+1}$ (שונה מ-0):

מציבים ב-$g$: $g(-3)=7e^{7}$, $g(3)=7e^{-5}=\frac7{e^5}$.

טעות נפוצה: להציב $x=-3$ ולחשב $e^{-2\cdot(-3)+1}=e^{-5}$. מינוס כפול מינוס: המעריך הוא $6+1=7$.

האנכים הם $x=-3$ ו-$x=3$, ולפי ד(1) $g$ חיובית, ולכן השטח הוא האינטגרל עצמו:

פונקציה קדומה של $e^{-2x+1}$ היא $-\frac12e^{-2x+1}$ (מחלקים בנגזרת הפנימית), ולכן:

טעות נפוצה: לכתוב קדומה $7e^{-2x+1}$ בלי לחלק ב-$-2$ - מקבלים פי $-2$ מהתוצאה ושטח שלילי.

$\ln x$ מוגדר רק עבור $x>0$.

המכנה $(\ln x)^2$ אסור שיתאפס: $\ln x=0\iff x=1$, ולכן $x\ne1$.

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\ne1$.

טעות נפוצה: לכתוב רק $x>0$ ולשכוח את האיפוס של המכנה, או לכתוב $x\ne0$ במקום $x\ne1$.

ב-$x=1$ המכנה מתאפס והמונה שווה $6\ne0$, ולכן כאשר $x\to1$ הפונקציה שואפת לאינסוף: $x=1$ אסימפטוטה אנכית.

(ב-$x=0$, קצה התחום, $f\to0$ - שם אין אסימפטוטה.)

טעות נפוצה: לענות $x=0$ כי $\ln x$ "מתפוצץ" שם. הלוגריתם נמצא במכנה בריבוע, ולכן כאשר $x\to0^+$ הפונקציה שואפת ל-0.

ציר ה-$y$: צריך $x=0$, אבל $x=0$ לא בתחום ההגדרה.

ציר ה-$x$: $f(x)=0\iff6x=0\iff x=0$ - שוב לא בתחום.

לכן אין נקודות חיתוך עם הצירים.

טעות נפוצה: לענות שיש חיתוך בראשית כי $6\cdot0=0$. הראשית אינה בתחום ההגדרה, ובגרף היא נקודה ריקה.

גוזרים לפי כלל המנה. נגזרת המכנה $(\ln x)^2$ היא $2\ln x\cdot\frac1x$:

$f'(x)=0\iff\ln x=2\iff x=e^2$.

טבלת סימנים (כולל $x=1$, שבו הפונקציה לא מוגדרת):

- $0<x<1$: $\ln x<0$, ולכן מונה שלילי ומכנה $(\ln x)^3$ שלילי: $f'>0$.

- $1<x<e^2$: $0<\ln x<2$: מונה שלילי, מכנה חיובי: $f'<0$.

- $x>e^2$: מונה ומכנה חיוביים: $f'>0$.

ב-$x=e^2$ הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום. $f(e^2)=\frac{6e^2}{2^2}=1.5e^2\approx11.08$.

טעות נפוצה: לצמצם $(\ln x)^4$ ל-$(\ln x)^2$ ולקבוע שהמכנה חיובי תמיד. אחרי הצמצום נשאר $(\ln x)^3$, שסימנו מתחלף ב-$x=1$.

מטבלת הסימנים של ב(1): $f'>0$ ב-$0<x<1$ וב-$x>e^2$.

טעות נפוצה: לכתוב עלייה $x>e^2$ בלבד, ולפספס שגם משמאל לאסימפטוטה הפונקציה עולה.

בכל תחום ההגדרה $6x>0$ ו-$(\ln x)^2>0$, ולכן $f(x)>0$: הגרף כולו מעל ציר ה-$x$.

בגרפים II ו-III הענף השמאלי מתחת לציר, ובגרפים I ו-III הענף הימני מתחת לציר. נשאר גרף IV.

הוא גם מתאים לחקירה: עולה ב-$0<x<1$, ומימין לאסימפטוטה יורד למינימום ועולה.

טעות נפוצה: לבחור גרף לפי הענף הימני בלבד (II ו-IV נראים שם אותו דבר) בלי לבדוק את סימן הפונקציה ב-$0<x<1$.

$g'(x)=f(x)-5$, ולכן $g'(x)=0\iff f(x)=5$, וסימן $g'$ נקבע לפי האם $f$ מעל הישר $y=5$ או מתחתיו.

ב-$0<x<1$: $f$ עולה מ-0 (כאשר $x\to0^+$) לאינסוף (כאשר $x\to1^-$), ולכן חוצה את $y=5$ פעם אחת. לפני נקודת החיתוך $f<5$ ($g'<0$), ואחריה $f>5$ ($g'>0$): $g$ עוברת מירידה לעלייה - מינימום.

ב-$x>1$: הערך הקטן ביותר של $f$ הוא $1.5e^2\approx11.08>5$, ולכן $g'>0$ ואין שם נקודות קיצון.

לכן ל-$g$ נקודת קיצון אחת, והיא מינימום.

טעות נפוצה: לחפש את נקודות הקיצון רק בענף הימני ($x>1$), לראות ש-5 קטן מהמינימום $1.5e^2$ ולענות "אין נקודות קיצון". בענף השמאלי $f$ עולה מ-0 לאינסוף, ולכן חוצה את הישר $y=5$.

צריך שהישר $y=c$ יחתוך את גרף $f$ בשלוש נקודות שבכל אחת מהן הסימן של $f-c$ מתחלף.

ב-$0<x<1$ יש תמיד חיתוך אחד (לכל $c>0$). מימין לאסימפטוטה יהיו שני חיתוכים רק אם הישר מעל המינימום: $c>1.5e^2\approx11.08$.