בגרות בפיזיקה קרינה וחומר 36282 - קיץ 2019

נוסחת העדשות מדף הנוסחאות:

מבודדים את $\frac1v$:

זוהי משוואה מהצורה $y=ax+b$, כאשר:

•המשתנה התלוי $y=\frac1v$ והמשתנה הבלתי תלוי $x=\frac1u$;

•השיפוע $a=-1$ (קבוע);

•החיתוך עם הציר האנכי $b=\frac1f$ – קבוע, כי מוקד העדשה אינו משתנה במהלך הניסוי.

לכן הקשר בין $\frac1v$ ל־$\frac1u$ לינארי: הגרף הוא קו ישר יורד בשיפוע $-1$.

מחשבים את ההופכי של כל מרחק. היחידה של $\frac1u$ ושל $\frac1v$ היא $\frac{1}{\text{m}}=\text{m}^{-1}$ (ניתן לרשום גם דיופטר, $D$).

לדוגמה, במדידה 1: $\frac1u=\frac{1}{0.13}\approx 7.69\,\text{m}^{-1}$, $\frac1v=\frac{1}{0.44}\approx 2.27\,\text{m}^{-1}$.

טעות נפוצה: לשכוח את היחידות בכותרות השורות, או לרשום את היחידה $\text{m}$ במקום $\text{m}^{-1}$.

ציר אופקי: $\frac1u\,(\text{m}^{-1})$, טווח $0$ עד $11$. ציר אנכי: $\frac1v\,(\text{m}^{-1})$, טווח $0$ עד $11$. כדאי להתחיל את שני הצירים מאפס, כדי שבסעיף ד יהיה אפשר לקרוא את נקודות החיתוך של קו המגמה עם הצירים.

הנקודות $\left(\frac1u,\ \frac1v\right)$:

$(7.69,\,2.27)$, $(5.56,\,4.55)$, $(4.00,\,6.25)$, $(3.03,\,7.14)$, $(1.67,\,8.33)$.

מעבירים קו ישר אחד שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה, וממשיכים אותו עד לשני הצירים:

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו (לא מהטבלה), רחוקות זו מזו, למשל $(1,\,9.1)$ ו־$(8,\,2.1)$:

בהתאמה לשיפוע $-1$ שצפינו בסעיף א.

טעות נפוצה: לחבר את הנקודות בקו שבור במקום להעביר קו מגמה ישר אחד.

לפי סעיף א, $\frac1v=-\frac1u+\frac1f$. לכן נקודת החיתוך של קו המגמה עם הציר האנכי (שבה $\frac1u=0$) שווה ל־$\frac1f$.

מהגרף: קו המגמה חותך את הציר האנכי ב־$\frac1v\approx 10.1\,\text{m}^{-1}$, ולכן

באותו אופן, הקו חותך גם את הציר האופקי (שבו $\frac1v=0$) ב־$\frac1u=\frac1f\approx 10.1\,\text{m}^{-1}$ – אותה תוצאה, וזו בדיקה טובה לקריאת הגרף.

טעות נפוצה: לחשב את $f$ מאחת המדידות בטבלה – הסעיף דורש להשתמש בגרף בלבד (בקו המגמה, שממצע את כל המדידות).

- מלאה: מכל נקודה של מקור האור יוצאות קרניים אל כל שטח העדשה. כל קבוצת קרניים שעוברת דרך החלק הפתוח של העדשה (המרכזי) מתכנסת לאותה נקודת דמות. לכן כל נקודה של מקור האור עדיין מקבלת נקודת דמות – הדמות שלמה ולא נחתך ממנה חלק.

- ברורה: מיקום הדמות נקבע לפי נוסחת העדשות $\frac1u+\frac1v=\frac1f$; $u$ ו־$f$ לא השתנו, ולכן גם $v$ לא השתנה – המסך עדיין במקום הדמות, והדמות נשארת חדה.

- חלשה יותר: הטבעת האטומה חוסמת חלק מהקרניים, ולכן מגיעה לכל נקודת דמות פחות אנרגיית אור – עוצמת ההארה של הדמות קטנה.

טעות נפוצה: לחשוב שכיסוי חלק מהעדשה "מוחק" את החלק המתאים בדמות (משפטים 1, 2) – כל חלק של העדשה יוצר דמות שלמה.

קביעה: התאבכות בונה.

נימוק: הפרש הדרכים הוא

כלומר מספר שלם של אורכי גל. שני החריצים מוארים באותה אלומה בניצב, ולכן הם מקורות שווי־מופע. כשהפרש הדרכים הוא מספר שלם של אורכי גל, שני הגלים מגיעים לנקודה באותו מופע (שיא עם שיא), ומתקבלת התאבכות בונה – קו מקסימום (מסדר $n=9$).

טעות נפוצה: להסיק "הורסת" כי מופיעה המילה "חצאי אורך גל" – התאבכות הורסת מתקבלת רק עבור מספר אי־זוגי של חצאי אורך גל.

בקירוב זוויות קטנות קווי המקסימום על המסך נמצאים במרווחים שווים זה מזה. בין מרכז המקסימום מסדר $n=0$ למרכז המקסימום מסדר $n=8$ יש $8$ מרווחים כאלה, ורוחב פס האור $\Delta x$ הוא המרחק בין מרכזי שני מקסימומים סמוכים:

הצבה:

טעות נפוצה: לחלק ב־$9$ (מספר הפסים המוארים) במקום ב־$8$ (מספר המרווחים).

נוסחת יאנג מדף הנוסחאות:

בשני הניסויים אותה לוחית (אותו $d$) ואותו מרחק למסך ($L$), ולכן $\Delta x$ יחסי ל־$\lambda$:

רוחב הפס קטן פי $1.2$, כלומר $\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}=\frac{1}{1.2}$, ולכן

בקירוב זוויות קטנות, הפרש הדרכים לנקודה שנמצאת במרחק $x$ ממרכז המקסימום מסדר $0$ הוא $\Delta r=d\sin\theta=\frac{d\,x}{L}$. מנוסחת יאנג $\frac dL=\frac{\lambda}{\Delta x}$, ולכן

כלומר מספר אורכי הגל בהפרש הדרכים שווה למספר "רוחבי הפס" בין הנקודה למרכז.

עבור $\lambda_1$: $\Delta x_1=1.5\,\text{cm}$

מספר אי־זוגי של חצאי אורך גל – הגלים מגיעים בהפרש מופע של חצי מחזור, ולכן בנקודה $A$ התאבכות הורסת (קו מינימום, באמצע בין המקסימום מסדר 2 למקסימום מסדר 3). לפי דף הנוסחאות: $\frac{x_n}{L}=\left(n-\tfrac12\right)\frac{\lambda}{d}$ עם $n=3$.

עבור $\lambda_2$: $\Delta x_2=\frac{1.5}{1.2}=1.25\,\text{cm}$

מספר שלם של אורכי גל – בנקודה $A$ התאבכות בונה (מרכז המקסימום מסדר $n=3$).

המקסימום המרכזי בעקיפה מסדק יחיד משתרע בין שני קווי הצומת הראשונים ($n=\pm1$). לפי דף הנוסחאות (קווי צומת בעקיפה בסדק יחיד):

עבור $n=1$: $x_1=\frac{L\lambda_1}{w}$. לכן רוחב המקסימום המרכזי:

רוחב פס האור בהתאבכות משני חריצים (נוסחת יאנג, אותו $\lambda_1$ ואותו $L$):

הנתון: רוחב המקסימום המרכזי פי $2$ מרוחב פס האור (תרשים 2):

לפי סעיף ה, $w=d$. מנוסחת יאנג בניסוי הראשון:

הצבה ($\Delta x=1.5\,\text{cm}=0.015\,\text{m}$, $\lambda_1=600\,\text{nm}=6\times10^{-7}\,\text{m}$):

טעות נפוצה: לא להמיר $\text{cm}$ ו־$\text{nm}$ למטרים לפני ההצבה.

תדירות הסף $f_0$ של מתכת היא התדירות המינימלית של אור הפוגע במתכת שעבורה מתרחש האפקט הפוטואלקטרי – כלומר נפלטים ממנה אלקטרונים.

באור שתדירותו נמוכה מ־$f_0$ לא נפלטים אלקטרונים, לא משנה מה עוצמת האור, כי אנרגיית כל פוטון $hf$ קטנה מפונקציית העבודה. בתדירות הסף אנרגיית הפוטון שווה בדיוק לפונקציית העבודה:

לפי דף הנוסחאות (אפקט פוטואלקטרי):

האנרגייה הקינטית המרבית של האלקטרונים שנפלטים נמדדת באמצעות מתח העצירה: $E_{k,\max}=eV$. עם $E_{ph}=hf$:

זו משוואת הקו הישר בתרשים 1: השיפוע $\frac he$, והחיתוך עם הציר האנכי (שבו $f=0$) הוא $-\frac Be$.

מהגרף: המשכו של הקו חותך את הציר האנכי ב־$V=-2.25\,\text{V}$ (כל משבצת קטנה בציר האנכי היא $0.25\,\text{V}$, והקו פוגש את הציר משבצת אחת מתחת ל־$-2$). לכן

ביחידות SI:

(החלק של הקו שמתחת לציר האופקי אינו תוצאת מדידה – מתחת לתדירות הסף אין אפקט פוטואלקטרי; זו המשכה של הקו לצורך קריאת החיתוך.)

אורך הגל המרבי מתאים לתדירות הסף (התדירות המינימלית), שבה $E_{ph}=B$.

מדף הנוסחאות:

הצבה:

(בדרך שקולה: $f_0=\frac Bh=\frac{2.25}{4.14\times10^{-15}}\approx 5.43\times10^{14}\,\text{Hz}$, ו־$\lambda_{\max}=\frac{c}{f_0}=\frac{3\times10^8}{5.43\times10^{14}}\approx 5.5\times10^{-7}\,\text{m}$.)

הזרם מתאפס במתח $V=-0.85\,\text{V}$ (תרשים 2), כלומר מתח העצירה הוא $0.85\,\text{V}$, והאנרגייה הקינטית המרבית של האלקטרונים הנפלטים:

לפי $E_{ph}=B+E_k$:

(קבוע פלאנק ביחידות $\text{eV}\cdot\text{s}$ מדף הנוסחאות.)

טעות נפוצה: להציב את מתח העצירה בלי לחבר את פונקציית העבודה – $hf_1$ הוא סכום שני הגדלים.

האלקטרונים המהירים ביותר הם אלה שבקושי נעצרים במתח העצירה. כשהם נעים מהקתודה לאנודה נגד מתח העצירה $V_0=0.85\,\text{V}$, כל האנרגייה הקינטית שלהם הופכת לאנרגייה פוטנציאלית חשמלית ($\Delta U=qV$):

הצבה:

(בדרך אחרת: $E_{k,\max}=0.85\,\text{eV}$, ולפי $1\,\text{eV}=1.6\times10^{-19}\,\text{J}$ מקבלים את אותה תוצאה.)

קביעה: שווה ל־$0.85\,\text{V}$.

נימוק: הזרם מתאפס רק כאשר גם האלקטרונים המהירים ביותר נעצרים. האנרגייה הקינטית המרבית של אלקטרון תלויה רק בתדירות הפוטון שעקר אותו: $E_{k,\max}=hf-B$ (ולא בעוצמת האור). האלקטרונים שנעקרים על ידי האלומה $f_2$ איטיים יותר, כי $f_2<f_1$. לכן האלקטרונים המהירים ביותר הם עדיין אלה של האלומה $f_1$, שהאנרגייה הקינטית המרבית שלהם $0.85\,\text{eV}$ – ומתח העצירה נשאר $0.85\,\text{V}$.

קביעה: הזרם יגדל.

נימוק: האלומה $f_1$ ממשיכה להאיר כמו קודם, ולכן היא ממשיכה לעקור את אותו מספר אלקטרונים בשנייה ולתרום את אותו זרם $I_1$. בנוסף, $f_2>f_0$, ולכן גם הפוטונים של האלומה הנוספת עוקרים אלקטרונים מהקתודה. ב־$V=0$ אין שדה שעוצר אותם, וחלק מהם (בעלי אנרגייה קינטית ומהירות לכיוון האנודה) מגיעים אל האנודה ותורמים לזרם. מספר האלקטרונים שמגיעים לאנודה בשנייה גדל, ולכן $I>I_1$.

אנרגיית יינון של אטום היא האנרגייה המינימלית שיש להשקיע כדי לנתק אלקטרון מן האטום כשהאטום נמצא במצב היסוד – כלומר להעביר את האלקטרון מרמת היסוד אל רמת היינון ($E=0$), שבה הוא חופשי ואינו קשור לאטום (ובאנרגייה קינטית אפס).

אם אנרגיית הפוטון גדולה מאנרגיית היינון, העודף הופך לאנרגייה קינטית של האלקטרון שנפלט.

אנרגיית הפוטון, מדף הנוסחאות:

שימור אנרגייה: אנרגיית הפוטון משמשת ליינון האטום (מרמת היסוד), והיתרה היא האנרגייה הקינטית של האלקטרון שנפלט:

הצבה:

גז דליל וקר: כמעט כל האטומים במצב היסוד, ולכן כל קו בספקטרום הבליעה מתאים למעבר מרמת היסוד לרמה מעוררת. אנרגיית רמת היינון $0$, ולכן רמת היסוד $E_1=-5.14\,\text{eV}$ (סעיף ב).

אנרגיית הפוטון הנבלע בכל קו, לפי $E\,[\text{eV}]=\frac{1240}{\lambda\,[\text{nm}]}$, ורמה מעוררת $E_n=E_1+E_{ph}$:

הדיאגרמה: ציר אנרגייה אנכי (ב־$\text{eV}$) וחמישה קווים אופקיים, מלמטה למעלה:

- $E_1=-5.14\,\text{eV}$ – רמת היסוד;

- $E_2=-3.03\,\text{eV}$;

- $E_3=-1.38\,\text{eV}$;

- $E_4=-0.79\,\text{eV}$;

- $E_\infty=0$ – רמת היינון (מעליה האלקטרון חופשי).

הרווחים בין הקווים צריכים להיות בקנה מידה בקירוב (הרווח בין $E_1$ ל־$E_2$ הגדול ביותר, והרמות מתקרבות זו לזו כלפי מעלה).

טעות נפוצה: לחשב את הרמות כהפרשים בין קווים סמוכים בספקטרום – כל קו בליעה מתחיל ברמת היסוד.

קביעה: הקו שחור (בקירוב טוב).

נימוק: אטומי הנתרן במצב היסוד בולעים מן האלומה פוטונים שאנרגייתם $2.11\,\text{eV}$ בדיוק (אורך גל $589\,\text{nm}$) ועוברים לרמה $E_2$. לאחר זמן קצר הם חוזרים לרמת היסוד ופולטים פוטונים באותו אורך גל – אבל לכל הכיוונים באקראי, ולא דווקא בכיוון האלומה. לכן רק חלק זעיר מן האור באורך גל זה ממשיך בכיוון המקורי אל הספקטרוסקופ, ובמקום המתאים בספקטרום מתקבל קו כהה – שחור בקירוב טוב – על רקע הספקטרום הרציף.

קו פליטה נוצר כאשר אטום מעורר עובר מרמה גבוהה לרמה נמוכה יותר ופולט פוטון שאנרגייתו שווה להפרש הרמות. בדיאגרמה יש ארבע רמות קשורות ($E_1,E_2,E_3,E_4$), ולכן יש $\binom{4}{2}=6$ מעברים אפשריים – שישה חיצים, כלפי מטה:

•מ־$E_4$ אל $E_3$, אל $E_2$ ואל $E_1$;

•מ־$E_3$ אל $E_2$ ואל $E_1$;

•מ־$E_2$ אל $E_1$.

טעות נפוצה: לסרטט רק שלושה חיצים אל רמת היסוד (כמו בספקטרום הבליעה), או לסרטט חיצים כלפי מעלה – בפליטה האטום יורד ברמת האנרגייה, וייתכנו גם מעברים בין רמות מעוררות.

לכל מעבר: $E_{ph}=E_i-E_f$ (דף הנוסחאות), ו־$\lambda\,[\text{nm}]=\frac{1240}{E_{ph}\,[\text{eV}]}$. כדי לא לצבור שגיאות עיגול, מחשבים את הפרשי הרמות מאנרגיות הפוטונים המדויקות ($E_{ph}=\frac{1240}{\lambda}$ של כל קו בליעה):

לכן בתחום האור הנראה נפלטים שני אורכי גל: $589\,\text{nm}$ (הצהוב־כתום האופייני לנורות הנתרן) ו־$552\,\text{nm}$ בקירוב.

טעות נפוצה: לכלול את הקו של כ־$750\,\text{nm}$ – הוא מעט מחוץ לתחום הנתון ($\lambda<700\,\text{nm}$).

התפרקות $\alpha$ פולטת גרעין הליום ${}^4_2\text{He}$: מספר המסה קטן ב־$4$ והמספר האטומי קטן ב־$2$.

התפרקות $\beta^-$ פולטת אלקטרון ${}^{\ 0}_{-1}e$: מספר המסה לא משתנה והמספר האטומי גדל ב־$1$.

מספר התפרקויות $\alpha$: רק התפרקויות $\alpha$ משנות את מספר המסה:

מספר התפרקויות $\beta^-$: שלוש התפרקויות $\alpha$ מקטינות את המספר האטומי ב־$6$ (מ־$88$ ל־$82$), ואילו בפועל הוא קטן רק ל־$84$. כל $\beta^-$ מגדילה אותו ב־$1$:

בדיקה לפי התרשים: ${}^{226}\text{Ra}\xrightarrow{\alpha}{}^{222}\text{Rn}\xrightarrow{\alpha}{}^{218}\text{Po}\xrightarrow{\alpha}{}^{214}\text{Pb}\xrightarrow{\beta^-}{}^{214}\text{Bi}\xrightarrow{\beta^-}{}^{214}\text{Po}$.

לפי התרשים, רדון $222$ מתפרק לפולוניום $218$: מספר המסה קטן ב־$4$, ולכן זו התפרקות $\alpha$. המספר האטומי של רדון ($86$) נתון.

משוואת ההתפרקות, עם שימור מספר המסה ושימור המטען (המספר האטומי):

לכן גרעין הבת הוא ${}^{218}_{\ 84}\text{Po}$ – פולוניום $218$ (המספר האטומי $84$ זהה לזה של פולוניום $214$ הנתון).

מדף הנוסחאות: $N=N_0e^{-\lambda t}$ ו־$R=\lambda N$, ולכן גם הפעילות דועכת באותו אופן: $R=R_0e^{-\lambda t}$. בכל זמן מחצית חיים הפעילות קטנה פי $2$.

הפעילות פחתה פי $8=2^3$, כלומר עברו בדיוק שלושה זמני מחצית חיים:

מדף הנוסחאות:

הצבה:

ביחידות SI ($3.825$ ימים $=3.825\cdot86400\,\text{s}\approx 3.30\times10^5\,\text{s}$):