מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך - שאלון 571

פונקציה זוגית מקיימת $f(-x)=f(x)$, ולכן הגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה-$y$.

משלימים את החלק שבו $x<0$ בשיקוף של הענף הנתון בציר ה-$y$: כל נקודה $(x,y)$ על הענף הנתון עוברת ל-$(-x,y)$.

לכן משמאל: הגרף יורד מ-$(0,2)$, חותך את ציר ה-$x$ ליד $x=-1$, יורד למינימום ליד $x\approx-1.6$, חותך שוב ליד $x=-2$ ועולה בתלילות.

טעות נפוצה: לשקף את הענף ביחס לראשית (כמו בפונקציה אי-זוגית) - הענף השמאלי היה מתחיל ב-$(0,-2)$ ועובר דרך מקסימום חיובי ליד $x=-1.6$, וזה אפילו לא גרף של פונקציה, כי ל-$x=0$ היו שני ערכים.

אם $f$ אי-זוגית ומוגדרת ב-$x=0$, אז $f(-0)=-f(0)$, כלומר $f(0)=-f(0)$, ולכן $f(0)=0$.

לפי הסרטוט $f(0)=2\neq0$, ולכן הפונקציה לא יכולה להיות אי-זוגית.

טעות נפוצה: לענות "כן" ולשקף את הענף ביחס לראשית - השיקוף נותן ל-$x=0$ גם את הערך $-2$, כלומר מתקבל עצם שאינו פונקציה.

בסדרה הנדסית $a_m=a_1q^{m-1}$.

שני הביטויים שווים, ולכן $a_n^2=a_{n+k}\cdot a_{n-k}$. (התנאי $n>k$ מבטיח ש-$a_{n-k}$ קיים.)

טעות נפוצה: לכפול את המעריכים במקום לחבר אותם: $q^{n+k-1}\cdot q^{n-k-1}=q^{(n+k-1)(n-k-1)}$ - למשל עבור $n=3$, $k=1$ מתקבל $q^3$ במקום $q^4$, והשוויון "לא יוצא".

האיבר האמצעי הוא $a_{n+1}=9$. לפי ב(1), כל זוג איברים במרחק שווה ממנו מקיים $a_{n+1-j}\cdot a_{n+1+j}=a_{n+1}^2=81$.

יש $n$ זוגות כאלה ועוד האיבר האמצעי, ולכן מכפלת כל האיברים היא $81^n\cdot9=9^{2n+1}$.

$387{,}420{,}489=9^9$, ולכן $2n+1=9$: בסדרה $9$ איברים.

טעות נפוצה: לכתוב $9^{2n+1}=3^{18}$ ולהשוות מעריכים בלי להביא לאותו בסיס: $2n+1=18$, כלומר "18 איברים" - מספר זוגי, שלא יכול להיות $2n+1$.

זו סדרה הנדסית אינסופית עם $a_1=\cos x$ ומנה $q=-\cos x$.

תנאי התכנסות: $|q|<1$, כלומר $|\cos x|<1$.

$|\cos x|=\frac12<1$ - הסדרה מתכנסת.

$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k$, $k$ שלם.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן המתחלף ולקחת $q=\cos x$: $\frac{\cos x}{1-\cos x}=\frac13$ נותן $\cos x=\frac14$, כלומר $x\approx\pm75.5^\circ+360^\circ k$.

הגרף של $f(x-3)$ הוא הגרף של $f$ מוזז 3 יחידות ימינה. השטח בין $x=4$ ל-$x=6$ מתחת לגרף המוזז הוא השטח בין $x=1$ ל-$x=3$ מתחת לגרף המקורי.

בהצבה $u=x-3$: הגבולות $4\to1$ ו-$6\to3$, ולכן $\int_4^6f(x-3)dx=\int_1^3f(u)du=S$.

טעות נפוצה: להזיז את הגבולות בכיוון ההפוך ($4+3$, $6+3$) ולכתוב $\int_4^6f(x-3)dx=\int_7^9f(x)dx$ במקום $S$.

בהצבה $u=x+3$: הגבולות $-1\to2$ ו-$1\to4$, ולכן $\int_{-1}^1f(x+3)dx=\int_2^4f(u)du$.

הקטע $[2,4]$ שונה מ-$[1,3]$ - הערך תלוי בצורת הגרף בקטע אחר, ואין דרך לבטא אותו באמצעות $S$ בלבד.

טעות נפוצה: לבלבל בין $f(x+3)$ ל-$f(x)+3$ ולכתוב $\int_{-1}^1\left(f(x)+3\right)dx=\int_{-1}^1f(x)dx+6$.

בהצבה $u=x-3$: הגבולות $1\to-2$ ו-$3\to0$, ולכן $\int_1^3f(x-3)dx=\int_{-2}^0f(u)du$.

זה שטח בקטע אחר לגמרי (ובסרטוט הגרף אפילו לא מוצג משמאל ל-$x=-1$), ולכן אי אפשר לבטא אותו באמצעות $S$.

טעות נפוצה: לבלבל בין $f(x-3)$ ל-$f(x)-3$ ולכתוב $\int_1^3\left(f(x)-3\right)dx=S-6$.

$f(x-1)$ - הזזה של יחידה אחת ימינה. בהצבה $u=x-1$: $2\to1$, $4\to3$.

$\int_2^4f(x-1)dx=\int_1^3f(u)du=S$.

טעות נפוצה: לבלבל בין $f(x-1)$ ל-$f(x)-1$ ולכתוב $\int_2^4\left(f(x)-1\right)dx=\int_2^4f(x)dx-2$.

$\angle DFB=\angle DGC=90^\circ$ (נתון: $DF\perp AB$, $DG\perp BC$).

$\angle DBF$ היא הזווית בין המשיק $AB$ למיתר $BD$. היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת $BD$ מהצד השני, $\angle DCB$.

$G$ על $BC$, ולכן $\angle DCG=\angle DCB=\angle DBF$.

לפי משפט הדמיון ז.ז: $\Delta DFB\sim\Delta DGC$, בהתאמה $D\leftrightarrow D$, $F\leftrightarrow G$, $B\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לכתוב את ההתאמה כפי שהודפסה, $\Delta DFB\sim\Delta GDC$ ($F\leftrightarrow D$), ולהסיק ממנה $\frac{DF}{GD}=\frac{FB}{DC}$ - יחס שגוי, כי הזווית הישרה $F$ מתאימה לזווית $G$, לא לזווית $D$.

באותו אופן: $\angle DGB=\angle DEC=90^\circ$, ו-$\angle DCE$ (בין המשיק $AC$ למיתר $CD$) שווה לזווית ההיקפית $\angle DBC=\angle DBG$.

לכן $\Delta DGB\sim\Delta DEC$ (ז.ז), ובזוויות המתאימות: $\angle BDG=\angle CDE$. (אפשר גם: $\angle BDG=90^\circ-\angle DBG=90^\circ-\angle DCE=\angle EDC$.)

קדקודיות? לא. בזוויות קדקודיות כל שוק של האחת היא המשך של שוק של השנייה, ולכן אחת השוקיים $DB$ או $DG$ הייתה צריכה להיות המשך של $DC$.

אם $DB$ המשך של $DC$ - הנקודה $D$ על הקטע $BC$. אם $DG$ המשך של $DC$ - הנקודה $G$ על הישר $DC$, ומאחר ש-$G$ ו-$C$ על $BC$, הישר $DC$ הוא הישר $BC$. בשני המקרים $D$ על הישר $BC$ - בלתי אפשרי, כי $D$ על המעגל ושונה מ-$B$ ומ-$C$.

שוויון זוויות אינו מספיק כדי שיהיו קדקודיות.

טעות נפוצה: לענות "כן" כי לשתי הזוויות קודקוד משותף $D$ והן שוות - זוויות קדקודיות דורשות ששוקי האחת יהיו המשכי השוקיים של השנייה.

מהדמיון בסעיף א ($\Delta DFB\sim\Delta DGC$): $\frac{DF}{DG}=\frac{DB}{DC}$.

מהדמיון בסעיף ב ($\Delta DGB\sim\Delta DEC$): $\frac{DG}{DE}=\frac{DB}{DC}$.

שני היחסים שווים ל-$\frac{DB}{DC}$, ולכן $\frac{DF}{DG}=\frac{DG}{DE}$, כלומר $DF\cdot DE=DG^2$.

טעות נפוצה: לכתוב מהדמיון השני $\frac{DE}{DG}=\frac{DB}{DC}$ (הצלעות בסדר הפוך) - מתקבל $\frac{DF}{DG}=\frac{DE}{DG}$, כלומר $DF=DE$, שאינו נכון בציור.

נניח $BG\cdot GC=DG^2$, כלומר $\frac{BG}{DG}=\frac{DG}{GC}$. עם $\angle BGD=\angle DGC=90^\circ$ נקבל $\Delta BGD\sim\Delta DGC$ (צ.ז.צ), ולכן $\angle GBD=\angle GDC$.

אז $\angle BDC=\angle BDG+\angle GDC=\angle BDG+\angle GBD=90^\circ$ (במשולש $BGD$).

אבל $D$ על הקשת הקטנה $BC$, ולכן $\angle BDC$ היא זווית היקפית הנשענת על הקשת הגדולה $BC$ (יותר מחצי מעגל) - זווית קהה.

(ובאופן שקול: $\angle BDC=90^\circ$ היה מחייב ש-$BC$ יהיה קוטר, אבל אז המשיקים ב-$B$ וב-$C$ מקבילים ולא נפגשים ב-$A$.)

לכן לא ייתכן ש-$DG$ ממוצע גאומטרי של $BG$ ו-$GC$.

טעות נפוצה: לענות "כן, כאשר $D$ אמצע הקשת" מטעמי סימטריה - גם אז $\angle BDC$ קהה, ו-$BG\cdot GC>DG^2$.

$O$ נמצא על הישר $BD$, ולכן $BD$ קוטר ($BD=2R$), והזווית ההיקפית $\angle BCD$ הנשענת עליו ישרה.

במשולש ישר הזווית $BCD$: $\sin\alpha=\frac{BC}{BD}$, ולכן $BC=2R\sin\alpha$.

(אפשר גם ממשפט הסינוסים המורחב במשולש $BCD$: $\frac{BC}{\sin\alpha}=2R$.)

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\cos\alpha$ ולכתוב $BC=2R\cos\alpha$ - זה הניצב $DC$, הצמוד לזווית $\alpha$.

הזווית המרכזית $\angle BOC$ נשענת על אותה קשת כמו הזווית ההיקפית $\angle BDC$, ולכן $\angle BOC=2\alpha$.

$B$, $O$, $A$ על ישר אחד, ולכן $\angle AOC=180^\circ-2\alpha$.

$O$ על הצלע $AB$, ולכן $\angle OAC=\angle CAB=60^\circ$, ובמשולש $AOC$: $\angle OCA=180^\circ-60^\circ-(180^\circ-2\alpha)=2\alpha-60^\circ$.

משפט הסינוסים במשולש $AOC$ ($OC=R$):

טעות נפוצה: לקחת $\angle AOC=2\alpha$ (במקום הזווית הצמודה לה) - מתקבל $\angle OCA=120^\circ-2\alpha$ והתשובה השגויה $AO=\frac{2R}{\sqrt3}\sin(120^\circ-2\alpha)$.

$S_{OBC}=\frac12R^2\sin2\alpha$, ו-$S_{AOC}=\frac12\cdot R\cdot AO\cdot\sin(180^\circ-2\alpha)=\frac12R\cdot AO\cdot\sin2\alpha$.

לפי סעיף ב: $\frac{2R}{\sqrt3}\sin(2\alpha-60^\circ)=\frac{R}{\sqrt3}$, כלומר $\sin(2\alpha-60^\circ)=\frac12$.

$2\alpha-60^\circ=30^\circ$ או $2\alpha-60^\circ=150^\circ$, כלומר $\alpha=45^\circ$ או $\alpha=105^\circ$.

$\alpha$ היא זווית במשולש ישר הזווית $BCD$, ולכן $\alpha<90^\circ$ (וגם $\angle BOC=2\alpha<180^\circ$). לכן $\alpha=45^\circ$.

טעות נפוצה: לא לפסול ולענות $\alpha=45^\circ$ או $\alpha=105^\circ$ - עבור $105^\circ$ הזווית המרכזית $\angle BOC$ הייתה $210^\circ$.

למשולשים $ACD$ ו-$ACO$ קודקוד משותף $C$, והבסיסים $AD$ ו-$AO$ על אותו ישר - לכן הגובה מ-$C$ משותף, ויחס השטחים הוא יחס הבסיסים.

$A$ בין $O$ ל-$D$: $AO=\frac{R}{\sqrt3}$ ו-$AD=OD-AO=R-\frac{R}{\sqrt3}$.

טעות נפוצה: לחשב את $AD$ כ-$BD-AO=2R-\frac R{\sqrt3}$ (כאילו $A$ במרחק $AO$ מ-$B$) ולקבל $2\sqrt3-1\approx2.464$.

נסמן $A$ - עבר את המבחן הראשון, $B$ - עבר את המבחן השני.

$P(A)=0.7$. נסמן $P(A\cap B)=t$; אז $P(A\cap\overline B)=\frac t4$, ו-$t+\frac t4=0.7$, כלומר $t=0.56$ ו-$P(A\cap\overline B)=0.14$.

מבין מי שלא עברו את הראשון ($P(\overline A)=0.3$), 40% לא עברו את השני: $P(\overline A\cap\overline B)=0.4\cdot0.3=0.12$, ולכן $P(\overline A\cap B)=0.3-0.12=0.18$.

$P(B)=0.56+0.18=0.74$, והמבוקש:

טעות נפוצה: להפוך את "קטנה פי 4" ולכתוב $P(A\cap\overline B)=4P(A\cap B)$ - אז $P(A\cap B)=0.14$, $P(B)=0.32$, ומתקבל $\frac{0.18}{0.32}=0.5625$.

שליש מ-6 תלמידים הם 2 תלמידים. לכל תלמיד, ההסתברות שעבר את שני המבחנים היא $0.56$ (סעיף א), באופן בלתי תלוי בין התלמידים.

זו נוסחת ברנולי עם $n=6$, $k=2$, $p=0.56$:

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם $\binom62=15$ ולחשב רק $0.56^2\cdot0.44^4\approx0.012$ - זו ההסתברות ששני תלמידים מסוימים (למשל שני הראשונים) עברו את שניהם והשאר לא.

לפי כלל השרשרת:

$g'(1)=\frac{1}{\sqrt4}=\frac12$.

(שימו לב: $g'(x)$ היא בדיוק הפונקציה $f(x)$ שבהמשך.)

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $2x$ ולכתוב $g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+3}}$, ואז השיפוע $\frac14$.

$x^2+3>0$ לכל $x$, ולכן $f$ מוגדרת לכל $x$ ואין אסימפטוטה אנכית.

מוציאים $x^2$ מהשורש: $\sqrt{x^2+3}=|x|\sqrt{1+\frac3{x^2}}$, ולכן $f(x)=\frac{x}{|x|}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\frac3{x^2}}}$.

כאשר $x\to\infty$: $\frac{x}{|x|}=1$ ו-$f\to1$. כאשר $x\to-\infty$: $\frac{x}{|x|}=-1$ ו-$f\to-1$.

האסימפטוטות: $y=1$ ו-$y=-1$.

טעות נפוצה: לכתוב $\sqrt{x^2}=x$ גם עבור $x$ שלילי ולקבל רק $y=1$ - בסרטוט רואים שמשמאל הגרף שלילי.

$f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+3}-x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}}{x^2+3}=\frac{3}{(x^2+3)^{3/2}}$.

$f'(x)=\frac38$: $(x^2+3)^{3/2}=8$, $x^2+3=4$, $x=\pm1$. ברביע הראשון $x=1$, ו-$f(1)=\frac12$.

המשיק: $y-\frac12=\frac38(x-1)$, כלומר $y=\frac38x+\frac18$.

עבור $x>0$ הגרף קעור כלפי מטה (השיפוע $f'$ יורד), ולכן המשיק מעל הגרף בין $x=0$ ל-$x=1$.

פונקציה קדומה ל-$f$ היא $g(x)=\sqrt{x^2+3}$ (סעיף א).

טעות נפוצה: לכתוב את המשיק כ-$y=\frac38x+\frac12$ (לקחת את $f(1)$ כנקודת החיתוך עם ציר ה-$y$) - מתקבל שטח $\sqrt3-\frac{21}{16}\approx0.420$.