מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 19 ברמת בגרות

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר. לכן אם $\angle APB=90^\circ$, הנקודה $P$ נמצאת על המעגל שהקטע $AB$ הוא קוטר שלו.

מרכז המעגל הוא אמצע הקטע $AB$:

אורך הקוטר הוא $AB=4a-(-6a)=10a$, ולכן הרדיוס $R=5a$.

הנקודות $A$ ו-$B$ עצמן על המעגל אבל אינן מקיימות את התנאי (אין בהן משולש), ולכן הן אינן חלק מהמקום הגאומטרי.

טעות נפוצה: לחשב את שיעור המרכז כחצי מאורך הקטע, $\frac{4a-(-6a)}{2}=5a$, ולקבל $(x-5a)^2+y^2=25a^2$. שיעור המרכז הוא ממוצע שיעורי הקצוות: $\frac{-6a+4a}{2}=-a$.

הבסיס $AB=10a$ קבוע, ולכן השטח הוא הגדול ביותר כשהגובה מ-$P$ לבסיס הוא הגדול ביותר.

$AB$ מונח על ציר ה-$x$, ולכן הגובה הוא $|y_P|$. על המעגל הערך הגדול ביותר של $|y|$ הוא הרדיוס $5a$ (בנקודות $(-a,\pm5a)$).

$a$ חיובי, ולכן $a=3$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את הקוטר $10a$ במקום את הרדיוס ($\frac12\cdot10a\cdot10a=225$) ולקבל $a=\sqrt{4.5}\approx2.12$.

עם $a=3$: המעגל הוא $(x+3)^2+y^2=225$ (מרכז $(-3,0)$, רדיוס 15).

מוקד הפרבולה הוא אמצע $AB$, הנקודה $(-3,0)$. לפרבולה קנונית $y^2=2px$ המוקד הוא $\left(\frac p2,0\right)$, ולכן $\frac p2=-3$, $p=-6$:

(הפרבולה פתוחה שמאלה, כי המוקד בצד השלילי של ציר ה-$x$.)

מציבים $y^2=-12x$ במשוואת המעגל:

בפרבולה $y^2=-12x$ חייב להתקיים $x\le0$, ולכן $x=-12$. אז $y^2=-12\cdot(-12)=144$, וברביע השני $y=12$.

$C(-12,\,12)$.

טעות נפוצה: להשוות את $p$ לשיעור המוקד ($p=-3$) במקום את $\frac p2$, ולכתוב $y^2=-6x$. אז $(x+3)^2-6x=225$ נותן $x^2=216$, ומתקבל $C\approx(-14.70,\ 9.39)$ - נקודה שאינה על הפרבולה שמוקדה $(-3,0)$.

משוואת המשיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_0,y_0)$ שעליה: $y_0y=p(x+x_0)$. כאן $p=-6$, $C(-12,12)$:

משיק למעגל המקביל ל-$\ell$ הוא מהצורה $x+2y+c=0$. ישר משיק למעגל כשהמרחק שלו ממרכז המעגל $(-3,0)$ שווה לרדיוס 15:

$c=3+15\sqrt5$ או $c=3-15\sqrt5$.

המרחק בין ישרים מקבילים $x+2y+c_1=0$ ו-$x+2y+c_2=0$ הוא $\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt5}$:

(בדיקה: המרחק של מרכז המעגל מ-$\ell$ הוא $\frac{|-3-12|}{\sqrt5}=3\sqrt5$, ושני המשיקים נמצאים במרחק 15 מהמרכז, אחד מכל צד, ולכן המרחקים מ-$\ell$ הם $15\pm3\sqrt5$.)

טעות נפוצה: לשכוח את המכנה $\sqrt5$ בתנאי ההשקה ולכתוב $|c-3|=15$. אז $c=18$ או $c=-12$, והמרחקים יוצאים $\frac{30}{\sqrt5}=6\sqrt5\approx13.42$ ו-0 (הישר השני הוא $\ell$ עצמו).

במקבילית $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline{v}$, ו-$K$ אמצע $BC$:

במנסרה $\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AA'}=\underline{w}$, ולכן $\overrightarrow{AD'}=\underline{v}+\underline{w}$.

טעות נפוצה: לבלבל את $K$ עם אמצע האלכסון $AC$ ולכתוב $\overrightarrow{AK}=\frac12(\underline{u}+\underline{v})$. מתקבל $\overrightarrow{D'K}=\frac12\underline{u}-\frac12\underline{v}-\underline{w}$.

מסעיף א: $\overrightarrow{AK}=\underline{u}+\frac12\underline{v}$.

המנסרה ישרה, ולכן $AA'$ מאונך לבסיס ולכל ישר בו: $\underline{w}\cdot\underline{u}=0$ ו-$\underline{w}\cdot\underline{v}=0$. (על $\underline{u}\cdot\underline{v}$ אין מידע - המקבילית אינה בהכרח מלבן.)

וקטורים מאונכים - המכפלה הסקלרית אפס:

פותחים סוגריים:

האיברים $\underline{u}\cdot\underline{v}$ מתבטלים, ושני האיברים עם $\underline{w}$ הם אפס:

טעות נפוצה: לחשב $\frac12\underline{v}\cdot\frac12\underline{v}=\frac12|\underline{v}|^2$. מתקבל $|\underline{u}|^2=\frac12|\underline{v}|^2$, כלומר $|\underline{v}|=\sqrt2|\underline{u}|$ - לא מה שצריך להוכיח. המקדמים מוכפלים: $\frac12\cdot\frac12=\frac14$.

$|\overrightarrow{AD}|=|(26,0,0)|=26$. מסעיף ב: $|\overrightarrow{AB}|=\frac12|\overrightarrow{AD}|=13$.

($p>0$.) לכן $B(5,12,0)$.

במקבילית $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(26,0,0)$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולהציב $|\overrightarrow{AB}|=2|\overrightarrow{AD}|=52$. מתקבל $p^2=2679$, $p\approx51.76$ - אבל לפי סעיף ב הצלע $AD$ היא הארוכה.

$K$ אמצע $BC$: $K=\left(\frac{5+31}2,\frac{12+12}2,0\right)=(18,12,0)$.

$B'=B+\overrightarrow{AA'}=(5,12,13)$, ולכן $\overrightarrow{B'C}=C-B'=(26,0,-13)$.

המישור מכיל את $AK$ ומקביל ל-$B'C$, ולכן הנורמל שלו $\underline{n}=(a,b,c)$ מאונך לשני הכיוונים. אפשר לצמצם: $\overrightarrow{AK}=6(3,2,0)$, $\overrightarrow{B'C}=13(2,0,-1)$.

בוחרים $a=2$: $b=-3$, $c=4$. $\underline{n}=(2,-3,4)$.

המישור עובר דרך $A(0,0,0)$:

בדיקה: $K$: $36-36+0=0$ ✓. $B'$: $10-36+52=26\neq0$, ולכן $B'C$ מקביל למישור ולא מוכל בו.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{B'C}=(26,0,13)$ - לשכוח ש-$B'$ בגובה 13 ו-$C$ בגובה 0. מתקבל הנורמל $(2,-3,-4)$ והמישור $2x-3y-4z=0$, שאינו מקביל ל-$B'C$.

נמצא את $L$: על המקצוע $BB'$ כל הנקודות הן $(5,12,z)$, $0\le z\le13$. מציבים במישור:

$L(5,12,6.5)$ - אמצע $BB'$.

I: $\overrightarrow{KL}=L-K=(-13,0,6.5)$, ו-$\overrightarrow{A'D}=D-A'=(26,0,-13)$.

הווקטורים פרופורציוניים, ו-$K$ אינה על $A'D$, ולכן $KL\parallel A'D$ - נכון. (במנסרה $A'D\parallel B'C$, ו-$KL$ הוא קטע אמצעים במשולש $BB'C$.)

II: כל ישר שמאונך למישור $AKL$ מקביל לנורמל $\underline{n}=(2,-3,4)$. $\overrightarrow{A'C}=C-A'=(31,12,-13)$:

לכן ישר כזה אינו מאונך ל-$A'C$ - לא נכון. (ישר שמאונך למישור מאונך לכל ישר שמקביל למישור, אבל $A'C$ אינו מקביל למישור $AKL$.)

טעות נפוצה (I): לענות "לא נכונה" כי $\overrightarrow{KL}\neq\overrightarrow{A'D}$ (האורך חצי והכיוון הפוך). להקבלה מספיק שהווקטורים פרופורציוניים: $\overrightarrow{KL}=-\frac12\overrightarrow{A'D}$.

$z_3=z_1q^2$, ומהנתון $z_3=-z_1^3$:

$-z_1^2=i^2z_1^2=(iz_1)^2$, ולכן:

$q=iz_1$ או $q=-iz_1$.

טעות נפוצה: לכתוב $q^2=-z_1^2\Rightarrow q=\pm z_1$ (לשכוח את המינוס) - $(\pm z_1)^2=z_1^2$, לא $-z_1^2$.

$z_1=r\,\text{cis}\theta$, $r>0$, $90^\circ<\theta<180^\circ$.

$z_3=-z_1^3=r^3\text{cis}(3\theta+180^\circ)$, ולכן $\overline{z_3}=r^3\text{cis}(-3\theta-180^\circ)$.

$4z_1=4r\,\text{cis}\theta$.

מודולים: $r^3=4r$, ולכן $r=2$.

ארגומנטים:

ברביע השני ($k=-2$): $\theta=135^\circ$.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס ב-$z_3=-(z_1)^3$ ולכתוב $\overline{z_3}=r^3\text{cis}(-3\theta)$ - אז $\theta=-90^\circ k$, ואף פתרון אינו בתוך הרביע השני.

$i=\text{cis}90^\circ$, ולכן $q=\text{cis}90^\circ\cdot2\,\text{cis}135^\circ=2\,\text{cis}225^\circ$.

$z_{4n}$: הארגומנט $900^\circ n-90^\circ$. $900^\circ n=720^\circ n+180^\circ n$, ולכן הארגומנט שקול ל-$180^\circ n-90^\circ$: $\cos=0$, המספר מדומה.

$z_{4n-2}$: הארגומנט $225^\circ(4n-2)-90^\circ=900^\circ n-540^\circ$, שקול ל-$180^\circ n-180^\circ$: $\sin=0$, המספר ממשי.

בדיקה: $z_2=z_1q=2\,\text{cis}135^\circ\cdot2\,\text{cis}225^\circ=4\,\text{cis}360^\circ=4$ - ממשי, ו-$z_4=16\,\text{cis}810^\circ=16i$ - מדומה.

טעות נפוצה: לכתוב $z_m=q^m$ כמו כשהמנה שווה לאיבר הראשון - כאן $q\ne z_1$, וצריך $z_m=z_1q^{m-1}$.

לפי סעיף ג: $\frac{z_m}{2^m}=\text{cis}(225^\circ m-90^\circ)$.

זו סדרה הנדסית עם מנה $\text{cis}225^\circ\ne1$ ואיבר ראשון $\text{cis}135^\circ$:

$\left(\text{cis}225^\circ\right)^{48}=\text{cis}(10800^\circ)=\text{cis}(30\cdot360^\circ)=1$, ולכן $S=0$.

טעות נפוצה: לחשב את מנת הסדרה החדשה כ-$\frac{q}{4}$ - מחלקים ב-$2^m$, ולכן המנה היא $\frac q2=\text{cis}225^\circ$.

$f(x)=(x-3)e^x+1$.

כאשר $x\to-\infty$: $(x-3)e^x\to0$ (המעריכית שולטת), ולכן $f\to1$: אסימפטוטה $y=1$.

כאשר $x\to\infty$: $f\to\infty$ - אין אסימפטוטה.

טעות נפוצה: להסיק ש-$(x-3)e^x\to-\infty$ כש-$x\to-\infty$ כי $x-3\to-\infty$ - הגורם $e^x$ שואף ל-0 מהר יותר, והמכפלה שואפת ל-0.

הנקודה: $(0,-2)$.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר החופשי 1 ולקבל $(0,-3)$.

$e^x>0$, ולכן סימן $f'$ כסימן $x-2$.

ירידה: $x<2$; עלייה: $x>2$. מינימום ב-$(2,1-e^2)\approx(2,-6.39)$.

טעות נפוצה: לשכוח את $e^x$ שמתקבל מגזירת $x$ בכלל המכפלה ולקבל $f'(x)=(x-3)e^x$, כלומר נקודת קיצון ב-$x=3$.

עבור $x<3$ הביטוי $(x-3)e^x$ שלילי, ולכן משמאל הגרף מתחת ל-$y=1$ ומתקרב אליה מלמטה. יורד עד $x=2$, שם $f(2)=1-e^2\approx-6.39$, ועולה לאינסוף.

חיתוכים עם ציר ה-$x$: $f(-2)=1-\frac5{e^2}\approx0.32>0$, $f(-1)=1-\frac4e\approx-0.47<0$; $f(2)<0$, $f(3)=1>0$.

טעות נפוצה: להסיק מ-$f(0)=-2$ שהגרף שלילי לכל $x<0$ - הוא מתחיל ליד $y=1$ ולכן חוצה את ציר ה-$x$ משמאל לראשית.

כאשר $x\to\infty$ מחלקים ב-$e^x$:

כאשר $x\to-\infty$: המונה שואף ל-1 והמכנה $e^x-x+1\to\infty$, ולכן $g\to0$.

טעות נפוצה: לחשוב שכש-$x\to-\infty$ המכנה שואף ל-1 (כי $e^x\to0$) ולקבל אסימפטוטה $y=1$ - במכנה יש גם $-x$, ששואף לאינסוף.

המכנה חיובי, ולכן $g(x)=0$ רק כש-$1-e^x=0$, כלומר $x=0$. הנקודה $(0,0)$.

טעות נפוצה: לפתור $e^x=1$ כ-$x=1$ ולכתוב $(1,0)$ - $e^x=1$ רק כש-$x=0$ (ובאמת $g(1)=\frac{1-e}{e}\neq0$).