מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 14 ברמת בגרות

הנקודה A נמצאת על הישר ועל הפרבולה, ולכן מציבים $y=x-1.5p$ במשוואת הפרבולה:

מהישר: עבור $x=4.5p$ מתקבל $y=3p$, ועבור $x=0.5p$ מתקבל $y=-p$.

הנקודה $(0.5p,-p)$ ברביע הרביעי (כי $p>0$), ולכן $A(4.5p,\,3p)$.

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון הקטן $x=0.5p$ בלי לבדוק את הרביע, ולקבל $A(0.5p,-p)$ - נקודה ברביע הרביעי.

משוואת המשיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_0,y_0)$ שעליה: $yy_0=p(x+x_0)$. מציבים $A(4.5p,3p)$:

כלומר $\ell$: $x-3y+4.5p=0$.

המוקד של $y^2=2px$ הוא $F\left(\frac p2,0\right)$.

מעגל שמשיק לישר - הרדיוס שלו הוא המרחק של המרכז מהישר:

$R^2=\frac{25p^2}{10}=2.5p^2$, ולכן משוואת מעגל I:

טעות נפוצה: לכתוב את נוסחת המשיק עם $2p$ במקום $p$: $3py=2p(x+4.5p)$, כלומר $2x-3y+9p=0$. אז $R=\frac{10p}{\sqrt{13}}$ ומתקבל $\left(x-\frac p2\right)^2+y^2=\frac{100}{13}p^2\approx7.69p^2$.

הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק, ולכן B היא עקב האנך מ-F לישר $\ell$.

שיפוע $\ell$ הוא $\frac13$, ולכן שיפוע האנך הוא $-3$. האנך עובר דרך $F\left(\frac p2,0\right)$:

חיתוך עם $\ell$:

$y=1.5p$, כלומר $B(0,1.5p)$ - שיעור ה-$x$ שלה 0, ולכן היא על ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לקחת לאנך שיפוע $-\frac13$ (רק להחליף סימן). אז החיתוך עם $\ell$ יוצא $\left(-2p,\frac56p\right)$ ונראה כאילו B אינה על ציר ה-$y$. שיפוע ניצב הוא ההופכי הנגדי: $-\frac{1}{1/3}=-3$.

$A(4.5p,3p)$ ו-$B(0,1.5p)$. לפי נוסחת המרחק:

($p>0$, ולכן $\sqrt{p^2}=p$.) מפשטים: $\sqrt{22.5}=\sqrt{\frac{9\cdot10}{4}}=1.5\sqrt{10}$.

טעות נפוצה: לחשב את ההפרש בשיעורי ה-$y$ כ-$3p+1.5p=4.5p$. אז $AB=\sqrt{40.5}\,p=4.5\sqrt2\,p$ ויוצא $p=\frac{2\sqrt5}{3}\approx1.49$.

מציבים $p=2$: מעגל I הוא $(x-1)^2+y^2=2.5\cdot4=10$, כלומר מרכזו $F(1,0)$ ורדיוסו $R=\sqrt{10}$.

רדיוס המעגלים המבוקשים $r=5-\sqrt{10}$ (חיובי, כי $\sqrt{10}<5$).

שני מעגלים משיקים מבחוץ כאשר המרחק בין המרכזים שווה לסכום הרדיוסים:

כל המרכזים נמצאים במרחק קבוע 5 מהנקודה $F(1,0)$, ולכן המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו F ורדיוסו 5:

טעות נפוצה: להשתמש בהפרש הרדיוסים (תנאי השקה מבפנים): $d=\sqrt{10}-(5-\sqrt{10})=2\sqrt{10}-5$, ולקבל $(x-1)^2+y^2=(2\sqrt{10}-5)^2=65-20\sqrt{10}\approx1.75$.

$BB'$ ניצב לבסיס העליון ו-$B'$ עליו, ולכן $BB'$ הוא המרחק של B מהמישור $A'B'C'D'$:

טעות נפוצה: לחלק בריבוע אורך הנורמל ($4+1+4=9$) במקום באורכו ($3$), ולקבל $BB'=\frac{27}{9}=3$.

$A=(1+t,\ 2+2t,\ 3)$, ו-$AB=|t|\cdot|(1,2,0)|=|t|\sqrt5$.

$t=3$: $(4,8,3)$ - שיעור $x$ חיובי, נפסל. $t=-3$: $(-2,-4,3)$.

$A(-2,-4,3)$.

טעות נפוצה: להשוות את $|t|$ עצמו ל-$3\sqrt5$, בלי להכפיל באורך וקטור הכיוון $\sqrt5$. מתקבל $t=-3\sqrt5$ והנקודה $\left(1-3\sqrt5,\ 2-6\sqrt5,\ 3\right)$.

כיווני המישור: AB בכיוון $(1,2,0)$, ו-$BB'$ ניצב ל-$A'B'C'D'$ ולכן בכיוון הנורמל $(2,-1,2)$.

נורמל $(a,b,c)$ הניצב לשניהם:

$a=-2b$, ואז $-5b+2c=0$, $c=2.5b$. עם $b=-2$: $\underline n=(4,-2,-5)$.

הצבת $B(1,2,3)$ ב-$4x-2y-5z+d=0$: $4-4-15+d=0$, $d=15$.

$4x-2y-5z+15=0$. בדיקה עם $A(-2,-4,3)$: $-8+8-15+15=0$.

טעות נפוצה: לקחת את הנורמל $(2,-1,2)$ של $A'B'C'D'$ כנורמל של $ABB'A'$, ולקבל $2x-y+2z-6=0$ - זה מישור הבסיס ABCD (A ו-B שתיהן עליו). הפאה הצדדית ניצבת לבסיס, ולכן הנורמל של הבסיס הוא כיוון בתוכה.

$\overrightarrow{AM}=(-1+2,\ -2+4,\ k-3)=(1,2,k-3)$. כיוון AB: $(1,2,0)$.

$k=3\pm\sqrt{15}$. $3-\sqrt{15}\approx-0.87$ שלילי ונפסל, ולכן $k=3+\sqrt{15}$.

טעות נפוצה: לפתור $k^2=15$, כאילו $\overrightarrow{AM}$ הוא $(-1,-2,k)$ - כלומר להשתמש בשיעורי M עצמם במקום בהפרש $M-A$.

$DCC'D'$ ו-$ABB'A'$ פאות נגדיות ולכן מקבילות, ו-AD ניצב לשתיהן. לכן AD הוא המרחק של M מהמישור $ABB'A'$.

$M(-1,-2,3+\sqrt{15})$:

טעות נפוצה: לחשב את מרחק M מהמישור $A'B'C'D'$ ולקחת אותו כ-AD. המרחק הזה קשור לגובה, לא לרוחב; AD נמדד בין הפאות $ABB'A'$ ו-$DCC'D'$.

מהנתון $z_2=\frac{z_1}{-3-2i}=\frac{-5+i}{-3-2i}$. כופלים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה, $-3+2i$:

בדיקה: $\frac{z_1}{z_2}=\frac{-5+i}{1-i}=\frac{(-5+i)(1+i)}{2}=\frac{-5-5i+i+i^2}{2}=\frac{-6-4i}2=-3-2i$ ✓.

טעות נפוצה: לבודד את $z_2$ בכיוון הלא נכון ולכתוב $z_2=z_1\cdot(-3-2i)=(-5+i)(-3-2i)=17+7i$ - מ-$\frac{z_1}{z_2}=q$ נובע $z_2=\frac{z_1}{q}$.

$z_1+z_2=(-5+1)+(1-1)i=-4$. בהצגה קוטבית: $-4=4\operatorname{cis}180^\circ$.

$w=\rho\operatorname{cis}\varphi$, ולפי דה-מואבר $w^4=\rho^4\operatorname{cis}4\varphi$:

$k=0,1,2,3$: $\varphi=45^\circ,135^\circ,225^\circ,315^\circ$.

טעות נפוצה: להוציא שורש ריבועי במקום שורש רביעי מהמודול, $\rho=\sqrt4=2$, ולקבל $2\operatorname{cis}(45^\circ+90^\circ k)$, למשל $\sqrt2+\sqrt2i$.

הצמוד: $\bar z=\sqrt2\operatorname{cis}(-\theta)$, ולפי דה-מואבר $\bar z^3=2\sqrt2\operatorname{cis}(-3\theta)$.

שני מספרים (שונים מ-0) נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית אם הארגומנטים שלהם שווים או נבדלים ב-$180^\circ$ (באותו כיוון או בכיוונים מנוגדים):

בתחום $0^\circ\le\theta<180^\circ$: $\theta=0^\circ,45^\circ,90^\circ,135^\circ$.

טעות נפוצה: לשכוח שהצמוד הופך את סימן הארגומנט ולכתוב $\bar z^3=2\sqrt2\operatorname{cis}3\theta$. אז $2\theta=180^\circ k$, ומתקבלות רק שתי אפשרויות: $z=\sqrt2$ ו-$z=\sqrt2i$.

לכל שמונת המספרים ערך מוחלט $\sqrt2$, ולכן כולם על המעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו $\sqrt2$.

$1+i$ ו-$-1+i$ מופיעים גם בסעיף ב וגם בסעיף ג, ולכן יש 6 קודקודים שונים: $\sqrt2$ ($0^\circ$), $1+i$ ($45^\circ$), $\sqrt2i$ ($90^\circ$), $-1+i$ ($135^\circ$), $-1-i$ ($225^\circ$), $1-i$ ($315^\circ$).

מסמנים אותם על המעגל ומחברים לפי סדר הארגומנטים. מתקבל משושה לא משוכלל: ארבעה קודקודים ברווחים של $45^\circ$ מ-$0^\circ$ עד $135^\circ$, ושני קודקודים מתחת לציר הממשי.

טעות נפוצה: לספור 8 קודקודים - $1+i$ ו-$-1+i$ הם אותן נקודות בשני הסעיפים.

מחלקים את המצולע למשולשים שקודקודם בראשית. לכל משולש שתי צלעות באורך $\sqrt2$ (רדיוסים), והזווית ביניהן היא ההפרש בין הארגומנטים.

ההפרשים לפי הסדר: $45^\circ,45^\circ,45^\circ,90^\circ,90^\circ,45^\circ$ (סכומם $360^\circ$).

טעות נפוצה: לחשב כאילו המשושה משוכלל, $6\cdot\frac12\cdot2\cdot\sin60^\circ=3\sqrt3\approx5.20$ - הזוויות המרכזיות כאן אינן שוות.

נכתוב $1+2i=\rho\operatorname{cis}\beta$, כאשר $\rho=|1+2i|=\sqrt{1+4}=\sqrt5$.

בכפל ב-$\rho\operatorname{cis}\beta$ הערך המוחלט של כל קודקוד מוכפל ב-$\sqrt5$, ולארגומנט מתווסף $\beta$.

כלומר כל המצולע מסתובב ב-$\beta$ סביב הראשית ומתמתח פי $\sqrt5$: המצולע החדש דומה למקורי ביחס דמיון $\sqrt5$ (את $\beta$ עצמה אין צורך לחשב).

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $(\sqrt5)^2=5$.

טעות נפוצה: לענות "פי $\sqrt5$" ($\approx2.24$) - כל האורכים גדלים פי $\sqrt5$, אבל השטח גדל פי $(\sqrt5)^2=5$.

כאשר $x\to-\infty$: $e^{-x}\to\infty$ ו-$f(x)\to\infty$ - אין אסימפטוטה.

כאשר $x\to\infty$: $e^{-x}\to0$, ולכן $f(x)\to(-1)^n-9$.

$n$ זוגי: $y=1-9=-8$. $n$ אי-זוגי: $y=-1-9=-10$.

טעות נפוצה: לחפש את האסימפטוטה ב-$-\infty$ כמו ב-$e^x$ - כאן $e^{-x}$ שואף ל-0 כאשר $x\to\infty$.

$f'(x)=0$ רק כאשר $e^{-x}=1$, כלומר $x=0$. הסימן של $e^{-x}-1$: חיובי עבור $x<0$, שלילי עבור $x>0$.

$n$ זוגי ($n-1$ אי-זוגי): עבור $x<0$, $f'<0$ (חיובי כפול שלילי); עבור $x>0$, $f'>0$. מינימום: $f(0)=-9$, $\min(0,-9)$.

$n$ אי-זוגי ($n-1$ זוגי): $(e^{-x}-1)^{n-1}\ge0$, ולכן $f'\le0$ - אין החלפת סימן ואין קיצון (הפונקציה יורדת).

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $-e^{-x}$ - אז הסימנים מתהפכים ומתקבל מקסימום במקום מינימום.

$n$ זוגי: משמאל הגרף גבוה, יורד וחוצה את ציר ה-$x$, מגיע למינימום $(0,-9)$, ואחר כך עולה ומתקרב ל-$y=-8$ מלמטה (הערכים בין $-9$ ל-$-8$).

$n$ אי-זוגי: יורד כל הזמן; ב-$(0,-9)$ המשיק אופקי; מימין מתקרב ל-$y=-10$ מלמעלה.

טעות נפוצה: לצייר עבור $n$ זוגי את הגרף חוצה את $y=-8$ מימין למינימום - הערכים שם בין $-9$ ל-$-8$ בלבד.

נציב $t=e^{-x}>0$: $(t-1)^2-9=4t-13$, כלומר $t^2-6t+5=0$.

$t=1\Rightarrow x=0$, $y=4-13=-9$. $t=5\Rightarrow e^{-x}=5$, $x=-\ln5$, $y=20-13=7$.

טעות נפוצה: לפתור $e^{-x}=5$ כ-$x=\ln5$ - צריך $-x=\ln5$, כלומר $x=-\ln5$.

בין $x=-\ln5$ ל-$x=0$: $1<t<5$, ו-$g-f=-(t^2-6t+5)=-(t-1)(t-5)>0$ - $g$ מעל $f$.

טעות נפוצה: לכתוב $\int e^{-x}dx=e^{-x}$ - הפונקציה הקדומה היא $-e^{-x}$.

האפס של $f$: $(e^{-x}-1)^2=9$, $e^{-x}-1=3$ (האפשרות $-3$ נותנת $e^{-x}=-2$), כלומר $x=-\ln4$.

$f>0$ עבור $x<-\ln4$, ו-$f<0$ עבור $x>-\ln4$.

ב-$h$ החלק השלילי משתקף: המינימום $(0,-9)$ הופך למקסימום $(0,9)$, והאסימפטוטה $y=-8$ הופכת ל-$y=8$.

באפס $x=-\ln4$ נוצר מינימום: $(-\ln4,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב את האפס $x=\ln4$ - מ-$e^{-x}=4$ מקבלים $x=-\ln4$.

מהלך $h$: יורדת מ-$\infty$ ל-0 ב-$-\ln4$, עולה ל-9 ב-$x=0$, ויורדת אל האסימפטוטה $y=8$ מימין.

עבור $8<k<9$: נקודה בענף השמאלי, נקודה בעלייה ונקודה בירידה הימנית - 3 נקודות.

עבור $0<k\le8$: 2 נקודות; $k=9$: 2 נקודות; $k>9$: נקודה אחת.

טעות נפוצה: לענות $0<k<9$ - הענף הימני יורד רק עד 8, ולכן מתחת ל-8 הוא אינו נותן נקודה.