מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 18 ברמת בגרות

משלימים לריבוע את האיברים של $y$: $y^2-8y=(y-4)^2-16$.

מרכז המעגל $(0,4)$, ו-$16-t>0$ כי $t<16$.

$r=\sqrt{16-t}$.

טעות נפוצה: להעביר את $t$ לאגף השני בלי להחליף סימן: $x^2+(y-4)^2=16+t$, ולקבל $r=\sqrt{16+t}$.

ישר משיק למעגל כאשר המרחק ממרכז המעגל לישר שווה לרדיוס.

הישר בצורה כללית: $x+y-8=0$. המרכז $(0,4)$:

משווים לרדיוס:

טעות נפוצה: לשכוח את השורש במכנה של נוסחת המרחק: $d=|0+4-8|=4$, ואז $\sqrt{16-t}=4$ נותן $t=0$. המכנה הוא $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$.

ההזזה לא משנה את הרדיוס: $r^2=16-8=8$, ולכן מעגל II: $x^2+y^2=8$.

נסמן $A(x_0,y_0)$. המיתר מאונך לציר ה-$x$, כלומר אנכי, ומסימטריה ביחס לציר ה-$x$: $B(x_0,-y_0)$ ו-$AB=2|y_0|$.

P על המיתר האנכי, ולכן שיעור ה-$x$ שלה הוא $x_0$: $P(x,y)$ עם $x=x_0$.

מהתנאי $AB=2\cdot PO$:

A על מעגל II: $x_0^2+y_0^2=8$. מציבים $x_0=x$ ו-$y_0^2=x^2+y^2$:

זו אליפסה שהציר הגדול שלה על ציר ה-$y$. (התנאי $|x_A|\le2$ מבטיח $y_0^2=8-x^2\ge x^2$, כלומר שקיימת P על המיתר.)

טעות נפוצה: לקחת את אורך המיתר כ-$|y_0|$ (רק עד ציר ה-$x$) במקום $2|y_0|$: $|y_0|=2\sqrt{x^2+y^2}$, ואז $x^2+4x^2+4y^2=8$, כלומר האליפסה $\frac{x^2}{1.6}+\frac{y^2}{2}=1$. המיתר AB סימטרי לציר ה-$x$, ואורכו $2|y_0|$.

באליפסה $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1$ המכנה הגדול הוא של $y^2$, ולכן הציר הגדול על ציר ה-$y$: $a^2=8$, $b^2=4$.

המוקדים: $K(0,2)$, $F(0,-2)$, ו-$KF=4$.

לפי הגדרת האליפסה: $CK+CF=2a=2\sqrt8=4\sqrt2$.

היקף המשולש: $4\sqrt2+4\approx9.657$.

טעות נפוצה: לשים את המוקדים על ציר ה-$x$ כמו "תמיד", ולקבל $c^2=4-8<0$. המוקדים נמצאים על הציר שמתחת לו המכנה הגדול.

הבסיס KF מונח על ציר ה-$y$ ואורכו 4. הגובה לבסיס הוא המרחק של C מציר ה-$y$, כלומר $|x_C|$.

לכל נקודה על האליפסה $|x|\le b=2$, ו-$2.5>2$. לכן אין נקודה C כזאת (השטח הגדול ביותר הוא $\frac12\cdot4\cdot2=4$).

טעות נפוצה: לקחת את $|y_C|$ כגובה, כמו כשהבסיס על ציר ה-$x$: $|y_C|=2.5$, ומכיוון ש-$|y|\le2\sqrt2\approx2.83$ על האליפסה עונים בטעות "כן". הגובה לבסיס שעל ציר ה-$y$ הוא המרחק האופקי $|x_C|$.

$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{SF}-\overrightarrow{SA}=\underline v-\underline w$, ו-$F$ אמצע $AD$: $\overrightarrow{AD}=2\underline v-2\underline w$.

$E$ אמצע $BD$ ו-$F$ אמצע $AD$, ולכן $FE$ קטע אמצעים במשולש $ABD$: $FE\parallel AB$, $FE=\frac12AB$.

הכיוון: $\overrightarrow{FE}$ הולך מצד $AD$ אל מרכז הריבוע, כמו $\overrightarrow{AB}$ שהולך מ-$A$ אל $B$. לכן $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{FE}$.

טעות נפוצה: לקחת $\overrightarrow{EF}$ במקום $\overrightarrow{FE}$ ולקבל $\overrightarrow{AB}=2\underline v-2\underline u$ - וקטור בכיוון ההפוך. צריך לבדוק שהקטע האמצעי מכוון כמו הצלע.

$\underline w=\overrightarrow{SE}+\overrightarrow{EA}=\underline u+\overrightarrow{EA}$.

$SE$ מאונך לבסיס, ולכן $\underline u\cdot\overrightarrow{EA}=0$.

טעות נפוצה: לחשב $|\underline u|\cdot|\underline w|$ כאילו הווקטורים מקבילים. רק הרכיב של $\underline w$ בכיוון $\underline u$ תורם למכפלה, והוא $\underline u$ עצמו.

ההיטל של $SA$ על הבסיס הוא $EA$ ($SE$ מאונך לבסיס), והזווית היא $\angle SAE$.

האלכסון $13\sqrt2\cdot\sqrt2=26$, ולכן $EA=13$.

טעות נפוצה: לחשב את הזווית $ASE$ (ליד הקודקוד $S$), $\tan=\frac{13}{10}$, ולקבל $52.43^\circ$. הזווית עם הבסיס נמצאת ליד הבסיס, בקודקוד $A$.

המישור מקביל לציר $x$, ולכן הנורמל מאונך ל-$(1,0,0)$: $\vec n=(0,b,c)$.

$5y+12z+d=0$ דרך $E(1,2,3)$: $10+36+d=0$, $d=-46$.

טעות נפוצה: לכתוב $x+5y+12z+d=0$ - להוסיף איבר $x$. במישור המקביל לציר $x$ המקדם של $x$ הוא 0, ולכן $x$ חסר במשוואה.

$B$ במישור הבסיס: $5y+12\cdot8-46=0$, ולכן $y=-10$.

$B(x,-10,8)$, ו-$EB=13$ (חצי אלכסון, מסעיף ג):

$B(1,-10,8)$.

טעות נפוצה: להשוות את $|\overrightarrow{EB}|^2$ לאורך הצלע בריבוע, $338$, ולקבל $(x-1)^2=169$, $x=14$ או $x=-12$. המרחק ממרכז הריבוע לקודקוד הוא חצי אלכסון, 13.

מציבים $z=x+iy$. אגף שמאל: $(x^2-y^2+2xyi)+(x^2+y^2)=2x^2+2xyi$.

אגף ימין: $x+iy-2x+2iy+3-2i=(3-x)+(3y-2)i$.

מהראשונה $2x^2+x-3=0$, כלומר $x=1$ או $x=-\frac32$.

מהשנייה $y(2x-3)=-2$: עבור $x=1$, $-y=-2$ ו-$y=2$; עבור $x=-\frac32$, $-6y=-2$ ו-$y=\frac13$ (רביע שני).

$z_1=1+2i$, $|z_1|=\sqrt5$:

טעות נפוצה: לכתוב $-2\bar z=-2x-2iy$ - בצמוד החלק המדומה מחליף סימן: $-2\bar z=-2x+2iy$.

האלכסון הוא קוטר: $d=2\sqrt5$.

טעות נפוצה: לחשב $d^2=(2\sqrt5)^2=10$ ולקבל שטח 5 - $(2\sqrt5)^2=4\cdot5=20$.

מרכז הריבוע בראשית, וכל קודקוד מתקבל מהקודם בסיבוב של $90^\circ$ - כפל ב-$i$:

טעות נפוצה: לחשב $i(1+2i)=i+2i=3i$ - $2i\cdot i=2i^2=-2$.

הקודקודים ברביעים הראשון והשלישי: $z_1$ ו-$-z_1$; ברביעים השני והרביעי: $iz_1$ ו-$-iz_1$.

אחרי ההכפלה מתקבלים $\pm w_1z_1$ ו-$\pm w_2iz_1$ - שני זוגות של נקודות סימטריות ביחס לראשית. האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן זו מקבילית.

אורכי האלכסונים $2r_1\sqrt5\neq2r_2\sqrt5$ - לא מלבן.

האלכסון $z_1$ מסתובב ב-$\alpha$ והאלכסון $iz_1$ ב-$\alpha+30^\circ$, ולכן הזווית ביניהם $90^\circ+30^\circ=120^\circ$ - לא מאונכים, לא מעוין.

טעות נפוצה: לחשוב שהזווית בין האלכסונים היא $30^\circ$ - הסיבוב הנוסף מתווסף ל-$90^\circ$ שהיו בין האלכסונים של הריבוע.

טעות נפוצה: להציב $\sin30^\circ$ במקום $\sin120^\circ$ ולקבל $r_1r_2=6$ - הזווית בין האלכסונים היא $120^\circ$ (או $60^\circ$), וסינוס של שתיהן $\frac{\sqrt3}2$.

אנכית: המכנה $e^x-1$ מתאפס ב-$x=0$, והמונה שם $4\ne0$, ולכן $f(x)\to\pm\infty$ ליד $x=0$: אסימפטוטה $x=0$.

אופקית, כש-$x\to-\infty$: $e^x\to0$ ו-$e^{2x}\to0$, ולכן:

אסימפטוטה $y=0$ (משמאל).

כש-$x\to\infty$: $\frac{4e^x}{e^x-1}\to4$ אבל $e^{2x}\to\infty$, ולכן $f(x)\to\infty$ - אין אסימפטוטה אופקית מימין.

טעות נפוצה: לראות ש-$\frac{4e^x}{e^x-1}\to4$ כש-$x\to\infty$ ולכתוב אסימפטוטה $y=4$ - שוכחים את המחובר $e^{2x}$, ששואף לאינסוף.

ציר ה-$y$: צריך $x=0$, והוא מחוץ לתחום ההגדרה - אין חיתוך.

ציר ה-$x$: נציב $t=e^x$ ($t>0$, $t\ne1$) ונכפול ב-$t-1\ne0$:

$t=0$ נפסל ($e^x>0$). ל-$t^2-t+4=0$ הדיסקרימיננטה $1-16=-15<0$ - אין פתרון. לכן אין חיתוך גם עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולכתוב $t^2-t-4=0$, שיש לה פתרון חיובי $t=\frac{1+\sqrt{17}}2$, ולהסיק שיש חיתוך ב-$x=\ln\frac{1+\sqrt{17}}2\approx0.94$. בבדיקה: $f(0.94)\approx13.1\ne0$.

נגזרת השבר לפי כלל המנה:

$2e^x>0$ והמכנה ריבוע חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $e^x(e^x-1)^2-2$. עם $t=e^x$:

$t^2+1>0$, ולכן הסימן הוא הסימן של $e^x-2$, והנגזרת מתאפסת רק ב-$x=\ln2$.

נקודת מינימום $(\ln2,\,12)$.

טעות נפוצה: בהצבה לשכוח את $e^x$ שבמונה ולחשב את השבר כ-$\frac4{2-1}=4$: מתקבל $f(\ln2)=8$ והנקודה השגויה $(\ln2,\,8)$.

מרכזים: תחום $x\ne0$; אסימפטוטות $x=0$ ו-$y=0$ (משמאל); אין חיתוך עם הצירים; מינימום $(\ln2,12)$; יורדת עבור $x<0$ ועבור $0<x<\ln2$, עולה עבור $x>\ln2$.

ענף שמאלי ($x<0$): מתחיל צמוד לאסימפטוטה $y=0$ ויורד ל-$-\infty$ כש-$x\to0^-$ (שם $e^x-1\to0^-$ ו-$\frac{4e^x}{e^x-1}\to-\infty$). הוא יורד מ-0 ואינו חותך את הציר, ולכן כולו מתחת לציר ה-$x$.

ענף ימני ($x>0$): יורד מ-$+\infty$ (כש-$x\to0^+$) למינימום $(\ln2,12)$, ואחר כך עולה ל-$\infty$.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מעל ציר ה-$x$ (כי $e^{2x}>0$). עבור $x<0$ השבר $\frac{4e^x}{e^x-1}$ שלילי וגדול בערכו המוחלט מ-$e^{2x}$, למשל $f(-1)\approx-2.19$.

הלוגריתם מוגדר רק לביטוי חיובי:

(הבסיס $e>1$, ולכן כיוון אי-השוויון נשמר במעבר מהחזקות למעריכים; בכפל ב-$-1$ הכיוון מתהפך.)

טעות נפוצה: לעבור מ-$-x<0$ ל-$x<0$ בלי להפוך את כיוון אי-השוויון בכפל ב-$-1$, ולקבל את התחום השגוי $x<0$.

נגזרת של $\ln u(x)$ היא $\frac{u'(x)}{u(x)}$, ו-$\left(1-e^{-x}\right)'=e^{-x}$:

כופלים מונה ומכנה של השבר ב-$e^x$: $\frac{4e^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac{4}{e^x-1}$. לכן:

מצד שני, $f(x)-e^{2x}=\frac{4e^x}{e^x-1}$. שני הביטויים שווים, ולכן $g'(x)=f(x)-e^{2x}$ לכל $x>0$.

טעות נפוצה: לגזור את $1-e^{-x}$ כ-$-e^{-x}$ (לשכוח את הנגזרת הפנימית $-1$ של $-x$) - מתקבל $g'(x)=4-\frac4{e^x-1}=\frac{4e^x-8}{e^x-1}$, שאינו שווה ל-$f(x)-e^{2x}$.

האנך הוא $x=\ln2$. עבור $x>0$ המינימום של $f$ הוא 12, ולכן $f(x)>0$ בין $\ln2$ ל-$\ln b$: השטח הוא האינטגרל.

לפי ג(2), $f(x)=e^{2x}+g'(x)$, ולכן פונקציה קדומה של $f$ היא $\frac12e^{2x}+g(x)=\frac12e^{2x}+4x+4\ln\left(1-e^{-x}\right)$:

$e^{2\ln b}=b^2$ ו-$e^{-\ln b}=\frac1b$; באותו אופן $e^{2\ln2}=4$ ו-$e^{-\ln2}=\frac12$: