בגרות בפיזיקה קרינה וחומר 36282 - קיץ 2022

קביעה: הנקודה $A$ נמצאת על קו התאבכות בונה מסדר $n=3$.

נימוק: בתרשים המרחק בין שני קווים מלאים סמוכים (שני שיאים סמוכים) של אותו מקור הוא אורך גל אחד $\lambda$, ובין קו מלא לקו מקווקו סמוך – חצי אורך גל.

- מקור $S_1$: הנקודה $A$ נמצאת על הקו המלא (שיא) השני סביב $S_1$ (הקו המלא הראשון הוא המעגל המלא הקטן סביב $S_1$, והשני הוא המעגל המלא שעובר דרך $A$). לכן $AS_1=2\lambda$.

- מקור $S_2$: הנקודה $A$ נמצאת על הקו המלא (שיא) החמישי של הגלים היוצאים מ־$S_2$ (סופרים את הקווים המלאים האפורים מ־$S_2$ עד $A$: 1, 2, 3, 4, 5). לכן $AS_2=5\lambda$.

הפרש הדרכים:

בנקודה $A$ נפגשים שיא של גל אחד עם שיא של הגל השני, ולכן מתרחשת בה התאבכות בונה. התנאי להתאבכות בונה הוא $\Delta L=n\lambda$, ולכן $n=3$.

טעות נפוצה: לספור את כל הקווים (מלאים ומקווקווים) כאורכי גל שלמים – בין קו מלא לקו מקווקו סמוך יש רק חצי אורך גל.

בנקודה $A$ מתקיימת התאבכות בונה מסדר $n=3$ (סעיף א), ולכן:

לפי הקשר מדף הנוסחאות למהירות גל מחזורי:

מציבים:

(ובאופן כללי, לנקודה על קו מקסימום מסדר $n$: $\Delta L=\dfrac{nv}{f}$.)

לפי סעיף ב:

זהו קשר קווי בין $\Delta L$ ל־$\frac{1}{f}$ (קו ישר העובר בראשית), ושיפוע הגרף שווה ל־$3v$.

חישוב השיפוע משתי נקודות על הקו (קצות הקו המסורטט):

(המשך הקו עובר כמעט בדיוק בראשית, כצפוי מהקשר $\Delta L=3v\cdot\frac1f$.)

טעות נפוצה: לזהות את השיפוע עם $v$ עצמה ולשכוח את המקדם $n=3$, או לחשב את השיפוע מנקודות שאינן על הקו.

קביעה: בנקודה $B$ מתרחשת התאבכות בונה.

נימוק: הנקודה $B$ נמצאת על קו מקווקו של הגלים מ־$S_1$ ובאותו מקום גם על קו מקווקו של הגלים מ־$S_2$ – כלומר נפגשים בה שפל של גל אחד ושפל של הגל השני.

הנקודה $B$ נמצאת על האנך האמצעי לקטע $S_1S_2$: היא נמצאת על הקו המקווקו השלישי של כל אחד מהמקורות, ולכן

הפרש הדרכים הוא אפס (מספר שלם של אורכי גל, $n=0$), והמקורות מתנודדים במופע זהה – לכן הגלים מגיעים ל־$B$ תמיד באותו מופע, ומתקיימת התאבכות בונה. $B$ נמצאת על קו המקסימום המרכזי.

טעות נפוצה: לחשוב שמפגש של שני שפלים הוא התאבכות הורסת – הורסת היא מפגש של שיא עם שפל; שפל עם שפל יוצר שפל עמוק פי שניים.

המשרעת בנקודה $B$: בנקודה $B$ מתרחשת התאבכות בונה (סעיף ד), ולכן המשרעות של שני הגלים מתחברות:

המצב ההתחלתי: ברגע $t=0$ (הרגע המתואר בתרשים) נמצאת $B$ על שפל של שני הגלים, כלומר בהעתק המינימלי:

לכן ההעתק בנקודה $B$ משתנה הרמונית:

טעות נפוצה: לסרטט משרעת של $0.2\,\text{cm}$ – בנקודת התאבכות בונה המשרעת היא סכום המשרעות.

קביעה: גם בנקודה $A$ וגם בנקודה $B$ ההתאבכות הייתה הופכת מבונה להורסת.

נימוק: כשהמקורות הפוכי מופע, כל מקור יוצר שיא ברגע שהאחר יוצר שפל. לכן גל אחד "מוזז" בחצי אורך גל ביחס לגל השני, ותנאי ההתאבכות מתחלפים:

•הורסת: $\Delta L=n\lambda$

•בונה: $\Delta L=\left(n-\tfrac12\right)\lambda$

בנקודה $A$: $\Delta L=3\lambda$ – מספר שלם של אורכי גל, ולכן כעת היא נקודת התאבכות הורסת: כשמגיע אליה שיא מגל אחד מגיע אליה שפל מהגל השני.

בנקודה $B$: $\Delta L=0$ – גם כאן הגלים מגיעים בדיוק במופע הפוך, ולכן ההתאבכות הורסת. מאחר שהמשרעות של שני הגלים ב־$B$ שוות ($0.2\,\text{cm}$), הנקודה $B$ הייתה נשארת במנוחה (העתק אפס בכל רגע).

הכתם המרכזי בתבנית העקיפה של סדק יחיד משתרע בין שני קווי הצומת מסדר ראשון ($n=1$), אחד מכל צד של מרכז התבנית.

מדף הנוסחאות, קווי צומת בעקיפה בסדק יחיד:

(הקירוב $\sin\theta\approx\frac{X}{L}$ תקף לזוויות קטנות.) עבור $n=1$:

$X_1$ הוא המרחק ממרכז התבנית לצומת הראשון בצד אחד. רוחב הכתם המרכזי כולו הוא פעמיים מרחק זה:

טעות נפוצה: לכתוב $\Delta x=\frac{\lambda L}{w}$ – זה רק המרחק מהמרכז לצומת הראשון, חצי מרוחב הכתם המרכזי.

לפי סעיף א:

$\lambda$ ו־$L$ קבועים בניסוי, ולכן $\Delta x$ תלוי לינארית ב־$\dfrac{1}{w}$ (ולא ב־$w$ עצמו – $\Delta x$ יחסי הפוך ל־$w$).

המשתנה החדש הוא $\dfrac{1}{w}$, ויחידותיו $\dfrac{1}{\text{mm}}$ (אפשר גם $\dfrac{1}{\text{m}}$, ואז כל ערך גדול פי $1000$).

מחשבים $\frac{1}{w}$ לכל עמודה:

לדוגמה: $\frac{1}{0.016\,\text{mm}}=62.5\,\text{mm}^{-1}$.

ציר אופקי: $\frac{1}{w}\,(\text{mm}^{-1})$ בתחום $0$–$70$. ציר אנכי: $\Delta x\,(\text{m})$ בתחום $0$–$0.045$. מסמנים את חמש הנקודות מהטבלה:

מעבירים קו ישר אחד שעובר קרוב ככל האפשר לכל הנקודות, כך שהנקודות מפוזרות משני צדיו (לא מחברים נקודה לנקודה). הישר המתאים ביותר:

(שתי נקודות על הקו: $(10,\;0.0089)$ ו־$(60,\;0.0399)$.)

הקו אינו עובר בדיוק בראשית – החיתוך הקטן עם הציר האנכי נובע משגיאות מדידה.

לפי סעיף א:

ולכן שיפוע הגרף שווה ל־$2\lambda L$.

חישוב השיפוע משתי נקודות על קו המגמה:

ממירים ליחידות SI ($1\,\text{mm}^{-1}=1000\,\text{m}^{-1}$):

(אור סגול-כחול.)

טעות נפוצה: לשכוח להמיר $\text{mm}^{-1}$ ל־$\text{m}^{-1}$ ולקבל אורך גל גדול פי $1000$, או לשכוח את המקדם $2$ שבנוסחת רוחב הכתם המרכזי.

קביעה: היגד 2 נכון.

בלוחית עם הסדק היחיד (רוחב $w$): צמתים ב־$X_n=\frac{n\lambda L}{w}$.

•הכתם המרכזי משתרע מ־$X_{-1}$ עד $X_1$: רוחבו $\frac{2\lambda L}{w}$.

•כל כתם משני משתרע בין שני צמתים סמוכים: רוחבו $\frac{\lambda L}{w}$.

בלוחית עם שני הסדקים (מרחק $d$, סדקים צרים מאוד): מנוסחת יאנג, המרחק בין שני צמתים סמוכים הוא $\Delta X=\frac{\lambda L}{d}$, וכל הכתמים – המרכזי והמשניים – ברוחב זהה $\frac{\lambda L}{d}$.

כאשר $d=w$:

- היגד 1 שגוי: הכתם המרכזי בסדק יחיד ($\frac{2\lambda L}{w}$) רחב פי $2$ מהכתם המרכזי בשני הסדקים ($\frac{\lambda L}{w}$).

- היגד 2 נכון: הכתמים המשניים בשתי הלוחיות ברוחב $\frac{\lambda L}{w}=\frac{\lambda L}{d}$.

- היגד 3 שגוי: בשתי התבניות יש פס מקסימום מרכזי אחד, ושאר פסי המקסימום מופיעים בזוגות סימטריים משני צדיו – לכן מספר פסי המקסימום הוא אי־זוגי בשתי הלוחיות.

קביעה: באורכי גל ארוכים.

הסבר: לפי המודל החלקיקי של האור, האור מורכב מפוטונים שהאנרגייה של כל אחד מהם היא (מדף הנוסחאות):

אלקטרון נפלט מהקתודה רק אם פוטון יחיד מעביר לו אנרגייה גדולה מפונקציית העבודה $B$ של המתכת או שווה לה ($E_{ph}=E_k+B$, ו־$E_k\ge0$). ככל שאורך הגל ארוך יותר, האנרגייה של כל פוטון קטנה יותר. כאשר $\lambda$ ארוך מאורך גל הסף $\lambda_0=\frac{hc}{B}$, מתקיים $E_{ph}<B$ ואף פוטון אינו יכול לשחרר אלקטרון – וזאת ללא תלות בעוצמת האור.

טעות נפוצה: לחשוב שהגדלת עוצמת האור תגרום לפליטה גם באורכי גל ארוכים – עוצמה גדולה יותר פירושה יותר פוטונים, לא פוטונים חזקים יותר.

קביעה: עוצמת הזרם קטנה.

הסבר: כשמרחיקים את מקור האור מהקתודה, עוצמת האור הפוגע בקתודה (האנרגייה ליחידת זמן וליחידת שטח) קטנה, כלומר מספר הפוטונים הפוגעים בקתודה ביחידת זמן קטן. אורך הגל לא השתנה, ולכן האנרגייה של כל פוטון לא השתנתה.

כל פוטון יכול לשחרר אלקטרון אחד לכל היותר, ולכן מספר האלקטרונים הנפלטים ביחידת זמן קטן. במתח ההאצה כל האלקטרונים הנפלטים נאספים באנודה, ולכן הזרם $I=\frac{\Delta q}{\Delta t}$ – הפרופורציוני למספר האלקטרונים המגיעים לאנודה ביחידת זמן – קטן.

קביעה: היגד 2 נכון.

הסבר: כשהמתח בין האנודה לקתודה הוא אפס, אין שדה חשמלי חיצוני שמאיץ את האלקטרונים לעבר האנודה, אך גם אין שדה שעוצר אותם. האלקטרונים נפלטים עם אנרגייה קינטית (גדולה מאפס) ולכן חלקם מגיעים לאנודה – והיגד 3 שגוי (במתח אפס עדיין זורם זרם).

עם זאת, האלקטרונים שנפלטו ונמצאים במרחב שבין הקתודה לאנודה יוצרים "ענן" של מטען שלילי. ענן זה דוחה את האלקטרונים הנפלטים אחריו, ואלקטרונים איטיים (וגם כאלה שנפלטו בכיוונים שאינם לעבר האנודה) נהדפים חזרה אל הקתודה. לכן לא כל האלקטרונים מגיעים לאנודה, והזרם במתח אפס קטן מזרם הרוויה שהתקבל בשלב הראשון – היגד 1 שגוי.

במתח העצירה $V$ גם האלקטרונים המהירים ביותר נעצרים, ולכן $eV=E_{k,\max}$. נקודת החיתוך של הגרף עם הציר האופקי היא $\lambda_0=688.88\,\text{nm}$, ובה מתח העצירה הוא אפס – כלומר האנרגייה הקינטית המרבית של האלקטרונים הנפלטים היא אפס.

לכן $\lambda_0=688.88\,\text{nm}$ הוא אורך גל הסף של מתכת הקתודה: אורך הגל הארוך ביותר שבו עוד נפלטים אלקטרונים. באורך גל זה כל האנרגייה של הפוטון משמשת רק לשחרור האלקטרון מהמתכת:

באורכי גל ארוכים יותר אין פליטה כלל, ולכן הגרף אינו ממשיך מימין לנקודה זו.

מדף הנוסחאות, אפקט פוטואלקטרי:

האנרגייה הקינטית המרבית שווה לעבודה שמבצע מתח העצירה: $E_{k,\max}=eV$. לכן

זו משוואת קו ישר ב־$\frac1\lambda$: השיפוע הוא $\frac{hc}{e}$ והחיתוך עם הציר האנכי (בהמשך הקו המקווקו, $\frac1\lambda=0$) הוא

המשמעות: הערך המוחלט של נקודת החיתוך, ביחידות eV, שווה לפונקציית העבודה של מתכת הקתודה – האנרגייה המינימלית הדרושה לשחרור אלקטרון מהמתכת.

הערך המספרי: מסעיף ד, $B=\frac{1240}{688.88}\approx 1.80\,\text{eV}$, ולכן

במעגל זורם זרם רק אם יש אלקטרונים שנפלטים מהקתודה ואנרגייתם הקינטית מספיקה כדי להתגבר על המתח המעכב $V_1$, כלומר רק אם מתח העצירה המתאים לאורך הגל גדול מ־$V_1$.

$\lambda_1$ – אין זרם. $\frac{1}{\lambda_1}$ נמצא משמאל לנקודת החיתוך של הגרף עם הציר האופקי, בתחום שבו הקו מקווקו. כלומר $\lambda_1$ ארוך מאורך גל הסף, אנרגיית הפוטון קטנה מפונקציית העבודה, ואין פליטה של אלקטרונים כלל.

$\lambda_2$ – אין זרם. $\frac{1}{\lambda_2}$ נמצא מימין לנקודת החיתוך עם הציר האופקי, ולכן נפלטים אלקטרונים. אבל מתח העצירה המתאים ל־$\frac{1}{\lambda_2}$ (גובה הגרף בנקודה זו) קטן מ־$V_1$: אפילו האלקטרונים המהירים ביותר, שאנרגייתם $E_{k,\max}<eV_1$, נעצרים לפני האנודה וחוזרים לקתודה.

$\lambda_3$ – זורם זרם. בנקודה $\frac{1}{\lambda_3}$ הגרף נמצא מעל הקו $V_1$, כלומר מתח העצירה גדול מ־$V_1$. לכן לחלק מהאלקטרונים (אלה שאנרגייתם הקינטית גדולה מ־$eV_1$) יש די אנרגייה כדי להגיע לאנודה, וזורם זרם (קטן מזרם הרוויה).

אורך גל מקסימלי מתאים לאנרגיית פוטון מינימלית ($E_{ph}=\frac{hc}{\lambda}$). הפוטון נבלע רק אם האנרגייה שלו שווה בדיוק להפרש בין שתי רמות. האנרגייה המינימלית לעירור מרמת היסוד היא המעבר $n=1\to n=2$:

מדף הנוסחאות:

האטומים המעוררים חוזרים לרמות נמוכות יותר ופולטים פוטונים. אטום שעורר לרמה $n$ יכול לחזור ישירות או דרך רמות ביניים, ולכן מספר הקווים האפשריים מרמה $n$ הוא $\frac{n(n-1)}{2}$.

•אילו היו אטומים מעוררים לרמה $n=4$, היו מתקבלים $6$ קווים.

•עירור לרמה $n=3$ לכל היותר נותן בדיוק $3$ קווים: $3\to1$, $3\to2$, $2\to1$.

לכן האטומים עוררו לרמות $n=2$ ו־$n=3$ בלבד.

מדף הנוסחאות: $E_{ph}=E_i-E_f$ ו־$\lambda[\text{nm}]=\frac{1240}{E[\text{eV}]}$.

הקווים השחורים (ספקטרום בליעה) מתאימים לפוטונים שנבלעו באטומים. מרבית האטומים נמצאים ברמת היסוד, והבליעה היא מרמת היסוד בלבד.

לפי סעיף ב, האטומים עוררו לרמות $n=2$ ו־$n=3$ בלבד, ולכן נבלעו רק הפוטונים של המעברים:

- $1\to2$: $E=4.9\,\text{eV}$, $\lambda\approx 253\,\text{nm}$

- $1\to3$: $E=6.7\,\text{eV}$, $\lambda\approx 185\,\text{nm}$

לכן הקווים השחורים נמצאים ב־$253\,\text{nm}$ וב־$185\,\text{nm}$.

הקו $689\,\text{nm}$ מופיע בספקטרום הפליטה בלבד: הוא מתאים למעבר $2\leftrightarrow3$, ואין כמעט אטומים ברמה $n=2$ שיכולים לבלוע אותו.

טעות נפוצה: לכלול גם את $689\,\text{nm}$ בקווי הבליעה – בליעה מתרחשת רק מהרמה שבה נמצאים האטומים (רמת היסוד).

אנרגיית היינון מרמת היסוד (מעבר מ־$n=1$ ל־$n=\infty$, שם $E=0$):

קביעה: $15.5\,\text{eV}>10.4\,\text{eV}$, ולכן יתרחש יינון. (פוטון שאנרגייתו גדולה מאנרגיית היינון נבלע גם אם אינו מתאים בדיוק להפרש רמות, כי מעל $E=0$ האלקטרון חופשי ואנרגייתו רציפה.)

האנרגייה הקינטית המקסימלית – לפי שימור אנרגייה, עודף האנרגייה הופך לאנרגייה הקינטית של האלקטרון (האלקטרון שהשתחרר מרמת היסוד הוא בעל האנרגייה המרבית):

($5.1\cdot1.6\cdot10^{-19}\approx 8.2\cdot10^{-19}\,\text{J}$.)

קביעה: כן, הקרינה שנפלטה היא בדיוק באותם שלושה אורכי גל.

נימוק: בשונה מפוטון, שנבלע רק אם האנרגייה שלו שווה בדיוק להפרש רמות, אלקטרון יכול למסור לאטום חלק מהאנרגייה הקינטית שלו בהתנגשות ולהמשיך לנוע עם השאר. לכן אלקטרון שאנרגייתו $8\,\text{eV}$ יכול לעורר את אטום הכספית מרמת היסוד לכל רמה שאנרגיית העירור שלה קטנה מ־$8\,\text{eV}$ או שווה לה:

- $n=2$: $E_2-E_1=4.9\,\text{eV}<8\,\text{eV}$ – אפשרי.

- $n=3$: $E_3-E_1=6.7\,\text{eV}<8\,\text{eV}$ – אפשרי.

- $n=4$: $E_4-E_1=-1.6-(-10.4)=8.8\,\text{eV}>8\,\text{eV}$ – לא אפשרי (וגם יינון, $10.4\,\text{eV}$, אינו אפשרי).

האטומים מעוררים אפוא לרמות $n=2$ ו־$n=3$ בלבד – בדיוק כמו בסעיף ב – ובחזרתם הם פולטים את אותם שלושה קווים: $185\,\text{nm}$, $253\,\text{nm}$ ו־$689\,\text{nm}$.

טעות נפוצה: לחשוב שאלקטרון של $8\,\text{eV}$ אינו יכול לעורר כי $8\,\text{eV}$ אינו שווה בדיוק להפרש רמות – הדרישה "בדיוק" חלה על פוטונים, לא על אלקטרונים.

פעילות הכוח החזק: הכוח החזק הוא כוח משיכה הפועל בין כל הנוקלאונים בגרעין – בין פרוטון לפרוטון, בין נויטרון לנויטרון ובין פרוטון לנויטרון – ואינו תלוי במטען החשמלי. הוא חזק בהרבה מהכוח החשמלי במרחקים גרעיניים, אך טווחו קצר מאוד (בסדר גודל של קוטר גרעין, כ־$10^{-15}\,\text{m}$), ולכן כל נוקלאון מושך רק את שכניו הקרובים.

מדוע הוא נדרש: בגרעין יש פרוטונים טעונים במטען חיובי, במרחקים קטנים מאוד זה מזה. לפי חוק קולון ($F=k\frac{q_1q_2}{r^2}$) פועל ביניהם כוח דחייה חשמלי גדול מאוד; כוח הכבידה בין הנוקלאונים זניח לעומתו. ללא כוח משיכה חזק יותר מהדחייה החשמלית, הגרעין היה מתפרק. הכוח החזק הוא שמחזיק את הנוקלאונים יחד ומקנה לגרעין יציבות.

התפרקות $\beta^-$: בגרעין היוד נויטרון הופך לפרוטון, ונפלטים אלקטרון ($\beta^-$) ואנטי־נייטרינו:

לכן מספר המסה נשמר ($131$) ומספר האטום גדל ב־$1$ ($53\to54$) – זהו קסנון. גרעין הקסנון שנוצר נמצא במצב מעורר (מסומן ב־$^*$):

בדיקה: מספרי מסה $131=131+0$; מטענים $53=54+(-1)$.

התפרקות $\gamma$: הגרעין המעורר עובר לרמת היסוד שלו ופולט פוטון גמא. מספר המסה ומספר האטום אינם משתנים:

(בחץ השני מתואר רק גרעין הקסנון המעורר; האלקטרון והאנטי־נייטרינו שנפלטו בשלב הראשון אינם משתתפים בהתפרקות $\gamma$.)

הפעילות יחסית למספר הגרעינים שטרם התפרקו ($R=\lambda N$), ולכן גם היא קטנה לחצי בכל זמן מחצית חיים.

מהגרף: ברגע $t=0$ הפעילות היא $R_0=900\,\text{Bq}$. מחפשים את הזמן שבו הפעילות היא $\frac{900}{2}=450\,\text{Bq}$: לפי הגרף זה קורה ב־$t\approx 8$ ימים.

בדיקה: אחרי שני זמני מחצית חיים ($16$ ימים) הפעילות צריכה להיות $225\,\text{Bq}$, ואחרי שלושה ($24$ ימים) כ־$112\,\text{Bq}$ – בהתאם לגרף.

מדף הנוסחאות:

קבוע הדעיכה (זמן מחצית החיים בשניות, כי הפעילות ב־$\text{Bq}=\frac{1}{\text{s}}$):

מספר הגרעינים ברגע $t=0$, כאשר $R_0=900\,\text{Bq}$:

טעות נפוצה: להציב את זמן מחצית החיים בימים – הפעילות נמדדת בהתפרקויות לשנייה, ולכן $\lambda$ חייב להיות ב־$\text{s}^{-1}$.

מדף הנוסחאות $N=N_0e^{-\lambda t}$, ומאחר ש־$R=\lambda N$:

מבודדים את $t$:

הצבה (בימים):

(בדיקה: $\frac{900}{5}=180\approx2^{7.5}$, כלומר כ־$7.5$ זמני מחצית חיים: $7.5\cdot8=60$ ימים. בגרף בסביבת $60$ ימים הפעילות אכן כמעט אפס.)