מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 12 ברמת בגרות

נקודה $(x,y)$ במקום הגאומטרי נמצאת באותו מרחק משני הישרים. נרשום $\ell_1$ כ-$12x-5y-140=0$:

מקרה ראשון - הביטויים שווים:

מקרה שני - הביטויים נגדיים:

שני חוצי הזווית: $y=5x-15$ ו-$y=-\frac15x-41$ (מאונכים: $5\cdot\left(-\frac15\right)=-1$).

טעות נפוצה: לחלק ב-$12+5=17$ במקום ב-$\sqrt{12^2+5^2}=13$ - המכנה בנוסחת המרחק הוא אורך הווקטור הנורמל.

A על $\ell_1$ ו-$x=20$: $5y-240+140=0$, ולכן $y=20$ ו-$A(20,20)$.

שיפוע $\ell_1$ הוא $\frac{12}5$. הרדיוס $MA$ מאונך למשיק, ולכן שיפועו $-\frac5{12}$:

המרכז במרחקים שווים משני הישרים, ולכן על אחד מחוצי הזווית.

הישר $y=-\frac15x-41$ שלילי לכל $x>0$ ואינו עובר ברביע הראשון, ולכן המרכז על $y=5x-15$:

$y=5\cdot8-15=25$, ולכן $M(8,25)$.

בדיקה: $MA=\sqrt{12^2+5^2}=13$, והמרחק מ-$M$ ל-$x=-5$ הוא $8+5=13$.

טעות נפוצה: לקחת לרדיוס את השיפוע $\frac5{12}$ (ההופכי בלי הסימן) - שיפוע ישר מאונך הוא ההופכי הנגדי, $-\frac5{12}$; עם $\frac5{12}$ החיתוך עם החוצה אינו מרכז מעגל משיק.

המדריך של $y^2=2px$ הוא $x=-\frac p2$. כאן $\frac p2=5$, ולכן $p=10$ והפרבולה $y^2=20x$.

A על הפרבולה: $20^2=400=20\cdot20$.

המשיק בנקודה $(x_0,y_0)$ שעל הפרבולה: $y_0y=p(x+x_0)$:

שיפוע המשיק $\frac12$ ושיפוע $\ell_1$ הוא $\frac{12}5$ - אלה ישרים שונים דרך A, ולכן $\ell_1$ אינו משיק לפרבולה ב-A.

טעות נפוצה: להסיק ש-$\ell_1$ משיק רק כי A נמצאת גם על $\ell_1$ וגם על הפרבולה - נקודה משותפת אינה השקה; צריך להשוות לשיפוע המשיק.

מהסימטריה של הפרבולה סביב ציר ה-$x$: מרכז המעגל על ציר ה-$x$, ונקודת ההשקה השנייה היא $(20,-20)$.

המרכז נמצא על הנורמל לפרבולה ב-A. שיפוע המשיק $\frac12$, ולכן שיפוע הנורמל $-2$:

חיתוך עם $y=0$: $x=30$, המרכז $(30,0)$.

המעגל: $(x-30)^2+y^2=500$.

בדיקה: הצבת $y^2=20x$: $x^2-40x+400=0$, כלומר $(x-20)^2=0$ - שורש כפול.

טעות נפוצה: לחשב את הרדיוס כמרחק מהמרכז לראשית ($R=30$) - הרדיוס הוא המרחק לנקודת ההשקה A, לא לקודקוד הפרבולה.

קודם מבטאים את $\overrightarrow{AS}$: $O$ אמצע האלכסון $AC$, ו-$\overrightarrow{AC}=\underline u+\underline v$ (במלבן $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$):

עכשיו וקטורים שיוצאים מ-$S$:

$N$ אמצע $BE$, ולכן $\overrightarrow{SN}$ הוא ממוצע הווקטורים מ-$S$ לקצות הקטע:

טעות נפוצה: להניח שהקודקוד $S$ נמצא מעל $A$ ולכתוב $\overrightarrow{AS}=\underline w$. אז $\overrightarrow{SB}=\underline u-\underline w$, $\overrightarrow{SE}=\frac13(\underline u+\underline v-\underline w)$, ומתקבל $\overrightarrow{SN}=\frac23\underline u+\frac16\underline v-\frac23\underline w$. כאן הגובה יורד ל-$O$, מרכז הבסיס.

$\overrightarrow{BK}=\frac14\overrightarrow{BC}=\frac14\underline v$:

נחפש $\lambda$ כך ש-$\overrightarrow{SK}=\lambda\overrightarrow{SN}$: ממקדם $\underline u$, $\frac12=\frac{\lambda}3$, ולכן $\lambda=\frac32$. בדיקה: $\frac32\cdot\left(-\frac16\right)=-\frac14$ ✓, $\frac32\cdot\left(-\frac23\right)=-1$ ✓.

שני הווקטורים יוצאים מאותה נקודה $S$ ומקבילים, ולכן $S$, $N$, $K$ על ישר אחד, ו-$SK:SN=3:2$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{BK}=\frac14\underline u$ (לבלבל בין $BC$ ל-$AB$). מתקבל $\overrightarrow{SK}=\frac34\underline u-\frac12\underline v-\underline w$, שאינו כפולה של $\overrightarrow{SN}$ (היחסים בין המקדמים $\frac94$, $3$, $\frac32$ שונים), ומסיקים בטעות שהנקודות אינן על ישר אחד.

נסמן $D(0,d,0)$ ואת הגובה $h$. אז $C=B+\overrightarrow{AD}=(12,d,0)$, מרכז הבסיס $O=\left(6,\frac d2,0\right)$, ו-$S=\left(6,\frac d2,h\right)$.

משווים ל-$E(8,4,6)$: $\frac{2d}3=4\Rightarrow d=6$, $\frac{2h}3=6\Rightarrow h=9$. לכן $S(6,3,9)$.

$N$ אמצע $BE$:

(אותה תוצאה מסעיף א(1): $\underline u=(12,0,0)$, $\underline v=(0,6,0)$, $\underline w=(0,0,9)$, ו-$N=S+\overrightarrow{SN}=(6,3,9)+(4,-1,-6)=(10,2,3)$.)

טעות נפוצה: לקחת את רכיבי $\overrightarrow{SN}=(4,-1,-6)$ כשיעורי $N$. זה וקטור שיוצא מ-$S$, ולא מהראשית, ומתקבלת הנקודה $(4,-1,-6)$, שנמצאת מתחת לבסיס.

$\overrightarrow{AD}=(0,6,0)$, $\overrightarrow{AE}=(8,4,6)$. וקטור נורמל $\underline n=(a,b,c)$ מאונך לשניהם:

$b=0$, ואז $8a+6c=0$, כלומר $4a=-3c$. נבחר $a=3$: $c=-4$. $\underline n=(3,0,-4)$.

המישור עובר דרך $A(0,0,0)$:

בדיקה: $D$: $0-0=0$; $E$: $24-24=0$.

טעות נפוצה: טעות סימן בחילוץ $c$ ($c=4$), ומתקבל $3x+4z=0$ - מישור שאינו עובר דרך $E$ ($24+24\neq0$).

טעות נפוצה: לחלק בריבוע אורך הנורמל ($9+16=25$) במקום באורכו ($5$), ולקבל $\frac{18}{25}=0.72$.

הבסיס הוא המשולש $ADE$, והגובה הוא המרחק מ-$N$ למישור שלו, 3.6.

שטח הבסיס: $AD=6$. הצלע $AD$ על ציר ה-$y$, והנקודה $H(0,4,0)$ שעליה נמצאת מול $E$: $\overrightarrow{HE}=(8,0,6)$, ו-$\overrightarrow{HE}\cdot\overrightarrow{AD}=0$.

לכן $HE=\sqrt{64+36}=10$ הוא הגובה לצלע $AD$:

טעות נפוצה: לקחת את $AE=\sqrt{64+16+36}=2\sqrt{29}$ כגובה המשולש: $S=6\sqrt{29}$ ו-$V=7.2\sqrt{29}\approx38.77$. $AE$ אינו מאונך ל-$AD$ ($\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD}=24\neq0$); הגובה הוא $HE$.

$z\ne0$, ולכן $z^8=1$: $z_k=\text{cis}(45^\circ k)$, $k=0,\dots,7$.

הארגומנטים ברביע הרביעי: $315^\circ$ בלבד ($270^\circ$ על ציר המדומים, $360^\circ$ על הציר הממשי).

טעות נפוצה: לבחור גם $\text{cis}270^\circ=-i$ - נקודה על ציר המדומים אינה ברביע.

A: $d\,\text{cis}(-45^\circ)$; B: סיבוב ב-$90^\circ$: $d\,\text{cis}45^\circ$; C: $(z_0)^5=\text{cis}(-225^\circ)=\text{cis}135^\circ$: $d\,\text{cis}135^\circ$.

כולן על המעגל $|z|=d$. הארגומנטים של A ו-C נבדלים ב-$180^\circ$ - AC קוטר; OB מאונך ל-OA, ולכן OB הגובה לקוטר:

$d>0$, ולכן $d=10$.

טעות נפוצה: לחשב את $(z_0)^5$ כ-$5\,\text{cis}(-45^\circ)$ (להכפיל את המודול ב-5) - בחזקה המודול מועלה בחזקה ($1^5=1$) והארגומנט מוכפל.

$(z_0)^2=\text{cis}(-90^\circ)=-i$, ו-$\frac{1}{(z_0)^2}=\text{cis}90^\circ=i$.

$|w|=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$. שני החלקים שליליים - רביע שלישי, ו-$\tan\theta=1$: $\arg(w)=225^\circ=-135^\circ$.

טעות נפוצה: לתת $\arg(w)=45^\circ$ לפי $\tan\theta=1$ בלי לבדוק את הרביע - $-2-2i$ ברביע השלישי.

$w^n=(2\sqrt2)^n\,\text{cis}(-135^\circ n)$.

מדומה טהור: $-135n=90+180k$. מחלקים ב-45: $-3n=2+4k$, ולכן $3n$ נותן שארית 2 בחלוקה ב-4, כלומר $n=2,6,10,\dots$

(בדיקה: $w^2=8\,\text{cis}(-270^\circ)=8i$.)

המעגל החוסם: מרכז O, רדיוס $d=10$. $|w^2|=8<10$ - בתוך המעגל, נפסל. $|w^6|=(2\sqrt2)^6=512>10$ - מחוץ למעגל.

לכן $n=6$.

טעות נפוצה: לענות $n=2$ בלי לבדוק את המודול - $w^2=8i$ מדומה טהור, אבל בתוך המעגל שרדיוסו 10.

בתחום $x>0$, $x^n>0$, ולכן $f(x)=0\iff4-\ln x=0\iff x=e^4$.

נקודת החיתוך: $(e^4,0)$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=4$ כ-$x=4e$ או $x=\ln4$ - הגדרת הלוגריתם הטבעי נותנת $x=e^4$.

לפי כלל המכפלה, עם $(\ln x)'=\frac1x$:

$f'(1)=4n-1$ (כי $\ln1=0$).

טעות נפוצה: לגזור רק את $x^n$ ולשכוח את כלל המכפלה: $f'(x)=nx^{n-1}(4-\ln x)$, $f'(1)=4n=3$, $n=\frac34$ - ומסיקים בטעות שאין $n$ טבעי מתאים.

$f(x)=x(4-\ln x)$, $f'(x)=4-\ln x-1=3-\ln x$.

$f'(x)=0\iff x=e^3$. עבור $x<e^3$, $f'>0$; עבור $x>e^3$, $f'<0$: מקסימום.

$f(e^3)=e^3(4-3)=e^3$. נקודת המקסימום: $(e^3,e^3)$.

טעות נפוצה: לכתוב $f'(x)=4-\ln x$ (לשכוח את האיבר $x\cdot(-\frac1x)=-1$) ולקבל $x=e^4$ - זו נקודת החיתוך, לא הקיצון.

$x\to0^+$: $f(x)=4x-x\ln x\to0$, כי $x\ln x\to0$. הגרף מתקרב לראשית.

$x\to\infty$: $f\to-\infty$.

עולה עד המקסימום $(e^3,e^3)\approx(20.1,20.1)$, יורדת, חותכת את ציר ה-$x$ ב-$e^4\approx54.6$, ויורדת ל-$-\infty$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף שלילי ליד $x=0$ - עבור $0<x<e^4$, $4-\ln x>0$ ולכן $f>0$.

$g=\frac1f$: תחום $f$ בלי האפסים שלה. $f$ מתאפסת רק ב-$x=e^4$.

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\ne e^4$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ne0$ במקום $x>0$ - $g$ מוגדרת רק היכן ש-$f$ מוגדרת, ו-$\ln x$ דורש $x>0$.

$x=e^4$: $f\to0$ ולכן $g\to\pm\infty$.

$x\to0^+$: $f\to0^+$ ולכן $g\to+\infty$: $x=0$.

$x\to\infty$: $f\to-\infty$ ולכן $g\to0$: $y=0$.

טעות נפוצה: לחפש אסימפטוטה אנכית ב-$x=e^3$ - שם $f$ מקסימלית ($e^3\ne0$), ו-$g$ מקבלת שם מינימום.

$g'=-\frac{f'}{f^2}$: $g$ יורדת היכן ש-$f$ עולה ולהפך, והסימן של $g$ כסימן $f$.

ב-$0<x<e^4$: $g>0$, מינימום ב-$\left(e^3,\frac1{e^3}\right)\approx(20.1,0.05)$, ו-$g\to+\infty$ בשני הקצוות.

ב-$x>e^4$: $g<0$, עולה מ-$-\infty$ ומתקרבת ל-$y=0$ מלמטה.

טעות נפוצה: לצייר את $g$ חוצה את ציר ה-$x$ ב-$e^4$ - שם יש אסימפטוטה; $g$ אף פעם לא מתאפסת.