בגרות במתמטיקה 472 - חורף 2022

הפירמידה ישרה, ולכן כל המקצועות הצדדיים שווים: $|\underline u|=|\underline v|=|\underline w|=3$.

הזווית בין $\underline u=\overrightarrow{SA}$ ל-$\underline v=\overrightarrow{SB}$ היא הזווית $ASB$, כי שני הווקטורים יוצאים מאותה נקודה $S$. כך גם לשני הזוגות האחרים - כל הזוויות $30^\circ$.

לפי הגדרת המכפלה הסקלרית:

ובאותו אופן $\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=4.5\sqrt3$.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\sin30^\circ$ במקום ב-$\cos30^\circ$ ולקבל $4.5$.

הולכים מ-$A$ אל $S$ (נגד $\underline u$) ומשם אל $B$:

באותו אופן דרך $S$ אל $C$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AB}=\underline u-\underline v$. הווקטור $\overrightarrow{AS}$ הפוך ל-$\underline u=\overrightarrow{SA}$, ולכן $\underline u$ מופיע עם מינוס.

אורך וקטור מחשבים דרך הריבוע הסקלרי שלו, ופותחים כמו נוסחת כפל מקוצר:

באותו אופן $|\overrightarrow{AC}|^2=\underline w^2-2\,\underline u\cdot\underline w+\underline u^2=18-9\sqrt3$, ולכן גם $|\overrightarrow{AC}|\approx1.553$.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם 2 במכפלה המעורבת ולקבל $|\overrightarrow{AB}|^2=18-4.5\sqrt3$.

הזווית $BAC$ היא הזווית בין $\overrightarrow{AB}$ ל-$\overrightarrow{AC}$. קודם מחשבים את המכפלה הסקלרית שלהם בפתיחת סוגריים:

עכשיו נוסחת הזווית בין וקטורים:

ולכן $\angle BAC=60^\circ$.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר $\underline u^2=9$ בפתיחת הסוגריים, ולקבל מכפלה שלילית וזווית קהה.

וקטור מאונך למישור אם הוא מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים שנמצאים במישור. במישור $ABC$ בוחרים את $\overrightarrow{AB}$ ואת $\overrightarrow{AC}$.

באותו אופן:

$\overrightarrow{AB}$ ו-$\overrightarrow{AC}$ אינם קולינאריים (הם צלעות של משולש), ולכן $\overrightarrow{SM}$ מאונך למישור $ABC$.

טעות נפוצה: להראות ניצבות רק ל-$\overrightarrow{AB}$ ולהסיק ניצבות למישור. ניצבות לישר אחד במישור אינה מספיקה.

לפי סעיף ג, $SM$ מאונך למישור הבסיס, ולכן הוא גובה הפירמידה: $h=m$.

שטח הבסיס לפי שתי צלעות והזווית שביניהן (מסעיפים ב(2) ו-ב(3)):

נפח פירמידה הוא שליש משטח הבסיס כפול הגובה:

טעות נפוצה: לשכוח את השליש בנוסחת נפח הפירמידה (כמו במנסרה) ולקבל $\approx1.044m$.

בתהליך מעריכי הכמות אחרי $t$ חודשים היא $f(t)=f(0)\cdot q^t$, כאשר $q$ הוא הפי-כמה בכל חודש.

הכמות ההתחלתית 104, ואחרי 5 חודשים 200:

מוציאים שורש חמישי (חזקה $\frac15$):

מספר החולים עלה בכל חודש פי $1.14$ בערך.

טעות נפוצה: לחלק את העלייה הכוללת שווה בשווה בין החודשים ($\frac{200-104}{5}$, או $\frac{1.923}{5}$) - זה מתאים לתהליך קווי, לא מעריכי.

התהליך השני מתחיל ביום החיסון, עם 200 חולים. אחרי 3 חודשים נשארו 40% מהם, כלומר $0.4\cdot200$:

בכל חודש נשאר $73.68\%$ מהחולים, ולכן הירידה היא:

טעות נפוצה: לענות $73.68\%$ - זה האחוז שנשאר בכל חודש, לא האחוז שבו המספר ירד.

20 חולים נמצאים בשלב הירידה. נסמן ב-$t$ את מספר החודשים מיום החיסון. בשלב השני $f(t)=200\cdot q^t$ עם $q^3=0.4$, כלומר $q^t=0.4^{\frac t3}$:

פותרים בעזרת לוגריתם:

השאלה שואלת מזמן גילוי הנגיף, ולכן מוסיפים את 5 החודשים של שלב העלייה:

טעות נפוצה: לענות $7.54$ - זה הזמן מיום החיסון בלבד, בלי 5 החודשים שעברו מגילוי הנגיף ועד החיסון.

בלי חיסון התהליך הראשון נמשך כל $12.54$ החודשים מגילוי הנגיף, עם אותה מנה $q$ מסעיף א.

כדי לא לצבור שגיאת עיגול בחזקה גבוהה, משתמשים ב-$q^5=\frac{200}{104}$ המדויק: $q^{12.54}=\left(\frac{200}{104}\right)^{\frac{12.54}5}$.

היו בערך 536 חולים.

טעות נפוצה: להתחיל מ-200 חולים ולהעלות בחזקת $12.54$ (כאילו התהליך מתחיל ביום החיסון), ולקבל בערך 1,031 חולים.

הבעיה היחידה האפשרית היא המכנה $e^x$. אבל $e^x>0$ לכל $x$, ולכן המכנה לעולם לא מתאפס.

תחום ההגדרה: כל $x$.

טעות נפוצה: לפסול את $x=0$ כאילו $e^0=0$. בפועל $e^0=1$.

הנקודה $(0,0)$ על הגרף, ולכן $f(0)=0$. מציבים $e^0=1$:

טעות נפוצה: להציב $e^0=0$ באיבר $\frac{e^x}2$, לקבל $8+c=0$ ולענות $c=-8$. $e^0=1$ בכל האיברים.

פותרים $f(x)=0$:

כופלים ב-$2e^x$ (חיובי, ולכן לא מוסיף ולא מאבד פתרונות):

מציבים $t=e^x$ ומקבלים משוואה ריבועית:

$e^x=1$ נותן $x=0$ - זו הראשית שכבר ידועה. $e^x=16$ נותן $x=\ln16$.

נקודת החיתוך הנוספת: $(\ln16,0)$, בערך $(2.77,0)$.

טעות נפוצה: לכפול ב-$e^x$ ולשכוח לכפול את $\frac{e^x}2$: $8+\frac{e^x}2-8.5e^x=0$, כלומר $8=8e^x$ - רק $x=0$, ולענות שאין נקודת חיתוך נוספת.

כותבים $\frac8{e^x}=8e^{-x}$ וגוזרים:

$f'(x)=0$: כופלים ב-$2e^x$:

(הפתרון $e^x=-4$ נפסל, כי $e^x>0$.)

סימן הנגזרת: $f'(x)=\frac{e^{2x}-16}{2e^x}$, והמכנה חיובי. לפני $\ln4$ המונה שלילי ואחריו חיובי:

נקודת הקיצון: $\min(\ln4,-4.5)$.

טעות נפוצה: לגזור את $8e^{-x}$ ל-$8e^{-x}$ בלי המינוס מכלל השרשרת, ולקבל נגזרת שלא מתאפסת אף פעם.

מרכזים את מה שמצאנו:

•חיתוכים עם ציר ה-$x$: $(0,0)$ ו-$(\ln16,0)$.

•מינימום ב-$(\ln4,-4.5)$; ירידה לפניו ועלייה אחריו.

•כש-$x\to\infty$: $\frac{e^x}2\to\infty$, וכש-$x\to-\infty$: $\frac8{e^x}\to\infty$. לכן הגרף עולה לאינסוף בשני הצדדים.

הגרף נראה כמו "קערה": יורד מאינסוף, עובר בראשית, יורד עד $(\ln4,-4.5)$, עולה, חותך ב-$(\ln16,0)$ וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: לצייר אסימפטוטה אופקית $y=-8.5$ בצד אחד, כאילו אחד האיברים המעריכיים שואף ל-0 - אבל בכל צד אחד מהשניים שואף לאינסוף.

השטח $S$ נמצא בין $x=0$ ל-$x=\ln16$, מתחת לציר ה-$x$.

לשלוש הפונקציות $f$, $-f$ ו-$2f$ אותן נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$: אם $f(x)=0$ אז גם $-f(x)=0$ ו-$2f(x)=0$.

הגרף של $-f(x)$ הוא שיקוף של הגרף של $f(x)$ ביחס לציר ה-$x$. השיקוף לא משנה מרחקים, ולכן השטח נשמר: $S_1=S$.

הגרף של $2f(x)$ הוא מתיחה אנכית פי 2: כל מרחק מהציר מוכפל ב-2, ולכן גם השטח מוכפל:

טעות נפוצה: לחשוב ש-$S_1$ "שלילי" ולכן קטן מ-$S$. שטח הוא תמיד חיובי - השיקוף רק מעביר אותו לצד השני של הציר.

שני תנאים: הארגומנט של $\ln$ חיובי, והמכנה שונה מ-0.

התנאי של המכנה ($x\neq-1$) כבר כלול בתנאי הזה.

תחום ההגדרה: $x>-1$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ge-1$ או $x\neq-1$ בלבד. הלוגריתם מוגדר רק לארגומנט חיובי ממש.

בודקים את קצה התחום $x=-1$. כש-$x\to-1^+$:

$\ln(x+1)\to-\infty$, והמכנה $x+1\to0^+$.

מספר שלילי גדול מחולק במספר חיובי קטן שואף ל-$-\infty$, ולכן $f(x)\to-\infty$.

האסימפטוטה המאונכת: $x=-1$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמונה $\ln(x+1)$ שואף ל-0 ליד $x=-1$ (בלבול עם $\ln1=0$), לראות ביטוי מסוג $\frac00$ ולהסיק שאין אסימפטוטה אנכית. כש-$x+1\to0^+$, $\ln(x+1)\to-\infty$.

שבר שווה 0 כשהמונה 0 (והמכנה מוגדר ושונה מ-0):

נקודת החיתוך: $(0,0)$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln(x+1)=0$ כ-$x+1=0$, כלומר $x=-1$ - נקודה שאינה בתחום.

גוזרים לפי כלל המנה, עם $(\ln(x+1))'=\frac1{x+1}$:

$f'(x)=0$ כשהמונה 0:

המכנה חיובי, ולכן הסימן הוא של $1-\ln(x+1)$: חיובי לפני $e-1$ ושלילי אחריו.

נקודת הקיצון: $\max\left(e-1,\frac1e\right)$.

טעות נפוצה: להפוך את סדר האיברים במונה של כלל המנה ולקבל $f'(x)=\frac{\ln(x+1)-1}{(x+1)^2}$. נקודת הקיצון יוצאת באותו מקום, אבל טבלת הסימנים מתהפכת ועונים "מינימום $\left(e-1,\frac1e\right)$".

לפי טבלת הסימנים מסעיף ג, ורק בתוך תחום ההגדרה $x>-1$:

עלייה: $-1<x<e-1$ (שם $f'(x)>0$).

ירידה: $x>e-1$ (שם $f'(x)<0$).

טעות נפוצה: לכתוב עלייה $x<e-1$ בלי הגבול $x>-1$, כלומר לכלול נקודות שאינן בתחום ההגדרה.

מרכזים את המידע:

•אסימפטוטה $x=-1$, והגרף יורד שם ל-$-\infty$.

•חיתוך עם הצירים בראשית בלבד.

•עלייה עד $x=e-1\approx1.72$, מקסימום בגובה $\frac1e\approx0.37$, ואחריו ירידה.

•עבור $x>0$ המונה והמכנה חיוביים, ולכן הגרף מעל ציר ה-$x$ ויורד לכיוונו בלי לחצות אותו.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ שוב אחרי המקסימום. לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת בלבד, ו-$f(x)>0$ לכל $x>0$.

מכפלה חיובית כששני הגורמים באותו סימן.

סימן $f$: שלילית ב-$-1<x<0$, חיובית ב-$x>0$ (סעיפים ב, ה).

סימן $f'$: חיובית ב-$-1<x<e-1$, שלילית ב-$x>e-1$ (סעיף ד).

שתיהן חיוביות: $x>0$ וגם $x<e-1$, כלומר $0<x<e-1$.

שתיהן שליליות: $-1<x<0$ וגם $x>e-1$ - אין חפיפה.

התחום: $0<x<e-1$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את המקרה ששתיהן חיוביות ולא לבדוק את המקרה ששתיהן שליליות, או לענות $-1<x<e-1$ (רק לפי $f'$).