מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך - שאלון 571

הוכחה באינדוקציה דורשת שני שלבים: בסיס (הטענה נכונה ל-$n=1$) וצעד (אם נכונה ל-$n$ - נכונה ל-$n+1$). הטענה שבמסגרת היא רק הצעד.

צעד לבדו אינו מספיק: למשל הביטוי $n^3-n+1$ מקיים את אותו צעד בדיוק (ההפרש $\big((n+1)^3-(n+1)+1\big)-\big(n^3-n+1\big)=3n^2+3n$ מתחלק ב-3), אבל הוא אף פעם לא מתחלק ב-3 (השארית תמיד 1).

לכן דן אינו צודק. כדי להשלים את ההוכחה צריך גם בסיס: עבור $n=1$, $1^3-1=0$ מתחלק ב-3 - ורק אז (בסיס + צעד) הטענה נכונה לכל $n$.

טעות נפוצה: לענות "כן, דן צודק" כי $n^3-n$ באמת מתחלק ב-3 לכל $n$ - נכונות המסקנה לא הופכת את הנימוק של דן להוכחה.

$f$ זוגית ומוגדרת לכל $x$, ולכן $f(-x)=f(x)$ לכל $x$.

גוזרים את שני האגפים לפי $x$. באגף שמאל - כלל השרשרת (הנגזרת של $-x$ היא $-1$):

התחום של $f'$ סימטרי (כל הישר), ולכן $f'$ אי-זוגית.

טעות נפוצה: לגזור את $f(-x)$ בלי כלל השרשרת, לקבל $f'(-x)=f'(x)$ ולהסיק בטעות ש"הנגזרת זוגית והטענה לא נכונה".

$F(0)=\int_{-1}^{0}f(x)\,dx$. לפי הגרף, בתחום $-1<x<0$ הפונקציה חיובית (הגרף מעל ציר ה-$x$).

אינטגרל של פונקציה חיובית על קטע (מהגבול הקטן לגדול) הוא חיובי, ולכן $F(0)>0$ (הוא שווה לשטח שבין הגרף לציר בקטע).

טעות נפוצה: לענות $F(0)=0$ כי $f(0)=0$ - מבלבלים בין ערך הפונקציה בנקודה לבין השטח המצטבר עד הנקודה.

לפי המשפט היסודי $F'(a)=f(a)$. $F$ יורדת היכן ש-$f(a)<0$.

מהגרף: $f<0$ בתחום $2<x<4$. למשל ב-$a=3$: $F'(3)=f(3)<0$, ולכן $F$ יורדת.

טעות נפוצה: לבחור ערך שבו הגרף של $f$ יורד אבל עדיין מעל הציר, כמו $a=1.5$ - שם $f>0$ ולכן $F$ עולה.

$F'(a)=f(a)$. $f$ חיובית ב-$-1<x<2$ (ב-$x=0$ היא רק נוגעת בציר ולא מחליפה סימן), ושלילית ב-$2<x<4$.

לכן $F$ עולה עד $a=2$ ויורדת אחריו: ב-$a=2$ יש ל-$F$ מקסימום.

(בקצה $a=4.4$ $F$ שוב עולה, אבל מהגרף השטח שמתחת לציר בין 2 ל-4 גדול בהרבה מהשטח שמעליו בין 4 ל-$4.4$, ולכן $F(4.4)<F(2)$ - המקסימום הגדול ביותר הוא ב-$a=2$.)

טעות נפוצה: לענות $a\approx1.2$ - שם יש מקסימום ל-$f$, לא ל-$F$; ל-$F$ יש קיצון היכן ש-$f$ מחליפה סימן.

בסדרה יש $2n+1$ איברים, ולכן האיבר האמצעי הוא $a_{n+1}$ ($n$ איברים לפניו ו-$n$ אחריו).

לפי האיבר הכללי $a_k=a_1+(k-1)d$:

ההפרשים שווים, ולכן $a_1,a_{n+1},a_{2n+1}$ מהווים סדרה חשבונית.

טעות נפוצה: לקחת את $a_n$ כאיבר האמצעי - ההפרשים יוצאים $(n-1)d$ ו-$(n+1)d$, ומסיקים בטעות שהשלושה אינם סדרה חשבונית.

מהחישוב בסעיף ד(1): ההפרש בין כל שני איברים עוקבים בסדרה החדשה הוא $nd$.

טעות נפוצה: לחשב את ההפרש בין הראשון לאחרון, $a_{2n+1}-a_1=2nd$, ולענות $2nd$.

המרובע $ABDE$ חסום במעגל, ולכן סכום הזוויות הנגדיות $\angle ABD$ ו-$\angle AED$ הוא $180^\circ$.

$\angle DEC$ צמודה ל-$\angle AED$ (הנקודות $A,E,C$ על ישר אחד), ולכן $\angle DEC=180^\circ-\angle AED=\angle ABD=\angle ABC$.

במשולשים $ABC$ ו-$DEC$: $\angle ABC=\angle DEC$ ו-$\angle C$ משותפת. לפי משפט הדמיון ז.ז:

טעות נפוצה: להניח (לפי הסרטוט) ש-$DE\parallel AB$ ולהסיק $\angle CED=\angle CAB$ - כלומר התאמה $A\leftrightarrow E$. הישר $DE$ אינו מקביל ל-$AB$; הזווית ב-$E$ שווה לזווית ב-$B$.

מהדמיון בסעיף א, לפי ההתאמה $B\leftrightarrow E$, $A\leftrightarrow D$:

נסמן $EC=8k$, $AE=17k$, ולכן $AC=25k$. $AD$ תיכון, ולכן $DC=\frac{BC}{2}$:

טעות נפוצה: לשכוח ש-$D$ אמצע $BC$ ולכתוב $DC=BC$: $BC^2=200k^2$, ומקבלים $\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt2}{5}\approx0.57$.

יחס הדמיון בין $\triangle DEC$ ל-$\triangle ABC$ הוא $\frac{EC}{BC}=\frac{8k}{20k}=\frac25$ (בדיקה: $\frac{DC}{AC}=\frac{10k}{25k}=\frac25$).

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: להשתמש ביחס הדמיון עצמו (ולא בריבועו) ליחס השטחים: $S_{ABC}=\frac52S$, ומקבלים $S_{ABDE}=\frac32S$.

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת.

בין המשיק $EB$ למיתר $BF$: $\angle EBF=\angle BAF=\alpha$ (שתיהן נשענות על הקשת $BF$).

בין המשיק $EF$ למיתר $FB$: $\angle EFB=\angle BAF=\alpha$ (אותה קשת). אפשר גם: $EB=EF$ (שני משיקים מנקודה אחת), ולכן המשולש שווה-שוקיים.

טעות נפוצה: לקחת $\angle EFB=\angle AFB=90^\circ-\alpha$ (הזווית שבין המיתר לקוטר, לא למשיק), ולקבל $\angle BEF=180^\circ-\alpha-(90^\circ-\alpha)=90^\circ$.

נסמן ב-$O$ את מרכז המעגל (אמצע $AF$). המשיקים מאונכים לרדיוסים: $OB\perp BE$, $OF\perp FE$.

$\angle BOF$ היא זווית מרכזית הנשענת על הקשת $BF$, ולכן $\angle BOF=2\angle BAF=2\alpha$.

המשולשים $OBE$ ו-$OFE$ חופפים (ישרי-זווית, $OB=OF=R$, יתר משותף $OE$), ולכן $OE$ חוצה את $\angle BOF$: $\angle EOF=\alpha$.

במשולש ישר-הזווית $OFE$:

ומאחר ש-$BE=EF$ (שני משיקים מנקודה אחת): $BE=R\tan\alpha$.

טעות נפוצה: להציב $\angle EOF=2\alpha$ (לשכוח ש-$OE$ חוצה את הזווית המרכזית) ולקבל $BE=R\tan2\alpha$.

שטח $BEF$: $BE=EF=R\tan\alpha$ והזווית ביניהן $180^\circ-2\alpha$ (סעיף א):

שטח $BFC$: המשיק ב-$F$ מאונך לקוטר $AF$ ומקביל ל-$BC$, ולכן $AF\perp BC$ - הקוטר הוא האנך האמצעי של המיתר $BC$, ולכן $FB=FC$ ו-$\angle BAC=2\alpha$.

לפי משפט הסינוסים המורחב במשולש $ABF$: $BF=2R\sin\alpha$. במרובע החסום $ABFC$: $\angle BFC=180^\circ-2\alpha$:

$\alpha$ חדה (כי $2\alpha<180^\circ$), ולכן $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ ו-$\alpha=30^\circ$.

טעות נפוצה: לשים את הפי 3 בצד הלא נכון ($S_{BEF}=3S_{BFC}$): $\cos^2\alpha=\frac1{12}$, ומקבלים $\alpha\approx73.2^\circ$.

עבור $\alpha=30^\circ$: $BF=2R\sin30^\circ=R$, ו-$FD=R\tan30^\circ=\frac{R}{\sqrt3}$ (כמו $EF$, מסימטריה).

הנקודות $E,F,D$ על המשיק, ולכן $\angle BFD=180^\circ-\angle BFE=180^\circ-30^\circ=150^\circ$.

משפט הקוסינוסים במשולש $BFD$:

טעות נפוצה: לקחת את הזווית $\angle BFD=30^\circ$ (במקום הזווית הצמודה לה): $BD^2=\frac43R^2-R^2=\frac13R^2$, ומקבלים $BD=\frac{R}{\sqrt3}$.

נסמן ב-$W$ את מספר הנשים. הנשים שקוראות עיתון בוקר: $0.2W$, ולכן מספר הגברים $0.2aW$.

טעות נפוצה: לחלק את מספר הגברים במספר הנשים בלבד (ולא בכלל המשתתפים) ולקבל $0.2a$.

המאורעות "אישה" ו"קורא/ת עיתון" בלתי תלויים, ולכן הידיעה שנבחרה אישה לא משנה את ההסתברות לקורא/ת:

($P(\text{קורא}\mid\text{אישה})=0.2$ - זה הנתון "20% מהנשים קוראות".)

טעות נפוצה: לחשב את ההסתברות לאישה קוראת, $0.2\cdot\frac{5}{a+5}=\frac{1}{a+5}$, במקום ההסתברות לקורא/ת כלשהו/י.

מסעיף א, עבור $a=6$: $P(\text{גבר})=\frac{6}{11}$, $P(\text{אישה})=\frac{5}{11}$.

בגלל אי-התלות, הידיעה שהנבחר קורא עיתון לא משנה את ההסתברות למגדר:

סביר יותר שזה גבר.

טעות נפוצה: לבלבל בין $P(\text{גבר}\mid\text{קורא})$ ל-$P(\text{קורא}\mid\text{גבר})$: "20% מהגברים ו-20% מהנשים קוראים, ולכן שתי האפשרויות סבירות באותה מידה".

"הצלחה" בבחירה אחת: נבחרה אישה שקוראת עיתון.

הכינוס גדול מאוד, ולכן הבחירות כמעט בלתי תלויות - נוסחת ברנולי עם $n=6$. "לפחות חמש" = בדיוק 5 או בדיוק 6:

טעות נפוצה: לקחת $p=0.2$ (ההסתברות שאישה קוראת, ולא שהנבחר הוא אישה קוראת), ולקבל $6\cdot0.2^5\cdot0.8+0.2^6=0.0016$.

$S_{n+1}$ הוא $S_n$ ועוד האיבר הבא, ולכן $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$. מכלל הנסיגה:

הנוסחה הזו נותנת את האיברים מהשני והלאה. מחליפים $n$ ב-$n-1$: $a_n=-7(n-1)+9=16-7n$ לכל $n\ge2$.

את האיבר הראשון בודקים בנפרד: $a_1=S_1=9$, וגם $16-7\cdot1=9$. לכן $a_n=16-7n$ לכל $n\ge1$.

ההפרש קבוע, ולכן הסדרה חשבונית: $a_1=9$, $d=-7$ (האיברים: $9,2,-5,\dots$).

טעות נפוצה: לכתוב $S_{n+1}-S_n=a_n$ (בהזזת אינדקס) ולקבל $a_n=9-7n$, ומכאן $a_1=2$ - בסתירה לנתון $S_1=9$.

לפי ההגדרה, המונה של כל מחובר הוא $b_{k+1}-b_k=a_k$.

המכנה הוא $a_k-a_{k+1}=-d=7$ (בסדרה חשבונית כל איבר גדול מהבא אחריו ב-7).

לכן כל מחובר שווה $\frac{a_k}{7}$, והסכום הוא:

טעות נפוצה: לכתוב את המכנה כ-$d=-7$ (כאילו הוא $a_{k+1}-a_k$) ולקבל $+\frac{1026}{7}\approx146.57$.

$f$ זוגית, ולכן משלימים את הגרף שלה בשיקוף לציר ה-$y$: אפסים ב-$x=\pm5$, מינימום $(\pm3,-4)$, מקסימום $(0,-1)$.

$\frac1f$ זוגית גם היא. במקומות שבהם $f=0$ ($x=\pm5$) יש ל-$\frac1f$ אסימפטוטות אנכיות.

$f\to\infty$ כש-$x\to\pm\infty$, ולכן $\frac1f\to0^+$: אסימפטוטה אופקית $y=0$.

הסימן של $\frac1f$ כסימן של $f$: שלילית ב-$-5<x<5$ וחיובית ב-$|x|>5$. ליד $x=5$: משמאל $\frac1f\to-\infty$, מימין $\frac1f\to+\infty$.

$\left(\frac1f\right)'=-\frac{f'}{f^2}$ - כש-$f$ עולה, $\frac1f$ יורדת ולהפך. לכן המקסימום $(0,-1)$ של $f$ הוא מינימום $(0,-1)$ של $\frac1f$, והמינימומים $(\pm3,-4)$ הם מקסימומים $(\pm3,-\frac14)$.

טעות נפוצה: להעתיק את סוג הקיצון מ-$f$ ולסמן את $(0,-1)$ כמקסימום של $\frac1f$ ואת $(\pm3,-\frac14)$ כמינימום.

$g'(x)=-f(x)$ - שיקוף של הגרף השלם של $f$ ביחס לציר ה-$x$ (כל ערך $y$ מתהפך בסימנו).

מקבלים: $(0,1)$ מינימום מקומי, $(\pm3,4)$ מקסימום, אפסים ב-$x=\pm5$; ב-$|x|>5$ הגרף שלילי ושואף ל-$-\infty$.

טעות נפוצה: לשקף ביחס לציר ה-$y$ (כמו $f(-x)$) - ומכיוון ש-$f$ זוגית מקבלים שוב את הגרף של $f$ עצמה, עם מינימום $(\pm3,-4)$.

נקודות הקיצון של $g$ הן היכן ש-$g'=-f$ מתאפסת ומחליפה סימן: $x=\pm5$.

$g'=-f>0$ ב-$-5<x<5$ (שם $f<0$), ו-$g'<0$ ב-$|x|>5$.

ב-$x=-5$: $g'$ עוברת משלילית לחיובית - מינימום. ב-$x=5$: מחיובית לשלילית - מקסימום.

טעות נפוצה: לקחת את נקודות הקיצון של הגרף הנתון ($x=0,\pm3$) - אלה נקודות הקיצון של $g'$, לא של $g$.

$g$ קעורה כלפי מעלה היכן ש-$g''>0$. $g''=(g')'=-f'$, ולכן $g''>0\iff f'<0\iff f$ יורדת.

$f$ יורדת ב-$0<x<3$ ובשיקוף ב-$x<-3$. לכן $g$ קעורה כלפי מעלה ב-$x<-3$ וב-$0<x<3$.

טעות נפוצה: לשכוח את סימן המינוס ($g''=f'$) ולענות את התחומים שבהם $f$ עולה: $-3<x<0$ ו-$x>3$.

$g''=-f'$. $f$ זוגית, ולכן $f'$ אי-זוגית וגם $g''$ אי-זוגית (סימטרית לראשית).