בגרות בפיזיקה קרינה וחומר 36282 - קיץ 2021

נתוני תרשים 1. נמדוד מקום לאורך החבל בסנטימטרים מהנקודה $M$ ($x=0$). כל פולס הוא מלבן שרוחבו $4\,\text{cm}$ (4 משבצות) וגובהו $2\,\text{cm}$:

•פולס 1 (מעל החבל, נע ימינה): בין $x=-4$ ל־$x=0$, העתק $+2\,\text{cm}$.

•פולס 2 (מתחת לחבל, נע שמאלה): בין $x=4$ (הנקודה $N$) ל־$x=8$, העתק $-2\,\text{cm}$.

בכל שנייה כל פולס מתקדם $\Delta x=v\,\Delta t=2\cdot 1=2\,\text{cm}$ (2 משבצות), ולכן ברגע $t$:

פולס 1 נמצא בין $-4+2t$ ל־$2t$, ופולס 2 בין $4-2t$ ל־$8-2t$.

באזור שבו הפולסים חופפים, לפי עקרון הסופרפוזיציה ההעתק של החבל הוא סכום ההעתקים של שני הפולסים.

(1) $t_1=1\,\text{s}$: פולס 1 בין $-2$ ל־$2$, פולס 2 בין $2$ ל־$6$. הפולסים נוגעים זה בזה בנקודה $x=2$ ואינם חופפים – רואים את שניהם בשלמותם, זה לצד זה:

(2) $t_2=2\,\text{s}$: שני הפולסים נמצאים בדיוק באותו קטע, בין $x=0$ ($M$) ל־$x=4$ ($N$). בכל נקודה בקטע ההעתק השקול הוא $(+2)+(-2)=0$, ולכן החבל כולו ישר ברגע זה (התאבכות הורסת מלאה). הפולסים לא "נעלמו" – האנרגייה שלהם נמצאת ברגע זה כאנרגייה קינטית של נקודות החבל בקטע $MN$, וכעבור רגע הפולסים יופיעו שוב.

(3) $t_3=3\,\text{s}$: פולס 1 בין $2$ ל־$6$, פולס 2 בין $-2$ ל־$2$. הפולסים חלפו זה על פני זה וחזרו לצורתם המקורית: עכשיו הפולס השלילי משמאל והחיובי מימין.

טעות נפוצה: לסרטט ברגע $t_2$ פולס כפול או לחשוב שהפולסים "מתנגשים" וחוזרים – פולסים עוברים זה דרך זה ללא שינוי.

קביעה: קיימת נקודה כזו – הנקודה שבאמצע הקטע $MN$, במרחק $2\,\text{cm}$ מ־$M$.

נימוק: שני הפולסים זהים בצורתם ובגודלם, הפוכים בסימן ($+2\,\text{cm}$ ו־$-2\,\text{cm}$), ונעים זה לקראת זה באותה מהירות. לכן הם נפגשים באמצע המרחק ביניהם: החזית של פולס 1 נמצאת ב־$M$ ($x=0$) והחזית של פולס 2 ב־$N$ ($x=4$), והן נפגשות ב־$x=2\,\text{cm}$ ברגע $t=1\,\text{s}$.

נבדוק את הנקודה $x=2\,\text{cm}$:

•פולס 1 (בין $-4+2t$ ל־$2t$) נמצא בה כאשר $1\le t\le 3\,\text{s}$.

•פולס 2 (בין $4-2t$ ל־$8-2t$) נמצא בה גם כן כאשר $1\le t\le 3\,\text{s}$.

כלומר בכל רגע שבו אחד הפולסים נמצא בנקודה, נמצא בה גם השני, וההעתק השקול הוא $(+2)+(-2)=0$. לפני $t=1\,\text{s}$ אף פולס לא הגיע אליה. לכן במשך כל הזמן $0\le t\le 3\,\text{s}$ הנקודה נשארת במקומה.

כל נקודה אחרת בקטע נמצאת זמן מה בתוך פולס אחד בלבד, ולכן זזה. למשל, $x=1\,\text{cm}$: פולס 1 מגיע אליה ב־$t=0.5\,\text{s}$, ופולס 2 רק ב־$t=1.5\,\text{s}$ – ביניהם היא מוסטת כלפי מעלה.

החצים בתרשים 2 מתארים את כיוון המהירות של נקודות החבל ברגע הנתון.

בגל מתקדם הצורה כולה זזה ימינה או שמאלה. לכן משני צדי שיא (או שפל) הנקודות נעות בכיוונים מנוגדים: בצד שאליו מתקדם הגל הנקודות עולות (השיא "מגיע" אליהן), ובצד השני הן יורדות. כך זה בכל כיוון התקדמות.

בתרשים 2 המצב אחר: בגבנון הראשון הנקודות משני צדי השיא נעות שתיהן כלפי מטה. בגבנון השני (השפל) כל הנקודות נעות כלפי מעלה, ובשלישי שוב כולן כלפי מטה. כלומר:

•כל הנקודות שבין שתי נקודות אפס סמוכות נעות יחד, באותו כיוון ובאותו מופע. הצורה רק "נמתחת" ו"מתכווצת" במקומה, היא אינה מתקדמת.

•נקודות בגבנונים סמוכים נעות בכיוונים מנוגדים (מופע הפוך).

•נקודות החיתוך עם ציר $x$ אינן מסומנות בחץ – אלה הצמתים, שנשארים במנוחה כל הזמן.

אלה בדיוק המאפיינים של גל עומד, הנוצר מסופרפוזיציה של שני גלים זהים הנעים בכיוונים מנוגדים. התנועה של כל גבנון היא כלפי מטה או כלפי מעלה, ולא תזוזה של הצורה לאורך החבל.

טעות נפוצה: להסתפק ב"הגל לא זז" – צריך לנמק לפי כיווני המהירות שבתרשים.

שני קצות המיתר ($B$ ו־$C$) הם צמתים, ולכן גל עומד נוצר רק כאשר אורך המיתר מכיל מספר שלם של חצאי אורכי גל. מדף הנוסחאות (גל עומד במיתר שקצותיו קשורים):

ולפי $v=\lambda f$:

הצבה, $\ell=0.9\,\text{m}$, $v=27\,\text{m/s}$:

התדירויות בתחום $0$–$70\,\text{Hz}$:

($f_5=75\,\text{Hz}$ כבר מחוץ לתחום.)

התדירות הגבוהה ביותר היא $f_4=60\,\text{Hz}$, כלומר $n=4$:

על המיתר יש ארבעה גבנונים (ארבעה חצאי אורך גל), כל אחד באורך $\frac{\lambda}{2}=0.225\,\text{m}$. בסרטוט מציירים את המיתר בשני מצבי הקיצון שלו (קו מלא וקו מקווקו): בין כל שני צמתים סמוכים מופיע גבנון, וגבנונים סמוכים הפוכים זה לזה.

ל־$n$ גבנונים יש $n+1$ צמתים (כל גבנון תחום בין שני צמתים, וגבנונים סמוכים חולקים צומת). עבור $n=4$:

הצמתים נמצאים ב־$0,\ 0.225,\ 0.45,\ 0.675,\ 0.9\,\text{m}$ מהנקודה $B$ – כולל $B$ ו־$C$.

התדירות הנמוכה ביותר היא $f_1=15\,\text{Hz}$. כל נקודה במיתר (פרט לצמתים) מתנודדת בתדירות המחולל, וזמן המחזור הוא:

מעבר משיא הגובה לשיא השפל הוא חצי תנודה (מקצה אחד של התנודה לקצה השני), ולכן:

טעות נפוצה: לחשב את הזמן שבו הגל עובר את המרחק בין שיא לשפל לאורך המיתר – בגל עומד הצורה אינה מתקדמת; שואלים על תנודת נקודה במקומה.

מדף הנוסחאות – קווי מינימום בהתאבכות משני מקורות שווי־מופע:

($L\gg X$, ולכן הזוויות קטנות ו־$\sin\theta\approx\tan\theta=\frac{X}{L}$.)

המינימום הראשון: $n=1$, $X_1=2.55\,\text{mm}$:

הצבה:

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת המקסימום $\frac{X}{L}=\frac{\lambda}{d}$ – המינימום הראשון נמצא בחצי המרחק בין קווי המקסימום, ולכן מתקבל אורך גל כפול מהנכון.

מקום המקסימום מסדר $n$ (מדף הנוסחאות): $\sin\theta_n=n\frac{\lambda}{d}$; מקום המינימום מסדר $n$: $\sin\theta_n=\left(n-\tfrac12\right)\frac{\lambda}{d}$.

המקסימום מסדר שני של $\lambda_1$ והמינימום מסדר שלישי של $\lambda_2$ נמצאים באותה נקודה על המסך, כלומר באותה זווית:

הצבה:

(בדיקה: מקום הנקודה $X=\frac{2\lambda_1L}{d}=\frac{2\cdot 6\cdot 10^{-7}\cdot 3.4}{4\cdot 10^{-4}}=10.2\,\text{mm}$, ו־$\frac{2.5\lambda_2L}{d}=\frac{2.5\cdot 4.8\cdot 10^{-7}\cdot 3.4}{4\cdot 10^{-4}}=10.2\,\text{mm}$.)

טעות נפוצה: לכתוב את המינימום השלישי כ־$3\lambda_2$ במקום $2.5\lambda_2$.

המקסימום המרכזי בעקיפה מסדק יחיד תחום בין שני קווי הצומת הראשונים, משני צדי המרכז. מדף הנוסחאות – קווי צומת בעקיפה בסדק יחיד:

קו הצומת הראשון ($n=1$):

רוחב הפס המרכזי הוא המרחק בין קווי הצומת הראשונים משני הצדדים:

(הזווית קטנה: $\frac{X_1}{L}=0.003$, ולכן הקירוב $\sin\theta\approx\frac{X}{L}$ מוצדק.)

טעות נפוצה: לתת את $X_1$ כתשובה – רוחב הפס המרכזי כפול ממנו.

קביעה: המקסימום המרכזי נמצא מתחת ל־$O$ (בצד של $S_2$).

נימוק: לפי תרשים 2, המקור קרוב יותר לסדק $S_1$: $x_1<x_2$.

המקסימום המרכזי (מסדר אפס) מתקבל בנקודה שבה שני הגלים מגיעים באותו מופע – כלומר הדרך הכוללת מהמקור $S$ עד הנקודה זהה בשני המסלולים. נסמן ב־$r_1$ ו־$r_2$ את המרחקים מהסדקים לנקודה על המסך:

כלומר בנקודת המקסימום המרכזי $r_1>r_2$: הנקודה רחוקה יותר מ־$S_1$ וקרובה יותר ל־$S_2$. נקודה כזו נמצאת מתחת לאנך האמצעי, כלומר מתחת ל־$O$.

(בנקודה $O$ עצמה $r_1=r_2$, ולכן הגל מ־$S_2$ מפגר אחרי הגל מ־$S_1$ בדרך $x_2-x_1$ – הגלים אינם באותו מופע.) כל תבנית ההתאבכות זזה כלפי מטה, לכיוון הסדק הרחוק מהמקור.

טעות נפוצה: לקבוע שהמקסימום זז כלפי מעלה, "לכיוון המקור" – הוא זז דווקא לצד של הסדק הרחוק, כדי שהדרך הקצרה יותר מהמסך תפצה על הדרך הארוכה מהמקור.

הנקודה $O$ נמצאת על האנך האמצעי, ולכן המרחקים ממנה לשני הסדקים שווים: $r_1=r_2$. הפרש הדרכים הכולל של שני הגלים בנקודה $O$ נובע רק מהדרך בין המקור לסדקים:

תנאי למינימום מסדר $n$ (התאבכות הורסת): הפרש הדרכים הוא $\left(n-\tfrac12\right)\lambda$. מינימום שני, $n=2$:

הצבה:

טעות נפוצה: להציב $2\lambda_1$ (תנאי למקסימום שני) או $0.5\lambda_1$ (מינימום ראשון).

לפי הקשר בין מהירות, אורך גל ותדירות (מדף הנוסחאות, $v=\lambda f$, ולאור $v=c=3\cdot 10^8\,\text{m/s}$):

לדוגמה, עבור $\lambda=534\,\text{nm}$:

טעות נפוצה: לשכוח להמיר ננומטרים למטרים ($1\,\text{nm}=10^{-9}\,\text{m}$).

מדף הנוסחאות – האפקט הפוטואלקטרי:

כאשר $E_k$ היא האנרגייה הקינטית המרבית של האלקטרונים הנפלטים, ו־$B$ פונקציית העבודה של הקתודה.

מתח העצירה הוא המתח שבו גם האלקטרונים המהירים ביותר נעצרים לפני שהם מגיעים לאנודה. העבודה של הכוח החשמלי על אלקטרון לאורך המתח הזה שווה לאובדן האנרגייה הקינטית המרבית:

מציבים:

מתח העצירה הוא פונקציה קווית של התדירות: השיפוע $\frac{h}{e}$ (זהה לכל המתכות) וחיתוך עם הציר האנכי $-\frac{B}{e}$.

ציר אופקי: התדירות $f$ ביחידות של $10^{14}\,\text{Hz}$ (טווח מ־$4.5$ עד $9$). ציר אנכי: מתח העצירה בוולט (טווח מ־$0$ עד $1.6$). לא חייבים להתחיל את הציר האופקי מאפס – הנקודות נמצאות כולן בין $5.5$ ל־$8.6$.

הנקודות $(f\,[10^{14}\,\text{Hz}],\,V_{\text{עצירה}}\,[\text{V}])$:

$(5.62,\,0.20)$, $(6.05,\,0.40)$, $(6.67,\,0.70)$, $(7.50,\,1.10)$, $(8.57,\,1.45)$.

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר עולה, כמצופה מסעיף ב.

מעבירים קו ישר אחד שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו באופן שווה בערך (לא מחברים את הנקודות זו לזו, והקו אינו חייב לעבור דרך נקודה מסוימת).

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו (מסומנות A ו־B בגרף):

$A=(5.5\cdot 10^{14}\,\text{Hz},\ 0.18\,\text{V})$, $B=(8.5\cdot 10^{14}\,\text{Hz},\ 1.47\,\text{V})$

(החיתוך עם הציר האנכי מתקבל מנקודה A: $0.18-4.3\cdot 10^{-15}\cdot 5.5\cdot 10^{14}\approx -2.19\,\text{V}$.)

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע משתי נקודות מהטבלה במקום משתי נקודות על קו המגמה.

לפי סעיף ב, שיפוע הגרף $V_{\text{עצירה}}(f)$ הוא $\frac{h}{e}$:

הצבה (מטען היסודי מדף הנתונים $e=1.6\cdot 10^{-19}\,\text{C}$, השיפוע מסעיף ג):

(בקירוב טוב לערך המקובל $6.63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$ שבדף הנתונים – הפער של כ־4% נובע מאי־דיוק המדידות. השיפוע ביחידות $\text{eV}\cdot\text{s}$ הוא $h=4.3\cdot 10^{-15}\,\text{eV}\cdot\text{s}$.)

לפי סעיף ב, משוואת הגרף היא $V_{\text{עצירה}}=\frac{h}{e}f-\frac{B}{e}$, ולכן החיתוך של הישר עם הציר האנכי (ב־$f=0$) הוא $-\frac{B}{e}$.

דרך 1 – חיתוך עם הציר האנכי. ממשוואת קו המגמה:

דרך 2 – תדירות הסף. קו המגמה חותך את ציר $f$ ($V_{\text{עצירה}}=0$) בתדירות הסף:

בתדירות זו האלקטרונים נפלטים בדיוק ללא אנרגייה קינטית, ולכן

ביחידות SI:

קביעה: האנרגייה הקינטית המרבית של האלקטרונים בעת היפלטותם מהקתודה לא השתנתה.

נימוק: לפי משוואת האפקט הפוטואלקטרי

האנרגייה הקינטית המרבית של אלקטרון ברגע פליטתו נקבעת רק על ידי תדירות האור ($\lambda=450\,\text{nm}$ לא השתנה) ועל ידי פונקציית העבודה של חומר הקתודה (לא השתנה). המתח שבין הקתודה לאנודה פועל על האלקטרונים רק אחרי שהם נפלטו, ואינו משפיע על תהליך הפליטה. לכן נשאר:

מה שהשתנה: המתח המעכב קטן מ־$0.7\,\text{V}$ ל־$0.5\,\text{V}$, ולכן האלקטרונים המהירים ביותר כבר אינם נעצרים – הם מגיעים לאנודה עם אנרגייה קינטית של $0.7-0.5=0.2\,\text{eV}$, ובמעגל זורם זרם.

טעות נפוצה: לקבוע שהאנרגייה הקינטית המרבית קטנה ל־$0.5\,\text{eV}$ – המתח החדש אינו מתח עצירה.

1. רמות אנרגייה בדידות: לפי מודל בוהר, האנרגייה של האטום יכולה לקבל רק ערכים מסוימים (רמות אנרגייה). מעבר מרמה לרמה דורש בדיוק את הפרש האנרגיות:

2. בליעה בררנית: קרינה בעלת ספקטרום רציף עוברת דרך הגז. אטום ברמת היסוד בולע רק פוטון שהאנרגייה שלו ($E_{ph}=hf=\frac{hc}{\lambda}$) שווה בדיוק להפרש בין רמת היסוד לאחת הרמות המעוררות. פוטונים בשאר אורכי הגל עוברים דרך הגז בלי להיבלע.

3. מדוע הקווים כהים: הפוטונים שנבלעו נעלמים מהאלומה. האטום המעורר אמנם חוזר לרמת היסוד ופולט פוטונים, אך הם נפלטים לכל הכיוונים, ורק חלק זניח מהם ממשיך בכיוון האלומה אל הספקטרומטר. לכן בדיוק באורכי הגל האלה מגיעה לספקטרומטר עוצמה נמוכה בהרבה מאשר בשאר אורכי הגל – מתקבלים קווים כהים על רקע הספקטרום הרציף הבהיר.

(הרצף הכהה בתחום $100$–$119.2\,\text{nm}$ נובע מיינון: פוטון שהאנרגייה שלו גדולה מאנרגיית היינון יכול להיבלע בכל ערך אנרגייה, כי האלקטרון המשתחרר לוקח את העודף כאנרגייה קינטית.)

הרצף הכהה בתחום $100$–$119.2\,\text{nm}$ פירושו שכל הפוטונים באורכי גל אלה נבלעים – ללא תלות באורך הגל המדויק. זו בליעה שמייננת את האטום: פוטון שאנרגייתו גדולה מאנרגיית היינון או שווה לה משחרר את האלקטרון, והעודף הופך לאנרגייה קינטית של האלקטרון (שאינה מוגבלת לערכים בדידים).

גבול הרצף, $\lambda=119.2\,\text{nm}$, מתאים לפוטון בעל האנרגייה הקטנה ביותר שעדיין מייננת – כלומר לאנרגיית היינון. מדף הנוסחאות:

הצבה:

ביחידות SI: $10.40\cdot 1.6\cdot 10^{-19}\approx 1.66\cdot 10^{-18}\,\text{J}$.

בחירת אפס: כמו באטום המימן, בוחרים את האנרגייה של אלקטרון חופשי במנוחה (אטום מיונן) כאפס. מכאן שרמת היסוד נמצאת באנרגיית היינון מתחת לאפס:

שלושת הקווים הבדידים הם מעברים מרמת היסוד (כל האטומים היו ברמת היסוד) לשלוש רמות מעוררות. אנרגיית כל פוטון לפי $E_{ph}=\frac{1240}{\lambda}$:

- $\lambda=255.15\,\text{nm}$: $E_{ph}=\frac{1240}{255.15}=4.86\,\text{eV}$ (האנרגייה הקטנה ביותר – הרמה הקרובה ביותר)

- $\lambda=185.9\,\text{nm}$: $E_{ph}=\frac{1240}{185.9}=6.67\,\text{eV}$

- $\lambda=140.3\,\text{nm}$: $E_{ph}=\frac{1240}{140.3}=8.84\,\text{eV}$

אנרגיית הרמות לפי הנחת בוהר $E_{ph}=E_f-E_i$, כלומר $E_f=E_1+E_{ph}$:

הדיאגרמה: ארבעה קווים אופקיים לפי סדר האנרגייה (המרווחים בקנה מידה בקירוב), וקו מקווקו ב־$E=0$ (סף היינון):

האלקטרונים המהירים ביותר משתחררים על ידי הפוטונים בעלי האנרגייה הגבוהה ביותר בקרינה – הפוטונים בעלי אורך הגל הקצר ביותר, $\lambda=100\,\text{nm}$:

חלק מהאנרגייה משמש ליינון האטום (מרמת היסוד), והשאר הופך לאנרגייה קינטית של האלקטרון (בדומה ל־$E_{ph}=E_k+B$ באפקט הפוטואלקטרי; כאן את תפקיד $B$ ממלאת אנרגיית היינון):

ביחידות SI: $E_k=2.00\cdot 1.6\cdot 10^{-19}=3.2\cdot 10^{-19}\,\text{J}$.

מ־$E_k=\tfrac12mv^2$ (מסת אלקטרון מדף הנתונים $m_e=9.11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$):

(המהירות קטנה בהרבה ממהירות האור, ולכן החישוב הלא־יחסותי מוצדק.)

טעות נפוצה: להשתמש בפוטון של $119.2\,\text{nm}$ – הוא משחרר אלקטרון ללא אנרגייה קינטית; המהירות המרבית מתקבלת בקצה הקצר של תחום הקרינה.

אטום מעורר יכול לרדת מכל רמה לכל רמה נמוכה ממנה, ובכל ירידה נפלט פוטון שאנרגייתו שווה להפרש הרמות. עם ארבע רמות יש

מעברים אפשריים – שישה קווים בספקטרום הפליטה. מסמנים שישה חיצים כלפי מטה (פליטה): $4\to1$, $3\to1$, $2\to1$, $4\to2$, $3\to2$, $4\to3$.

טעות נפוצה: לסמן רק את שלושת המעברים לרמת היסוד (אלה שנראו בספקטרום הבליעה) – בפליטה אפשריים גם מעברים בין רמות מעוררות.