בגרות בפיזיקה קרינה וחומר 36282 - קיץ 2020 מועד מיוחד

קוראים מהתרשים: העצם $AB$ גובהו משבצת אחת ($1\,\text{cm}$), והדמות $CD$ גובהה $4$ משבצות ($4\,\text{cm}$). שתיהן מעל הציר האופטי, כלומר הדמות ישרה ביחס לעצם, והיא מוגדלת פי $4$. בנוסף, הדמות נמצאת באותו צד של העדשה כמו העצם.

- הדמות מדומה: בעדשה דקה אחת, דמות ממשית נוצרת מהצד השני של העדשה והיא תמיד הפוכה. דמות ישרה היא לכן דמות מדומה.

- עדשה מפזרת אינה מתאימה: עדשה מפזרת יוצרת לכל מיקום של עצם (ממשי) דמות מדומה, ישרה ומוקטנת, הנמצאת בין העצם לעדשה. לעולם לא דמות מוגדלת.

- עדשה מרכזת מתאימה: כאשר העצם נמצא בין העדשה למוקד ($u<f$), עדשה מרכזת יוצרת דמות מדומה, ישרה ומוגדלת, רחוקה מהעדשה יותר מהעצם (עקרון זכוכית מגדלת) – בדיוק כמו בתרשים: $CD$ רחוקה מהעדשה יותר מ־$AB$.

לכן הדמות בתרשים יכולה להיווצר רק בעזרת עדשה מרכזת.

קרן שעוברת דרך מרכז העדשה הדקה אינה נשברת וממשיכה בקו ישר. הדמות $C$ של הנקודה $A$ נמצאת על ההמשך של כל קרן שיוצאת מ־$A$; לכן הקו הישר שעובר דרך $C$ ו־$A$ הוא המשך של הקרן שעוברת דרך מרכז העדשה. מרכז העדשה הוא נקודת החיתוך של קו זה עם הציר האופטי.

בתרשים: $D$ נמצאת $4$ משבצות מהקצה השמאלי של הרשת, ו־$B$ נמצאת $13$ משבצות ממנו, כלומר $BD=9\,\text{cm}$. הקו מ־$C$ (גובה $4$) ל־$A$ (גובה $1$) יורד $3$ משבצות על פני $9$ משבצות אופקיות – שיפוע של $-\frac13$. כדי לרדת עוד משבצת אחת (מגובה $1$ ל־$0$) הוא צריך עוד $3$ משבצות אופקיות. לכן הקו חותך את הציר $3$ משבצות מימין ל־$B$.

מיקום העדשה: על הציר האופטי, $3\,\text{cm}$ מימין לעצם ו־$12\,\text{cm}$ מימין לדמות. מסרטטים שם עדשה מרכזת (קו ניצב לציר עם חצים כלפי חוץ).

בסרטוט שלהלן ראשית ציר $x$ היא מרכז העדשה (המרחקים בס"מ): $A=(-3,\,1)$, $C=(-12,\,4)$. הקרן הממשית מ־$A$ דרך מרכז העדשה – קו רציף; ההמשך שלה לאחור עד $C$ – קו מקווקו.

(הנקודות: $A$ ו־$B$ – קצות העצם, $C$ ו־$D$ – קצות הדמות; העדשה נמצאת ב־$x=0$.)

מסרטטים קרן מ־$A$ המקבילה לציר האופטי. היא פוגעת בעדשה בגובה $1\,\text{cm}$, ולאחר השבירה בעדשה מרכזת עוברת דרך המוקד $F'$ שבצד השני של העדשה. ההמשך של הקרן הנשברת לאחור חייב לעבור דרך הדמות $C$.

לכן: מעבירים קו ישר מ־$C=(-12,\,4)$ אל הנקודה שבה הקרן פוגעת בעדשה, $(0,\,1)$, וממשיכים אותו מעבר לעדשה. הקו יורד $3$ משבצות על פני $12$ משבצות – שיפוע $-\frac14$ – ולכן הוא חותך את הציר $4$ משבצות מימין לעדשה. שם נמצא המוקד $F'$.

בדיקה בקרן שנייה: קרן מ־$A$ שכיוונה כאילו יצאה מהמוקד $F$ שמשמאל לעדשה ($x=-4$) – הקו מ־$(-4,\,0)$ דרך $A=(-3,\,1)$ פוגע בעדשה בגובה $4\,\text{cm}$ ויוצא ממנה מקביל לציר. ההמשך שלו לאחור (קו אופקי בגובה $4$) עובר אכן דרך $C$.

(העדשה ב־$x=0$; המוקדים $F=(-4,\,0)$ ו־$F'=(4,\,0)$.) המרחק מהעדשה למוקד: $f=4\,\text{cm}$.

מהתרשים: מרחק העצם מהעדשה $u=3\,\text{cm}$; מרחק הדמות מהעדשה $12\,\text{cm}$, והדמות מדומה, ולכן $v=-12\,\text{cm}$.

נוסחת העדשות מדף הנוסחאות:

הצבה:

בדיקה בעזרת ההגדלה: $m=\frac{|v|}{|u|}=\frac{12}{3}=4=\frac{H_i}{H_o}=\frac{4}{1}$ – מתאים לתרשים.

טעות נפוצה: להציב $v=+12\,\text{cm}$. לדמות מדומה מציבים מרחק דמות שלילי, אחרת מתקבל $f=2.4\,\text{cm}$.

קביעה: $u_1$ שווה לרוחק המוקד: $u_1=f=4\,\text{cm}$.

נימוק: דמות הפוכה בעדשה אחת היא דמות ממשית, כלומר $v>0$. מנוסחת העדשות:

•כאשר $u>f$: $v>0$ – הקרניים מתכנסות אחרי העדשה ונוצרת דמות ממשית הפוכה.

•כאשר $u<f$: $v<0$ – הקרניים מתבדרות אחרי העדשה ונוצרת דמות מדומה ישרה (כמו בתרשים, $u=3\,\text{cm}<f$).

•כאשר $u=f$: הקרניים יוצאות מקבילות ולא נוצרת דמות.

לכן הגבול הוא $u_1=f=4\,\text{cm}$.

מאחר ש־$u_2>u_1=f$, הדמות ממשית והפוכה, ו־$v>0$. גובה הדמות $4\,\text{cm}$ וגובה העצם $1\,\text{cm}$, כלומר ההגדלה שוב $4$.

מדף הנוסחאות, הגדלה קווית:

נוסחת העדשות:

הצבה:

מרחק הדמות: $v=4\cdot 5=20\,\text{cm}$ מהצד השני של העדשה.

טעות נפוצה: להשתמש שוב ב־$v=-4u$ (דמות מדומה) – זה מחזיר את $u=3\,\text{cm}$, שקטן מ־$u_1$, ולא עונה על תנאי הסעיף.

רוחב פס האור מסדר אפס הוא המרחק בין שתי נקודות המינימום (עוצמה אפס) הסמוכות לו משני צדיו.

קוראים בסרגל (המרחק בין שנתות סמוכות $1\,\text{mm}$; השנתות הארוכות כל $10\,\text{mm}$), כשהקריאה נמדדת מהשנתה השמאלית של הסרגל:

•מרכז פס האור מסדר אפס (הקו $OO'$, מקסימום הגרף): $60\,\text{mm}$.

•המינימום משמאל ל־$O$ (מרכז הפס הכהה): $40\,\text{mm}$.

•המינימום מימין ל־$O$ (הקו $AA'$): $80\,\text{mm}$.

בדיקה: גם המרחק בין מרכזי פסי האור הסמוכים ($C$ ב־$20\,\text{mm}$ ו־$O$ ב־$60\,\text{mm}$) הוא $40\,\text{mm}$ – בתבנית התאבכות משני חריצים צרים הרוחב של פס אור שווה למרחק בין פסי אור סמוכים, $\Delta X$.

נוסחת יאנג מדף הנוסחאות:

נתונים: $d=0.02\,\text{mm}=2\cdot 10^{-5}\,\text{m}$, $L=1.5\,\text{m}$, ומסעיף א $\Delta X=4\,\text{cm}=0.04\,\text{m}$.

(אור ירוק.)

טעות נפוצה: להציב $d$ במילימטרים ו־$\Delta X$ בסנטימטרים – יש להמיר הכול למטרים.

הקו $OO'$ נמצא במרכז התבנית, מול האמצע שבין שני החריצים. כל נקודה עליו נמצאת במרחק שווה משני החריצים, ולכן הפרש הדרכים $\Delta r=0$. הגלים מהחריצים (שווי־מופע, כי האלומה פוגעת בניצב ללוחית) מגיעים באותו מופע – התאבכות בונה (מקסימום מסדר אפס).

$CC'$ עובר במרכז פס האור מסדר ראשון (מקסימום בגרף), במרחק $X_1=60-20=40\,\text{mm}=0.04\,\text{m}$ מ־$O$.

הפרש הדרכים מהחריצים: $\Delta r=d\sin\theta\approx d\frac{X}{L}$:

המרחק של נקודות הקו מהחריץ הרחוק גדול באורך גל שלם מהמרחק מהחריץ הקרוב, ולכן הגלים מגיעים באותו מופע – התאבכות בונה (מתאים לנוסחת קווי המקסימום $\sin\theta_n=n\frac{\lambda}{d}$ עם $n=1$).

$AA'$ עובר במינימום שבין פס האור מסדר אפס לפס מסדר ראשון (עוצמה אפס בגרף), במרחק $X=80-60=20\,\text{mm}=0.02\,\text{m}$ מ־$O$.

הפרש הדרכים הוא חצי אורך גל, ולכן הגלים מגיעים בהפרש מופע של חצי מחזור (מופע נגדי) ומבטלים זה את זה – התאבכות הורסת (קו מינימום עם $n=1$: $\sin\theta_1=(1-\tfrac12)\frac{\lambda}{d}$).

$BB'$ נמצא בין המקסימום $O$ למינימום $A$, סמוך ל־$A$: לפי הסרגל בערך $16.5\,\text{mm}$ מ־$O$ (כ־$3.5\,\text{mm}$ משמאל ל־$A$). בגרף העוצמה שם קטנה אבל אינה אפס.

הפרש הדרכים בין $0$ ל־$\frac{\lambda}{2}$: אינו מספר שלם של אורכי גל (תנאי להתאבכות בונה מלאה) ואינו מספר אי־זוגי של חצאי אורך גל (תנאי להתאבכות הורסת מלאה). לכן הנקודות על $BB'$ הן נקודות ביניים – העוצמה שם בין המרבית לאפס.

לפי נוסחת יאנג:

$L$ ו־$d$ לא השתנו, ולכן $\Delta X$ יחסי ל־$\lambda$. באורך גל קצר יותר המרחק בין פסי אור סמוכים קטן, וכל פס אור (וכל פס כהה) צר יותר – פסי ההתאבכות צפופים יותר, ובאותו קטע של המסך יופיעו יותר פסים.

המסנן מעביר את כל אורכי הגל שגדולים מ־$\lambda_0$ או שווים לו. הפוטונים בעלי האנרגייה הגדולה ביותר הם אלה שאורך גלם הקצר ביותר, $\lambda_0$:

פוטון כזה פולט את האלקטרון המהיר ביותר. לפי משוואת האפקט הפוטואלקטרי מדף הנוסחאות ($B$ – פונקציית העבודה של המשטח הפולט):

מתח העצירה הוא המתח שבו גם האלקטרונים המהירים ביותר נעצרים לפני לוח הקולט, והזרם מתאפס. עבודת הכוח החשמלי על האלקטרון ($W=qV$) שווה בגודלה לאנרגייה הקינטית שאבדה (קשר זה אינו מופיע במפורש בדף הנוסחאות):

לכן:

קביעה: הקשר בין $V$ ל־$\lambda_0$ אינו לינארי.

נימוק: בביטוי $V=\frac{hc}{e}\cdot\frac{1}{\lambda_0}-\frac{B}{e}$ אורך הגל מופיע במכנה: $V$ יחסי הפוך ל־$\lambda_0$ (בתוספת קבוע), ולכן גרף של $V$ כפונקציה של $\lambda_0$ הוא עקומה (היפרבולה) ולא קו ישר. לעומת זאת $V$ הוא פונקציה לינארית של $\frac{1}{\lambda_0}$, עם שיפוע $\frac{hc}{e}$ וחיתוך עם ציר $V$ ב־$-\frac{B}{e}$. לכן בסעיף ב משרטטים את $V$ כפונקציה של $\frac{1}{\lambda_0}$.

ממירים כל אורך גל למטרים ($1\,\text{nm}=10^{-9}\,\text{m}$) ומחשבים את ההופכי. לדוגמה: $\frac{1}{650\cdot 10^{-9}}\approx 1.54\cdot 10^{6}\,\text{m}^{-1}$.

ציר אופקי: $\frac{1}{\lambda_0}$ ביחידות $10^{6}\,\text{m}^{-1}$ (טווח $1.0$ עד $2.7$). ציר אנכי: $V$ בוולט (טווח $0$ עד $1.8$; כדאי להשאיר מקום מתחת ל־$0$ להמשך הקו בסעיף ג).

מסמנים את שבע הנקודות מהטבלה ומעבירים קו ישר אחד שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו (לא מחברים נקודה לנקודה):

הנקודות מסתדרות היטב על קו ישר, כפי שחזינו בסעיף א – אישור לכך ש־$V$ לינארי ב־$\frac{1}{\lambda_0}$.

לפי סעיף א, שיפוע הגרף של $V$ כפונקציה של $\frac{1}{\lambda_0}$ הוא:

השיפוע – משתי נקודות על הקו (לא מנקודות הטבלה), רחוקות זו מזו: $(1.6\cdot 10^{6}\,\text{m}^{-1},\ 0.48\,\text{V})$ ו־$(2.4\cdot 10^{6}\,\text{m}^{-1},\ 1.48\,\text{V})$:

הצבה ($e=1.60\cdot 10^{-19}\,\text{C}$, $c=3\cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ מטבלת הקבועים):

קרוב מאוד לערך בטבלת הקבועים, $6.63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם $10^{6}$ של יחידות הציר האופקי בחישוב השיפוע.

שיקול: באורך הגל המקסימלי (אורך גל הסף) אנרגיית הפוטון שווה בדיוק לפונקציית העבודה, והאלקטרונים נפלטים באנרגייה קינטית אפס – כלומר מתח העצירה אפס. לכן ממשיכים את הקו עד לנקודת החיתוך שלו עם הציר האופקי ($V=0$).

משוואת הקו (מהשיפוע ומנקודה על הקו, למשל $(2.4,\ 1.48)$):

החיתוך עם הציר האופקי ($V=0$):

(מהחיתוך עם ציר $V$ מקבלים גם את פונקציית העבודה: $\frac{B}{e}=1.52\,\text{V}$, כלומר $B\approx 1.52\,\text{eV}$; ואכן $\frac{1240}{1.52}\approx 820\,\text{nm}$.)

לפי המודל החלקיקי של האור, האור מורכב מפוטונים שאנרגיית כל אחד מהם $E_{ph}=hf=\frac{hc}{\lambda}$. אלקטרון במשטח הפולט קולט את האנרגייה של פוטון אחד בלבד. כדי להשתחרר מהמשטח הוא צריך לקבל אנרגייה של לפחות פונקציית העבודה $B$ (מ־$E_{ph}=E_k+B$ עם $E_k\ge 0$):

אור שאורך גלו גדול מ־$\lambda_{\max}$ מורכב מפוטונים שאנרגייתם קטנה מ־$B$. אף פוטון אינו יכול לשחרר אלקטרון, ולכן אין פליטה – גם אם מגדילים מאוד את עוצמת האור (עוצמה גדולה = יותר פוטונים, לא פוטונים חזקים יותר).

קביעה: ספקטרום בליעה.

נימוק: הספקטרומטר בדק את הקרינה אחרי שעברה דרך הגז. הקרינה שנכנסה למְכל הייתה רציפה (כל אורכי הגל בתחום $240$–$400\,\text{nm}$), ובספקטרום שהתקבל חסרים אורכי גל מסוימים. אורכי גל אלה נבלעו באטומי הגז: פוטון שאנרגייתו מתאימה למעבר מרמת היסוד לרמה גבוהה יותר נבלע, והאטום עובר לרמה המעוררת. ספקטרום רציף שבו חסרים קווים הוא ספקטרום בליעה (בספקטרום פליטה היינו רואים קווים בהירים בודדים על רקע כהה).

לפוטון באורך גל $258\,\text{nm}$ יש אנרגייה $E=\frac{1240}{258}\approx 4.81\,\text{eV}$, ולפוטונים באורכי גל קצרים יותר – אנרגייה גדולה יותר.

אנרגייה זו גדולה מאנרגיית היינון של האטום או שווה לה. פוטון כזה נבלע ומשחרר את האלקטרון מהאטום (יינון). האנרגייה שמעבר לאנרגיית היינון הופכת לאנרגייה קינטית של האלקטרון החופשי, ואנרגייה קינטית של אלקטרון חופשי יכולה לקבל כל ערך – היא אינה מוגבלת לרמות בדידות. לכן לא נדרשת התאמה מדויקת לרמה מסוימת: כל פוטון שאנרגייתו לפחות אנרגיית היינון יכול להיבלע, וכל התחום הרציף $240$–$258\,\text{nm}$ חסר בספקטרום.

לעומת זאת, פוטונים שאנרגייתם קטנה מאנרגיית היינון נבלעים רק אם האנרגייה שלהם שווה בדיוק להפרש בין רמת היסוד לרמה מעוררת – ומכאן שני הקווים הבודדים $326.3\,\text{nm}$ ו־$375.7\,\text{nm}$.

אנרגיית היינון שווה לאנרגיה של הפוטון החלש ביותר שעדיין מיינן – כלומר הפוטון בעל אורך הגל הגדול ביותר בתחום הנבלע הרציף, $\lambda=258\,\text{nm}$.

מדף הנוסחאות:

הצבה:

(הגבול $240\,\text{nm}$ אינו תכונה של האטום – זה רק קצה התחום של הקרינה שהועברה.)

שני הקווים הבודדים בספקטרום הבליעה מתאימים למעברים מרמת היסוד לשתי רמות מעוררות. מדף הנוסחאות, $E_{ph}=|E_f-E_i|$ ו־$E[\text{eV}]=\frac{1240}{\lambda[\text{nm}]}$:

כלומר יש רמות מעוררות הנמצאות $3.80\,\text{eV}$ ו־$3.30\,\text{eV}$ מעל רמת היסוד.

בוחרים, כמו באטום המימן בדף הנוסחאות, שאנרגיית האטום המיונן (אלקטרון חופשי במנוחה) היא $0$. אז רמת היסוד $E_1=-4.81\,\text{eV}$, והרמות המעוררות:

האלקטרונים הואצו במתח $3.1\,\text{V}$, ולכן כל אחד מהם נכנס למְכל באנרגייה קינטית ($W=qV$):

בהתנגשות עם אטום ברמת היסוד האלקטרון יכול למסור לאטום רק כמות אנרגייה השווה בדיוק להפרש בין רמת היסוד לרמה מעוררת (או לא למסור אנרגייה כלל – התנגשות אלסטית). האנרגייה שאיבד האלקטרון היא אנרגיית העירור:

•אלקטרונים שיצאו ב־$3.1\,\text{eV}$ – לא עוררו אטום (התנגשות אלסטית; האטום הכבד כמעט אינו לוקח אנרגייה קינטית).

•אלקטרונים שיצאו ב־$1\,\text{eV}$ – מסרו $3.1-1=2.1\,\text{eV}$.

•אלקטרונים שיצאו ב־$0.1\,\text{eV}$ – מסרו $3.1-0.1=3.0\,\text{eV}$.

לכן יש רמות מעוררות הנמצאות $2.1\,\text{eV}$ ו־$3.0\,\text{eV}$ מעל רמת היסוד:

(שתי הרמות שנמצאו בניסוי הראשון, $3.30$ ו־$3.80\,\text{eV}$ מעל היסוד, דורשות יותר מ־$3.1\,\text{eV}$, ולכן אלקטרונים אלה אינם יכולים לעורר אותן.)

טעות נפוצה: לרשום את האנרגיות שבהן יצאו האלקטרונים ($1\,\text{eV}$, $0.1\,\text{eV}$) כאנרגיות העירור – אנרגיית העירור היא האנרגייה שאבדה.

הדיאגרמה היא ציר אנרגייה אנכי, ועליו קווים אופקיים – קו לכל רמה – במרחקים התואמים לאנרגיות. בוחרים את רמת האפס כאנרגיית האטום המיונן (קו מקווקו בראש הדיאגרמה), ואז:

(ציר אופקי אין לו משמעות פיזיקלית; הקווים מסודרים לפי האנרגייה. אפשר גם לשרטט את הדיאגרמה עם רמת היסוד ב־$0$ והרמות ב־$2.1$, $3.0$, $3.30$, $3.80\,\text{eV}$ וגבול היינון ב־$4.81\,\text{eV}$ – זו אותה דיאגרמה בהזזה של נקודת האפס.)

בניסוי השני האלקטרונים עוררו אטומים רק לשתי הרמות $E_2$ ($2.1\,\text{eV}$ מעל היסוד) ו־$E_3$ ($3.0\,\text{eV}$ מעל היסוד). אטום מעורר חוזר לרמות נמוכות יותר ופולט פוטונים. המעברים האפשריים:

- $E_3\to E_1$: $E_{ph}=3.0\,\text{eV}$

- $E_2\to E_1$: $E_{ph}=2.1\,\text{eV}$

- $E_3\to E_2$: $E_{ph}=3.0-2.1=0.9\,\text{eV}$

מדף הנוסחאות $\lambda[\text{nm}]=\frac{1240}{E[\text{eV}]}$:

רק שני הראשונים נמצאים בתחום הנראה ($400$–$700\,\text{nm}$); המעבר $E_3\to E_2$ פולט קרינה תת־אדומה. לכן שני אורכי הגל שהתקבלו: $413\,\text{nm}$ ו־$590\,\text{nm}$.

טעות נפוצה: לחשב מעברים מהרמות $3.30$ ו־$3.80\,\text{eV}$ – בניסוי השני אטומים לא עוררו לרמות אלה, כי לאלקטרונים היו רק $3.1\,\text{eV}$.

בפליטת $\beta^-$ ניטרון בגרעין הופך לפרוטון, ונפלטים אלקטרון ואנטי־ניטרינו:

שימור מספר המסה: $131=131+0$, ולכן מספר המסה של היוד $A=131$.

שימור המטען: $52=Z-1$, ולכן $Z=53$.

•מספר הפרוטונים: $Z=53$.

•מספר הניטרונים: $N=A-Z=131-53=78$.