בגרות בפיזיקה קרינה וחומר 36282 - קיץ 2020

מהתרשים: גובה העצם $AB$ הוא $4$ משבצות ($4\,\text{cm}$) וגובה הדמות $CD$ הוא $2$ משבצות ($2\,\text{cm}$). שני החצים מצביעים כלפי מעלה, והדמות נמצאת באותו צד של העדשה כמו העצם.

לכן הדמות ישרה (לא הפוכה) ומוקטנת – פי $2$.

- עדשה מרכזת: דמות ממשית שלה היא תמיד הפוכה. דמות ישרה של עדשה מרכזת נוצרת רק כשהעצם בין המוקד לעדשה ($u<f$), ואז הדמות מדומה ומוגדלת (ונמצאת רחוק יותר מהעדשה מהעצם). לכן עדשה מרכזת אינה יכולה ליצור דמות ישרה ומוקטנת.

- עדשה מפזרת: לכל מיקום של עצם ממשי היא יוצרת דמות מדומה, ישרה ומוקטנת, הנמצאת באותו צד של העדשה כמו העצם וקרובה יותר לעדשה מהעצם – בדיוק המאפיינים של $CD$.

לכן הדמות $CD$ יכולה להיווצר רק באמצעות עדשה מפזרת.

נשתמש בקרן העוברת דרך מרכז העדשה – קרן כזו אינה נשברת וממשיכה בקו ישר.

הדמות $C$ של הנקודה $A$ היא מדומה: כל קרן שיוצאת מ־$A$ ועוברת בעדשה נראית אחרי השבירה כאילו יצאה מ־$C$ (ההמשך לאחור של הקרן הנשברת עובר דרך $C$). הקרן שעוברת דרך מרכז העדשה אינה משנה כיוון, ולכן היא עצמה עוברת גם דרך $A$ וגם (בהמשכה לאחור) דרך $C$. כלומר, $A$, $C$ ומרכז העדשה נמצאים על קו ישר אחד.

הסרטוט: מותחים ישר מ־$A$ דרך $C$ וממשיכים אותו עד שהוא חותך את הציר האופטי $PK$. נקודת החיתוך היא מרכז העדשה.

במשבצות (ראשית ב־$B$, ציר אופקי לאורך $PK$): $A=(0,4)$, $C=(5,2)$. הישר יורד משבצת אחת בכל $2.5$ משבצות, ולכן הוא חותך את הציר ב־$x=10$:

העדשה נמצאת $10\,\text{cm}$ מימין ל־$B$, כלומר מרחק העצם מהעדשה $u=10\,\text{cm}$ ומרחק הדמות מהעדשה $5\,\text{cm}$ (באותו צד של העדשה כמו העצם).

מסרטטים את העדשה כקטע ניצב לציר האופטי, שמרכזו בנקודת החיתוך שמצאנו (10 משבצות מימין ל־$B$).

קוטר העדשה $12\,\text{cm}$, ולכן הקטע משתרע $6$ משבצות מעל הציר ו־$6$ משבצות מתחתיו.

בקצות הקטע מסמנים חצים הפונים פנימה (סמל של עדשה מפזרת, כמו $\rangle\langle$) – בהתאם לסעיף א.

(ראו את הקטע "עדשה" בסרטוט של תת־סעיף 1.)

נשתמש בקרן מ־$A$ שמקבילה לציר האופטי. בעדשה מפזרת קרן מקבילה לציר נשברת כך שההמשך שלה לאחור עובר דרך המוקד שנמצא בצד של העצם.

1. מסרטטים קרן מ־$A$ במקביל לציר, עד העדשה. היא פוגעת בעדשה בגובה $4$ משבצות, בנקודה $(10,4)$.

2. הקרן הנשברת חייבת להיראות כאילו יצאה מהדמות $C$. לכן מותחים ישר מ־$C$ דרך נקודת הפגיעה בעדשה – זו הקרן הנשברת (מימין לעדשה), ומשמאל לעדשה ממשיכים אותה לאחור בקו מקווקו.

3. ההמשך לאחור חותך את הציר האופטי בנקודה $F$ – זה המוקד.

הישר דרך $(10,4)$ ו־$C=(5,2)$ עולה משבצת אחת בכל $2.5$ משבצות: $y=0.4x$, ולכן הוא חותך את הציר ב־$x=0$ – בדיוק בנקודה $B$.

המרחק מהמוקד $F$ למרכז העדשה הוא $10$ משבצות, כלומר רוחק המוקד הוא $10\,\text{cm}$. זהו מוקד מדומה (עדשה מפזרת), ולכן בסימון של נוסחת העדשות $f=-10\,\text{cm}$.

טעות נפוצה: למתוח את הקרן הנשברת מ־$A$ ולא מ־$C$ – הקרן הנשברת (בהמשכה לאחור) חייבת לעבור דרך הדמות.

מסעיף ב: מרחק העצם מהעדשה $u=10\,\text{cm}$, ומרחק הדמות מהעדשה $5\,\text{cm}$. הדמות מדומה (באותו צד של העדשה כמו העצם), ולכן $v=-5\,\text{cm}$.

נוסחת העדשות מדף הנוסחאות:

הצבה:

הסימן השלילי מציין עדשה מפזרת; רוחק המוקד $10\,\text{cm}$ – בהתאמה לסרטוט בסעיף ג.

בדיקה בעזרת ההגדלה: $m=\frac{|v|}{u}=\frac{5}{10}=\frac12=\frac{h_i}{h_o}=\frac{2}{4}$ ✓

טעות נפוצה: להציב $v=+5\,\text{cm}$ – כך מתקבל $f=+3.3\,\text{cm}$, עדשה מרכזת, בסתירה לסעיף א.

מיקום העדשה לא השתנה. בתרשים 2 מקור האור $A$ נמצא באותו מקום אופקי שבו היה $B$ ($A$ ו־$C$ באותם מקומות כמו בתרשים 1: $A=(0,4)$, $C=(5,2)$ במשבצות).

לכן מסרטטים את העדשה ב־$x=10$ משבצות (10 משבצות מימין ל־$A$), כקטע ניצב לציר שמשתרע $6$ משבצות מעל הציר ו־$6$ מתחתיו (קוטר $12\,\text{cm}$), עם סמל עדשה מפזרת.

העין רואה את הדמות ב־$C$, ולכן הקרן שנכנסת לעין צריכה להיראות כאילו יצאה מ־$C$: הקרן שבין העדשה לעין נמצאת על הישר $CO$.

1. מותחים קו מקווקו מ־$C$ אל $O$ ומסמנים את נקודת החיתוך שלו עם העדשה.

2. הקטע מנקודת החיתוך אל $O$ הוא הקרן הנשברת (קו מלא, עם חץ לכיוון העין).

3. מחברים את $A$ לאותה נקודה בעדשה – זו הקרן הפוגעת (קו מלא, עם חץ לכיוון העדשה).

במשבצות: $C=(5,2)$, $O=(22,6)$. הישר $CO$ עולה $4$ משבצות לאורך $17$ משבצות, ולכן בעדשה ($x=10$):

נקודה זו נמצאת על העדשה (הגובה $3.2<6$), ולכן הקרן אכן עוברת דרך העדשה.

קביעה: העין אינה רואה את הדמות.

נימוק: רוחק המוקד ומיקום העדשה לא השתנו, ולכן גם הדמות של $A$ נוצרת באותו מקום – בנקודה $C$ (לפי נוסחת העדשות, $v$ תלוי רק ב־$u$ וב־$f$, לא בקוטר העדשה).

כדי שהעין תראה את הדמות, צריכה להגיע אליה קרן שעברה דרך העדשה ונראית כאילו יצאה מ־$C$ – כלומר קרן שנעה לאורך הישר $CO$. כפי שמצאנו בסעיף ה, הישר $CO$ חוצה את מישור העדשה בגובה של כ־$3.2\,\text{cm}$ מעל הציר.

הקוטר של העדשה החדשה $4\,\text{cm}$, כלומר היא משתרעת רק $2\,\text{cm}$ מעל הציר. מאחר ש־$3.2\,\text{cm}>2\,\text{cm}$, בנקודה זו אין עדשה – אף קרן שעברה דרך העדשה אינה מגיעה ל־$O$ בכיוון של $C$. לכן העין אינה רואה את הדמות (עין שתוצב קרוב יותר לציר, למשל, כן תוכל לראות אותה).

טעות נפוצה: לחשוב שקוטר קטן יותר מזיז את הדמות או "מחשיך" אותה בלבד – הדמות נשארת ב־$C$, אבל רק מאזור מצומצם יותר אפשר לראות אותה.

מנוסחת יאנג (דף הנוסחאות):

$L$ ו־$\lambda$ קבועים בניסוי, ולכן רוחב הפס ביחס הפוך ל־$d$: הכפלת המרחק בין הסדקים מקטינה את רוחב הפס פי $2$ (ואכן בטבלה, מ־$d=0.01$ ל־$d=0.02\,\text{cm}$ רוחב הפס קטן מ־$0.61$ ל־$0.29\,\text{cm}$).

נכתוב את נוסחת יאנג בצורה:

זו משוואה של קו ישר העובר בראשית, $y=kx$, כאשר $y=\Delta x$, $x=\frac1d$ והשיפוע $k=L\lambda$.

לכן המשתנה החדש הוא $\dfrac1d$ (ההופכי של המרחק בין הסדקים).

מחשבים $\frac1d$ לכל עמודה. היחידות: $\frac{1}{\text{cm}}$ (או $\text{cm}^{-1}$).

(אפשר גם ביחידות SI: $\frac1d\,[\text{m}^{-1}]=10^4,\ 5\cdot10^3,\ 3.33\cdot10^3,\ 2.5\cdot10^3,\ 2\cdot10^3,\ 1.67\cdot10^3$ – ואז גם $\Delta x$ צריך להיות במטרים.)

טעות נפוצה: לרשום את המשתנה החדש בלי יחידות, או לרשום יחידות של $\text{cm}$ במקום $\frac{1}{\text{cm}}$.

הצירים: ציר אופקי – $\frac1d\,[\text{cm}^{-1}]$, מ־$0$ עד $110$. ציר אנכי – $\Delta x\,[\text{cm}]$, מ־$0$ עד $0.7$. בוחרים קנה מידה אחיד בכל ציר, שבו הנקודות תופסות את רוב שטח הגרף.

הנקודות $\left(\frac1d\,[\text{cm}^{-1}],\ \Delta x\,[\text{cm}]\right)$:

$(100,\,0.61)$, $(50,\,0.29)$, $(33.3,\,0.20)$, $(25,\,0.17)$, $(20,\,0.12)$, $(16.7,\,0.10)$.

קו המגמה: מעבירים בסרגל קו ישר אחד שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו. לפי הנוסחה $\Delta x=L\lambda\cdot\frac1d$ הקו צריך לעבור (בקירוב) דרך הראשית.

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו, למשל $(20\,\text{cm}^{-1},\,0.12\,\text{cm})$ ו־$(100\,\text{cm}^{-1},\,0.60\,\text{cm})$:

(התאמה בשיטת הריבועים הפחותים דרך הראשית נותנת $0.00607\,\text{cm}^2$ – בהתאמה טובה.)

טעות נפוצה: לחבר את הנקודות בקו שבור, או לחשב את השיפוע משתי נקודות של הטבלה במקום משתי נקודות על קו המגמה.

מנוסחת יאנג, $\Delta x=L\lambda\cdot\frac1d$, השיפוע של קו המגמה הוא:

הצבה ($k=0.0060\,\text{cm}^2$, $L=120\,\text{cm}$):

(ביחידות SI: $k=0.0060\,\text{cm}^2=6.0\cdot10^{-7}\,\text{m}^2$, $L=1.2\,\text{m}$, ו־$\lambda=\frac{6.0\cdot10^{-7}}{1.2}=5.0\cdot10^{-7}\,\text{m}$.)

זהו אור ירוק־כחלחל, בתחום האור הנראה – תוצאה סבירה.

טעות נפוצה: להמיר $\text{cm}^2$ ל־$\text{m}^2$ בחלוקה ב־$100$ במקום ב־$10^4$.

מעתיקים את התרשים: האלומה המקבילה, הלוחית עם הסדקים $S_1,S_2$, המרחק $L$ והמסך עם תבנית העוצמה.

- המקסימום המרכזי ($n=0$): על המסך, בדיוק מול נקודת האמצע בין $S_1$ ל־$S_2$ – בנקודה שבה הקו המקווקו פוגע במסך. שם הפרש הדרכים מהסדקים הוא אפס.

- המקסימום מסדר 2 ($n=2$): השיא השני של העוצמה מעל המקסימום המרכזי (או מתחתיו) – שם הפרש הדרכים הוא $2\lambda$.

•מסמנים חץ דו־כיווני לאורך המסך בין שתי הנקודות. המרחק ביניהם הוא שני רוחבי פס: $2\Delta x$ (בין שני מקסימומים סמוכים המרחק הוא $\Delta x$).

עבור $d=0.015\,\text{cm}$:

קוראים מקו המגמה את $\Delta x$ בנקודה זו (או מציבים במשוואת הקו):

המרחק בין המקסימום המרכזי ($n=0$) למקסימום מסדר $2$ הוא שני רוחבי פס:

טעות נפוצה: לענות $\Delta x=0.40\,\text{cm}$ בלי להכפיל ב־$2$ – זה המרחק למקסימום מסדר $1$ בלבד.

אנרגיית פוטון, מדף הנוסחאות:

עם קבוע פלאנק ביחידות $\text{eV}\cdot\text{s}$ מטבלת הקבועים ($h=4.14\cdot10^{-15}\,\text{eV}\cdot\text{s}$):

(ביחידות SI: $E=2.75\cdot1.6\cdot10^{-19}=4.4\cdot10^{-19}\,\text{J}$, ו־$f=\frac{4.4\cdot10^{-19}}{6.63\cdot10^{-34}}\approx6.64\cdot10^{14}\,\text{Hz}$.)

פונקציית העבודה $B$ שווה לאנרגיית פוטון באורך גל הסף. מדף הנוסחאות:

האפקט הפוטואלקטרי, מדף הנוסחאות:

הצבה:

ביחידות SI: $0.50\cdot1.6\cdot10^{-19}=8.0\cdot10^{-20}\,\text{J}$.

טעות נפוצה: להציב את $\lambda_0$ כאורך הגל של האור המוקרן – $\lambda_0$ מגדיר את פונקציית העבודה של הקתודה, והאור המוקרן נתון דרך אנרגיית הפוטון.

משמעות: כאשר מחברים את המקור כך שהאנודה בפוטנציאל נמוך מהקתודה (מתח "הפוך"), השדה החשמלי בתא מאט את האלקטרונים שנפלטו. מתח העצירה הוא הערך המזערי של המתח ההפוך שבו גם האלקטרונים בעלי האנרגייה הקינטית המרבית נעצרים לפני האנודה – ולכן הזרם בתא מתאפס.

ערכו: במתח העצירה כל האנרגייה הקינטית המרבית הופכת לאנרגייה פוטנציאלית חשמלית (משפט עבודה–אנרגייה, $W=qV$):

(הקשר $eV_0=E_{k,\max}$ אינו מופיע בדף הנוסחאות כנוסחה נפרדת; הוא נובע מעבודת הכוח החשמלי $W=qV$.)

כלומר, יש לחבר את האנודה בפוטנציאל נמוך ב־$0.50\,\text{V}$ מהקתודה (בגרף של תרשים 2: $V=-0.50\,\text{V}$, שם הגרף חותך את הציר).

הזרם בתא נקבע לפי מספר האלקטרונים שמגיעים לאנודה ביחידת זמן: $I=\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{N_e\,e}{\Delta t}$.

•מספר האלקטרונים שנפלטים מהקתודה ביחידת זמן תלוי במספר הפוטונים שפוגעים בה ביחידת זמן (כל פוטון יכול לשחרר לכל היותר אלקטרון אחד) – כלומר בעוצמת האור, ולא במתח.

•במתחים נמוכים חלק מהאלקטרונים (שנפלטים במהירויות ובכיוונים שונים) אינם מגיעים לאנודה. ככל שהמתח גדל, השדה "אוסף" יותר אלקטרונים, והזרם גדל.

•בנקודה $A$ המתח כבר גדול מספיק כדי שכל האלקטרונים שנפלטים יגיעו לאנודה. מעבר לכך אין אלקטרונים נוספים לאסוף: הגדלת המתח ל־$V_C$ רק מגדילה את מהירות האלקטרונים, אבל מספרם ליחידת זמן – ולכן הזרם – אינו משתנה. זהו זרם הרוויה.

טעות נפוצה: לנמק בחוק אוהם ("מתח גדול יותר – זרם גדול יותר") – התא הפוטואלקטרי אינו נגד אוהמי.

אורך הגל קובע את אנרגיית הפוטון $E_{ph}=\frac{hc}{\lambda}$, ולכן את האנרגייה הקינטית המרבית $E_{k,\max}=E_{ph}-B$ (הקתודה זהה, ולכן $B$ זהה), ואת מתח העצירה $eV_0=E_{k,\max}$. מתח העצירה הוא הנקודה שבה הגרף חותך את ציר המתח בצד השלילי.

גרף א: שתי העקומות יוצאות מאותה נקודה על ציר המתח – מתח העצירה זהה. לכן $E_{k,\max}$ זהה, אנרגיית הפוטון זהה, ואורך הגל שווה לאורך הגל המקורי.

גרף ב: העקומה המקווקוות חותכת את הציר קרוב יותר לאפס – מתח העצירה שלה קטן יותר. לכן $E_{k,\max}$ קטנה יותר, אנרגיית הפוטון קטנה יותר, ומ־$E_{ph}=\frac{hc}{\lambda}$ – אורך הגל גדול יותר מאורך הגל המקורי.

טעות נפוצה: לקבוע את אורך הגל לפי גובה זרם הרוויה – גובה זרם הרוויה קשור למספר הפוטונים, לא לאנרגייה של כל פוטון.

זרם הרוויה פרופורציוני למספר האלקטרונים שנפלטים ביחידת זמן, כלומר למספר הפוטונים שפוגעים בקתודה ביחידת זמן, $N$. עוצמת האור היא האנרגייה שהאלומה מעבירה ביחידת זמן (ליחידת שטח), כלומר פרופורציונית ל־$N\cdot E_{ph}$.

גרף א: זרם הרוויה של העקומה המקווקוות גדול יותר, ולכן מספר הפוטונים ביחידת זמן גדול יותר. אנרגיית כל פוטון שווה (סעיף 1). לכן עוצמת האור גדולה יותר.

גרף ב: זרם הרוויה של העקומה המקווקוות קטן יותר – פחות פוטונים ביחידת זמן. בנוסף, כל פוטון נושא פחות אנרגייה (אורך גל גדול יותר, סעיף 1). שני הגורמים מקטינים את $N\cdot E_{ph}$, ולכן עוצמת האור קטנה יותר.

קביעה: ההיגד הנכון הוא 4.

נימוק: הרחקת המנורה מהקתודה מקטינה את עוצמת האור שמגיעה לקתודה – פחות פוטונים פוגעים בה ביחידת זמן. כל פוטון משחרר לכל היותר אלקטרון אחד, ולכן נפלטים פחות אלקטרונים ביחידת זמן, וזרם הרוויה (שבו כל האלקטרונים הנפלטים מגיעים לאנודה) קטן.

1. האלקטרונים נפלטים עם אנרגייה קינטית, ולכן חלקם מגיעים לאנודה גם כשאין מתח ($V=0$ – בגרף הזרם אינו אפס), ואף במתח הפוך קטן ממתח העצירה.

2. לפי המודל החלקיקי, אלקטרון נעקר על ידי פוטון בודד שמוסר לו את כל האנרגייה שלו. פוטונים אינם "מצטרפים" – אם אנרגיית הפוטון קטנה מפונקציית העבודה, לא ייפלטו אלקטרונים בשום עוצמה.

3. לפי $E_{k,\max}=hf-B$, האנרגייה הקינטית תלויה רק בתדירות (ובחומר הקתודה), ולא בעוצמת האור; העוצמה משפיעה רק על מספר האלקטרונים.

רמות האנרגייה באטום המימן, מדף הנוסחאות:

(בהתאמה לתרשים: $E_1=-13.6\,\text{eV}$.)

הצבה עבור $n=3$:

(בדיקה: $E_2=-\frac{13.6}{4}=-3.4\,\text{eV}$, כמו בתרשים.)

קביעה: הפוטון אינו יכול לעורר את האלקטרון לרמה $n=3$.

הסבר: פוטון נבלע באטום רק בשלמותו – הוא מוסר את כל האנרגייה שלו או לא נבלע כלל. לכן אטום בולע פוטון רק אם האנרגייה שלו שווה בדיוק להפרש בין שתי רמות אנרגייה (או מספיקה ליינון).

האנרגייה הדרושה למעבר מרמת היסוד לרמה $n=3$:

$12.5\,\text{eV}\neq12.09\,\text{eV}$, ולכן הפוטון אינו נבלע ואינו מעורר את האטום לרמה זו.

(למעשה הפוטון אינו מתאים לאף מעבר מרמת היסוד: $E_2-E_1=10.2\,\text{eV}$, $E_4-E_1=12.75\,\text{eV}$, והוא קטן מאנרגיית היינון $13.6\,\text{eV}$ – הוא יעבור דרך האטום בלי להיבלע.)

טעות נפוצה: לנמק "יש לו מספיק אנרגייה, והעודף נשאר" – זה נכון לאלקטרון מתנגש, לא לפוטון.

אורך הגל ביחס הפוך לאנרגיית הפוטון, ולכן הארוך ביותר מתאים לפוטון בעל האנרגייה הקטנה ביותר בסדרה – המעבר מהרמה הקרובה ביותר מעל $n=2$, כלומר $n=3\to n=2$.

אנרגיית הפוטון (מדף הנוסחאות $E_{ph}=E_i-E_f$):

אורך הגל, מדף הנוסחאות:

(אור אדום.)

ככל שהרמה ההתחלתית גבוהה יותר, אנרגיית הפוטון גדולה יותר ואורך הגל קצר יותר. נחשב את המעברים לרמה $n=2$ לפי הרמות שבתרשים:

המעבר $7\to2$ (ומעברים מרמות גבוהות יותר) נותן כבר $\lambda<400\,\text{nm}$ – מחוץ לתחום. לכן אורך הגל הקצר ביותר בתחום הוא של המעבר $n=6\to n=2$:

אלקטרון שהואץ ממנוחה במתח $12.5\,\text{V}$ צובר אנרגייה קינטית (עבודת הכוח החשמלי, $W=qV$):

בשונה מפוטון, אלקטרון מתנגש יכול למסור לאטום חלק מהאנרגייה שלו, ולהמשיך עם השאר. לכן הוא יכול לעורר את האטום לכל רמה שאנרגיית העירור שלה קטנה מ־$12.5\,\text{eV}$ או שווה לה:

- $n=2$: $E_2-E_1=10.2\,\text{eV}<12.5$ – אפשרי.

- $n=3$: $E_3-E_1=12.09\,\text{eV}<12.5$ – אפשרי.

- $n=4$: $E_4-E_1=-0.85+13.6=12.75\,\text{eV}>12.5$ – לא אפשרי.

אטומים שעוררו לרמות $n=2$ ו־$n=3$ חוזרים לרמת היסוד ופולטים פוטונים במעברים: $3\to1$, $3\to2$, $2\to1$.

בספקטרום יופיעו שלושה קווים: $103\,\text{nm}$, $122\,\text{nm}$ (אולטרה־סגול) ו־$656\,\text{nm}$ (אדום).

טעות נפוצה: לשכוח את המעבר $3\to2$ – אטום ברמה $n=3$ יכול לחזור לרמת היסוד גם בשני שלבים.

אנרגיית יינון היא האנרגייה המזערית הדרושה כדי לנתק את האלקטרון מהאטום – כלומר להעביר אותו מהרמה שבה הוא נמצא אל $n=\infty$, שם האנרגייה היא $0$ (האלקטרון חופשי ובמנוחה).

עבור אלקטרון ברמה $n=2$:

בגלל הטמפרטורה הגבוהה בשמש, חלק מהאטומים כבר מעוררים לרמה $n=2$, ולכן מספיקה להם אנרגייה של $3.4\,\text{eV}$ בלבד (ולא $13.6\,\text{eV}$ כמו מרמת היסוד) כדי להתיינן.