מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 13 ברמת בגרות

גזירה סתומה של משוואת הפרבולה:

בנקודה $A(x_0,y_0)$ השיפוע צריך להיות $\frac43$:

מציבים בפרבולה: $24^2=64x_0$, ולכן $x_0=\frac{576}{64}=9$.

$A(9,24)$.

טעות נפוצה: להציב את השיפוע במקום $x$ או $y$ (למשל $y=\frac43$) - השיפוע שווה ל-$y'$ בנקודה, לא לשיעור שלה.

הרדיוס $MA$ ניצב למשיק בנקודת ההשקה $A$, ולכן שיפוע $AM$ מקיים $\frac43\cdot m=-1$, כלומר $m=-\frac34$.

בצורה אחרת: $3x+4y=123$.

טעות נפוצה: לכתוב את משוואת המשיק ($y=\frac43x+12$) במקום משוואת הישר $AM$ - המרכז נמצא על הניצב למשיק, לא על המשיק.

$M$ על הישר $AM$. נוח לסמן את שיעור ה-$y$ שלו: $M(x_M,k)$.

ציר ה-$x$ משיק למעגל, ולכן הרדיוס שווה למרחק של $M$ מציר ה-$x$: $R=|k|$. המעגל משיק לציר ה-$x$ ועובר דרך $A$ שמעל הציר, ולכן כולו מעל הציר: $k>0$ ו-$R=k$.

על ישר ששיפועו $-\frac34$: כשה-$y$ משתנה ב-$d$, ה-$x$ משתנה ב-$\frac43d$, והמרחק הוא $\sqrt{d^2+\frac{16}9d^2}=\frac53|d|$. לכן:

נתון $k<24$:

מציבים בישר: $15=-\frac34x+30.75$, ולכן $x=21$. $M(21,15)$, $R=15$.

בדיקה: $MA=\sqrt{(21-9)^2+(15-24)^2}=\sqrt{144+81}=15$.

טעות נפוצה: לקחת את הרדיוס כשיעור ה-$x$ של המרכז (כמו במעגל המשיק לציר ה-$y$) - מעגל המשיק לציר ה-$x$ רדיוסו $|y_M|$.

$MB\perp BP$ (רדיוס ניצב למשיק), ולכן במשולש $MBP$ הזווית ב-$B$ ישרה:

המרחק של $P$ מ-$M$ קבוע, ולכן המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו $M(21,15)$ ורדיוסו 25:

טעות נפוצה: לכתוב $(x-21)^2+(y-15)^2=400$ - כלומר לקחת את $BP$ כרדיוס, אבל $P$ נמדדת מ-$B$ ולא מהמרכז.

המקום הגאומטרי הוא מעגל שרדיוסו 25.

המרחק בין שתי נקודות על מעגל אינו עולה על הקוטר: $PQ\le PM+MQ=2R=50$.

$50<52$, ולכן אין שתי נקודות כאלה.

טעות נפוצה: לענות "כן" כי 52 קטן מהיקף המעגל - מרחק בין נקודות הוא אורך הקטע ביניהן (מיתר), ולא אורך הקשת.

מ-$D$ ל-$B'$ לאורך מקצועות: מ-$D$ חוזרים ל-$A$, מ-$A$ ל-$B$, ועולים מ-$B$ ל-$B'$:

$BE:EB'=1:3$, כלומר $BE$ הוא $\frac14$ מהמקצוע: $\overrightarrow{BE}=\frac14\underline w$.

מ-$F$ חוזרים ל-$D$ ($\overrightarrow{FD}=-t\cdot\overrightarrow{DB'}$), ומשם הולכים ל-$A$, ל-$B$ ול-$E$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{BE}=\frac13\underline w$ (היחס $1:3$ כשבר) - $BE$ הוא חלק אחד מתוך ארבעה של המקצוע כולו.

$\underline u$ ו-$\underline v$ במישור הבסיס ו-$\underline w$ יוצא ממנו; ההצגה באמצעות שלושתם יחידה.

וקטור מקביל לבסיס הוא צירוף של $\underline u$ ו-$\underline v$ בלבד, ולכן המקדם של $\underline w$ מתאפס:

(בדיקה: $F$ בגובה רבע מהתיבה, כמו $E$.)

טעות נפוצה: לאפס את המקדם של $\underline u$ ($1-t=0$) ולקבל $t=1$ - אז $F=B'$ ו-$FE$ הוא חלק מהמקצוע האנכי, הפוך מהקבלה לבסיס.

הצלע $CD$ על ציר $x$ ושווה ל-$AB$, ולכן $D(|\underline u|,0,0)$. הצלע $CB$ על ציר $y$ ושווה ל-$AD$, ולכן $B(0,|\underline v|,0)$ ו-$B'(0,|\underline v|,|\underline w|)$.

לפי סעיף ב, $t=\frac14$:

משווים ל-$F(12,6,3)$:

טעות נפוצה: לקשר את $|\underline v|$ לשיעור ה-$x$ ולכתוב $D(|\underline v|,0,0)$ - על ציר $x$ נמצאת $CD$, ששווה ל-$AB$, כלומר אורכה $|\underline u|$.

מסעיף ג: $D(16,0,0)$, $B(0,24,0)$, ו-$BE=\frac14\cdot12=3$, ולכן $E(0,24,3)$.

שני וקטורים במישור: $\overrightarrow{BD}=(16,-24,0)$, $\overrightarrow{BE}=(0,0,3)$. נורמל $\underline n=(a,b,c)$:

משוואת המישור $3x+2y+d=0$, ומהצבת $D$: $48+d=0$, כלומר $3x+2y=48$. (בדיקה: $F$: $36+12=48$.)

הישר דרך $F$ בכיוון הנורמל: $\underline x=(12,6,3)+s(3,2,0)$.

הפאה $CDD'C'$ עוברת דרך $C(0,0,0)$, $D(16,0,0)$ ו-$C'(0,0,12)$, ולכן נמצאת במישור $y=0$:

$0\le3\le16$ ו-$0\le3\le12$, ולכן $P$ על הפאה.

טעות נפוצה: לחפש את החיתוך עם $x=0$ (כמו כשהפאה מכילה את ציר $y$) - כאן ציר $y$ עובר דרך $B$, והפאה $CDD'C'$ היא $y=0$; עם $x=0$ מתקבלת $(0,-2,3)$, מחוץ לתיבה.

בכפל מכפילים את הגדלים ומחברים את הזוויות; בחילוק מחלקים את הגדלים ומחסרים את הזוויות:

ולכן:

שיעור ה-$y$ של A הוא החלק המדומה: $2\sin2\alpha=\sqrt3$, כלומר $\sin2\alpha=\frac{\sqrt3}2$.

מ-$45^\circ<\alpha<90^\circ$ נובע $90^\circ<2\alpha<180^\circ$, ולכן $2\alpha=120^\circ$ ו-$\alpha=60^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את הפתרון $2\alpha=60^\circ$ בלי לבדוק את התחום, ולענות $\alpha=30^\circ$ - ערך שאינו בתחום $45^\circ<\alpha<90^\circ$.

שיעור ה-$x$ של A הוא החלק הממשי של $w$: $2\cos2\alpha+\frac{r^2}2$.

עם $\alpha=60^\circ$: $2\cos120^\circ=2\cdot\left(-\frac12\right)=-1$.

טעות נפוצה: לחשב $\frac{z_1}{z_2}=r^2$ (לשכוח את ה-2 שבגודל של $z_2$). אז $-1+r^2=1$ ויוצא $r=\sqrt2$.

עם $\alpha=60^\circ$, $r=2$: $z_1=2\operatorname{cis}60^\circ$ ו-$w=(-1+2)+\sqrt3i=1+\sqrt3i$.

$w$ ברביע הראשון, $|w|=\sqrt{1+3}=2$ ו-$\tan\varphi=\sqrt3$, ולכן $w=2\operatorname{cis}60^\circ$.

לפי נוסחת השורשים: $|z|=\sqrt[6]{64}=2$, והזוויות $\frac{0^\circ+360^\circ k}{6}=60^\circ k$, $k=0,1,\dots,5$:

טעות נפוצה: לכפול את הגודל ב-3 במקום להעלות אותו בחזקה, $(z_1w)^3=12\operatorname{cis}360^\circ$, ולקבל $z^6=12$ ופתרונות בגודל $\sqrt[6]{12}\approx1.51$.

$|z|=b$ הוא מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו $b$; הוא חותך את ציר ה-$x$ ב-$K(b,0)$ וב-$L(-b,0)$.

הפתרון היחיד ברביע הראשון: $B=2\operatorname{cis}60^\circ=1+\sqrt3i$, כלומר $(1,\sqrt3)$. הפתרון היחיד ברביע השני: $C=2\operatorname{cis}120^\circ=-1+\sqrt3i$, כלומר $(-1,\sqrt3)$.

$BC$ אופקי ($y=\sqrt3$) ו-$KL$ על ציר ה-$x$, ולכן $BC\parallel KL$: המרובע KBCL הוא טרפז שבסיסיו $KL=2b$ ו-$BC=2$, וגובהו המרחק בין הישרים $y=\sqrt3$ ו-$y=0$, כלומר $h=\sqrt3$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את המרחק של B מהראשית, $|B|=2$, במקום שיעור ה-$y$ שלה: $2(b+1)=4\sqrt3$, ומקבלים $b=2\sqrt3-1\approx2.46$.

המכנה $e^{2x}+3$ חיובי לכל $x$, ולכן הפונקציה רציפה לכל $x$ ואין לה אסימפטוטה אנכית.

$x\to\infty$: מחלקים מונה ומכנה ב-$e^{2x}$:

$x\to-\infty$: $e^x\to0$ ו-$e^{2x}\to0$, ולכן המנה שואפת ל-$\frac{0}{0+3}=0$.

לכן $y=2+b$ אסימפטוטה אופקית כש-$x\to\infty$, ו-$y=b$ אסימפטוטה אופקית כש-$x\to-\infty$.

טעות נפוצה: גם כש-$x\to-\infty$ להשאיר רק את 'האיברים המובילים' $\frac{2e^{2x}}{e^{2x}}=2$, כמו ב-$+\infty$, ולקבל אסימפטוטה אחת $y=2+b$. כש-$x\to-\infty$ דווקא $e^{2x}$ זניח, והמכנה שואף ל-3.

נקודת החיתוך: $(0,\ 2+b)$.

טעות נפוצה: להציב $e^0=0$ במקום $e^0=1$: מתקבל $f(0)=\frac03+b$ והנקודה השגויה $(0,b)$.

גוזרים לפי כלל המנה. נגזרת המונה היא $4e^{2x}+6e^x$, ונגזרת המכנה $2e^{2x}$. נסמן $t=e^x$:

פותחים את המונה: $4t^4+12t^2+6t^3+18t-4t^4-12t^3=-6t^3+12t^2+18t=-6t(t^2-2t-3)=-6t(t-3)(t+1)$.

$e^x>0$, $e^x+1>0$ והמכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $3-e^x$: חיובי ל-$x<\ln3$, שלילי ל-$x>\ln3$.

הפונקציה עולה ואחר כך יורדת - ב-$x=\ln3$ יש מקסימום:

טעות נפוצה: לגזור את $e^{2x}$ כ-$e^{2x}$ (בלי המקדם 2 מכלל השרשרת) במונה ובמכנה. אז המונה של $f'$ יוצא $(2t^2+6t)(t^2+3)-(2t^2+6t)t^2=6t(t+3)>0$, ומסיקים בטעות שהפונקציה עולה לכל $x$ ואין לה קיצון.

לפי סעיף א(1) לפונקציה שתי אסימפטוטות אופקיות, $y=2+b$ ו-$y=b$. כל אחת מהן יכולה להיות $y=1$:

טעות נפוצה: לבדוק רק את האסימפטוטה $y=2+b$ (כש-$x\to\infty$) ולקבל אפשרות אחת, $b=-1$ - האסימפטוטה $y=b$ (כש-$x\to-\infty$) נותנת את האפשרות השנייה $b=1$.

$b=-1$. מסעיף א: אסימפטוטות $y=1$ (ימין) ו-$y=-1$ (שמאל), חיתוך עם ציר ה-$y$ ב-$(0,1)$, מקסימום ב-$(\ln3,2)\approx(1.1,2)$.

$f(x)-1=\frac{2e^{2x}+6e^x}{e^{2x}+3}-2=\frac{6e^x-6}{e^{2x}+3}$, חיובי ל-$x>0$ - לכן מימין הגרף מתקרב ל-$y=1$ מלמעלה.

חיתוך עם ציר ה-$x$: בתחום $x<0$ הפונקציה עולה מ-$-1$ ל-1, ולכן חותכת את ציר ה-$x$ פעם אחת, בערך שלילי של $x$ (בדיוק: $e^{2x}+6e^x-3=0$, $e^x=2\sqrt3-3$, $x\approx-0.77$).

הגרף: עולה מ-$y=-1$, חותך את ציר ה-$x$, עובר דרך $(0,1)$, מגיע למקסימום ויורד חזרה לכיוון $y=1$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף יורד מתחת ל-$y=1$ מימין - הביטוי $\frac{6(e^x-1)}{e^{2x}+3}$ חיובי לכל $x>0$, ולכן הגרף נשאר מעל האסימפטוטה.

$f'(x)=\frac{6e^x(3-e^x)(e^x+1)}{(e^{2x}+3)^2}$ מוגדרת ורציפה לכל $x$ - אין אסימפטוטה אנכית.

$x\to\infty$: במונה החזקה הגבוהה היא $-6e^{3x}$, ובמכנה $(e^{2x})^2=e^{4x}$. מחלקים מונה ומכנה ב-$e^{4x}$: המונה שואף ל-0 והמכנה ל-1, והגבול 0.