מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 20 ברמת בגרות

האלכסונים חוצים זה את זה ומרכז המעוין בראשית. $BD=20$, ולכן $B(0,10)$.

$A$ על החלק החיובי של ציר ה-$x$: נסמן $A(p,0)$, $p>0$.

מרחק הראשית מהישר שווה ל-$2\sqrt5$:

$p>0$, ולכן $A(5,0)$, והשיפוע של $AB$ הוא $\frac{10-0}{0-5}=-2$:

טעות נפוצה: להציב את אורך האלכסון כולו כשיעור של $B$ ולקבל $B(0,20)$. הראשית היא אמצע האלכסון, ולכן $OB=10$.

אלכסוני המעוין חוצים את זוויותיו, ולכן מפגש האלכסונים (הראשית) נמצא במרחק שווה מכל הצלעות - זה מרכז המעגל החסום.

הרדיוס הוא המרחק הנתון לצלע: $r=2\sqrt5$, $r^2=20$.

טעות נפוצה: לקחת את חצי האלכסון ($5$ או $10$) כרדיוס. המעגל החסום משיק לצלעות, והרדיוס הוא המרחק מהמרכז לצלע, לא לקודקוד.

הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך לצלע: $OM\perp AB$.

שיפוע $AB$ הוא $-2$, ולכן שיפוע $OM$ הוא $\frac12$: $y=\frac12x$.

בדיקה: $16+4=20$ - הנקודה על המעגל.

טעות נפוצה: לקחת לאנך את השיפוע $2$ בלי היפוך, ולקבל את הנקודה $(2.5,5)$ - שאינה על המעגל. שיפוע האנך הוא ההופכי עם סימן הפוך: $\frac12$.

$M(4,2)$, ולכן $K(4,0)$, $a=4$, ו-$E$ על הישר $x=-4$.

$G$ על האנך האמצעי של $EK$, ולכן $GE=GK$.

$GE$ אופקי (הישר דרך $E$ מקביל לציר ה-$x$), ולכן $GE$ הוא המרחק של $G$ מהישר $x=-4$.

$G$ במרחק שווה מהנקודה $K(4,0)$ ומהישר $x=-4$: פרבולה שמוקדה $K$ ומדריכה $x=-4$. עבור $G(x,y)$:

טעות נפוצה: לכתוב $y^2=8x$ - "פעמיים המרחק מהמוקד לראשית". בפרבולה $y^2=2px$ המוקד הוא $(\frac p2,0)$, ולכן מוקד $(4,0)$ נותן $p=8$ ו-$2p=16$.

$y^2=16\cdot4=64$, ו-$N$ ברביע הראשון: $N(4,8)$.

$ON>r=2\sqrt5$, כלומר $N$ מחוץ למעגל החסום, ויש שתי השקות:

מבחוץ: $R=ON-r=4\sqrt5-2\sqrt5=2\sqrt5$, $R^2=20$.

מבפנים (המעגל החסום בתוך המעגל החדש): $R=ON+r=6\sqrt5$, $R^2=180$.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע רק את המקדם ולכתוב $R^2=2\cdot5$ במקום $(2\sqrt5)^2=4\cdot5=20$.

במנסרה ישרה המקצועות הצדדיים ניצבים לבסיסים. $C'$ נמצאת על המישור $A'B'C'$ ו-$CC'$ ניצב לו, ולכן $CC'$ הוא המרחק של $C$ מהמישור.

מרחק נקודה $(x_0,y_0,z_0)$ מהמישור $ax+by+cz+d=0$: $\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

טעות נפוצה: לחשב את אורך הנורמל כ-$\sqrt{6+3+2}=\sqrt{11}$ (בלי להעלות בריבוע), ולקבל $CC'=\frac{28}{\sqrt{11}}\approx8.44$. אורך הנורמל $(6,-3,2)$ הוא $\sqrt{49}=7$.

$A$ על הישר, ולכן $A=(1+t,\ 2,\ 3-3t)$ עבור $t$ מסוים, ו-$\overrightarrow{CA}=t(1,0,-3)$.

אורך וקטור הכיוון: $|(1,0,-3)|=\sqrt{1+0+9}=\sqrt{10}$. לכן $AC=|t|\cdot\sqrt{10}$.

$t=-3$: $(-2,2,12)$ - שיעור $x$ שלילי, נפסל. $t=3$: $(1+3,\ 2,\ 3-9)=(4,2,-6)$.

$A(4,2,-6)$.

טעות נפוצה: להשוות את $|t|$ עצמו ל-$3\sqrt{10}$, כאילו וקטור הכיוון באורך 1. מתקבל $t=3\sqrt{10}$ והנקודה $\left(1+3\sqrt{10},\ 2,\ 3-9\sqrt{10}\right)$. האורך של $\overrightarrow{CA}$ הוא $|t|$ כפול אורך וקטור הכיוון $\sqrt{10}$.

במישור $ACC'A'$ יש שני כיוונים ידועים: $AC$, בכיוון $(1,0,-3)$, ו-$CC'$, שניצב למישור $A'B'C'$ ולכן בכיוון הנורמל שלו $(6,-3,2)$.

נורמל $\underline n=(a,b,c)$ של המישור ניצב לשני הכיוונים:

מהראשונה $a=3c$, ומהשנייה $3b=6a+2c=20c$. עם $c=3$: $a=9$, $b=20$, ו-$\underline n=(9,20,3)$.

המישור: $9x+20y+3z+d=0$. הצבת $C(1,2,3)$: $9+40+9+d=0$, $d=-58$.

$9x+20y+3z-58=0$. בדיקה עם $A(4,2,-6)$: $36+40-18-58=0$.

טעות נפוצה: לקחת את כיוון $AC$, $(1,0,-3)$, כנורמל, ולקבל $x-3z+8=0$. זה המישור שעובר דרך $C$ ומאונך ל-$AC$ (המישור של הפאה $BCC'B'$), ולא מישור שמכיל את $AC$: $A$ אינה עליו ($4+18+8\ne0$).

$\overrightarrow{AM}=M-A=(5-4,\ k-2,\ 6-(-6))=(1,\ k-2,\ 12)$. כיוון $AC$: $(1,0,-3)$.

הזווית בין ישרים: $\cos\alpha=\frac{|\underline a\cdot\underline b|}{|\underline a|\cdot|\underline b|}$:

$(k-2)^2=100$, כלומר $k-2=\pm10$: $k=12$ או $k=-8$. $k$ חיובי, ולכן $k=12$.

טעות נפוצה: לשכוח במכנה את אורך וקטור הכיוון $\sqrt{10}$ ולכתוב $\frac{35}{\sqrt{145+(k-2)^2}}=\frac{\sqrt2}{2}$. מתקבל $145+(k-2)^2=2450$, $(k-2)^2=2305$ ו-$k=2+\sqrt{2305}\approx50.01$.

$BC$ מאונך ל-$AC$ (הזווית $C$ ישרה) ול-$CC'$ (המנסרה ישרה), ולכן $BC$ מאונך לפאה $ACC'A'$.

המישור שמכיל את $BB'$ מקביל לפאה $ACC'A'$, ולכן $BC$ שווה למרחק בין שני המישורים - המרחק של כל נקודה במישור הזה, ובפרט $M$, מהמישור $ACC'A'$.

$M(5,12,6)$ והמישור $9x+20y+3z-58=0$:

נפח מנסרה הוא שטח הבסיס כפול הגובה. הבסיס משולש ישר-זווית, ושטחו חצי מכפלת הניצבים:

טעות נפוצה: לשכוח את ה-$\frac12$ בשטח המשולש ולחשב כמו בתיבה $AC\cdot BC\cdot CC'$. מתקבל 420.

$i=1\cdot\operatorname{cis}90^\circ$. בחילוק בהצגה קוטבית מחלקים את המודולים ומחסרים את הארגומנטים:

טעות נפוצה: להפוך את סדר החיסור ולכתוב $\frac iw=\frac1r\operatorname{cis}(\theta-90^\circ)$ - בחילוק מחסרים מהארגומנט של המונה את הארגומנט של המכנה.

$OA=|w|=r$ ו-$OB=\left|\frac iw\right|=\frac1r$, ולכן $OA\cdot OB=1$.

הארגומנט של $A$ הוא $\theta$ והארגומנט של $B$ הוא $90^\circ-\theta$. בתחום $45^\circ<\theta<135^\circ$ מתקיים $\theta>90^\circ-\theta$, והזווית ביניהם:

(כש-$45^\circ<\theta<135^\circ$, הזווית הזאת בין $0^\circ$ ל-$180^\circ$.)

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן:

$\sin\angle AOB=\frac{\sqrt3}{2}$, ולכן $\angle AOB=60^\circ$ או $120^\circ$. הזווית חדה: $\angle AOB=60^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את הפתרון $\angle AOB=120^\circ$ ולקבל $\theta=105^\circ$ - ערך שנמצא בתחום, אבל בו הזווית $AOB$ קהה.

משוואה I: $w^6=r^6\operatorname{cis}6\theta$, ולפי נוסחת השורשים:

עם $\theta=75^\circ$ הארגומנטים: $75^\circ,135^\circ,195^\circ,255^\circ,315^\circ,15^\circ$.

משוואה II: $w\cdot\bar w=|w|^2=r^2$, ולכן $-(w\bar w)^2=-r^4=r^4\operatorname{cis}180^\circ$:

הארגומנטים: $45^\circ,135^\circ,225^\circ,315^\circ$.

לכל הפתרונות אותו מודול $r$, ולכן שני פתרונות שווים בדיוק כשהארגומנטים שלהם שווים: $r\operatorname{cis}135^\circ$ ו-$r\operatorname{cis}315^\circ$ הם פתרונות של שתי המשוואות.

מספר הנקודות השונות: $6+4-2=8$, ולמצולע 8 קודקודים.

טעות נפוצה: לחבר $6+4=10$ בלי לבדוק אם יש פתרונות משותפים - הנקודות בארגומנטים $135^\circ$ ו-$315^\circ$ נספרות כך פעמיים.

לפתרונות משוואה I המודול $\sqrt[6]{r^6}=r$.

לפתרונות משוואה II המודול $\sqrt[4]{\left|-r^4\right|}=\sqrt[4]{r^4}=r$ (המינוס משפיע רק על הארגומנט).

כל הנקודות במרחק $r$ מהראשית, ולכן כולן על המעגל $|z|=r$.

טעות נפוצה: לחשוב שלפתרונות של II מודול $r^2$ (כי $w\bar w=r^2$) ולענות "לא" - המודול הוא $\sqrt[4]{(r^2)^2}=r$.

8 הקודקודים על מעגל ברדיוס $r$, בארגומנטים (לפי הסדר) $15^\circ,45^\circ,75^\circ,135^\circ,195^\circ,225^\circ,255^\circ,315^\circ$.

ההפרשים בין ארגומנטים סמוכים: $30^\circ,30^\circ,60^\circ,60^\circ,30^\circ,30^\circ,60^\circ,60^\circ$ (סכומם $360^\circ$) - המצולע אינו משוכלל.

מחלקים אותו ל-8 משולשים שקודקודם בראשית, ובכל אחד שתי צלעות $r$ והזווית המרכזית ביניהן:

טעות נפוצה: להניח שהמצולע משוכלל ולחשב $S=8\cdot\frac12r^2\sin45^\circ=2\sqrt2r^2$. אז $r^2=\frac{9+9\sqrt3}{2\sqrt2}$ ו-$r\approx2.95$.

בתחום $x>0$ מתקיים $x^n>0$, ולכן $f(x)=0$ רק כשהגורם השני מתאפס:

נקודת החיתוך: $(e,0)$. (מכיוון ש-$f\ge0$ בכל התחום, בנקודה זו הגרף נוגע בציר ה-$x$.)

טעות נפוצה: לפתוח את הריבוע כ-$\ln^2x-1$ ולפתור $\ln^2x=1$ - מתקבלות שתי נקודות, $(e,0)$ ו-$\left(\frac1e,0\right)$. אבל $f\left(\frac1e\right)=\frac1e\cdot(-1-1)^2=\frac4e\ne0$.

לפי כלל המכפלה, ולפי כלל השרשרת $\left[(\ln x-1)^2\right]'=2(\ln x-1)\cdot\frac1x$:

בנקודה $x=1$: $\ln1=0$ ו-$1^{n-1}=1$, ולכן $f'(1)=(-1)\cdot(-n+2)=n-2$.

טעות נפוצה: לגזור את $(\ln x-1)^2$ כ-$\frac1x(\ln x-1)$, בלי המקדם 2 - מתקבל $f'(1)=n-1=-1$, כלומר $n=0$, שאינו מספר טבעי.

$f(x)=x(\ln x-1)^2$, ולפי סעיף ב עם $n=1$:

$f'(x)=0$ כש-$\ln x=1$ ($x=e$) או כש-$\ln x=-1$ ($x=\frac1e$). שתי הנקודות בתחום.

סימן הנגזרת: עבור $0<x<\frac1e$ שני הגורמים שליליים, $f'>0$ (עולה); עבור $\frac1e<x<e$ מתקיים $\ln x+1>0>\ln x-1$, $f'<0$ (יורדת); עבור $x>e$ שני הגורמים חיוביים, $f'>0$ (עולה).

$f\left(\frac1e\right)=\frac1e\cdot(-1-1)^2=\frac4e$: מקסימום $\left(\frac1e,\frac4e\right)$.

$f(e)=e\cdot0^2=0$: מינימום $(e,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=\frac1e$ רק בסוגריים ולשכוח את הגורם $x$: $f\left(\frac1e\right)=(-2)^2=4$, ומתקבל מקסימום שגוי $\left(\frac1e,4\right)$.

קצה התחום: כאשר $x\to0^+$, $f(x)=x\ln^2x-2x\ln x+x\to0$ (החזקה $x$ 'מנצחת' את הלוגריתם: $x\ln x\to0$ וגם $x\ln^2x\to0$). הגרף מתקרב לראשית, שאינה שייכת לו.

כאשר $x\to\infty$: $x\to\infty$ ו-$(\ln x-1)^2\to\infty$, ולכן $f(x)\to\infty$.

$f(x)\ge0$ לכל $x>0$: מכפלה של $x>0$ בריבוע.

מסכמים: עולה ב-$0<x<\frac1e$ עד המקסימום $\left(\frac1e,\frac4e\right)\approx(0.37,1.47)$, יורדת עד המינימום $(e,0)\approx(2.72,0)$ - שם הגרף נוגע בציר ה-$x$ ולא חוצה אותו - ועולה ל-$\infty$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ ב-$x=e$ וממשיך מתחתיו, כמו באפס רגיל. $f$ היא $x$ כפול ריבוע, ולכן אינה שלילית; ב-$x=e$ יש מינימום על הציר.

$g=\frac1f$ מוגדרת היכן ש-$f$ מוגדרת ושונה מ-0.

$f$ מוגדרת עבור $x>0$ ומתאפסת רק ב-$x=e$ (סעיף א).

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\ne e$.

טעות נפוצה: לבדוק רק היכן המכנה $f(x)$ מתאפס ולשכוח את תחום ההגדרה של $f$ עצמה - מתקבל התחום השגוי 'כל $x\ne e$'. אבל עבור $x\le0$ הביטוי $\ln x$ אינו מוגדר, ולכן גם $f$ ו-$g$ אינן מוגדרות שם.